初中數(shù)學(xué)九年級上冊垂直于弦的直徑練習(xí)題含答案

學(xué)校：班級：姓名：考號：

1.如圖，直線與兩個同心圓分別交于圖示的各點，則正確的是（）

A.MP>RNB.MP=RN

C.MP<RND.MP與RN的大小關(guān)系不定

2.如圖，AB是。。的直徑，弦C。垂直平分0B,則NB4C等于（）

C.300D.45°

3.如圖，4B是。。的直徑，弦CD14B于點E,/.CDB=30°,。。的半徑為5c?n,則

圓心。到弦CD的距離為（）

A.|cmB.3cmC.3V3c7nD.6cm

4.已知O。的半徑為5cm,圓內(nèi)兩平行弦力B、CD的長分別為6cm、8cm,則弦AB、

CO間的距離為（）

A.1cmB.7cmC.7cm或lcmD.4cm或3cm

5.已知：如圖，弦4B的垂直平分線交。0于點C、D,則下列說法中不正確的是（）

A.弦CD一定是O。的直徑

B.點。到4C、BC的距離相等

C."與4ABD互余

DZA與NCBD互補

6.如圖，在。。中，已知半徑為13,弦AB的長為24,那么圓心。到的距離為（）

A.lB.3C.5D.1O

7.如圖是"明清影視城”的一扇圓弧形門，小紅到影視城游玩，他了解到這扇門的相關(guān)

數(shù)據(jù)：這扇圓弧形門所在的圓與水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，8。=1.5米，

且4B、CD與水平地面都是垂直的.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，請你幫小紅計算出這扇圓弧形門的

最高點離地面的距離是（）

A.2米B.2.5米C24米D21米

8.在。。中，r=13,弦4B=24,則圓心。到力B的距離為（）

A.5B.1OC.12D.13

9.下列命題中，真命題的個數(shù)是（）

①平分弦的直徑垂直于弦；②圓內(nèi)接平行四邊形必為矩形；③90。的圓周角所對的弦

是直徑；④任意三個點確定一個圓；⑤同弧所對的圓周角相等.

A.5B.4C.3D.2

10.如圖，0C是。。直徑，弦48,CD于心連接BC,DB,則下列結(jié)論錯誤的是（）

試卷第2頁，總34頁

D

K.AD=BDB.AF=BFC.OF=CFD.NOBC=90°

11.點M是半徑為5的。。內(nèi)一點，且。M=3,在過M所有。。的弦中，弦長為整數(shù)的

弦的條數(shù)為.

12.如圖，。。的弦4B垂直于CD,E為垂足，AE=3,BE=7,且4B=CD,則圓心

。到CD的距離是_______.

13.若圓的半徑為3,圓中一條弦為2遙，則此弦中點到弦所對劣弧的中點的距離為

14.圓外一點到圓的最大距離是18cm,到圓的最小距離是5cm,則圓的半徑是

15.如圖，點P是半徑為5的。。內(nèi)一點，且弦ZB1OP,0P=3,則弦4B長是

16.如圖，在。。中，4B是弦，乙4OB=120。，0A=5cm,那么圓心。到4B的距離是

17.如圖，已知：點M為。。內(nèi)一點，且過點M最長的弦為10cm,最短的弦為6cm,則

OM的長為

18.如圖所示，0P表示的是一個摩天輪，最高處4到地面的距離是80.5米，最低處B

到地面的距離是0.5米.小紅由B處登上摩天輪，乘坐一周需要12分鐘.乘坐一周的過

程中，小紅距離地面的高度是60.5米的時刻是第分

19.如圖，工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的寬度，假設(shè)鋼珠的直徑是12毫米，測

得鋼珠頂端離零件表面的距離為9毫米，則這個小孔的寬度AB是毫米。

20.某隧道的截面是一個半徑為3.6米的半圓形，一輛高為3.1米、寬為3.8米的卡車能通

過該隧道嗎？（填"能"或"不能"）

21.已知：如圖，。。的直徑PQ分別交弦4B,CD于點M,N,AM=BM,AB//CD.

試卷第4頁，總34頁

求證：DN=CN.0

0

22.已知。。的半徑是5cm.弦48=8cm.

