清單10函數(shù)的圖象、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用

知識(shí)與方法清單

1.作函數(shù)的圖象的兩種基本方法

(1)利用描點(diǎn)法作圖，其一般步驟為：

①確定函數(shù)定義域；

②化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等)；

④描點(diǎn)并作出函數(shù)圖象.

(2)圖象變換法.

圖象變換法，若函數(shù)圖象可由基本函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移、翻折、對(duì)稱(chēng)得到，可利用圖象變換作出,應(yīng)注意平移變

換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

9r-1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1］作函數(shù)y=-r的圖象

'X—1

111

【解析】y=］二;=2+言■，故函數(shù)的圖象可由y=：的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，如

圖所示.

2.圖象變換

(1)平移變換

卜吸0+點(diǎn)I

上碗>0)

移個(gè)單位

\y=f(x+h)\^h-|.v=/W|—

(h>0)下A(A>0)(A>0)

移個(gè)單位

卜=?一夕|

(2)對(duì)稱(chēng)變換

關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，/、

①y=f(x>---------------9=-/W.

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)、

②y=f(x>-----：--------->.v=/(—X).

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、

@y=f(x)---------------->y=-f(-x).

④)="3>0且存1)大)>「刈稱(chēng)>)，—]ogd(a>0且存1).

(3)伸縮變換

1

-、a>l,橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的G倍，縱坐標(biāo)不變,，、

◎=/(、)一工-------

0<a<l,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的7■倍，縱坐標(biāo)不變

a>L縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的a倍，橫坐標(biāo)不變

勖=/(》)

0<a<l,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的a倍，橫坐標(biāo)不變

(4)翻折變換

保留X軸上方圖象…_u?，一?

①y=f(x>將》軸下方圖象翻折上去>>一1(研

保留)，軸右邊圖象，并作其

@y=fW-關(guān)于,，軸對(duì)稱(chēng)的圖象+y=/(kl)?

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】為了得到函數(shù)y=lg丁的圖象，只需把函數(shù)y=l況的圖象上所有的點(diǎn)()

A.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度

【答案】C

x~\~3

【解析】因?yàn)閥=lg-■/=lg(x+3)—l.故選C.

3.函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置;

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；

(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；

(5)從函數(shù)的特殊點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

2x

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】(2021四川省宜賓市高三三模)函數(shù)小人一的部分圖象大致為()

【答案】B

(解析】根據(jù)題意,/(x)=-V—炭定義域?yàn)镽.由“一力=--7—=一/(X),即函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，排

X~1乙X*1乙

2

除D,由41)=§>0,排除A,當(dāng)Xf?+<?時(shí),“X)->0,排除C,故選B.

4.函數(shù)圖象主要應(yīng)用于以下方面：①求函數(shù)的解析式；②求函數(shù)的定義域；③求函數(shù)的值域；④求函數(shù)的最

值；⑤判斷函數(shù)的奇偶性；⑥求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑦解不等式；⑧證明不等式；⑨探求關(guān)于方程根的分布

問(wèn)題；⑩比較大??；求函數(shù)周期；求參數(shù)范圍等.

]T-\\,x<2,

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】(寧夏回族石嘴山市高三二模)已知函數(shù)={3若方程/(%)=左有且僅有兩

----,x..2,

/一1

個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是()

A.1<左<3B.L,左<3C.0<k<3D.k<3

【答案】B

通過(guò)函數(shù)圖像可以看出，當(dāng)x<0,函數(shù)無(wú)限趨近于1,但不等于1,當(dāng)x>2,函數(shù)無(wú)限趨近于0,但不等于0,所以

/U)=k有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，可以得到L,左<3.故選B.

5.圖象對(duì)稱(chēng)性的證明

(1)證明函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,即證明其圖象上的任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(或?qū)ΨQ(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖象上.

(2)證明曲線G與C2的對(duì)稱(chēng)性,即證明G上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(或?qū)ΨQ(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在C2上，反之亦然.

1+X

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】已知函數(shù)f(x)=lg----(awl)為奇函數(shù).

\+ax

(1)求實(shí)數(shù)

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=/（x）+—^―.

1+2

①求g（g）+g（—；）；

②試證明函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱(chēng).

【解析】⑴因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以對(duì)定義域內(nèi)任意x,都有;1（T）+f（x）=0,

即ig產(chǎn)+ig產(chǎn)=愴；4V=o.

i-axi+ax\-a'x'

i_r2

則-47=1對(duì)定義域內(nèi)任意x恒成立，所以/=1,即。=±1,

l-a2x2

由條件知得到a=T.

