中南大學(xué)現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育課程考試（專科）復(fù)習(xí)題及參考答案《高等數(shù)學(xué)》（?？疲┮?、填空題1．函數(shù)的定義域是.解.。2．若函數(shù)，則 ．解.3．答案：1正確解法：4.已知，則_____,_____。由所給極限存在知,,得,又由,知5.已知，則_____,_____。,即,6．函數(shù)的間斷點(diǎn)是。解：由是分段函數(shù)，是的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在處的連續(xù)性。因?yàn)樗院瘮?shù)在處是間斷的，又在和都是連續(xù)的，故函數(shù)的間斷點(diǎn)是。7.設(shè),則8．，則。答案：或9．函數(shù)的定義域?yàn)椤＝猓汉瘮?shù)z的定義域?yàn)闈M足下列不等式的點(diǎn)集。 的定義域?yàn)椋呵襺10．已知,則.解令，，則，，11．設(shè),則?！?。12．設(shè)則＝

。解13..解：由導(dǎo)數(shù)與積分互為逆運(yùn)算得，.14.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則.解：兩邊對求導(dǎo)得，令，得，所以.解：P(A+B)=1–P二、單項(xiàng)選擇題1．函數(shù)（）A.是奇函數(shù)；B.是偶函數(shù)；C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)；D.是非奇非偶函數(shù)。解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。所以B正確。2．若函數(shù)，則（）A.；B.；C.；D.。解：因?yàn)?，所以則，故選項(xiàng)B正確。3．設(shè)，則=（）．A．xB．x+1C．x+2D．x解由于，得＝將代入，得=正確答案：D4．已知，其中,是常數(shù)，則（）(A),(B)(C)(D)解.,答案：C5．下列函數(shù)在指定的變化過程中，（）是無窮小量。A.；B.；C.；D.解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以而A,C,D三個(gè)選項(xiàng)中的極限都不為0，故選項(xiàng)B正確。6．下列函數(shù)中，在給定趨勢下是無界變量且為無窮大的函數(shù)是（）(A);(B);(C)；(D)解.,故不選(A).取,則,故不選(B).取,則,故不選(D).答案：C7．設(shè)，則在處（ ）A．連續(xù)且可導(dǎo) B．連續(xù)但不可導(dǎo)C．不連續(xù)但可導(dǎo) D．既不連續(xù)又不可導(dǎo)解：（B），，因此在處連續(xù)，此極限不存在從而不存在，故不存在8．曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線是（）．A． B．C． D．解由導(dǎo)數(shù)的定義和它的幾何意義可知，是曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線斜率，故切線方程是 ，即正確答案：A9．已知，則=（）．A.B.C.D.6解直接利用導(dǎo)數(shù)的公式計(jì)算：,正確答案：B10．若，則（）。A．B．C．D．答案：D先求出，再求其導(dǎo)數(shù)。11．的定義域?yàn)椋ǎ瓵．

