初中數(shù)學(xué)競賽綜合強(qiáng)化練習(xí)8

學(xué)校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.分式絲上吐口可取的最大值為（）

X2+2X+2

A.4B.5C.6D.7

2.如圖，△ABC,△EC。均為等邊三角形，邊長分別為5cm,3cm,B,C,。三點

13

在同一條直線上，下列結(jié)論：①AO=BE；②△CFG為等邊三角形；③CM=7cm；

④CM平分NBA/。.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.若x-；+（3y+lf=0,則9+產(chǎn)的值是（）

12

OB

A.3-9-D.9-

4.下列說法正確的是（）

A.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)B.正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)

C.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)D.一個有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)

5.將關(guān)于x的一元二次方程N-px+q=O變形為x2=px-q,就可以將爐表示為關(guān)于1

的一次多項式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如/=》?N=x（px-g）=…，我們將這

種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式.根據(jù)“降次法”，B

知：x2-x-1=0,且x>0,則Xs-2x2+2x+1的值為（）

A.1-75B.1+^/5C.3-逐D.3+6

6.一只小蟲子欲從A點不重復(fù)經(jīng)過圖中的點或者線段，而最終到達(dá)目的地E,這只小

蟲子的不同走法共有（）

A.12利，B.13種C.14種D.15種

7.如圖，旬、BI、C7分別平分N84C、/ABC.ZACB,IDVBC,的周長

為18,ID=3,則AASC的面積為（）

A.18B.30C.24D.27

8.如圖，在A4?C中，ZC=45°,將AABC繞著點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點C的對應(yīng)

點C，落在C4的延長線上，得到AABC,連接A4L交8c于點O.下列結(jié)論：①

ZAC'A'=90°；②A4'=5C；③ZA'BC=ZA'AC；?AA'OC'^ABOA.其中正確

結(jié)論的個數(shù)是（）

C.3D.4

二、填空題

9.方程20-3x)4-32=0的根是

10.如圖，。是等邊三角形A8C內(nèi)一點，ZADB=90°,將△A3。繞點A旋轉(zhuǎn)得到

△ACE,延長8。交CE于點G,連接即并延長交BC于點凡則下列結(jié)論：

①△4OE是等邊三角形；②四邊形AOGE是軸對稱圖形；③AC,EF互相平分；④BF

=CF.其中正確的有.（填序號）

BD則SAA8/J_

11.如圖，在△ABC中，ZB=ZCAD,I,

ACS&CAD

A

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABC。的頂點。在第二象限，其余頂點都在第

一象限，軸，AOLAD,AO=AD.過點A作A￡_LCZ),垂足為E,

DE=4CE.反比例函數(shù)y=§(x>0)的圖象經(jīng)過點E.與邊AB交于點、F,連接0E,

OF,EF.則cosO=.若S.尸!,則點尸坐標(biāo)為.

O

13.如圖，在邊長為6的正AASC中，D,E分別在邊AC,A8上，AO=：AC,

2

AE=-AB,BD,CE相交于點凡則點A,D,尸所在圓的半徑.

14.如圖，已知在扇形AO8中，4408=120°,半徑。4=08=8.尸為弧上的動

點，過點P作PM_LQ4于點M,PNLOB于點、N,點、M,N分別在半徑。4,。3上,

連接MN.點。是APMN的外心，則點力運動的路徑長為.

15.如圖，已知點8在線段C/上，AB//CD,AD//BC,DF交AB于點E,聯(lián)結(jié)AF、

CE,SABCE：S.AEF的比值為一.

16.如圖，8。為邊長為"的菱形ABC。的對角線，440=60。，點M,N分別從點

A,B同時出發(fā).以相同的速度沿A8,8。向終點8和。運動，連接QM和AN,DM

與AN相交于點尸，連接2P,則BP的最小值為.

三、解答題

17.某商場經(jīng)營甲、乙兩種商品，甲種商品每件進(jìn)價100元，售價比進(jìn)價多40%,乙

種商品每件售價160元，售價比進(jìn)價多!.

(1)求每件甲種商品的售價和每件乙種商品的進(jìn)價；

(2)若該商場同時購進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，花去11120元，求該商場購進(jìn)乙種商

品多少件？

(3)春節(jié)期間，該商場對甲、乙兩種商品進(jìn)行如下優(yōu)惠活動：

①不超過2000元，不優(yōu)惠；

②超過2000元且不超過2500元，九折優(yōu)惠；

③超過2500元，八折優(yōu)惠.

