4.3對數(shù)4.3.1對數(shù)的概念【學習目標】1.能說明對數(shù)的含義,解釋對數(shù)的真數(shù)、底數(shù)的意義及其取值范圍,明確對數(shù)與指數(shù)的關系,并能根據(jù)對數(shù)的定義進行指數(shù)式與對數(shù)式的互化.2.了解常用對數(shù)與自然對數(shù)的概念與表示.3.掌握對數(shù)的性質(zhì)以及對數(shù)恒等式.◆知識點一對數(shù)的概念1.定義:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數(shù)x叫作的對數(shù),記作,其中a叫作對數(shù)的,N叫作.

2.以10為底的對數(shù)叫作,并把log10N記為.以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)稱為,并且把logeN記為.

3.根據(jù)對數(shù)的定義,可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關系:當a>0,且a≠1時,ax=N?.

【診斷分析】1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)logaN(a>0,且a≠1)是loga與N的乘積. ()(2)(2)4=16可化為log(2)16=4. ()(3)對數(shù)式log32與log23的意義一樣. ()(4)對數(shù)運算的實質(zhì)是求冪指數(shù). ()2.在對數(shù)概念中,為什么規(guī)定a>0,且a≠1呢?◆知識點二對數(shù)的性質(zhì)與對數(shù)恒等式1.對數(shù)的性質(zhì):如果a>0,且a≠1,那么(1)logaa=,語言表述為;

(2)loga1=,語言表述為;

(3)沒有對數(shù).

2.對數(shù)恒等式為(a>0且a≠1,b>0).

【診斷分析】1.判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)對任意a∈R,均有l(wèi)ogaa=1. ()(2)對任意a>0,均有l(wèi)oga1=0. ()(3)對任意b∈R,均有2log2b=b.2.你能推出對數(shù)恒等式alogaN=N(a>0且◆探究點一對數(shù)的概念例1(1)(多選題)下列說法中正確的是 ()A.零和負數(shù)沒有對數(shù)B.任何一個指數(shù)式都可化為對數(shù)式C.以10為底的對數(shù)叫作常用對數(shù)D.以e為底的對數(shù)叫作自然對數(shù)(2)使對數(shù)log2(x10)有意義的x的取值范圍是.

(3)在對數(shù)式log(x2)(4x)中,實數(shù)x的取值范圍是.

變式求下列各式中實數(shù)x的取值范圍.(1)log(2x1)(3x+2);(2)log(x2+1)[素養(yǎng)小結]對數(shù)有意義的兩個條件:①底數(shù)大于0且不等于1;②真數(shù)必須大于0.◆探究點二指數(shù)式與對數(shù)式的互化例2把下列各式中的對數(shù)式寫成指數(shù)式,指數(shù)式寫成對數(shù)式.(1)52=125;(2)8x=30;(3)3x=1;(4)log13(5)x=log610;(6)x=ln13;(7)3=lg變式(1)已知logx16=2,則x等于 ()A.4 B.±4C.256 D.2(2)(多選題)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的一組是 ()A.100=1與lg1=0B.27-13=13與logC.log39=2與912D.log55=1與51=5(3)[2023·海南海口中學高一月考]已知a>0且a≠1,若loga2=m,loga3=n,則a2m+n=.

[素養(yǎng)小結]對數(shù)式與指數(shù)式的關系:由對數(shù)的定義知,對數(shù)式與指數(shù)式是同一種數(shù)量關系的兩種不同表達形式.其關系如下表:式子名稱意義axN指數(shù)式ax=N(a>0,且a≠1)底數(shù)指數(shù)冪a的x次冪等于N對數(shù)式logaN=x(a>0,且a≠1)底數(shù)對數(shù)真數(shù)以a為底N的對數(shù)等于x◆探究點三求對數(shù)值例3求下列各式的值.(1)log232;(2)lg1000;(3)log4132;(4)log(2-1變式已知a>0,且a≠1,若a32=278,則a=,log[素養(yǎng)小結]求對數(shù)logaN(a>0,且a≠1)的值的步驟:(1)設logaN=m;(2)將logaN=m寫成指數(shù)式am=N;(3)將N寫成以a為底的指數(shù)冪ab,則m=b,即logaN=b.◆探究點四利用對數(shù)性質(zhì)或?qū)?shù)恒等式求值例4(1)求下列各式的值:①log330=;②log77=;

③lg(lg10)=;④lg(lne)=;

⑤ln(lg10)=;⑥ln(lne)=;

⑦0.7log0.78=;⑧2(2)求下列各式中x的值.①ln(log2x)=0;②log2(lgx)=1;③logx81=4;④5log⑤2lo變式(1)已知log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,則x+y=.

(2)有以下四個結論:①log2(log216)=2;②log3(log22)=0;③若1=log5M,則M=5;④若e=lnx,則x=e2.其中正確的是.(把所有正確結論的序號