專項(xiàng)強(qiáng)化訓(xùn)練(四)立體幾何的綜合問(wèn)題1.如圖,在邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),AD=AE,F是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將△ABF沿AF折起,得到如圖所示的三棱錐A-BCF,其中BC=22(1)證明:DE∥平面BCF.(2)證明:CF⊥平面ABF.(3)當(dāng)AD=23時(shí),求三棱錐F-DEG的體積VF-【解析】(1)在等邊△ABC中,AD=AE,所以ADDB=AEEC,在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立,所以DE∥BC.因?yàn)镈E?平面BCF,BC(2)在等邊△ABC中,F是BC的中點(diǎn),所以AF⊥FC,BF=CF=12因?yàn)樵谌忮FA-BCF中,BC=22所以BC2=BF2+CF2,CF⊥BF.因?yàn)锽F∩AF=F,所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF,結(jié)合(2)可得GE⊥平面DFG.VF-DEG=VE-DFG=13·12·DG·FG13×12×13×13×【加固訓(xùn)練】(2015·佛山模擬)如圖1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AD=CD=12AB=2,點(diǎn)E為AC中點(diǎn),將△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥(1)求證:AD⊥BC.(2)在CD上找一點(diǎn)F,使AD∥平面EFB.【解析】(1)在題圖1中,可得AC=BC=22,從而AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.因?yàn)槠矫鍭DC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,BC?平面ABC,所以BC⊥平面ADC.又AD?平面ADC,所以AD⊥BC.(2)取CD的中點(diǎn)F,連接EF,BF,在△ACD中,因?yàn)镋,F分別為AC,DC的中點(diǎn),所以AD∥EF,EF?平面EFB,AD?平面EFB,所以AD∥平面EFB.2.(2015·南陽(yáng)模擬)如圖所示,正方形ABCD所在平面與等腰三角形EAD所在平面相交于AD,AE⊥平面CDE.(1)求證:AB⊥平面ADE.(2)在線段BE上存在點(diǎn)M,使得直線AM與平面EAD所成角的正弦值為63【解析】(1)因?yàn)锳E⊥平面CDE,CD?平面CDE,所以AE⊥CD.在正方形ABCD中,CD⊥AD,因?yàn)锳D∩AE=A,所以CD⊥平面ADE.因?yàn)锳B∥CD,所以AB⊥平面ADE.(2)由(1)知平面EAD⊥平面ABCD,取AD中點(diǎn)O,連接EO,因?yàn)镋A=ED,所以EO⊥AD,所以EO⊥平面ABCD,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1),設(shè)M(x,y,z),所以BM→=(x-1,y-2,z),因?yàn)锽,M,E三點(diǎn)共線,所以BM→=λ所以M(1-λ,2-2λ,λ),所以AM→=(-λ,2-2λ,設(shè)AM與平面AED所成的角為θ,因?yàn)槠矫鍭ED的法向量n=(0,1,0),所以sinθ=|cos<AM→,n>|=|2-2λ|解得λ=12即M為BE的中點(diǎn).【方法技巧】求直線與平面所成角的方法及注意點(diǎn)1.方法:有傳統(tǒng)法和向量法兩種.傳統(tǒng)法關(guān)鍵是找斜線在平面內(nèi)的射影,從而找出線面角;向量法則可建立坐標(biāo)系,利用向量的運(yùn)算求解.2.注意點(diǎn):注意直線與平面所成角的范圍為0,3.(2015·濟(jì)南模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB為直角,AB∥CD,AD=CD=2AB,E,F分別為PC,CD的中點(diǎn).(1)求證:CD⊥平面BEF.(2)設(shè)PA=kAB(k>0),且二面角E-BD-C的大小為30°,求此時(shí)k的值.【解題提示】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,(1)求出BE→,BF→,CD→,證明BE【解析】以AB所在直線為x軸,以AD所在直線為y軸,以AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=1,則A(0,0,0),P(0,0,k),B(1,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),E1,1,(1)因?yàn)锽E→=0,1,k2所以BE→·CD→=0,所以CD⊥BE,CD⊥BF,BE∩BF=B,所以CD⊥平面BEF.(2)設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為n1,則n1=(0,0,1),設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為n2=(x,y,z),因?yàn)锽D→=(-1,2,0),BE所以-所以n2=2,1,-因?yàn)槎娼荅-BD-C等于30°,所以|cos<n1,n2>|=-2k5+所以4k2=3又因?yàn)閗>0,所以k=215154.(2015·惠州模擬)如圖,已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中點(diǎn).(1)求O點(diǎn)到平面ABC的距離.