按照上述優(yōu)惠條件，憂憂第一天只購買乙種商品一次性付款1760元，第二天只購買甲

種商品一次性付款2016元，那么這兩天憂憂在該商場購買甲、乙兩種商品一共多少

件？

18.已知矩形ABCQ的邊AB=21,BC=19,r是給定的小于1的正實數(shù).

(1)在矩形ABCD內(nèi)任意放入114個直徑為1的圓.證明：在矩形ABC。內(nèi)一定還可以

放入一個直徑為r的圓，它和這114個圓都沒有交點(也不在某個圓的內(nèi)部)；

(2)在矩形ABC。內(nèi)任意放入95個單位正方形(邊長為1的正方形).證明：在矩形

4BCD內(nèi)一定還可以放入一個直徑為r的圓，它和這95個正方形都沒有交點(也不在

某個正方形的內(nèi)部).

19.有一個〃位自然數(shù)然數(shù)…g/7能被X。整除,依次輪換個位數(shù)字得到的新數(shù)

bed…gh“有&被xo+1整除，再依次輪換個位數(shù)字得到的新數(shù)cd…g/w。能被xo+2整

除，按此規(guī)律輪換后，d…g/nibc能被xo+3整除，…，桁兒…g能被-I整除，

則稱這個〃位數(shù)abed…gh是初的一個“輪換數(shù)”.例如：60能被5整除，06能被6整

除，則稱兩位數(shù)60是5的一個“輪換數(shù)”；再如：324能被2整除，243能被3整除，

432能被4整除，則稱三位數(shù)324是2個一個“輪換數(shù)

(D若一個兩位自然數(shù)的個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，求證這個兩位自然數(shù)一定是“輪換

數(shù)”.

(2)若三位自然數(shù)次是3的一個“輪換數(shù)”，其中“=2,求這個三位自然數(shù)次.

20.如圖，己知AABC的三個頂點均在格點上，求N8AC的余弦值.

21.如圖，在AABC中，AB=AC,NB4c=90。，AHLBC,”為垂足，將△AB"繞點4

逆時針旋轉(zhuǎn)a得△ACE,連接C￡>,F為CQ的中點，連接F”，F(xiàn)E.

備用圖

(1)求證：FH=FES.FHLFE-

⑵若A8=4,e=180。，直接寫出點F經(jīng)過的路徑長.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ar2+6x+ca#0)與x軸交于點A(-2,

33

0)、B(4,0),與直線產(chǎn)-QX+3交于)，軸上的點C,直線產(chǎn)《x+3與x軸交于點

D.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)點尸是拋物線上第一象限內(nèi)的一個動點，連接PC、PD,當(dāng)小a。。的面積最大時，

求點尸的坐標(biāo)；

(3)將拋物線的對稱軸向左平移3個長度單位得到直線/,點E是直線/上一點，連接

OE、BE,若直線/上存在使sin/BEO最大的點E,請直接寫出滿足條件的點E的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案：

1.D

【解析】

【分析】

5X*2+10A+12=2,、

先把分式化為2t+2=(x+[y+1，根據(jù)完全平方公式的非負(fù)性得出(x+D+1之1

即可.

【詳解】

2

f5X+10X+125(Y+2X+2)+2?2=2

ftg.------------------=—--------------L----=5+--------------=5+----------2----.

眸d+2x+2x、2x+2?+2x+2(x+l)+l

(x+l)>0,

(x+1)+121,

5A*~+1Ox+12

最大=5+2=7.

X?+2x+2

故選：D.

【點睛】

本題考查裂項法把分式分成有理數(shù)與分式兩部分，非負(fù)數(shù)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握裂項法

把分式分成有理數(shù)與分式兩部分，非負(fù)數(shù)性質(zhì).

2.C

【解析】

【分析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得C4=CB,CD=CE,ZACB=60°,ZDCE=60°,則/ACE=6O。，利

用“SAS”可判斷△ACC絲Z\BCE,則AO=B￡,可判斷①；由等邊三角形的判定得出△CFG

是等邊三角形，可判斷②；證明求出CM長，可判斷③；證明V、F、

C、G四點共圓，由圓周角定理得出N8MC=NFGC=60。，ZCMD^ZCFG=60°,得出

NBMC=NDMC,所以CM平分N8M。，可判斷④，據(jù)此即可判定.