（2）①因?yàn)?（力為奇函數(shù),所以一（升右）0.

所以g[{|+g[-{|=2.

1_i_V-2

②因?yàn)間（x）=lg=+壬7,所以函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋═，l）.

1Y2

設(shè)點(diǎn)P（x,＞）為g（X）圖象上任意一點(diǎn)，則＞=1gH+/不，

下證：點(diǎn)尸（X,y）關(guān)于（0,1）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q[-X,2-y）也在函數(shù)g（尤）的圖象t.

e*（\-X2,\—x2?2’

因?yàn)?（一"）=炮心+聲=館、+0

1+x三21+x

-1g-----+2--------------+=2—y,

\-x2'+1\-x

所以Q（-x,2-y）也在函數(shù)g（無(wú)）的圖象上,

即函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱(chēng).

6.涉及函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的幾個(gè)結(jié)論

⑴若+=一x),則/(x)的圖象關(guān)于直線》=零對(duì)稱(chēng)；

b—Z7

(2)y=/(a+x)的圖象與y=〃"一x)的圖象關(guān)于直線x=—對(duì)稱(chēng)：

(3)若“2a-》)+〃力=2>則/(力的圖象關(guān)于點(diǎn)(以力)對(duì)稱(chēng).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】(2021四川省宜賓市高三三模)已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足

/(x+l)=/(x—2),下列說(shuō)法：

①>=/(￡)的圖象關(guān)于佶,0)對(duì)稱(chēng)；

127

②y=/(x)的圖象關(guān)于x=：對(duì)稱(chēng)；

③>=/(x)在［0,6］內(nèi)至少有5個(gè)零點(diǎn)；

④若y=/(X)在［0,1］上單調(diào)遞增，則它在［2021,2022］上也是單調(diào)遞增.

其中正確的是()

A.①④B.②③C.②③④D.①③④

【答案】D

【解析】由于y=/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(x+1)=/(x-2)，所以

/(x)=/(x-3)=—/(一x),整理得,/(x+3)=/(x),所以/(-x+3)=—/(幻

<31

故對(duì)于①，函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于-,0對(duì)稱(chēng)，故①正確，②錯(cuò)誤.

對(duì)于③，函數(shù)/(0)=0J(3)=0,“6)=0,由于"X)=〃X+3)=-F(T),

令x=_|,所以=整理得/(|1=0,/(4.5)=/1|+3)=0,故③正確；

對(duì)于@，〃2021)=〃673*3+2)=.〃2),所以函數(shù)/(力在［0,1］上單調(diào)遞增廁它在［2021,2022］上單

調(diào)遞增，故④正確；故選D.

7.函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xW。),把使/(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)(xG￡>)的零點(diǎn).

【解讀】

(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)點(diǎn).當(dāng)函數(shù)的自變量取

這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí),函數(shù)值為零.

(2)函數(shù)是否有零點(diǎn)是針對(duì)對(duì)應(yīng)方程是否有實(shí)數(shù)根而言的，若方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn),反映在圖象上

就是函數(shù)圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，如函數(shù)尸5,12+1就沒(méi)有零點(diǎn).

方程有幾個(gè)解，則其對(duì)應(yīng)的函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn).若函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)，則零點(diǎn)一定在其定義域內(nèi).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】(2021湖北省黃岡中學(xué)高三5月適應(yīng)性考試)若函數(shù)/(》)=爐+公—￡在區(qū)間(一1,1)上

有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

22

A.(-2,-)B.(0,-)C.(2,+a))D.(0,2)

【答案】B

【解析】因?yàn)?(x)為開(kāi)口向上的拋物線，且對(duì)稱(chēng)軸為％=-@,在區(qū)間(一1,1)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

2

l-a-->0

2

〃1)>。

?a八

1+。---->02n

所以./卜J。,即，2，解得0<。<彳，所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,$.

/、2233

(_父_￡__￡<o

<2)22

一2<a<2

故選B

8.函數(shù)有零點(diǎn)的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

方程，(x)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】(2021陜西省漢中高三下學(xué)期模擬)關(guān)于函數(shù)/(x)=(lnx)2-21nx,下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)/(%)有2個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)

C.e是函數(shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)D.2e是函數(shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)

【答案】A

【解析】令(lnx)2-21nx=lnx-(lnx-2)=0,解得；x=l或x=e2,所以函數(shù)/(x)有2個(gè)零點(diǎn).

