北京交通大學(xué)數(shù)值分析 5非線(xiàn)性方程求根習(xí)題課_第1頁(yè)
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非線(xiàn)性方程求根一、證明：對(duì)任意初始值，由不動(dòng)點(diǎn)迭代，k=0,1,2,…產(chǎn)生的序列都收斂于方程在的唯一根p。若要求p的近似值的誤差不超過(guò)（取初始值），試估計(jì)迭代次數(shù)。解：由知迭代函數(shù)對(duì)，有另外有由定理得本題證明部分。為使解p的近似值的誤差不超過(guò)，根據(jù)誤差估計(jì)式：令，得k應(yīng)取為取k=12可使近似解的誤差不超過(guò)二、證明：設(shè)在上連續(xù)可微，且，在上有根，，但，則由產(chǎn)生的迭代序列單調(diào)收斂于。證明：因?yàn)樵谏嫌懈?，故有，設(shè)，則由及知于是同理可得，因而單調(diào)下降并以為下界，所以存在，記為。由知方程在內(nèi)的根是唯一的，顯然有=。所以三、設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿(mǎn)足，任意，且的根存在，證明：任取，迭代格式對(duì)任意初值均收斂于的根。證明：由題意可取定義域?yàn)镽。由于，為單調(diào)函數(shù)，又的根存在，所以方程的根是唯一的。由迭代格式可以得到迭代函數(shù)和。又及得所以有故此外，顯然有由定理知迭代對(duì)任意初值均收斂于的根。四、設(shè)(1)寫(xiě)出解方程的Newton迭代公式；(2)證明迭代格式是收斂的。解：(1)，有Newton迭代公式(2)令因?yàn)槭堑母?，必存在的某個(gè)鄰域，使連續(xù)可微。由，顯然根據(jù)定理可知：存在，只要初值滿(mǎn)足，迭

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