【詳解】

解：'：/\ABC,均為等邊三角形，

/.ZACB=ZDCE=60°,AC=BC,DC=EC,

：.ZACG=60°,

答案第1頁，共27頁

:?NBCE=/ACD,

在^BCE和△AC。中，

BC=AC

4/BCE=/ACD,

EC=DC

：.ABCE^AACD(SAS),

：.BE=ADf故①正確；

:?/CAG=/CBF,

在△。8b和4C4G中，

ZCBF=ZCAG

<BC=AC,

ZBCF=ZACG

：.△BC修△ACG(ASA),

:.FC=GC9

?/ZFCG=60°,

???△CTG為等邊三角形，故②正確；

NEMD=/MBD+NMDB=ZMAC+ZMDB=ZFCB=60°,

???NEMD=NACG,

???M、F、C、G四點共圓，

；?NBMC=NFGC=60。,ZCMD=ZCFG=60°f

：.NBMC=NDMC,

???CM平分NBMD,故④正確；

如圖：過點石作EPLBO于點P,

答案第2頁，共27頁

：.AD=BE=7f

?：/DMC=/ABD,NMDC=NBDA,

:.XDMCS[\DBA,

.CMCD

??下一罰'

?CM3

??=二，

57

故③錯誤.

故正確的有3個，

故選：C.

【點睛】

本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性

質(zhì)綜合，勾股定理，四點共圓的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的手拉手模型是解題關(guān)

鍵.

3.D

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性求出x和y的值，再根據(jù)有理數(shù)的乘方運算算出結(jié)果.

【詳解】

解：（3y+l）2>0,且T+（3y+l『=0,

：.x--=0,3y+l=0,即x=Ly=~-,

333

貝ljx2+y2

故選：D.

【點睛】

答案第3頁，共27頁

本題考查絕對值和平方的非負(fù)性，代數(shù)式的值，有理數(shù)的乘方運算，解題的關(guān)鍵是掌握絕

對值和平方的非負(fù)性.

4.C

【解析】

【分析】

根據(jù)有理數(shù)的含義和分類方法，逐一判斷即可.

【詳解】

解：A、?.?正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0統(tǒng)稱有理數(shù)，

，選項A不正確，不符合題意；

B、?.?正整數(shù)與負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱為整數(shù)，

二選項B不正確，不符合題意；

C、；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)

，選項C正確，符合題意；

D、?.?一個有理數(shù)不是正數(shù)，可能是負(fù)數(shù)或0,

，選項D不正確，不符合題意.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了有理數(shù)的含義和分類方法，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握有理數(shù)的分類：①有

理數(shù)可以分為正有理數(shù)，0,負(fù)有理數(shù)；正有理數(shù)可以分為正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)，負(fù)有理數(shù)分為

負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)；②有理數(shù)可以分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)；整數(shù)分為正整數(shù)，0負(fù)整數(shù)；分?jǐn)?shù)分為

正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)；按兩種分類一一判斷即可.

5.B

【解析】

【分析】

由題可知N=x+1,將所求式子變形為x(x+1)-2(x+1)+2x+l再求解即可.

【詳解】

解："."x2-x-\=0,

.'.x3-2x2+2x+1

=x(x+1)-2(x+1)+2x+\

答案第4頁，共27頁

=x2+x-2x-2+2x4-l

=x2+x-1

=(x+1)-1

=2x,

Vx2-x-1=0,

/.a=l,Z?=-l,c=-l,

/.A=/;2—4ac=l-4xlx(-l)=5,

解得x=L幽或工=匕立，

22

Vx>0,

?、一1+不

??A~~■f

2

.'.x3-2A2+2X+1=1+^,

故選：B.

【點睛】

本題考查高次方程的解，理解題中所給降次的方法，靈活降次，準(zhǔn)確求一元二次方程的根

是解題的關(guān)鍵.

6.C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意按順序列舉即可解題.

【詳解】

解：這只小蟲子的不同走法有：ABCDE.ABCDPE、ABCDPFE.ABPDE、ABPE,

ABPFE、APBCDE.APDE、APE、APFE、AGFPBCDE、AGFPDE、AGFPE、AGFE,共

14種，

故選：C.

【點睛】

本題考查排列與組合問題，是常見考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

7.D

【解析】

答案第5頁，共27頁

【分析】

過/點作于點E,"_LAC于點凡如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到花=/尸=〃”3,

然后根據(jù)三角形面積公式得到=SZAB+SZBC+SZAC，據(jù)此即可求得.

【詳解】

解：過/點作48于點E,/FLAC于點F,如圖，

,：AI,Bl,C7分別平分NBAC,ZABC,NACB,

：.1E=IF=1D=3,

,?S&NBC~SNAB+S^IBC+*^AMC

=—xASx3+—xBCx3+—xACx3

222

3

=-(AB+BC+AC)

=-xl8

2

=27

故選：D.

【點睛】

本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.也考查了三角形

的面積.

8.C

【解析】

【分析】

利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)推出NAC'A'=90。，即可判斷①的正確性；通過點

A，、B、A、C'四點共圓可以判斷出②③④的正確性.