故選A

9.函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間力］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/⑷(6)<0,那么涵數(shù)y=/(x)在區(qū)間

①力)內(nèi)有零點(diǎn),即存在。54力),使得了?=0,這個(gè)c?也就是方程f(x)=0的根.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】(北京市清華附中2021屆高三考前熱身)函數(shù)/(x)=lnx+x-6的零點(diǎn)一定位于區(qū)間()

A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)

【答案】c

【解析】山題意得〃x)=lnx+x-6為連續(xù)函數(shù)，且在(0,+oo)單調(diào)遞增，

/(2)=ln2-4<0,/(3)=ln3-3<0,/(4)=ln4-2<ln^2-2=0,/(5)=ln5-l>ln^-l=0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,/(4)?/(5)<0,所以零點(diǎn)一定位于區(qū)間(4,5).故選C

10.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理要注意三點(diǎn)：

(1)“函數(shù)y=/(x)在區(qū)間用上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線”和Ja求b)<0”這兩個(gè)條件缺一不可.如圖①僅滿

足前者，圖②僅滿足后者，兩函數(shù)均無(wú)零點(diǎn).

(2)定理不可逆,就是說(shuō)滿足了(1)中的兩個(gè)條件的函數(shù)一定有零點(diǎn)，但是一個(gè)函數(shù)有零點(diǎn),不一定需要具備這兩

個(gè)條件.如圖刨GA〃)>0,但函數(shù)有零點(diǎn).

(3)該定理只能判斷出零點(diǎn)的存在性，而不能判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù).至少存在一個(gè)零點(diǎn)，就是說(shuō)滿足了(1)中的兩個(gè)

條件的函數(shù)一定至少有一個(gè)零點(diǎn)，但不一定只有一個(gè)零點(diǎn)，可能有其他更多的零點(diǎn),如圖④.但若該函數(shù)是單調(diào)

函數(shù)，則有唯一零點(diǎn).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是()

【答案】C

【解析】能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)的圖象必須在給定區(qū)間也⑸上連續(xù)不斷，并且有7(0次份＜O.A,B中不存在

次x)＜O,D中函數(shù)不連續(xù).故選C.

11.二次函數(shù)、=加+6+以〃＞0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系

J>0J=0/<0

41

二次函數(shù)y=ox：2+入x+c

3＞0)的圖象

與X軸的交點(diǎn)(X|,0),(X2,0)(孫0)無(wú)交點(diǎn)

零點(diǎn)個(gè)數(shù)210

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】(2021浙江省杭州市高三5月模擬)已知二次函數(shù)/(力=/+儂+。(1,北/?)有兩個(gè)不

同的零點(diǎn)，若/(f+2x-1)=0有四個(gè)不同的根%|＜々＜工3＜%，且玉，工2，玉，七成等差數(shù)列，則。一方不可能是

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】設(shè)/(尤)+ax+b(a,b^R)的兩個(gè)不同零點(diǎn)為m,〃，且m＞〃*

m+n=-a

所以f(m)=/"(〃)=0,△=/_4〃>(),且，

mn=b

又因?yàn)?(f+2x—1)=0有四個(gè)不同的根玉＜%2＜馬＜七.

所以f+2x—1=機(jī)對(duì)應(yīng)的根為工1，%4，+2x—1=〃對(duì)應(yīng)的根為X2，13，

△=4+4（1+加）＞0△=4+4（1+〃）＞0

所以，%+工4=一2＜/+玉=—2

XjX4=-l-mX2X3=-1-77

2

所以（尤4-Xi）?=^4+—2%4占=（尤4+為）2-4X4X,=4+4（1+m）,

同理（X3—尤2）~=+X：—2x/z—（X3+為）~-4工3工2=4+4（1+71）,

因?yàn)橛?々，％3，/成等差數(shù)列,

所以％—玉=3（W—W），則34-VA=9（彳3—X24

所以4+4（1+加）=9[4+4（1+〃）].解得加=16+9〃.

因?yàn)榕f>〃,所以加=16+9”>〃,解得〃>一2,

所以。一。=一（根+〃）一根〃=-（16+10〃）一（16+9〃）"=-9〃2-26〃-16=-9n+—H---.

I9J9

所以當(dāng)〃=一亍時(shí)一方有最大值w,所以a—8不可能為3.故選D

12.確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法

(1)利用方程的根，轉(zhuǎn)化為解方程，方程有幾個(gè)根相對(duì)應(yīng)的函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)利用函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(3)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù)在區(qū)間［a,b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，利用f(a)J(b)<0,結(jié)合單調(diào)性可判定

y=f(x)在(a,b)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(4)轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12］(2021遼寧省高三決勝新高考名校交流5月聯(lián)考)函數(shù)/(x)=x3+x2+x+c的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

為()

A.1B.1或2C.2或3D.1或2或3

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(幻=/+/+》+5所以/(幻=3/+2%+1,因?yàn)閍nd—12=-8<0.