(1)求圓心到4B的距離；

(2)弦力B兩端在圓上滑動，且保持4B=8cm,4B的中點在運動過程中構(gòu)成什么圖形,

請說明理由.

23.如圖，在以點0為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦力B交小圓于C,。兩點，若力B=

10cm,CD=6cm,求4c的長.

24.如圖是團風(fēng)某座石拱橋的設(shè)計圖,設(shè)計數(shù)據(jù)如圖所示，橋拱是圓弧形，則橋拱的

i----------------------------------

------A

半徑為？卜-------24m—

25.如圖，在。。中，AB.CO是兩條弦，0EJ.4B,OF1CD,垂足分別為E、

A

F.

(1)如果N40B=NC0D,那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？

(2)如果。E=OF,那么檢與前的大小有什么關(guān)系？4B與CD的大小有什么關(guān)系？

為什么？NAOB與NCOD呢？

26.如圖，有一座石拱橋的橋拱是以。為圓心，。4為半徑的一段圓弧.

(1)請你確定弧4B的中點；(要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明)

(2)如果已知石拱橋的橋拱的跨度(即弧所對的弦長)為24米，拱高(即弧的中點到弦

的距離)為8米，求橋拱所在圓的半徑.

27.如圖所示，同心圓中，大圓的弦力B交小圓于C,。兩點，試證明：AC=

BD.

28.如圖所示，在。。中，CO是直徑，AB是弦，48_1。0于"，CD=15cm,

OM-.OC=3:5,求弦AB的長.

29.如圖，是一張盾構(gòu)隧道斷面結(jié)構(gòu)圖.隧道內(nèi)部為以。為圓心，力B為直徑的圓.隧

試卷第6頁，總34頁

道內(nèi)部共分為三層，上層為排煙道，中間為行車隧道，下層為服務(wù)層.點4到頂棚的距

離為1.6m,頂棚到路面的距離是6.4m,點B到路面的距離為4.0/n.請求出路面CD的寬

度.（精確到0.1m）

30.如圖：兩個同心圓，其中大圓的弦4D交小圓于C、D兩點那么：AB與CD相等嗎？

為什么？

31.一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑。力=1m，水面寬力B=1.2TH,某

天下雨后，水管水面上升了0.2m,求此時排水管水面的寬CD.

32.。。中，力B是直徑，弦CD1.AB,垂足為點E,如果CD=8,E是。B的中點，求

AB的長.

33.如圖，AB,AC是。。的兩條弦，且AB=AC.求證：AO1BC.

34.如圖，是破鐵輪的輪廓，求作它的圓心.（保留作圖痕跡，不寫畫法）

35.如圖所示的是一個殘缺的圓形工件，請利用圓規(guī)作圖，將殘缺部分補齊.（要求寫

出作法，并保留作圖痕跡）

36.直徑為80cni的油桶水平放置于地面上，截面圖如圖所示，油面MN與直徑48交于

點C,且最大深度BC為直徑的;時.

4

（1）求油面的寬度MN（結(jié)果保留根號）;

（2）若油桶的高為120cm,求油桶中存貯油的體積（結(jié)果保留根號）.

37.如圖，兩個同心圓，作一直線交大圓于力、B,交小圓于C、D,AC與BO有何關(guān)系？

請說明理由.

38.某居民區(qū)一處圓形地下水管道破裂，修理工人準(zhǔn)備更換一段新管道，經(jīng)測量得到

如圖所示的數(shù)據(jù)，修理工人應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑多大的管道？

39.如圖，已知為。。的直徑，BC=2AD,DE1AB,求證：BC=

試卷第8頁，總34頁

40.如圖所示，有一座拱橋圓弧形，它的跨度4B為60米，拱高PM為18米，當(dāng)洪水泛

濫到跨度只有30米時，就要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PN=4米時，是

否采取緊急措施？

參考答案與試題解析

初中數(shù)學(xué)九年級上冊垂直于弦的直徑練習(xí)題含答案

一、選擇題（本題共計10小題，每題3分，共計30分）

1.

【答案】

B

【考點】

垂徑定理

【解析】

首先過圓心作MN的垂線，根據(jù)垂徑定理即可判斷.

