9.2三角形的內(nèi)角和外角

一、單選題

1.如圖擺放一副三角尺，々=血＞尸=90。，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)。在3c的延長(zhǎng)線上,

A.15°B.20°C.25°D.30°

2.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.在△ABC中，若N4：ZB：ZC=2：2：4,則△ABC為直角三角形

B.在AABC中，若NA=NB-NC,則AABC為直角三角形

C.在△ABC中，若NA=L/B=1/C,則△ABC為直角三角形

23

D.在△ABC中，/A=NB=2NC,則AA8C為直角三角形

3.如圖，在△ABC中，44=78°,NACD是△ABC的一個(gè)外角，ZEBC=-ZABC,

3

N￡CD=—NACO,則NE為（）

3

A.24°B.26°C.28°D.30°

4.光線a照射到平面鏡CO上，然后在平面鏡AB和CO之間來(lái)回反射.若已知

C.66°D.65°

5.已知直線。//b,將一塊含30。的直角三角尺按如圖方式放置（NABC=60。），其中A、

C兩點(diǎn)分別落在直線。、b上，若N1=20。，則N2的度數(shù)為（）

A.50°B.30°C.20°D.40°

6.如圖，把AABC紙片沿DE折疊，點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部，Nl=100°，

N2=44°，則NA的度數(shù)為（）

A.32°B.30°C.28°D.26°

7.如圖，AB//CD,氤E在AC上,NA=U0°,Z￡>=15°,則下列結(jié)論正確的個(gè)

數(shù)是()

(1)AE=EC,(2)ZA￡￡>=85°；(3)ZA=Z.CED+AD(4)ZBED=45°

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.如圖，在AABC中,ZB+ZC=a,按圖進(jìn)行翻折，使B'O//C'G//5C,B'E//FG,

aa

A.—B.90°——C.a-90°D.2a-180°

22

9.如圖，已知ZAFC=120°,ZEAF=-ZEAB,ZECF=-ZECD,

33

2

則ZAEC=()

10.如圖，將直尺與30。角的三角尺疊放在一起，若？270?,則N1的大小是（）

11.如圖，四邊形A8C0是長(zhǎng)方形，點(diǎn)尸是D4長(zhǎng)線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，并且

ZACG^ZAGC,NGAF=NF.若NECB=15°,則NACF的度數(shù)是（）

CB

A.15°B.20°C.30°D.45°

12.將一副學(xué)生用三角板（一個(gè)銳角為30。的直角三角形，一個(gè)銳角為45。的直角三角

形）如圖疊放，則下列4個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（）

①OE平分ZA8；②ZAOC=NBOD；③ZAOC-NCE4=15°；④

ZCOB+ZAOD=180°

A.0B.1C.2D.3

13.如圖，在^ABC中，D為BC上一點(diǎn)，Z1-Z2,/3=N4,ZBAC=105°,則/DAC

的度數(shù)為()

3

A

1

243

BDC

A.80°B.82°C.84°D.86°

14.將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖所示方式放置，得到下列結(jié)論，其中正確的結(jié)

論有（）

①N1=N3；

②44E+NC4D=18O。；

③若BC//AD,則N2=30°；

④若NC4D=150°,則N4=NC.

15.如圖，A3和CD相交于點(diǎn)。，NA=NC,則下列結(jié)論中不正確的是（）.

A.ZB=ZDB.N1=ZA+N￡>

C.Z2>ZZ)D.NC=ND

二、填空題

16.AABC滿足條件NA=2N8=3NC,則AABC是______三角形.

17.如圖，點(diǎn)。是8。上一點(diǎn)，ZC=65°,則圖中與NC構(gòu)成同旁內(nèi)角的角有

個(gè)，這些角的度數(shù)和為

4

18.在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角是另一內(nèi)角的〃倍（〃為整數(shù)），那么我們稱這個(gè)

三角形為〃倍三角形.如果一個(gè)三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么這

個(gè)三角形最小的內(nèi)角度數(shù)為.

19.如圖，將RlAABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)70。得到RsABQ,若NC=90°,NB=60°,

則/BA。1=,

20.如圖，將一副三角尺按如圖所示的方式疊放（兩條直角邊重合），則Nc的度數(shù)是

三、解答題

21.在證明“三角形內(nèi)角和等于180”這一命題時(shí)，小彬的思路如下.請(qǐng)寫(xiě)出“求證”部分,

補(bǔ)充第一步推理的依據(jù)并按他的思路完成后續(xù)證明.

己知：如圖，△A8C.