所以/‘(X)>0,從而/(x)ud+d+x+c在R上單調(diào)遞增，又當(dāng)xf-oo時(shí).f(x)T-co,當(dāng)％f+8時(shí)，

/(x)f+8屈零點(diǎn)存在定理得：函數(shù)/(^uV+Y+x+c有且只有一個(gè)零點(diǎn).故選A.

13.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的三個(gè)步驟

(1)代入:將區(qū)間端點(diǎn)值代入函數(shù)求出函數(shù)的值.

(2)判斷:把所得的函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷.

(3)結(jié)論:若符號(hào)為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間

內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13]已知定義在R上的函數(shù)./U)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表：那么函數(shù)式x)一定存在

零點(diǎn)的區(qū)間是()

X1234

於)6.12.9-3.5-1

A.(-oo,l)B.(L2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【解析】由題意可知：/(3)=-3.5<0/(2)=2.9>0,所以/(2)/(3)<0.函數(shù),/(x)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是(2,3).

故選C.

14.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)有三種常用方法

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】(2021河南省新鄉(xiāng)市高三三模)已知函數(shù)/(力=k2+3%+”.若關(guān)于x的方程

/(X)-4X=o恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則。的取值范圍是()

A.(1,5)B.[1,5]C.(l，5)u{0}D.[L5]u{0}

【答案】C

【解析】當(dāng)x=0時(shí),〃0)=1*0,故x=0不是方程/(x)-a|x|=0的根，當(dāng)XN0時(shí)，山/(同一。國(guó)=0得,

a=x+—+3,方程〃X)-0國(guó)=0恰有兩個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于直線廣。與函數(shù)y=x+—+3的圖像有兩

XX

個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)y=f(x)的大致圖像如圖所示,

由圖可知,a=0或<5.故選C.

6用二分法求函數(shù)1x)滿足給定的精確度的零點(diǎn)近似值的步驟如下：

第一步，確定初始區(qū)間[俏力o],驗(yàn)證人ao)?冊(cè)o)VO,給定精確度￡;

第二步，求區(qū)間的中點(diǎn)刈二四鏟1；

第三步，計(jì)算4⑹：

①若人知)=0,則X0就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若加0)?於0)<0,則令0=如力I=項(xiàng)(此時(shí)零點(diǎn)e[aM；

③若X?o)-A-ro)>0,則令a?=xo力i=加(此時(shí)零點(diǎn)e3/iD；

第四步，判斷區(qū)間⑷力i]是否達(dá)到精確度￡：即若?一則得到零點(diǎn)近似值0(或4);否則重復(fù)第二到四

步.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練151(2021寧夏六盤(pán)山市高三上學(xué)期期末)用二分法求函數(shù)/(x)=lgx+x-2的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)

參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解(精確到0.1)為()(參考數(shù)據(jù)：lgl.5a0.176,

1g1.625?0.211,lgl.75?0.243,1g1.875?0.273,1g1.9375?0.287)

A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

【答案】C

【解析】由題意可知：/(1.75)=1g1.75+1.75-2?0.243+1.75-2=-0.007<0,

/(1.875)=lg1.875+1.875-2=0.273+1.875-2=-0.148>0,又因?yàn)楹瘮?shù)在(0,+a5)上連續(xù)，所以函數(shù)

175+127S

在區(qū)間(1.75,1.875)上有零點(diǎn)，約為-———x1.8,故選C.

2

16.兒類(lèi)函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x')—ax+b(a,b為常數(shù)，存0)

k

反比例函數(shù)模型f(x)=7+b(k,b為常數(shù)且后0)

f(x)=ax2+bx+c

二次函數(shù)模型

(a,b,c為常數(shù),WO)

f(x)=bcf+c

指數(shù)函數(shù)模型

(a,b,c為常數(shù)，厚0,。>0且存1)

f(x)=b\ogax+c

對(duì)數(shù)函數(shù)模型

(a,b,c為常數(shù)，厚0,〃>0且存1)

基函數(shù)模型fM^a^'+b(a,b為常數(shù)，存0)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】果農(nóng)采摘水果，采摘下來(lái)的水果會(huì)慢慢失去新鮮度.已知某種水果失去新鮮度人與其采摘后

時(shí)間■（天）滿足的函數(shù)關(guān)系式為力=加若采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為10%,采摘后20天,

這種水果失去的新鮮度為20%.那么采摘下來(lái)的這種水果在多長(zhǎng)時(shí)間后失去50%新鮮度（已知Ig2a0.3,

結(jié)果取整數(shù)）（）

A.23天B.33天C.43天D.50天

【答案】B

/嚴(yán)=7

【解析】〈ci1，故〃一o而，故〃=—?21°，令/7=二,，21°=10,，一1g2=1,故

20%=加也2。=-La-220210

IIm20

f=言233,故選B.