【詳解】

答案第6頁，共27頁

解：由題意可得：BC=BC,ZC=ZA'C'B

'：ZC=45°

二ZBC'A=45°

'：ZACA'=ZAC'B+ZBC'A

：.ZAC'A=90°,故①正確；

VZBC'A=ZC=45°

：./C5c=90°

ZABC=ZA'BC

ZA'8A=90°

，ZABA+NAC'A=180°,NC'AB+ZCA'B=180°

...點4、B、A、C'四點共圓

,/ZACA:=90°,ABAC豐90°

???AA是直徑，8C'不是直徑

AA'A^BC,故②錯誤；

?.?點A、B、A、C'四點共圓

...ZA!BC=ZAAC,故③正確；

?.?點4、B、A、C'四點共圓

ZAA'C'=ZABC',ZAC'B=ZA!AB

...△A'OC's^BOA,故④正確；

正確結(jié)論的個數(shù)是3個

故選C.

【點睛】

本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理的推論以及相似的判

定等知識點，靈活運用這些知識點是解題的關(guān)鍵.

9.Xl=l,X2=--

3

【解析】

【分析】

移項整理得(1-3x)4=16,然后兩邊同時開四次方得x-1=±2,由此即可解決問題.

【詳解】

答案第7頁，共27頁

解：：2(1-3X)4-32=0,

(1-3x)4=16,

1-3x=±2,

._1

??Xl—\yX2——

故答案為X/=l,X2=-；.

【點睛】

本題考查高次方程的解法，解題的關(guān)鍵是降次，這里通過開四次方把四次降為了一次.

10.①②④

【解析】

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得到AD=4E,ZBAD=ZCAE,得證/D4E=60。，判斷結(jié)論①；連接AG,

利用，乙判斷結(jié)論②；連接A凡證明四邊形AFCE一定不是平行四邊形；利用四點共圓,

證明乙4尸8=90。，根據(jù)三線合一，得BF=CF.

【詳解】

AABD繞點A旋轉(zhuǎn)得到AACE,

：.AD=AE,ZBAD=ZCAE,ZADB=ZAEC=9Q°,

，/8AD+/AMC=NC4E+Na4c即NBAC=NZME=60°,

...△AOE是等邊三角形，

故結(jié)論①正確；

如圖，連接AG,???△ADE是等邊三角形，

：.AD=AE,

'：ZADG=ZAEG=90°,

.?.△AOG也"EG,

：.GD=GE,/DAG=/EAG,

：MOE是等邊三角形，

直線AG垂直平分DE,

...四邊形AOGE是一個軸對稱圖形，

故結(jié)論②正確；

連接AF,

答案第8頁，共27頁

,/ZDAC+ZEAC=60°=ZACB,

：.NEAC=ACB,

與FC一定不平行，

，四邊形AFCE一定不是平行四邊形,

：.AC,EF一定不互相平分，

故結(jié)論③錯誤；

???△AOE是等邊三角形，ZADG=90°,

：.ZEDG=ZBDF=30°,

：.ZADF=\20°,

：.尸+/ABC=180°,

...A,B,F,。四點共圓，

,ZADG=ZAFB=90°,

根據(jù)三線合一，得BF=CF,

故結(jié)論④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，定理，線段的垂直平分線判定，四點共圓，等腰三角形的三線

合一，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

11.3

【解析】

【分析】

由題中條件可得△AC￡)SZ\BCA,得出利用等式的性質(zhì)進(jìn)行恒等變式，可得

與+空?空-1=0,設(shè)?￡=工，建立方程，解方程可求得會=:，再根據(jù)相似三角形

ACACACACAC2

答案第9頁，共27頁

13

的性質(zhì)，可求得入“8=^59弘，可得%據(jù)此即可求得?

【詳解】

解：'：ZB=ZCAD,NC=NC,

，△ACZJsaBCA,

.AC_DC

即A^DC-BC,

"~BC~7^C

2

得3=（8。+0clDC=BD-DC+DC,

BDDCDC2,

可得

AC2+h

DC'BDDC,

得——-+--------1=0n

AC2ACAC

叮DC

設(shè)K'

BD3

*.*=—f

AC2

3

/.X2H—X—1=0，

2

解得斗=g，々=一2（舍去）,

.DJI

AC2

,,S“DC_TS&ABCf

q二S^ABC

°AABD_4_____=3

SACAOLS

40A4BC

故答案為：3.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等式的恒等變式，利用方程求解，解題的關(guān)鍵是利

用等式的性質(zhì)進(jìn)行恒等變式.