【解答】

解：過。作OQ1MN于點Q

MQ=NQ,PQ=RQ,

：.MP=RN.

故選8.'-----------

2.

【答案】

C

【考點】

垂徑定理

【解析】

連接。C,在直角AOCE中,即可求得ZCOE■的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求

解.

【解答】

解：連接OC,

OE=\OB=\OC,

：./.OCD=30°,

"OB=60°,

OA=OC,

：.ZB"=30°.

w

故選C.、------石

3.

試卷第10頁，總34頁

【答案】

A

【考點】

垂徑定理

【解析】

根據(jù)垂徑定理知圓心。到弦CD的距離為0E；由圓周角定理知/COB=2乙CDB=60°,

已知半徑。C的長，即可在RtAOCE中求0E的長度.

【解答】

解：連接CB,如圖：

???AB是。。的直徑，弦CO_L4B于點E,

圓心。到弦CC的距離為OE.

V/-COB=2ACDB（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），

又乙CDB=30°,

/.COB=60",

4OCE=30°,

在Rt△OCE中，

1

OC=5cm,OE=-0C,

2

OE=-cm.

2

故選4

4.

【答案】

C

【考點】

垂徑定理

【解析】

此題要分情況討論：①兩條線段在圓心的同側(cè)，②兩條線段在圓心的異側(cè)，然后結(jié)合

圖分別求出兩條線段之間的距離即可.

【解答】

解：①兩條線段在圓心的同側(cè)，如圖1,

先過。作OFICC,垂足是F,交AB于E,連接。A,OC,

???AB//CD,OF1CD,

OFLAB,

.e.Z.OEA—90°,AE--AB=4cm,

2

在R￡Zk40E中，AE=4cm,OA—5cm9

OE=V52-42=3(cm),

同理可求。r=4cm,

EF=OF—OE=1cm；

②兩條線段在圓心的異側(cè)，如圖2,

AB=8cm,CD=6cm,S.AB//CD,

先過。作0尸IC。，垂足是F,反向延長交AB于凡連接04OC,

AB//CD,OF工CD,

：.OF1AB,

/.Z.OEA=90°,AE=-AB=4cm,

2

在中，AE=4cm,071=5cm9

OE=V52-42=3cm,

同理可求OF=4cm,

EF=OE+OF=7cm.

故選C.

5.

【答案】

D

【考點】

垂徑定理

【解析】

根據(jù)垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)對各個

選項進(jìn)行判斷即可.

【解答】

解：:CD是弦4B的垂直平分線，

弦CD一定是。。的直徑，4正確；

點0到4C、8C的距離相等，B正確；

VCO是。。的直徑，

/.Z.CBD=90°,即NABC+448。=90°,又4aBe=

乙4與乙48?；ビ?，C正確；

*/4、C、B、。四點共圓，

乙。40與NC8D互補，。錯誤，

故選：D.

6.

【答案】

C

試卷第12頁，總34頁

【考點】

垂徑定理

【解析】

如圖，作輔助線；首先求出BC的長度；直接運用勾股定理求出0C的長度，即可解決問

題.

【解答】

解：如圖，連接08，過點。作0C148于點C；

則AC=BC=12；由勾股定理得：

0C2=OB2-BC2,而0B=13,BC=12,

7.

【答案】

B

【考點】

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

連接OF,交AC于點E,設(shè)圓。的半徑為R米，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可.

【解答】

連接OF,交4c于點E,

VBD是。。的切線，

OF1BD,

1??四邊形4BDC是矩形，

AC//BD,

0E1AC,EF=AB,

設(shè)圓。的半徑為R,在RtA/lOE中，4E=竿=一=0.75米，

OE=R-AB=R—0.25,

1.?AE2+OE2=OA2,

0.752+(R-0.25)2=R2,

解得R=1.25.

1.25x2=2.5(米).

答：這扇圓弧形門的最高點離地面的距離是2.5米.

故選：B.

【答案】

A

【考點】

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，過點。作。D1AB于點D,再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【解答】

解：如圖所示，過點。作。。_LAB于點。，

AB=24,r=13,

BD=-AB=12,OB=r=13,

2

OD=y/OB2-BD2=V132-122=5.

故選4.

9.