17.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

數(shù)

y=(f{a>\)y=logax(a>l)y=f(〃>0)

性

在（0,+8）上

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

的增減性

增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨n值變化而各有

圖象的變化

為與），軸平行為與X軸平行不同

值的比較存在一個(gè)沏,當(dāng)x"o時(shí)，有l(wèi)ogdbvf

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17］（2021湖南省衡陽(yáng)市高三下學(xué)期考前預(yù)測(cè)）數(shù)字通信的研究中,需要解決在惡劣環(huán)境（噪聲

和干擾導(dǎo)致極低的信噪比）下的網(wǎng)絡(luò)信息正常傳輸問(wèn)題.根據(jù)香農(nóng)（所即"?！ǎ┕紺=WlogJ1+.）,式

中W是信道帶寬（赫茲）'是信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率（瓦），。是數(shù)據(jù)傳送速率的極限值，單位bit/s士

N

V

是為信號(hào)與噪聲的功率之比，為無(wú)量綱單位（如：一二1000,即信號(hào)功率是噪聲功率的1000倍），討論信噪

N

c

比時(shí)，常以分貝（dB）為單位即SNR=10吟（信噪比,單位為dB）在信息最大速率C不變的情況下，要克

服惡劣環(huán)境影響,可采用提高信號(hào)帶寬（W）的方法來(lái)維持或提高通信的性能.現(xiàn)在從信噪比SNR=30dB的

環(huán)境轉(zhuǎn)到SNR=0dB的環(huán)境，則信號(hào)帶寬（W）大約要提高（）

（附：lg2Ho.3）

A.10倍B.9倍C.2倍D.1倍

【答案】B

ssS

【解析】SNR=30dB=101g#=lgk=3=力=101

SAW=OdB=]01g率=>但今=0=>今=10。=1,

N

2N2N2

3

所以.C=W110g21+寸=^log2（l+10）,

C=%log2「+今=嗎1鳴（1+10°）=嗎

所以絲=log,（1+1（）3）=+=10,所以W,k10川，即大約提高9倍.故選B.

W,,I）ig20.3

18.幾類(lèi)函數(shù)模型的選擇

（1）一次函數(shù)模型:當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí),y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數(shù),一次函數(shù)的圖象為直

線.

（2）二次函數(shù)模型:二次函數(shù)是常用的重要模型,y是x或其他量的二次函數(shù)，常用來(lái)求最大值或最小值問(wèn)題，要

注意定義域.

（3）指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型:當(dāng)問(wèn)題中每期（或每年、每段等）的增長(zhǎng)率相同，則為指數(shù)函數(shù)模型或?qū)?shù)函

數(shù)模型，一般與增長(zhǎng)率、衰減率、利息等現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18]（湖南省益陽(yáng)市高三4月模擬）我們要檢測(cè)視力時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)視力表中有兩列數(shù)據(jù),分別是

小數(shù)記錄與五分記錄，如圖所示（己隱去數(shù)據(jù)），其部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：

小數(shù)記錄X0.10.120.150.2?1.01.21.52.0

五分記錄y4.04.14.24.34.75.05.15.25.3

現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①y=5+lgx,②y=5+,lg!，x表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù),>表示五分記錄數(shù)據(jù)，請(qǐng)選擇最

10x

合適的模型解決如下問(wèn)題：小明同學(xué)檢測(cè)視力時(shí)，醫(yī)生告訴他的視力為4.7，則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為

()(附：1043=0附,5<22=0.7,1。41=0.8)

標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表

E

SUJ

Em

EIUJE

Ems

mEUJE

EUJ3m

mEmiuE

BUJE3m3

mEauiamui

waniEnuiEm

EB3aWE3B

A.0.3B.0.5C.0.7D,0.8

【答案】B

【解析】由數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x=l時(shí),>=5,兩個(gè)都符合，但當(dāng)x=0.1時(shí)，由y=5+lgx,得y=5+lg0.1=4,與表

中的數(shù)據(jù)符合，而y=5+」-lg」=5.1,與表中的數(shù)據(jù)不符合，所以選擇模型y=5+lgx更合適，此時(shí)令

10x

y=4,7，則1gX=-0.3，所以X=1O-0-3=0.5.故選B.

