3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析本節(jié)課的關(guān)鍵是關(guān)于兩點(diǎn)式的推導(dǎo)以及斜率k不存在或斜率k=0時(shí)對兩點(diǎn)式的討論及變形.直線方程的兩點(diǎn)式可由點(diǎn)斜式導(dǎo)出.若已知兩點(diǎn)恰好在坐標(biāo)軸上(非原點(diǎn))，則可用兩點(diǎn)式的特例截距式寫出直線的方程.由于由截距式方程可直接確定直線與x軸和y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因此用截距式畫直線比較方便.在解決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長等問題時(shí)，經(jīng)常使用截距式.但當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí)，有一個(gè)截距不存在；當(dāng)直線通過原點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)截距均為零.在這兩種情況下都不能用截距式.三維目標(biāo)1.讓學(xué)生掌握直線方程兩點(diǎn)式和截距式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用這兩種形式求出直線的方程.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).2.了解直線方程截距式的形式特點(diǎn)及適用范圍，培養(yǎng)學(xué)生樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):直線方程兩點(diǎn)式和截距式.教學(xué)難點(diǎn):關(guān)于兩點(diǎn)式的推導(dǎo)以及斜率k不存在或斜率k=0時(shí)對兩點(diǎn)式方程的討論及變形.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式，請問點(diǎn)斜式方程是什么？點(diǎn)斜式方程是怎樣推導(dǎo)的？利用點(diǎn)斜式解答如下問題：（1）已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1(1,2),P2(3,5),求直線l的方程.（2）已知兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通過這兩點(diǎn)的直線方程.思路2.要學(xué)生求直線的方程，題目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2).(分別找3個(gè)同學(xué)說上述題的求解過程和答案，并著重要求說求k及求解過程)這個(gè)答案對我們有何啟示？求解過程可不可以簡化？我們可不可以把這種直線方程取一個(gè)什么名字呢?推進(jìn)新課新知探究提出問題①已知兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，求通過這兩點(diǎn)的直線方程.②若點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此時(shí)這兩點(diǎn)的直線方程是什么？③兩點(diǎn)式公式運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意什么？④已知直線l與x軸的交點(diǎn)為A(a,0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0,b)，其中a≠0,b≠0，求直線l的方程.⑤a、b表示截距是不是直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離？⑥截距式不能表示平面坐標(biāo)系下哪些直線？活動:①教師引導(dǎo)學(xué)生：根據(jù)已有的知識，要求直線方程，應(yīng)知道什么條件？能不能把問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題呢？在此基礎(chǔ)上，學(xué)生根據(jù)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，先判斷是否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而可求出直線方程.師生共同歸納：已知直線上兩個(gè)不同點(diǎn)，求直線的方程步驟：a.利用直線的斜率公式求出斜率k;b.利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程.∵x1≠x2,k=,∴直線的方程為y-y1=(x-x1).∴l(xiāng)的方程為y-y1=(x-x1).①當(dāng)y1≠y2時(shí),方程①可以寫成.②由于②這個(gè)方程是由直線上兩點(diǎn)確定的，因此叫做直線方程的兩點(diǎn)式.注意：②式是由①式導(dǎo)出的，它們表示的直線范圍不同.①式中只需x1≠x2，它不能表示傾斜角為90°的直線的方程；②式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示傾斜角為0°或90°的直線的方程，但②式相對于①式更對稱、形式更美觀、更整齊，便于記憶.如果把兩點(diǎn)式變成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它來求過平面上任意兩已知點(diǎn)的直線方程.②使學(xué)生懂得兩點(diǎn)式的適用范圍和當(dāng)已知的兩點(diǎn)不滿足兩點(diǎn)式的條件時(shí)它的方程形式.教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、觀察和分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x1=x2時(shí)，直線與x軸垂直，所以直線方程為x=x1；當(dāng)y1=y2時(shí)，直線與y軸垂直，直線方程為y=y1.③引導(dǎo)學(xué)生注意分式的分母需滿足的條件.④使學(xué)生學(xué)會用兩點(diǎn)式求直線方程；理解截距式源于兩點(diǎn)式，是兩點(diǎn)式的特殊情形.教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中所給的條件有什么特點(diǎn)？可以用多少方法來求直線l的方程？哪種方法更為簡捷？然后求出直線方程.因?yàn)橹本€l經(jīng)過(a，0)和(0，b)兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得.①就是=1.②注意：②這個(gè)方程形式對稱、美觀,其中a是直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，稱a為直線在x軸上的截距，簡稱橫截距；b是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱b為直線在y軸上的截距，簡稱縱截距.因?yàn)榉匠挞谑怯芍本€在x軸和y軸上的截距確定的，所以方程②式叫做直線方程的截距式.⑤注意到截距的定義，易知a、b表示的截距分別是直線與坐標(biāo)軸x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而不是距離.⑥考慮到分母的原因，截距式不能表示平面坐標(biāo)系下在x軸上或y軸上截距為0的直線的方程，即過原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸平行的直線不能用截距式.討論結(jié)果：①若x1≠x2且y1≠y2,則直線l方程為.②當(dāng)x1=x2時(shí)，直線與x軸垂直，直線方程為x=x1；當(dāng)y1=y2時(shí)，直線與y軸垂直，直線方程為y=y1.③傾斜角是0°或90°的直線不能用兩點(diǎn)式公式表示(因?yàn)閤1≠x2,y1≠y2).④=1.