【答案】

C

【考點】

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

根據(jù)垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、過不在同一直線上的三個點定理

即可對每一種說法的正確性作出判斷.

【解答】

：平分弦（不能是直徑）的直徑垂直于弦，①故錯誤；

圓內(nèi)接四邊形對角互補，平行四邊形對角相等，

…圓的內(nèi)接平行四邊形中，含有90。的內(nèi)角，叩為矩形，②故正確；

有圓周角定理的推論可知：90。的圓周角所對的弦是直徑，③故正確；

經(jīng)過不在同一直線上的三點可以作一個圓，④故錯誤；

：有圓周角定理可知：同弧或等弧所對的圓周角相等.③故正確，

：真命題的個數(shù)為3個，

故選：c.

10.

【答案】

C

【考點】

垂徑定理

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

DC是。。直徑，弦力B1CD于F,根據(jù)垂徑定理可得點。是優(yōu)弧AB的中點，點C是劣弧

AB的中點，再對所有選項逐一判斷即可.

【解答】

解：；0C是。。直徑，弦4B1CD于尸，

:點。是優(yōu)弧力B的中點，點C是劣弧AB的中點，

試卷第14頁，總34頁

4AD=BD,正確，故本選項不符合題意；

B、AF=BF,正確，故本選項不符合題意；

c、OF=CF,不能得出，錯誤，故本選項符合題意;

D、Z.DBC=90°,正確，故本選項不符合題意.

故答案為：C.

二、填空題(本題共計10小題，每題3分，共計30分)

11.

【答案】

4

【考點】

垂徑定理

【解析】

如圖，力B,那么是過M的最短的弦，過M的最長的弦是圓的直徑，首先根據(jù)

垂徑定理和勾股定理可以求出4B的長度，然后結(jié)合已知條件就可以求出弦長為整數(shù)的

弦的條數(shù).

【解答】

解：如圖，0M14B,那么AB是過M的最短的弦，過〃的最長的弦是圓的直徑,

在RtzMMO中，AM=^AB,OA=5,OM=3,

???AM=4,

AB=8,

過M所有O。的弦中，最短的弦長度為8,最長的弦長度為10,

弦的長度可以分別為8、9、10,

而圓是軸對稱圖形，

弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)為4,一條長度8,一條長度為10,兩條長度為9.

故答案為：4.

12.

【答案】

2

【考點】

垂徑定理

【解析】

作OM_LAB于M,ON1.CD于N.則四邊形。MEN是矩形，則。到CD的距離ON=EM,

根據(jù)垂徑定理求得EM的長即可.

【解答】

解：作0M_L4B于M,ONJ.CD于N.則四邊形OMEN是矩形.

11?。時_148于時，

AM=MB=^AB=+BE)=|(3+7)=5.

EM=AM-AE=5-3=2.

ON=EM=2.

13.

【答案】

1

【考點】

垂徑定理

【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)弦為AB,圓為。0,連接04,0B,則04=08=3.過。作

。產(chǎn)垂直力B于E,與圓相交于F.根據(jù)垂徑定理可知，點尸是弧AB的中點，根據(jù)勾股定

理先計算0E,再求出EF即可.

【解答】

解：如圖：連接04,0B,貝ij0A=0B=3,

過。作。尸垂直48于E,與圓相交于F,

由垂徑定理得：AE=EB=1AB=|x2V5=V5,

且麗=FB

在RtAOEB中，OB=3,EB=V5,OE=>JOB2-EB2=J32-(V5)2=2,

即這條弦的中點到弦所對劣弧的中點的距離EF=OF-0E=3-2=1.

14.

【答案】

6.5

【考點】

垂徑定理

【解析】

圓外一點到圓的最大距離是過圓心的直線與圓相交的最遠(yuǎn)的點，到圓的最小距離是點

與圓心的連線與圓相交的最近點.根據(jù)題意，最大距離減去最短距離即為圓的直徑，

所以圓的半徑為“18-5)=6.5cm.

【解答】

解：根據(jù)題意，

圓的半徑為*18-5)=6.5cm.

15.

試卷第16頁，總34頁

【答案】

8

【考點】

垂徑定理

【解析】

此題直接運用垂徑定理和勾股定理解答.