19.判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象.

(2)驗(yàn)證法:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì),驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)

際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19](江蘇省泰州中學(xué)高三下學(xué)期四模)中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫

度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制,再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.為分析

泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間，某研究人員每隔Imin測(cè)量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的

散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列哪個(gè)函數(shù)模型可以近似地刻畫(huà)茶水溫度y隨時(shí)間x變化的規(guī)律(

A.y=mx2+n(m>0)B.y=ma'+n(m>0,0<?<1)

x

C.y=ma+n(m>0,a>\)D.y=m\ogax+n(m>0,a>0,a1)

【答案】B

【解析】由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型,并且加〉0,0<。<1.故選B.

20.增長(zhǎng)率問(wèn)題，在實(shí)際問(wèn)題中常可以用指數(shù)型函數(shù)模型y=N(l+p)K(其中N是基礎(chǔ)數(shù),0為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間)

和哥型函數(shù)模型y=a(l+x)"(其中a為基礎(chǔ)數(shù),x為增長(zhǎng)率,〃為時(shí)間)的形式表示.解題時(shí)，往往用到指對(duì)數(shù)運(yùn)

算.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】根據(jù)2020年央行商業(yè)貸款基準(zhǔn)利率的有關(guān)規(guī)定：一年以下(含一年)年利率為4.35%；至

三年(含三年)利率為4.75%,三至五年(含五年)利率也為4.75%,五年以上利率為4.9%.某人向銀行貸款

100萬(wàn)元,按年復(fù)利的話，五年后一次性還清，則需要還款()

A.100+100x5x4.75%757CB.100+100x5x4.9%萬(wàn)元

C.100*(1+4.75%)5萬(wàn)元D.100x(l+4.9%)5萬(wàn)元

【答案】C

【解析】由題意可知一至五年的利率均為4.75%,此人貸款100萬(wàn)元，五年后一次還清，

則五年后應(yīng)還款為：100萬(wàn)元本金和五年內(nèi)產(chǎn)生的利息，即100(1+4.75%)5萬(wàn)元，故選C

21.函數(shù)模型的選擇

解題過(guò)程中選用哪種函數(shù)模型，要根據(jù)題目具體要求進(jìn)行抽象和概括，靈活地選取和建立數(shù)學(xué)模型.一般來(lái)說(shuō):

如果實(shí)際問(wèn)題的增長(zhǎng)特點(diǎn)為直線上升，則選擇直線模型；若增長(zhǎng)的特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速

度越來(lái)越快(指數(shù)爆炸)，則選擇指數(shù)型函數(shù)模型；若增長(zhǎng)的特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值的增大速度越來(lái)

越慢，則選擇對(duì)數(shù)型函數(shù)模型；如果實(shí)際問(wèn)題中變量間的關(guān)系，不能用同一個(gè)關(guān)系式表示，則選擇分段函數(shù)模型

等.另外，常見(jiàn)的出租車(chē)計(jì)費(fèi)問(wèn)題、稅收問(wèn)題、商品銷(xiāo)售等問(wèn)題，通常用分段函數(shù)模型；面積問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題、

產(chǎn)量問(wèn)題常選擇基型函數(shù)模型，特別是二次函數(shù)模型；而對(duì)于利率、細(xì)胞分裂、物質(zhì)衰變，則常選擇指數(shù)型函

數(shù)模型.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21]某小區(qū)物業(yè)從某供應(yīng)商購(gòu)進(jìn)定量小包裝果蔬,供本小區(qū)居民掃碼自行購(gòu)買(mǎi)，每份成本20元，售

價(jià)25元，若當(dāng)天沒(méi)有售出,供應(yīng)商以每份15元回收.

（1）若某天物業(yè)購(gòu)進(jìn)21份,求當(dāng)天的利潤(rùn)V（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量”（單位：份,”eN）的函數(shù)解

析式.

（2）物業(yè)對(duì)20天該小區(qū)對(duì)這種小包裝果蔬的日需求量（單位：份）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到條形圖如圖：

①若這20天物業(yè)每天購(gòu)進(jìn)21份，求這20天的日平均利潤(rùn)；

②從日需求量為20與21的6天中任取1天、日需求量為23與24的6天中任取1天，若抽取的2天的日需

求量之和為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【解析】（1）當(dāng)〃之21時(shí)，日利潤(rùn)）=（25—20）x21=105,

當(dāng)〃<21時(shí)，日利潤(rùn)y=5〃-5（21—〃）=10〃-105,〃eN.

[10rt-105,n<21,

???y關(guān)于〃的函數(shù)解析式為yc,neN.