I274

-I45

【解析】

答案第10頁，共27頁

【分析】

延長E4交x軸于點G,過點尸作FH_Lx軸于點H,證明△ZME絲△AOG(A4S),得到

DE=AG,AE=OG.根據(jù)四邊形A8CO是菱形，DE=4CE,得到AO=CO=*DE,即

4

4

可求出cosD=g；設(shè)?！?4a,則AO=Q4=5a,根據(jù)勾股定理求出OG=A￡=3a,求出

點E(3a,7a),即可求出％=21/,證出四邊形AG”尸為矩形，得到〃尸=AG=4a,求出點

F，根據(jù)SMEF=S4OEG+S梯形EGHF-SMFH,S&EOF=—,CZ>0,即可求出。的

值，則可以得出點尸的坐標(biāo).

【詳解】

解：延長E4交九軸于點G,過點F作FHLx軸于點”，如圖所示

???/W〃％軸，AE1CD,AB//CD

：.AG_Lx軸

*.*AO±AD

：.ADAE+ZOAG=90°

*：AE1CD

：.ZZM￡+ZD=90°

:.ZD=ZOAG

在△以￡和aAOG中

NDE4=NAGO=90。

-；\ZD=ZOAG

AD=OA

：.Z\DAE^^AOG（445）

ADE=AG,AE=OG

丁四邊形ABC。是菱形，DE=4CE

：.AD=CD=-DE

4

答案第11頁，共27頁

/.cosD=—

5

設(shè)OE=4a,則40=04=5。

?*-OG=AE=y]AD12-*DE2=3a

，EG=AE+AG=7a

/.E(3a,la)

?.?反比例函數(shù)y=K(x>o)的圖象經(jīng)過點E

X

.".k=2\a2

VAG1GH,FHA,GH,AFYAG,

，四邊形AGH尸為矩形

?.HF=AG=4a

?.?點尸在反比例函數(shù)y=&(x>0)的圖象上

X

.21a221

??x=---=—a

4a4

??哈回

AOH=—a,FH=4a

4

9

:.GH=0H-0G=-a

4

?*S^OEF=S^OEG+S梯形房〃尸-S^oFH，^EOF=

O

???-xOGxEG+-(EG+FH)GH--OHxHF=—

2228

1?21G/\91i2U

—x21a~+—x(la+4a}x—a——x2la~=一

22'7428

解得：?2=l

Va>0

a=—

4

故答案為：~;

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)與四邊形的綜合，全等三角形的判定和性質(zhì)，求角的三角函數(shù)值,

答案第12頁，共27頁

勾股定理，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識點，

根據(jù)點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度和利用線段長度表示出相應(yīng)點的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)

鍵.

13.2

【解析】

【分析】

根據(jù)SAS證推出尸+NAEF=180。，可得力、E、尸、。四點共圓，取

AE的中點G,連接GD,證AADG是等邊三角形，推出G是圓心，求出半徑即可.

【詳解】

解：在正AABC中，

AE=-AB,

3

，BE=-AB,

3

又；AD=^AC,

J.BE^AD,

又YAB=BC,NBAD=NCBE,

：.△8AQ絲△CBE(SAS),

，NADB=/BEC,

；NBEC+NAEC=180。，

二ZADB+ZAEC=\SQ0,

.,.A、E、F、。四點共圓，

取AE的中點G,連接GO,

答案第13頁，共27頁

AG=GE=—x6=2,

3

X*-'AD=—AC=—x6=2,ZDAE=60°,

33

.?.△AOG是等邊三角形，

：.GD=AG=AD=2,

即GA=GE=GD=2,

...點G是A、E、F、。四點所在圓的圓心，且半徑是2,

故答案為：2

【點睛】

本題主要考查四點共圓和等邊三角形的知識，熟練掌握四點共圓的判定和等邊三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

.,4萬

14.—.

3

【解析】

【分析】

根據(jù)點P在弧AB上運動，其路徑也是一段弧，由題意可得，點P運動路徑所對的圓心角是

60°,連接PO,取PO的中點H,連接AW,NH,根據(jù)在RtAPMO和RtAPNO中，點”是

斜邊P。的中點，可證得點P,M,0,N四點均在同一個圓，即?！ㄉ希^點”作

HKLMN,垂足為點K,由垂徑定理，ZMHK=60°,MH=4,可求得

MN=2MK=46,再根據(jù)點〃和點。重合，得到點。運動路徑所對的圓心角是60。，根

據(jù)弧長公式可求解.