【解答】

解：如圖；連接。4,

???OP1AB

AB=2AP

在Rt△04P中，AP=>JOA2-OP2=V52-32=4

16.

【答案】

|,5次

【考點】

垂徑定理

【解析】

過。作。C1AB交4B于C點，由垂徑定理可知，0C垂直平分4B,再解直角三角形即可

求解.

【解答】

解：過0作0C交ZB于C點，如右圖所示：

由垂徑定理可知，0C垂直平分4B,

0A=0B,乙40B=120°

Z.OAB=30°

OC=-OA=-cm

22

由勾股定理可得：XC=|V3cm

AB=5\/3cm

故此題應(yīng)該填去5V3.

17.

【答案】

4

【考點】

垂徑定理

【解析】

根據(jù)題意，得最長的弦即直徑是10cm,最短的弦即過點M垂直于OM的弦AB,連接04

根據(jù)勾股定理以及垂徑定理即可求得.

【解答】

解：如圖，連接04,根據(jù)題意，04=10+2=5cm,AM=6+2=3cm,

18.

【答案】

4或8

【考點】

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

首先求出E,F點距離地面NEPM=4FPM的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)乘坐一周需要12分鐘得出

所需時間即可.

【解答】

解：：OP表示的是一個摩天輪，最高處力到地面的距離是80.5米，最低處B到地面

的距離是0.5米，

oP的半徑為40m,

???乘坐一周的過程中，小紅距離地面的高度是60.5米，

當(dāng)E,F點距離地面為60.5m,此時CM=60.5m,BM=60m,

MP-20m,

EP=40m,

PM1

..cosZ.MPF=—=-,

EP2

：.^.MPE=60°,

同理可得出：/-MPF=60°,

小紅由B處登上摩天輪，乘坐一周需要12分鐘，

當(dāng)運動到E點時，需要券X12=4（分鐘），當(dāng)運動到尸點時，需要攔X12=8

360360

（分鐘），

19.

【答案】

6^3

【考點】

試卷第18頁，總34頁

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

過點104CD1AB于點。，交圓0于點C,連接。A,根據(jù)垂徑定理可得到=24。，

利用已知條件可求出04,。。的長，再利用勾股定理求出4D的長，繼而可求出4B的長.

【解答】

解：過點。作:D1AB于點D,交圓。于點C,連接04

C

AB=2AD

：圓的直徑為12,CD=9

0A=6,0D=CD-0C=9-6=3

在RtZkA。。中，

AB=y/AD2-OD2=762-32=3V3

故答案為,：6場

20.

【答案】

能

【考點】

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

根據(jù)題意直接構(gòu)造直角三角形進(jìn)而得出當(dāng)B。=1.9m時求出4B的長，即可得出答案.

【解答】

解：如圖所示：

當(dāng)OB=1.9m,

則AB=y/AO2-OB2=V5麗m），

11,<3.85<3.1,

一輛高為3.1米、寬3.8米的卡車能通過該隧道，

三、解答題（本題共計20小題，每題10分，共計200分）

21.

【答案】

證明：丫PQ是直徑，AM=BM,

：.PQLAB^M.

又：AB11CD,

：.PQLCD于N.

DN=CN.

【考點】

垂徑定理

【解析】

根據(jù)垂定定理推知PQ1AB于例.然后由平行線的性質(zhì)證得PQ1CD于N.則DN=CN.

【解答】

證明：?.，PQ是直徑，AM=BM,

：.PQ

又丫AB//CD,

：.PQLCD于N.

：.DN=CN.

22.

【答案】

解：連接OB,作。。1AB于D.。。就是圓心。到弦4B的距離.

在。。中，,：0D1AB

。是弦AB的中點

在RtZiOBO中，0B=5,DB=^AB=4

(2)由(1)知：D是弦AB的中點

AB中點。在運動過程中始終保持。。=3

據(jù)圓的定義，在4B運動過程中，點。運動的軌跡是以。為圓心，3為半徑的圓.

【考點】

垂徑定理

【解析】

(1)利用垂徑定理，然后根據(jù)勾股定理即可求得弦心距。。的長；

(2)根據(jù)圓的定義即可確定.

【解答】

解：連接0B,作。。14B于D.。。就是圓心。到弦4B的距離.