(2)求二面角E-AB-C的正弦值.【解析】方法一:(1)取BC的中點(diǎn)D,連AD,OD,因?yàn)镺B=OC,則OD⊥BC,AD⊥BC,所以BC⊥平面OAD.過(guò)O點(diǎn)作OH⊥AD于H,則OH⊥平面ABC,OH的長(zhǎng)就是所要求的距離.BC=22,OD=OC2-C因?yàn)镺A⊥OB,OA⊥OC,所以O(shè)A⊥平面OBC,則OA⊥OD.AD=OA2+O在直角三角形OAD中,有OH=OA·ODAD=23=另解:由V=13S△ABC·OH=16OA·OB·OC=23(2)連接CH并延長(zhǎng)交AB于F,連接OF,EF.因?yàn)镺C⊥面OAB,所以O(shè)C⊥AB.又因?yàn)镺H⊥平面ABC,所以CF⊥AB,EF⊥AB,則∠EFC就是所求二面角的平面角.作EG⊥CF于G,則EG=12OH=6在直角三角形OAB中,OF=OA·OBAB=在直角三角形OEF中,EF=OE2+OF2sin∠EFG=EGEF=66故所求的正弦值是3018方法二:(1)以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).設(shè)平面ABC的法向量為n1=(x,y,z),則由n1⊥AB→知:n1·由n1⊥AC→知:n1·AC→則點(diǎn)O到面ABC的距離為d==21+1+4=63(2)EBAB設(shè)平面EAB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則由n⊥AB→知:n·由n⊥EB→知:n·由(1)知平面ABC的法向量為n1=(1,1,2),則cos<n,n1>=QUOTEn·n1|n||n1|=1+2+49結(jié)合圖形可知,二面角E-AB-C的正弦值是3018【加固訓(xùn)練】(2015·長(zhǎng)春模擬)如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC,側(cè)棱AA1與底面ABC成60°的角,AA1=2.底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,其重心為G點(diǎn),E是線段BC1上一點(diǎn),且BE=13BC1.(1)求證:GE∥側(cè)面AA1B1B.(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的正切值.【解析】(1)因?yàn)閭?cè)面AA1B1B⊥底面ABC,側(cè)棱AA1與底面ABC成60°的角,所以∠A1AB=60°,又AA1=AB=2,取AB的中點(diǎn)O,則A1O⊥底面ABC.以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則A(0,-1,0),B(0,1,0),C(3,0,0),A1(0,0,3),B1(0,2,3),C1(3,1,3).因?yàn)镚為△ABC的重心,所以G33因?yàn)锽E→=13所以GE→=0,1,又GE?側(cè)面AA1B1B,AB1?側(cè)面AA1B1B,所以GE∥側(cè)面AA1B1B.(2)設(shè)平面B1GE的一個(gè)法向量為n=(a,b,c),則由QUOTEn·B1E→=0,n·可取n=(3,-1,3).又底面ABC的一個(gè)法向量為m=(0,0,1).設(shè)平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小為θ,則cosθ==217.由于θ為銳角,所以sinθ=1-cos2進(jìn)而tanθ=23故平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的正切值為235.(2015·武漢模擬)如圖所示,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,點(diǎn)E,F分別在邊CD,CB上,點(diǎn)E與點(diǎn)C,D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O,將△CEF沿EF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED.(1)求證BD⊥平面POA.(2)當(dāng)PB取得最小值時(shí),請(qǐng)解答以下問(wèn)題:①求四棱錐P-BFED的體積;②若點(diǎn)Q滿足AQ→=λQP→(λ>0)【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以BD⊥AC,所以BD⊥AO.因?yàn)槠矫鍼EF⊥平面ABFED,平面PEF∩平面ABFED=EF,PO⊥EF,PO?平面PEF,所以PO⊥平面ABFED.因?yàn)锽D?平面ABFED,所以PO⊥BD.因?yàn)锳O∩PO=O,所以BD⊥平面POA.(2)如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.①設(shè)AO∩BD=H.因?yàn)椤螪AB=60°,所以△BDC為等邊三角形,故BD=4,HB=2,HC=23.設(shè)PO=x,則OH=23-x,OA=43-x,所以O(shè)(0,0,0),P(0,0,x),B(23-x,2,0),故PB→=OB→-所以|PB→=2(x-當(dāng)x=3時(shí),|PB→|取得最小值,即|PB此時(shí)PO=3,OH=3.由(1)知PO⊥平面BFED,所以V四棱錐P-BFED=13·S梯形BFED·=13·34×②設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,0,c),由①知A(33,0,0),B(3,2,0),D(3,-2,0),P(0,0,3).所以AQ→=(a-33,0,c),QP因?yàn)锳Q→=λ所以a-33所以Q3