⑤a、b表示的截距分別是直線與坐標(biāo)軸x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而不是距離.⑥截距式不能表示平面坐標(biāo)系下在x軸上或y軸上截距為0的直線的方程，即過原點(diǎn)或與坐標(biāo)軸平行的直線不能用截距式.應(yīng)用示例思路1例1求出下列直線的截距式方程：（1)橫截距是3，縱截距是5；（2)橫截距是10，縱截距是-7；（3)橫截距是-4，縱截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.變式訓(xùn)練已知Rt△ABC的兩直角邊AC=3，BC=4，直角頂點(diǎn)C在原點(diǎn)，直角邊AC在x軸負(fù)方向上，BC在y軸正方向上，求斜邊AB所在的直線方程.答案：4x-3y+12=0.例2如圖1,已知三角形的頂點(diǎn)是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求這個(gè)三角形三邊所在直線的方程.圖1活動:根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)的特征，求AB所在的直線的方程應(yīng)選用兩點(diǎn)式；求BC所在的直線的方程應(yīng)選用斜截式；求AC所在的直線的方程應(yīng)選用截距式.解：AB所在直線的方程，由兩點(diǎn)式,得,即3x+8y+15=0.BC所在直線的方程，由斜截式,得y=-x+2,即5x+3y-6=0.AC所在直線的方程，由截距式,得=1,即2x-5y+10=0.變式訓(xùn)練如圖2,已知正方形的邊長是4，它的中心在原點(diǎn)，對角線在坐標(biāo)軸上，求正方形各邊及對稱軸所在直線的方程.圖2活動:由于正方形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，所以可用截距式求正方形各邊所在直線的方程.而正方形的對稱軸PQ，MN，x軸，y軸則不能用截距式，其中PQ，MN應(yīng)選用斜截式；x軸，y軸的方程可以直接寫出.解:因?yàn)閨AB|=4，所以|OA|=|OB|=.因此A、B、C、D的坐標(biāo)分別為(2,0)、(0,2)、(-2,0)、(0,-2).所以AB所在直線的方程是=1,即x+y-2=0.BC所在直線的方程是=1,即x-y+2=0.CD所在直線的方程是=1,即x+y+2=0.DA所在直線的方程是=1,即x-y-2=0.對稱軸方程分別為x±y=0,x=0,y=0.思路2例1已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC邊上的中點(diǎn).（1）求AB邊所在的直線方程；（2）求中線AM的長;（3）求AB邊的高所在直線方程.解：（1）由兩點(diǎn)式寫方程,得，即6x-y+11=0.（2）設(shè)M的坐標(biāo)為（x0,y0），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得x0==1,y0==1,故M（1，1）,AM==2.(3)因?yàn)橹本€AB的斜率為kAB==-6，設(shè)AB邊上的高所在直線的斜率為k,則有k×kAB=k×(-6)=-1,∴k=.所以AB邊高所在直線方程為y-3=(x-4),即x-6y+14=0.變式訓(xùn)練求與兩坐標(biāo)軸正向圍成面積為2平方單位的三角形，并且兩截距之差為3的直線的方程.解：設(shè)直線方程為=1,則由題意知,有ab=3,∴ab=4.解得a=4,b=1或a=1,b=4.則直線方程是=1或=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0.例2經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條？請求出這些直線的方程.解：當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)y=kx，又過點(diǎn)A(1,2)，則得k=2，即y=2x.當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)=1或=1,過點(diǎn)A(1,2)，則得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.這樣的直線有3條：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.變式訓(xùn)練過點(diǎn)A(-5,-4)作一直線l，使它與兩坐標(biāo)軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為5.答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2、3.拓展提升問題：把函數(shù)y=f(x)在x=a及x=b之間的一段圖象近似地看作直線，設(shè)a≤c≤b，證明f(c)的近似值是f(a)+［f(b)-f(a)］.證明：∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴kAC=kAB,即.∴f(c)-f(a)=［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+［f(b)-f(a)］.∴f(c)的近似值是f(a)+［f(b)-f(a)］.課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家：掌握直線方程兩點(diǎn)式和截距式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用這兩種形式求出直線的方程.理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).了解直線方程截距式的形式特點(diǎn)及適用范圍，樹立辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和求簡的數(shù)學(xué)精神.作業(yè)課本習(xí)題3.2A組9、10.設(shè)計(jì)感想計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展日新月異，將計(jì)算機(jī)引進(jìn)課堂是大勢所趨，有條件的學(xué)?；蚪處熆梢砸M(jìn)或自己制作多媒體課件來輔助教學(xué)，以提高教學(xué)效果，激發(fā)學(xué)生興趣，達(dá)到事半功倍的效果.介紹如下：在直角坐標(biāo)系中，給出兩個(gè)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，但A點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)受變量控制，即是可變的，坐標(biāo)系中顯示A、B兩點(diǎn)決定的直線，且顯示相對應(yīng)的兩點(diǎn)式表示的直線方程，當(dāng)A、B兩點(diǎn)不斷任意變化時(shí)，直線和直線方程也隨之不斷變化(通過動感引發(fā)學(xué)生的興趣)，并伴隨悅耳的音樂聲，只有當(dāng)x1=x2或y1=y2時(shí)，直線依然存在，而直線方程顯示“不存在”(并不斷閃爍)，伴以悅耳的提示音，且變幻的畫面,需用鼠標(biāo)點(diǎn)擊才能繼續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn).對于兩點(diǎn)式的其他變式也可以同樣如法炮制.通過這些形象、生動的畫面和聲音能極大引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，達(dá)到意想不到的效果.下課啦，咱們來聽個(gè)小故事吧:活動目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個(gè)人都要保護(hù)它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個(gè)謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來。”