在。。中，r0D1AB

。是弦AB的中點

在RtAOBC中，0B=5,DB=\AB=4

(2)由(1)知：D是弦4B的中點

試卷第20頁，總34頁

4B中點。在運動過程中始終保持。D=3

據(jù)圓的定義，在4B運動過程中，點。運動的軌跡是以。為圓心，3為半徑的圓.

23.

【答案】

解：作0E1AB,垂足為E.

由垂徑定理知，點E是CD的中點，也是4B的中點,

AE=-AB=5,CE=-CD=3,

22

AC=AE—CE=5—3=2(cm).

【考點】

垂徑定理

【解析】

(1)作出弦心距0E,垂足為E,根據(jù)垂徑定理可以求出AE、CE的長，再由4C=

4E-CE即可得出結(jié)論；

【解答】

解：作0E14B,垂足為E.

由垂徑定理知，點E是CD的中點，也是4B的中點,

AE=-AB=5,CE=-CD=3,

22

AC=AE-CE=5—3=2(cm).

24.

【答案】

橋拱的半徑為13m.

【考點】

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

如下圖，橋拱所在圓心為E,作EF14B,垂足為尸，并延長交圓于點H.根據(jù)垂徑定

理和勾股定理求解.

【解答】

解：如圖，橋拱所在圓心為E,作EFLAB,垂足為尸，并延長交圓于點H.

由垂徑定理知，點F是4B的中點.由題意知I,FH=10-2=8m,

則4E=EH,EF=EH-HF.

由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+(AE-HF)2,

即4E2=122+(/!￡1-8)2,

解得：AE=13m.

25.

【答案】

(1)解：0E=OF,

理由是：；OELAB,OF1CD,OA=OB,OC=0D,

：.Z.OEB=Z.OFD=90",Z.EOB=-Z.AOB,/.FOD=-Z.COD,

22

,/Z.AOB=Z.COD,

乙EOB=NF。。，

在AEOB和AF。。中，

Z.OEB=ZOFD

Z.EOB=Z.FOD

OB=OD

：.AEOBm&FOD(AAS),

OE=OF.

(2)解：弧48=弧。0,AB=CD,乙AOB=LCOD,

理由是：OELAB,OF1CD,

：.WEB=乙OFD=90",

在Rt△BEO^Rt△DFO中，

(OB=OD

l0E=OF

：.Rt4BEOSDFO(HL),

BE—DF,

由垂徑定理得：AB=2BE,CD=2DF,

AB=CD,

：.弧AB=弧8,^AOB=乙COD.

【考點】

垂徑定理

【解析】

(1)求出4OEB=40FZ)=90°,/.EOB=Z.FOD,vL^EOB=^FOD,即可推出

OE=OF.

(2)證△EOBWAFOD,推出BE=DF,根據(jù)垂徑定理求出AB=CD,根據(jù)圓心角、

弧、弦之間的關(guān)系即可得出答案.

【解答】

(1)解：OE=OF,

理由是：；OELAB,OF1CD,OA=OB,OC=OD,

試卷第22頁，總34頁

NOEB=NOFD=90°,Z.EOB=-2^AOB,^FOD=-2^COD,

*/Z.AOB=ZCOD,

Z-EOB=乙FOD,

■：^.^EOB^^FOD^P，

Z.OEB=Z.OFD

Z.EOB=乙FOD

.OB=OD

：.^EOB=^FOD(^AAS),

：.OE=OF.

(2)解：弧48=弧。。，AB=CD,/-AOB=LCOD,

理由是：：OELAB,OF1CD,

：.Z.OEB=/-OFD=90°,

在Rt△BEO和Rt△DFO中，

(OB=OD

(OE=OF

：.Rt△BEO=RtDFO(HL),

：.BE=DF,

由垂徑定理得：AB=2BE,CD=2DF,

AB=CD,

：.^AB=^CD,/.AOB=乙COD.

26.

【答案】

解：(1)如圖：點E即為所求.

(2)過圓。作。E14B于D.

在直角三角形4。。中，AB=24米，DE=8米，

AD=-AB=12(米).

2

設(shè)4。=r,則OD=r-8,

r2=122+(r-8)2,

解得：r=13.