【詳解】

解：點尸在弧A8上運動，其路徑也是一段弧，由題意可知，

當(dāng)點M與點。重合時，ZPMB=30。,

當(dāng)點N與點。重合時，ZPNA=30°,

點尸運動路徑所對的圓心角是120。-30。-30。=60。，

如圖，連接P。，取PO的中點“，連接NH,

答案第14頁，共27頁

在RtAPMO和RtAPNO中，點H是斜邊PO的中點，

:,MH=NH=PH=0H=-PO=4,

2

根據(jù)圓的定義可知，點尸，M,0,N四點均在同一個圓，即上,

又5ON=120°,ZPMO=ZPNO=90°,

NMPN=60°,ZMHN=2ZMPN=120°,

過點H作HKLMN,垂足為點K,

由垂徑定理得，MK=KN=；MN,

.?.在RtAHMK中，ZMHK=60°,MH=4,則MK=2后，

:.MN=2MK=4yl3,

?.?”是APMN的外接圓的圓心，

即：點H和點。重合，如圖2

:.OD=PD,

.?.點。是以點。為圓心g0P=4為半徑，

點P運動路徑所對的圓心角是120°-30°-30°=60°,

點。運動路徑所對的圓心角是120。-30。-30。=60。，

點D運動的路徑長為第尹=等.

1o03

47r

故答案是：.

【點睛】

本題考查了直徑所對的圓周角是直角，弧長公式，三角形的外心的性質(zhì)，理解題意熟悉公

式是解題的關(guān)鍵.

答案第15頁，共27頁

15.1

【解析】

【分析】

連接BD,利用平行線間距離相等得到同底等高的三角形面積相等即可解答.

【詳解】

解：連接3D,如下圖所示：

：.SAAFD=SAABD,

：.SAAFD-SAAED=SAABD-SAAED,

即SAAEF=SABED,

,:AB〃CD,

:.SABED=SABEC,

:.SAAEF=SABEC,

:.SABCE：SAAEF=1.

故答案為：1.

【點睛】

本題以平行為背景考查了同底等高的三角形面積相等，找到要求的三角形有關(guān)的同（等）底

或同（等）高是解題的關(guān)鍵.

16.旦

3

【解析】

【分析】

如圖，延長CD使CO=r）G,AAOG是等邊三角形，證明AA￡>M名ABAN（S4S）,有

ZADM=ZBAN,ZDAP+ZBAN=60°,ZGAD+ZDAP+ZGDA+ZADP=180°,

AD

A、P、D、G四點共圓，圓的半徑為二GB=2ABcos30°,當(dāng)G、P、8三點共線即

cos30°

答案第16頁，共27頁

GP為圓的直徑時，BP最短,對BP=GB-GP,計算求解即可.

【詳解】

解：如圖，延長8使CO=QG,

:四邊形ABC。是菱形，的0=60。

.\ZADG=60°fAD=GD

???△ADG是等邊三角形

在△4ZW和△BAN中

AD=BA

?：ZDAM=ZABN=60°

AM=BN

.?.&ADM、BAN〈SAS)

：.ZADM=/BAN

*.?ZZMP+Z^W=60°

:.Z.GAD+ADAP+AGDA+ZADP=180°

AD

???A、P、D、G四點共圓，圓的半徑為2二扃

cos3003

GB=2ABcos30°=^a

當(dāng)G、P、3三點共線即G尸為圓的直徑時，BP最短,

ABP=GB-GP=V3a-2x—=—

33

故答案為：叵.

3

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，四點共

答案第17頁，共27頁

圓，余弦等知識.解題的關(guān)鍵在于證明四點共圓.

17.(1)每件甲種商品的售價是140元，乙種商品的進(jìn)價是128元

(2)該商場購進(jìn)乙種商品40件

(3)這兩天憂憂在該商場購買甲乙兩種商品一共27或29件

【解析】

【分析】

(1)由甲的售價比進(jìn)價多40%,乙的售價比進(jìn)價多!，分別計算甲的售價，乙的進(jìn)價即

可解題；

(2)設(shè)乙種商品x件，根據(jù)購進(jìn)甲、乙兩種商品共100件，花去11120元，列方程、解方

程即可解題；

(3)分兩種情況討論.

(1)

解：甲售價：100x(1+40%)=140(元)

乙進(jìn)價：160+(1+：)=128(元)

答：每件甲種商品的售價是140元，乙種商品的進(jìn)價是128元.

⑵

設(shè)乙種商品x件，

100x(100-x)+128x=11120

x=40

答：該商場購進(jìn)乙種商品40件.

(3)

第一天：17604-160=11(件)

第二天：2016+90%+140=16(件)或2016+80%+140=18(件)

11+16=27(件)或11+18=29(件)

答：這兩天憂憂在該商場購買甲乙兩種商品一共27或29件.