求證：.

證明：如圖，在邊上取點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。E//A3交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)。作

DF//AC交AB于點(diǎn)、F.

'：DE//AB,

AZA=Z1,ZB=Z2（依據(jù)：）.

,/DF//AC,

,N1=N3.

5

A

E

22.如圖，點(diǎn)8、C、E、尸都在同一直線上，AC與。E的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,

ZB=ZDEF，ACIIDF,求證：ZA=AD.

23.如圖，已知NC=54。，ZE=30°,ZBDF=\30°,求乙4的度數(shù).

24.將一副直角三角尺8AC和A￡>上如圖放置，其中㈤C=NA￡>E=90。，

ZBC4=30°.ZAED=45°,若NARD=75°,試判斷AE與8C的位置關(guān)系，并

25.如圖，在AABC中，CZ），A8于點(diǎn)。，DE//BC交AC千點(diǎn)、E，EFLCD于

點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F.

(1)求證：ZADE=ZEFC；

(2)若NACB=72°,NA=60。，求NOCB的度數(shù).

6

參考答案

1.A

解：VZEDF=90°,ZF=45°,

???NDEr=45。，

VZB=90°,ZA=30°,

???ZACB=60°,

9：EF//BC,

：.ZCEF=ZACB=60°,

：.NCED=NCEF-NDEF=15°.

2.D

解：A、在△ABC中，因?yàn)镹4：ZB：ZC=2：2：4,所以NC=90。，ZA=ZB=45°,ABC

為直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意.

B、在AABC中，因?yàn)镹A=/B-NC,所以N8=90。，△ABC為直角三角形，本選項(xiàng)不符

合題意.

C、在△ABC中，因?yàn)镹A=LN8=!NC,所以NC=90。，ZB=60°,NA=30。，AABC

23

為直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意.

D、在ZkABC中，因?yàn)镹A=NB=2NC,所以乙4=N3=72。，ZC=36°,△ABC不是直角

三角形，本選項(xiàng)符合題意，

3.B

解：VZ1+ZE=Z2,

/.ZE=Z2-Z1,

*/ZA+3Z1=ZAC￡>=3Z2,

???NA=3N2-3N1=3(Z2-Z1)=3ZE=78°,

???ZE=26°.

4.D

解：VZ6=Z1=55°,Z5=Z3=75°,

AZ2=(55+75)4-2=65°,

5.D

解:VZABC=60°fZACB=90°,

???ZBAC=30°,

又二?！ā?

???Z2=180°-30o-90o-20o=40°,

6.C

解：如圖，由翻折的性質(zhì)得，

Z3=1(180°-Zl),

.,.在△ADE中，NC￡￡>=N3+ZA,

,/ZA￡￡>+ZCED=180°.

N2+2NCED=180°,

N2+2(N3+ZA)=180°,

VZl=10()0,N2=44。，

100°-44°

=28°.

2

解：'：AB//CD,

：.ZA+ZC=180°,

又?:ZA=110°,

AZC=70°,

AZAED^ZC+ZD=85°,故(2)正確，

ZC+ZD+ZCED=180。，

:.ND+NCED=11。。,

；.NA=NCED+ND,故(3)正確，

???點(diǎn)E在AC上的任意一點(diǎn)，

???AE無(wú)法判斷等于CE,/BEO無(wú)法判斷等于45。，故(1)、(4)錯(cuò)誤,

8.D

2

解：設(shè)NADB'=y,ZAGC=p,NCEB'=y,ZCTE=x,

■:EDI/CGIIBC,

y=Z-B,p=Z.C,

??Y+B=NB+NC=a,

VEB^FG,

???NCFG=NCEB』y,

???x+2y=180。①，

根據(jù)平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得：y=/B,BD//BfE,

??y=AB,

Vy+y=2ZB,

同理可得出：p+x=2ZC,

.?.y+y+B+x=2a,

/.x+y=a②，

②x2-①可得x=2a-180。，

9.C

解：連接AC,設(shè)NEAF=x,ZECF=y,

AZEAB=3x,ZECD=3x,

AZFAB=4x,ZFCDMx,

VAB/7CD,

?,.ZCAB+ZACD=180°,

VZAFC=120°,

???ZFAC+ZFCA=180°-120°=60°,

AZFAC+ZFCA+ZFAB+ZFCD=180°,即60+4x+4y=180°,

解得:x+y=30°,

:.ZAEC

3

二180。-(ZEAC+ZECA)

=180°-(ZEAF+ZECF+ZFCA+ZFAC)

二180。-(x+y+60°)

=90°

10.B

解：如圖:

由題意得：Z4=180o-90°-30o=60°,

VAB/7CD,

.??N3=N2=70。，

AZ1=180°-Z3-Z4=180o-70o-60o=50°.