答：橋拱所在圓的半徑為13米.

【考點】

垂徑定理的應(yīng)用

勾股定理

【解析】

(1)根據(jù)垂徑定理可以作弦4B的垂直平分線，和弧的交點即是弧的中點;

(2)設(shè)圓0的半徑為r,在孔△4。。中由勾股定理列出方程求出r即可.

【解答】

解：(1)如圖：點E即為所求.

(2)過圓。作OEJ.AB于。.

在直角三角形4。0中，4B=24米，0E=8米,

AD=|AB=12（米）.

設(shè)AO=r,則0。=r-8,

：.N=122+(—8)2,

解得：r=13.

答：橋拱所在圓的半徑為13米.

27.

【答案】

解：如圖：過。作。E1AB,

由垂徑定理可知：0E平分AB,0E平分CD,

AE—BE,CE—DE,

AE-CE=BE-DE,即AC=

【考點】

垂徑定理

【解析】

過圓心。作弦的垂線0E,根據(jù)垂徑定理，0E平分ZB和CD,可以說明4C=BD.

【解答】

解：如圖：過。作。E1AB,

由垂徑定理可知：0E平分AB,0E平分CO,

AE—BE,CE—DE,

AE-CE=BE-DE,即“

28.

【答案】

解：如圖，連接。A,

設(shè)0M=3x,0C=5x,則DM=2x,

CD=15cm,3x+5x+2x=15,解得久=1.5cm,

OM=3x1.5cm=4.5cm,

試卷第24頁，總34頁

AM=yjAO2—MO2=I(^-)2—(1)2=6cm,

【考點】

垂徑定理

【解析】

設(shè)。M=3x,0C=5%,則DM=2x,由CD=15cm,求出0M,再由勾股定理求得

AM,最后由垂徑定理求出弦4B的長.

【解答】

解：如圖，連接04

設(shè)0M=3x,0C=5x,則DM=2x,

CD=15cm,3x+5x+2x=15,解得x=1.5cm,

OM=3X1.5cm—4.5cm,

AM-y/AO2—MO2=I(-y)2—(|)2=6cm,

29.

【答案】

如圖，連接OC,4B交CD于E,

由題意知：48=1.6+6.4+4=12,

所以0C=0B=6,

OE=OB-BE=6-4=2,

由題意可知：AB1CD,

???AB過。，

CD=2CE,

在RtAOCE中，由勾股定理得：CE=70c2-0E2=-22=4VL

CD=2CE=8近?11.3m,

所以路面CD的寬度為11.3m.

4.0m

【考點】

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

連接。C,求出0C和。E,根據(jù)勾股定理求出CE,根據(jù)垂徑定理求出CD即可.

【解答】

如圖，連接OC,4B交CD于E,

由題意知:48=1.6+6.4+4=12,

所以0C=0B=6,

OE=OB-BE=6-4=2,

由題意可知：AB1CD,

■：力B過。，

CD=2CE,

在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=y/OC2-OE2=V62-22=4VL

CD=2CE=8y/2?11.3m,

所以路面CD的寬度為11.3m.

【答案】

解：相等.

理由：過點0作OE_LAD于點E,

4D是大圓的弦，BC是小圓的弦,

AE=DE,BE=CE,

AE-BE=DE-CE,即48=CO

【考點】

垂徑定理

【解析】

過點。作。E14D于點E,由垂徑定理即可得出結(jié)論.

【解答】

解：相等

理由：過點0作OE_LAD于點E,

4D是大圓的弦，BC是小圓的弦,

AE=DE,BE=CE,

試卷第26頁，總34頁

\E

BC/D

AE-BE=DE-CE,即=CD.

31.

【答案】

作0E_L4B于E,交CD于F,

AB=1.2m,OE1AB,OA=lm,

：.OE=0.8m,

水管水面上升了0.2m,

OF—0.8—0.20.67n?

CF=7OC2-OF2=0.8m,

CD=1.6m.

答：此時排水管水面的寬CD為1.6m.