105,n>21,

（2）①由（1）知，日利潤(rùn)為75元的天數(shù)為1,日利潤(rùn)為85元的天數(shù)為1,日利潤(rùn)為95元的天數(shù)為2,日利潤(rùn)為

105元的天數(shù)為16,

這20天的日平均利潤(rùn)為藍(lán)x（75xl+85xl+95x2+105xl6）=101.5（元）.

②由題知，日需求量為20的天數(shù)為2,日需求量為21的天數(shù)為4,日需求量為23的天數(shù)為4,0需求量為24的

天數(shù)為2.X的所有可能取值為43,44,45,

U.P（X=43）=^^=2.P（X=44）=C；C；+f；C；=」，P（X=45）=卑=2,

X的分布列為

X434445

252

p

999

/252

.?.E(X)=43x-+44x-+45xr44.

22.解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟

(1)審題：數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的文字?jǐn)⑹鲩L(zhǎng)，數(shù)量關(guān)系分散且難以把握，因此，要認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意,

明確問(wèn)題的實(shí)際背景，收集整理數(shù)據(jù)信息，這是解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ).

(2)建模：在明確了問(wèn)題的實(shí)際背景和收集整理數(shù)據(jù)信息的基礎(chǔ)上進(jìn)行科學(xué)的抽象概括，將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)

學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，合理引入自變量，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立

函數(shù)關(guān)系式(也叫目標(biāo)函數(shù)),將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型.

(3)解模：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題(即數(shù)學(xué)模型或目標(biāo)函數(shù))予以解答，求得結(jié)果.

(4)還原：將求解數(shù)學(xué)模型所得的結(jié)果還原為實(shí)際問(wèn)題的意義，回答數(shù)學(xué)應(yīng)用題提出的問(wèn)題.

以上過(guò)程可以用示意圖表示為：

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22](上海市嘉定區(qū)高三三模)數(shù)學(xué)建模小組檢測(cè)到相距3米的A,B兩光源的強(qiáng)度分別為ah異

于A,B的線段AB上任意一點(diǎn)C處的光強(qiáng)度y等于兩光源到該處的強(qiáng)度之和，設(shè)4C=X米.

(1)假設(shè)某處的光強(qiáng)度與光源的強(qiáng)度成正比，與到光源的距離的平方成反比，比例系數(shù)為常數(shù)％伏>0)，測(cè)得

33

數(shù)據(jù)：當(dāng)x=l時(shí),,當(dāng)x=2時(shí),y=3初求兩處的光強(qiáng)度，并寫(xiě)出函數(shù)y=/(x)的解析式；

4

(2)假設(shè)某處的光強(qiáng)度與光源的強(qiáng)度成正比，與到光源的距離成反比,比例系數(shù)為常數(shù)儀4>0)，測(cè)得數(shù)據(jù)：

當(dāng)x=l時(shí),y=當(dāng)x=2時(shí),y=2女，問(wèn)何處的光強(qiáng)度最弱？并求最弱處的光強(qiáng)度.

akbk

【解析】(1)由已知，得丁==+萬(wàn)~b

x(3-x)

b33

a—―

448kk

所以《=^a=8,Z?=l,te5'=—+—_-T,XG(0,3).

a,ax(3-x)-

4

b5

Qd--=一

-mak尿”…22△,,

(2)由已知，得y=—+---，所以〈na=2,b=l

X3-“-+b=2

12

2kk

故尸上+4”(0,3).

x3-x

因?yàn)閥=4(2+^—](x+3—x)=^3+-^+2-^^>|>-(3+2V2).

3-xJ3\3-xx73

當(dāng)且僅當(dāng)上=2-S=x=6—30

3-xx

_br-

所以當(dāng)AC=(6—3丘)cm時(shí)的C處,光強(qiáng)度最弱為-(3+2V2).

跟蹤檢測(cè)

一、單選題

1.（2021廣東省肇慶市高三下學(xué)期5月模擬）某服裝店開(kāi)張第一周進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)每天都在變化，設(shè)第

-5、-

x（境（k7,xeN）天進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)為y,且），與—（⑴表示不大于/的最大整數(shù)）成正比，第1天有10人

X

進(jìn)店消費(fèi)，則第4天進(jìn)店消費(fèi)的人數(shù)為（）

A.74B.76C.78D.80

【答案】C

'5'1「5「

【解析】由題可設(shè)y=Z=伏#0）,當(dāng)x=l時(shí),y=10代入可得10=k-y=5左,解得左=2,

x1

5A54

所以>=2—，令x=4,則y=2=2—=2x39=78.故選C

廠16

2.(2021河北省秦皇島市高三二模)已知a=(」Y，6=logi!，2'+c=0,則()