B．C．

D．解z的定義域?yàn)閩個(gè)，選D。12.下列極限存在的是（）（A）（B）（C）（D）解A.當(dāng)P沿時(shí)，，當(dāng)P沿直線時(shí)，，故不存在；B.，不存在；C.如判斷題中1題可知不存在；D.因?yàn)?，所以，選D13.若，在內(nèi)（）.（A）（B）（C）（D）解：14．設(shè)為奇函數(shù)，且時(shí)，則在上的最大值為（ ）A． B．C． D．解：（B）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故，兩邊求導(dǎo)，從而，設(shè)，則，從而，所以在[-10，-1]上單調(diào)增加，故最大值為15．函數(shù)()(A)、有極大值8（B）、有極小值8（C）無極值（D）有無極值不確定解，，，為極大值（A）15.設(shè)（）.（A）依賴于 （B）依賴于（C）依賴于，不依賴于 （D）依賴于，不依賴于解：根據(jù)周期函數(shù)定積分的性質(zhì)有,17.曲線與軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為（）.（A）（B）（C）（D）解：所求旋轉(zhuǎn)體的體積為故應(yīng)選(B).18.設(shè)，，，則有（）.（A） （B）（C） （D）解：利用定積分的奇偶性質(zhì)知，，，所以，故選（D）.19．下列不定積分中，常用分部積分法的是（）。A．B．C．D．答案：B。20．設(shè)，則必有（）（A）I>0(B)I<0(C)I=0（D）I0的符號位不能確定解：D：21．設(shè)f(t)是可微函數(shù)，且f(0)=1，則極限（）()（A）等于0（B）等于(C)等于+（D）不存在且非C）解：由極坐標(biāo)，原極限22.設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是().（A）若函數(shù)列定義在區(qū)間上，則區(qū)間為此級數(shù)的收斂區(qū)間（B）若為此級數(shù)的和函數(shù)，則余項(xiàng)，（C）若使收斂，則所有都使收斂（D）若為此級數(shù)的和函數(shù)，則必收斂于解：選（B）.23.設(shè)為常數(shù)，則級數(shù)（）.（A）絕對收斂 （B）條件收斂 （C）發(fā)散 （D）斂散性與有關(guān)解：因?yàn)?，而收斂，因此原級?shù)絕對收斂.故選（A）.24.若級數(shù)在時(shí)發(fā)散，在處收斂，則常數(shù)（）.（A）1（B）-1（C）2（D）2解：由于收斂，由此知.當(dāng)時(shí)，由于的收斂半徑為1，因此該冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)收斂，特別地，在內(nèi)收斂，此與冪級數(shù)在時(shí)發(fā)散矛盾，因此.故選（B）.25.的特解可設(shè)為（）（A）（B）（C）（D）解：C26.微分方程的階數(shù)是指（）（A）方程中未知函數(shù)的最高階數(shù)；（B）方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的最高階數(shù)；（C）方程中未知函數(shù)的最高次數(shù)；（D）方程中函數(shù)的次數(shù).解：B27.下面函數(shù)()可以看作某個(gè)二階微分方程的通解.（A）（B）（C）（D）解：C28.A、B均為n階可逆矩陣，則A、B的伴隨矩陣=（）.（A）；（B）；（C）（D）；解答：D29.設(shè)A、B均為n階方陣，則必有[]。(A)|A+B|=|A|+|B|(B)AB=BA(C)|AB|=|BA|(D)(A+B)–1=A–1+B–1解：正確答案為(C)30.A,B都是n階矩陣,則下列各式成立的是（）（A）（B）（C）（D）解答：B31.在隨機(jī)事件A，B，C中，A和B兩事件至少有一個(gè)發(fā)生而C事件不發(fā)生的隨機(jī)事件可表示為（）（A）（B）（C）（D）解由事件間的關(guān)系及運(yùn)算知，可選（A）32.袋中有5個(gè)黑球，3個(gè)白球，大小相同，一次隨機(jī)地摸出4個(gè)球，其中恰有3個(gè)白球的概率為（）（A）（B）（C）（D）解基本事件總數(shù)為，設(shè)A表示“恰有3個(gè)白球”的事件，A所包含的基本事件數(shù)為=5，故P(A)=，故應(yīng)選（D）。33.已知，且,則下列選項(xiàng)成立的是（）（A）;（B）（C）（D）解由題可知A1、A2互斥，又0<P(B)<1，0<P(A1)<1，0<P(A2)<1，所以P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)–P(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2故應(yīng)選（C）。三、解答題1.設(shè)函數(shù)問（1）為何值時(shí)，在處有極限存在？（2）為何值時(shí)，在處連續(xù)？解：（1）要在處有極限存在，即要成立。因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，有成立，即時(shí)，函數(shù)在處有極限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無關(guān)，所以此時(shí)可以取任意值。（2）依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是于是有，即時(shí)函數(shù)在處連續(xù)。2．已知，試確定和的值解.,,即,故3．設(shè)，求的間斷點(diǎn)，并說明間斷點(diǎn)的所屬類型解.在內(nèi)連續(xù),,,,因此,是的第二類無窮間斷點(diǎn);,因此是的第一類跳躍間斷點(diǎn).4．求方程中是的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）,解：方程兩邊對自變量求導(dǎo)，視為中間變量，即整理得（2）設(shè)，求，；解： ，5．設(shè)由方程所確定,求.解:設(shè),,,,,,.6．設(shè)函數(shù)在[0,1]上可導(dǎo)，且，對于（0,1）內(nèi)所有x有證明在（0,1）內(nèi)有且只有一個(gè)數(shù)x使.7.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解函數(shù)的定義域是令，得駐點(diǎn)，-20+0-0+極大值極小值故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是和，單調(diào)減少區(qū)間是及，當(dāng)-2時(shí)，極大值；當(dāng)0時(shí)，極小值.8.在過點(diǎn)的所有平面中,求一平面,使之與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍四面體的體積最小.解:設(shè)平面方程為,其中均為正,則它與三坐標(biāo)平面圍成四面體的體積為,且,令,則由,求得.由于問題存在最小值,因此所求平面方程為,且.9．求下列積分(1)解：極限不存在，則積分發(fā)散.(2)解是D上的半球面，由的幾何意義知I=V半球=(3)，D由的圍成。解關(guān)于x軸對稱，且是關(guān)于y的奇函數(shù)，由I幾何意義知，。4．判別級數(shù)（常數(shù)）的斂散性.如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂?解：由，而，由正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知，與同時(shí)斂散.而收斂，故收斂，從而原級數(shù)絕對收斂.4．判別級數(shù)的斂散性.如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂?解：記，則.顯見去掉首項(xiàng)后所得級數(shù)仍是發(fā)散的，由比較法知發(fā)散，從而發(fā)散.又顯見是Leibniz型級數(shù)，它收斂.即收斂，從而原級數(shù)條件收斂.4．求冪級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)：解：，所以.又當(dāng)時(shí)，級數(shù)成為，都收斂，故級數(shù)的收斂域?yàn)?設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為，即.再令，逐項(xiàng)微分得，，，，，，故，又顯然有，故5．求解微分方程(1)的所有解.解原方程可化為，（當(dāng)），兩邊積分得，即為通解。當(dāng)時(shí)，即，顯然滿足原方程，所以原方程的全部解為及。(2)解當(dāng)時(shí)，原方程可化為，令，得，原方程化為，解之得；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，類似地可解得。綜合上述，有。(3)解由公式得。三、求解下列各題

1．計(jì)算下列行列式：（.2），解：（3）解：3．設(shè)矩陣A，B滿足矩陣方程AX＝B，其中，,求X．解法一：先求矩陣A的逆矩陣．因?yàn)樗?且解法二：因?yàn)樗?4．設(shè)矩陣 試計(jì)算A-1B．解 因?yàn)? 所以 且2．設(shè).(1)若，求；(2)若，求；(3)若，求.解：(1)P(B)=P(B)–P(AB)因?yàn)锳，B互斥，故P(AB)=0，而由已知P(B)=∴P(B)=P(B)=(2)∵P(A)=，由AB知：P(AB)=P(A)=∴P(B)=P(B)–P(AB)=–=(3)P(AB)=∴