【點睛】

本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

18.(1)證明見解析;

答案第18頁，共27頁

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）將矩形ABCD的每條邊向內(nèi)縮進(jìn)g得到矩形A4GR,再把直徑為1的小圓縮小為一

點。進(jìn)行考慮，將原直徑為1的圓擴(kuò)大，即以原圓心為圓心，直徑為2作114個新的圓，

計算可得114個新圓的面積和小于矩形的面積，即可證明在矩形A8C。內(nèi)一定還

可以放入一個直徑為r的圓，它和這114個圓都沒有交點（也不在某個圓的內(nèi)部）；

（2）將矩形ABCO的每條邊向內(nèi)縮進(jìn)，得到矩形A81G再把直徑為1的小圓縮小為一

點。進(jìn)行考慮，把每個小正方形加框，即在小正方形的每條邊的外部加一個長和寬分別為

1和3的矩形，4個角上加上一個直徑為1的四分之一圓弧，計算此時95個加框圖形的面

積總和小于矩形的面積，即可證明在矩形A8CQ內(nèi)一定還可以放入一個直徑為r

的圓，它和這95個正方形都沒有交點（也不在某個正方形的內(nèi)部）.

（I）

解：將矩形ABC。的每條邊向內(nèi)縮進(jìn)得到一個長和寬分別為20和18的矩形ABC2

（如圖1所示），則矩形ABCQ的面積為20x18=360.對矩形ABCD內(nèi)任意放入的114個

直徑為1的圓，分別以這114個圓的圓心為圓心，直徑為2作114個新的圓（如圖2所

示）.因為這114個新圓的面積和等于一114x萬xl2=ii4）＜114x3.15=359.1小于矩形

的面積.

所以在矩形AgGR內(nèi)，一定存在一點O,它在這114個新的圓的外部.因為點。到矩形

每條邊的距離都大于且點。到每個舊圓圓心的距離都大于1,所以以點。為圓

心，直徑為r的圓一定在矩形A8C。內(nèi)，且與矩形內(nèi)原有的114個直徑為1的個圓都沒有

交點，也不在某個圓的內(nèi)部.

所以在矩形ABCD內(nèi)一定還可以放入一個直徑為廠的圓，它和這114個圓都沒有交點（也不

在某個圓的內(nèi)部）.

答案第19頁，共27頁

DC

圖1圖2

（2）

將矩形ABC。的每條邊向內(nèi)縮進(jìn)得到一個長和寬分別為20和18的矩形則

矩形A4GR的面積為20x18=360.對矩形A8CD內(nèi)任意放入的95個單位正方形，將這

95個單位小正方形的每一個都加一個框：在小正方形的每條邊的外部加一個長和寬分別為

1和!的矩形，4個角上加上一個直徑為1的四分之一圓?。ㄈ鐖D3所示）.

圖3

因為這95個加框的圖形的面積和等于95（3+?）＜95（3+彳）=359.8125小于矩形

AQiGR的面積.所以在矩形內(nèi)，一定存在一點0,它在這95個加框的圖形的外

部.因為點0到矩形ABCD每條邊的距離都大于且點。到每個單位正方形的邊上的點

的距離都大于所以以點。為圓心，直徑為r的圓一定在矩形ABCQ內(nèi)，且與矩形內(nèi)原

有的95個單位正方形都沒有交點，也不在某個正方形的內(nèi)部.

所以在矩形A8CD內(nèi)一定還可以放入一個直徑為，?的圓，它和這95個正方形都沒有交點

（也不在某個正方形的內(nèi)部）.

【點睛】

本題主要考查了用創(chuàng)新性數(shù)學(xué)思維解決實際問題，解題關(guān)鍵是使用“縮”、"放”的構(gòu)思作為

證題技巧.

19.（1）見解析；

（2）這個三位自然數(shù)為201,207,255

答案第20頁，共27頁

【解析】

【分析】

(1)先設(shè)出兩位自然數(shù)的十位數(shù)字，表示出這個兩位自然數(shù)，和輪換兩位自然數(shù)即可；

(2)先表示出三位自然數(shù)和輪換三位自然數(shù)，再根據(jù)能被5整除，得出b的可能值，進(jìn)而

用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可.