⑷W5

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】a=je(0,1)8=log>《e(1,+8),因?yàn)?(x)=2,+尤在R上單調(diào)遞增，且/(-1)=-1<0,

/(O)=l〉O,所以c€(—l,O),所以c<a<。.故選C

3.（2021廣西玉林市第高三下學(xué)期高考熱身考試）函數(shù)/甕）=號(hào)二的部分圖像大致是（）

X.-X

【解析】因?yàn)閥（x）=^所以e-?O,解得XH0,即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x/0},又

ex-ex

2T+/ex+e~xex+e~x

/（-x）=*=-=—,故函數(shù)/（x）=------------為奇函數(shù)，排除B；

e-ee-ecex-e''

當(dāng)x>0時(shí),e，+",>0，e*—",>0,所以f（x）=’尸、.>0,故排除CD；故選A

ex-ex

4.（2021浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（x）=x2+；,g*）=sinx測(cè)圖象為如圖的函數(shù)可能是（）

A->=/(x)+g(x)]

B-

C.y=/(x)g(x)D尸瑞

【答案】D

【解析】對(duì)于人,丁=〃力+8(司—；=_?+5詁》,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù),與函數(shù)圖象不符,排除人；

對(duì)于B,y=〃x)—g(x)-；=x2-sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；

對(duì)于C,y=/(x)g(x)=x2+1Jsinx,則yr=2xsinx+\x2

4j

當(dāng)x=f時(shí),y'=■+j+>0,與圖象不符，排除C.故選D.

4221164)2

5.已知函數(shù)〃X)=?"‘O'若方程/(工人。有四個(gè)不同的解%，工2，毛，》4,且辦〈工2〈&〈*4，則

|log2x|,x>0

%?(％+%)+?—的取值范圍是()

毛,X4

A.(—1,1]B.C.[-1,1)D.(-1,1)

【答案】A

【解析】lOg2X=-l=>X=；.先作/(x)圖象，由圖象可得X[+無(wú)2=-2,x3x4=LX3G

乙一乙

\11

因此工3G+%,)+/一=-2/+上為單調(diào)遞減函數(shù)[2X]+1一-2xl+j--

天?加^3L2)-

6.(2021北京市順義區(qū)高三二模)把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是〃℃,空氣的溫度是

4℃.那么main后物體的溫夕（單位：℃）可由公式。=?+他求得，其中k是一個(gè)隨著物體與

空氣的接觸情況而定的常數(shù).現(xiàn)有46c的物體，放在10C的空氣中冷卻,lmin以后物體的溫度是38℃,則k的

值約為(ln3=L10,ln7al.95)()

A.0.25B.-0.25C.0.89D.-0.89

【答案】A

【解析】由題意可知：8=4+（65一4覆”,當(dāng)仇=46,4=10°/=1時(shí),。=38。,代入公式得：

k

38°=10+（46—10%-"即e-=—=2,則A:=-ln-=21n3-ln7=2.20-1.95=0.25.故選A.

''36°99

7.（2021山東省泰安肥城市高三三模）某化工廠對(duì)產(chǎn)生的廢氣進(jìn)行過(guò)濾后排放,過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含

量P（單位：mg/L）與時(shí)間（單位：h）間的關(guān)系為：尸其中兄,女是正的常數(shù).如果在前5h消

除了10%的污染物,則污染物減少50%需要花費(fèi)的時(shí)間為（）

（精確到lh,參考數(shù)據(jù)logos。；?6.579）

A.30B.31C.32D.33

【答案】D

【解析】由題意當(dāng)r=0時(shí),P=4,當(dāng)f=5時(shí),P=（1-1。％）月=（）.96，

所以0.9界=曠，解得&=一；In0.9,所以「=40.1.

當(dāng)尸=50%4時(shí)，有兄09s=5（）%4=0.5「，

即0J=05廨得'=51°go.9。-5=5x6.579?33.故選D.

8.（2021.江西省高三5月適應(yīng)性聯(lián)考）已知函數(shù)/（x）=（x+l）2-3,若函數(shù)

/\f/（x）+2-Ax,x>0

g（x）="\c,八,僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)后的取值范圍為（）

-j（-x）-2-Ax,x<0

A.(-oo,2]B.(-oo,l]C.(-oo,4]D.(-oo,e]

【答案】A

/(x)+2,x>0

【解析】令〃（》）=<，故g（x）=0=>M%）=去，作出函數(shù)的大致圖像如圖所示，觀

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