11.C

解：:四邊形ABCD是矩形，

???AD〃BC,ZDCB=90°,

.\ZF=ZECB=15°,

AZGAF=ZF=15°,

???ZACF=NAGC=ZGAF+NF=2NF=30。,

12.D

解：VZDOC=ZAOB=90°,

???ZDOC-ZBOC=ZAOB-ZCOB,

即NAOC=NBOD,故②正確；

4

VZAOB=ZCOD=90o,

ZCOB+ZAOD=ZAOB+ZCOD=180°,故④正確;

如圖，AB與0C交于點(diǎn)P,

VZCPE=ZAPO,ZC=45°,ZA=30°,ZCEA+ZCPE+ZC=ZAOC+ZAPO+ZA=180°,

.,.ZAOC-ZCEA=15°.故③正確；

沒(méi)有條件能證明OE平分/AOD,故①錯(cuò)誤.

綜上，②③④正確，共3個(gè)，

13.A

解：VZBAC=105°,

；.N2+N3=75。①

VZ1=Z2,

/4=Z3=Z1+/2=2N2②

把②代入①得：3/2=75。，

Z2=25°.

ZDAC=105°-25°=80°.

14.C

解：?.?Z&4C=NZME=90。，

，N1+N2=N2+N3=9O。，

.-.Z1=Z3,故①符合題意，

44E+NC4Z)=+N1+NZME=ZR4C+ND4E=90。+90。=180。，

故②符合題意；

BC//AD,

ZC+ZC4￡>=180°,

ZC=45°,

ZCW=135°,

Z2=180°-ACAD=180°-l35°=45°,故③不符合題意：

5

ACAD=150°,NBAE+ZCAD=180°,

：.ZBAE=30°,

如圖，記交于G,

vZF=60°,

ZAGE=180°-30°-60°=90°,

NB=NC=45°,

Z4=ZAGE—NB=90。-45。=45°.

.-.Z4=ZC.故④符合題意，

綜上：符合題意的有①②④.

15.D

VZ1=Z2,ZA=ZC,Z1=ZA+ZD,Z2=ZB+ZC,

.,.ZB=ZD,

...選項(xiàng)A、B正確；

VZ2=ZA+ZD,

???Z2>ZD.

.??選項(xiàng)C正確；

沒(méi)有條件說(shuō)明NC=NO

16.鈍角

解：設(shè)/A、ZB.NC分別為6M3k、2k,

則6-2左=180°,

180Hl080）。

所以，最大的角乙匕3*33。=99。乙46x>90°,

\

所以，這個(gè)三角形是鈍角三角形.

6

17.4；230.

解：由圖像可知圖中與NC構(gòu)成同旁內(nèi)角的角有NC4T>,ZC4B,ZCDA,ZCBA,共計(jì)

4個(gè)，

由三角形的內(nèi)角和定理可得：

ZG4D+ZCD4=180-NC,

ZCfiA+ZC4B=18（）-ZC,

??.NC4T）+NaM+NCBA+NC48=360-2ZC=360-2x65=230

Q/A

18.30。或20?；?8°或（詈）。

設(shè)最小的內(nèi)角為x°.分類討論：

①當(dāng)2倍角為2x。，3倍角為3x0時(shí)，可得：x°+2x°+3x°=180°,

解得x=30.

②當(dāng)2倍角為2%。，3倍角為6x0時(shí)，可得：％。+2廿+6爐=180°,

解得x=20.

③當(dāng)3倍角為3x°,2倍角為6x。時(shí)，可得：x°+3xo+6xo=180°,

解得x=18.

④當(dāng)3無(wú)。即是2倍角又是三倍角時(shí)，即另一個(gè)內(nèi)角為3:x°,可得：xo+3-x°+3xo=180°,

22

解得*=*.

綜上可知，最小的內(nèi)角為30°或20°或18?；颍ù穑?

19.40°

解：ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)70。得到RtAAB/Ci,

：.ZCAC/=70°,

VZC=90°,ZB=60°,

???ZCAB=30°,

??.ZBACj=ZCACi-ZCAB=70°-30°=40°.

20.75°

解：由于是兩個(gè)直角三角形，所以上下兩線平行，

如圖所示貝|」尸二30。，

根據(jù)三角形外角定理。二尸+45°=75°,

7