(1)

設(shè)兩位自然數(shù)的十位數(shù)字為x,則個位數(shù)字為2x,

.,?這個兩位自然數(shù)是10X+2A=12X,

???這個兩位自然數(shù)是12x能被6整除，

???依次輪換個位數(shù)字得到的兩位自然數(shù)為10X2A+A=2U

.??輪換個位數(shù)字得到的兩位自然數(shù)為21x能被7整除，

???一個兩位自然數(shù)的個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍，這個兩位自然數(shù)一定是“輪換數(shù)

⑵

?..三位自然數(shù)正是3的一個“輪換數(shù)”，且”=2,

.?.100a+10h+c能被3整除，

即：lOb+c+200能被3整除，

第一次輪換得到的三位自然數(shù)是100ft+10c+a能被4整除，

即1006+10C+2能被4整除，

第二次輪換得到的三位自然數(shù)是100c+10a+Z,能被5整除，

即lOOc+6+20能被5整除，

V100C+&+20能被5整除，

.?北+20的個位數(shù)字不是0,便是5,

/.b=0或b-5,

當(dāng)6=0時，

,.T00匕+10c+2能被4整除，

，10c+2能被4整除，

；.c只能是1,3,5,7,9；

,這個三位自然數(shù)可能是為201,203,205,207,209,

而203,205,209不能被3整除,

:.這個三位自然數(shù)為201,207,

答案第21頁，共27頁

當(dāng)匕=5時，；100匕+10c+2能被4整除，

/.lOc+502能被4整除，

，c只能是1,3,5,7,9；

；.這個三位自然數(shù)可能是為251,253,255,257,259,

而251,253,257,259不能被3整除,

,這個三位自然數(shù)為255,

即這個三位自然數(shù)為201,207,255

【點睛】

此題是數(shù)的整除性，主要考查了3的倍數(shù)，4的倍數(shù)，5的倍數(shù)的特點，解本題的關(guān)鍵是用

5的倍數(shù)求出6的值.

20.迤

5

【解析】

【分析】

先作輔助線BOJ_AC于點AE_LCB交的延長線于點E,然后根據(jù)等積法即可求得

8。的長，即可求得相應(yīng)的角的三角函數(shù)值.

【詳解】

解：作8OL4C于點。，作交CB的延長線于點E,

BC=2,AE=39AC=36,#+32，

,2,3_3&BD

??,—-------------,

22

解得，BD=C，

?\AD=\JAB2-BD2=J10-2=2>/2，

答案第22頁，共27頁

_AD_26._2小

cosZBAC

~AB~--F

【點睛】

本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵作8O_LAC于點D,作4E_LCB交CB的延長線

于點E,構(gòu)造直角三角形，根據(jù)必ABC兩種表示法，求出8。的長度，進(jìn)而求解.

21.⑴見解析；

⑵2萬

【解析】

【分析】

(1)連接AF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NB=NACB=45。，BH=CH,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的的性質(zhì)

得到/AE￡>+/AFD=180。，ZAHC+ZAFC=1SO°,從而證得A、E、D、尸四點共圓，A、

H、C、F四點共圓，求出/AFE=NAOE=45°,ZAFH^ZACH=45°,得到=

ZAFE+ZAFH^90°,證得FHUE,再證明△EAFg/X/MF,得到HF=FE；

(2)取線段AC的中點。，連接。尸、OH,根據(jù)三角形中位線的定義得到。

AB=2,OF//AD,OH//AB,從而得到在△ABH繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，點F從點H開

始，在以點。為圓心，2為半徑的圓上移動，當(dāng)a=180。時，B、A、。三點共線，確定H、

0、尸三點共線，根據(jù)公式求出點尸經(jīng)過的路徑長.

(1)

證明：連接AF,

'：AB=AC,ZBAC=90°,AHVBC,

：.ZB=ZACB=45°,BH=CH,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，AD=AB=AC,AE=AH,ZAED^ZAHB=90°,NADE=NB=45°,NEAD

=ZBAH=45°,

'：CF=DF,AC=AD,

：.AFLCD,NDAF=NCAF,

答案第23頁，共27頁

，ZAFD=ZAFC=90°,

ZAED=ZAHC^90°,

：.ZAED+ZAFD=180°,80°,

；.A、E、D、F四點共圓，A、H、C、F四點共圓,

ZAFE=ZADE=45°,ZAFH=ZACH=45°,

NEFH=ZAFE+ZAFH=90°,

：.FH±FE,

"：NEAD=NHAC=45°,ZDAF=ZCAF,

：.ZEAD+ZDAF=ZHAC+ZCAF,

：.NEAF=NHAF,

：./\EAF^/\HAF,

:.HF=FE；

⑵

取線段AC的中點O,連接OF、OH,

???點F為CO中點，點”為BC中點，點。為AC中點，

二0「為△ACC的中位線，OH為AABC的中位線，

：.OF=^AD=^AB=2,OF//AD,OH//AB,

在△AB”繞點A逆時針旋