【考點】

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

先根據(jù)勾股定理求出OE的長，再根據(jù)垂徑定理求出CF的長，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：如圖，

作。E-LAB于E,交CC于F,

AB=1.2m1OELAB,OA=lm,

OF=0.8m,

,/水管水面上升了0.2m,

OF=0.8—0.2=0.6zn,

???CF=70c2一。尸2=0.8m,

CD=1.6m.

答：此時排水管水面的寬CD為1.6m.

32.

【答案】

AB1CD,且E是。8的中點,

???LOCE=30°,CE=DE,

而CO=8,

CE—4,

℃=4+苧=g百,

AB的長為gVl

【考點】

垂徑定理

【解析】

如圖，連接。C,由于4BJ.CD,且E是OB的中點，由此得到4OCE=30。，然后接直角

三角形即可求解.

【解答】

AB1CD,且E是。B的中點,

Z.OCE=30°,CE=DE,

而CD=8,

/.CE=4,

OC=4-r—=-V3,

23

48的長為三百.

33.

【答案】

證明:

試卷第28頁，總34頁

過。作。Md.AB于例，ON1.AHN,

則乙4M。=UNO=90°,

■1?OM、ON過0,

AM=-AB,AN=-AC,

22

AB=AC,

AM=AN,

^.Rt△AMO^URt△ANO^,由勾股定理得：OM=ON,

???OM1AB,ONLAC,

：.4。平分NB4C,

AB=AC,

：.AO1BC.

【考點】

垂徑定理

【解析】

過。作。MJ.AB于M,ONlAC^N,求出AM=4N,根據(jù)勾股定理求出OM=ON,

求出40平分ZB2C,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出即可.

【解答】

證明：、,

過。作。MJ.AB于M,ONA.AC于N,

則乙4M。=&ANO=90。，

OM、ON過。，

AM=-AB,AN=-AC,

22

?/AB=ACf

???AM=ANf

^.Rt△AMO^Rt△ANO^,由勾股定理得：OM=ON,

,/OMLABfON1AC,

/.4。平分匕氏4C,

,/AB=AC,

「?AO1BC.

34.

【答案】

解：取兩弦/B,CD,分別作它們的垂直平分線，兩垂直平分線的交點。即為所求的圓

￡

心.B

【考點】

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

根據(jù)弦的垂直平分線必過圓心，任取兩弦4B,CD,作它們的垂直平分線即可得到圓心.

【解答】

解：取兩弦4B,CD,分別作它們的垂直平分線，兩垂直平分線的交點。即為所求的圓

35.

【答案】

解：①在腦上取點C,連接AC,BC；

②作弦AC,BC的中垂線CE,FG相交于點。；

③以。為圓心，以04為半徑畫圓即可.

【考點】

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

在腦上取點C,連接AC,BC,分別作弦AC,BC的中垂線DE,FG相交于點。，再以。

為圓心，以。4為半徑畫出工件的殘缺部分即可.

【解答】

解：①在彳&上取點C,連接力C,BC；

②作弦力C,BC的中垂線DE,FG相交于點。；

③以。為圓心，以04為半徑畫圓即可.

36.

【答案】

解：（1）如圖，連接。M,

4B=80cm,BC為直徑的工,

4

OM=OB=40cm,BC=20cm,

OC=20cm,

MC=VOM2-OC2=V402-202=20>/3cm,

MN=2cM=40V3CTH；

試卷第30頁，總34頁

(2)OC=20cm,OM=40cm,

.\KAr0C201

sinz/OrMC=—=一

OM402f

Z-OMC=30°,

Z-MOC=60°,

乙MON=120°,

陰影部分的面積是：U陪竺-竺笠=誓-400%,

36023

油桶的高為120cm,

油桶中存貯油的體積是：（等1-400V3）x120=640007T-48000V3,

即油桶中存貯油的體積是（64000兀-48000g）cm3.

【考點】

垂徑定理的應(yīng)用

【解析】

（1）根據(jù)題意可以得到。C、OM的長，從而可以求得MN的長；

（2）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以求得陰影部分的面積，從而可以求得油桶中存貯油的體積.

【解答】

解：（1）如圖，連接。M,

-AB=80cm,BC為直徑的工，

4

OM=OB=40cm,BC=20cm,

.OC=20cm,

.MC=VOM2-OC2=-402-202=20百cm,

.MN=2CM=40V3cm；