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻(xiàn)了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗臉洗手又洗腳，

煮飯洗菜又沏茶，生活處處離不開它。

栽小樹，種莊稼，農(nóng)民伯伯把它夸；

魚兒河馬大對蝦，日日夜夜不離它；

采煤發(fā)電要靠它，京城美化更要它。

主持人：同學(xué)們，聽完了這個(gè)快板，你們說水的用處大不大？

甲說：看了他們的快板表演，我知道日常生活種離不了水。

乙說：看了表演后，我知道水對莊稼、植物是非常重要的。

丙說：我還知道水對美化城市起很大作用。

2.主持人：水有這么多用處，你們該怎樣做呢？

（1）（生）：我要節(jié)約用水，保護(hù)水源。

（2）（生）：我以前把水壺剩的水隨便就到掉很不對，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前幾天，我看到了學(xué)校電視里轉(zhuǎn)播的“水日談水”的節(jié)目，很受教育，同學(xué)們看得可認(rèn)真了，知道了我們北京是個(gè)缺水城市，我們再不能浪費(fèi)水了。

（4）（生）：我要用洗腳水沖廁所。

3.主持人：大家談得都很好，下面誰想出題考考大家，答對了請給點(diǎn)掌聲。

（1）（生）：小明讓爸爸刷車時(shí)把水龍頭開小點(diǎn)，請回答對不對。

（2）（生）：小蘭告訴奶奶把洗菜水別到掉，留沖廁所用。

（3）一生跑上說：主持人請把手機(jī)借我用用好嗎？我想現(xiàn)在就給姥姥打個(gè)電話，告訴她做飯時(shí)別把淘米水到掉了，用它沖廁所或澆花用。（電話內(nèi)容略寫）

（4）一生說：主持人我們想給大家表演一個(gè)小品行嗎？

主持人：可以，大家歡迎！請看小品《這又不是我家的》

大概意思是：學(xué)校男廁所便池堵了，水龍頭又大開，水流滿地。學(xué)生甲乙丙三人分別上廁所，看見后又皺眉又罵，但都沒有關(guān)水管，嘴里還念念有詞，又說：“反正不是我家的。”

旁白：“那又是誰家的呢？”

主持人：看完這個(gè)小品，你們有什么想法嗎？誰愿意給大家說說？

甲：剛才三個(gè)同學(xué)太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，應(yīng)該把水龍頭關(guān)上。

乙：上次我去廁所看見水龍頭沒關(guān)就主動關(guān)上了。

主持人：我們給他鼓鼓掌，今后你們發(fā)現(xiàn)水龍頭沒關(guān)會怎樣做呢？

齊：主動關(guān)好。

小記者：同學(xué)們，你們好！我想打擾一下，聽說你們正在開班會，我想采訪一下，行嗎？

主持人：可以。

小記者：這位同學(xué)，你好！通過參加今天的班會你有什么想法，請談?wù)労脝幔?/p>

答：我要做節(jié)水的主人，不浪費(fèi)一滴水。

小記者：請這位同學(xué)談?wù)労脝幔?/p>

答：今天參加班會我知道了節(jié)約每一滴水要從我們每個(gè)人做起。我想把每個(gè)廁所都貼上“節(jié)約用水”的字條，這樣就可以提醒同學(xué)們節(jié)約用水了。

小記者：你們談得很好，我的收獲也很大。我還有新任務(wù)先走了，同學(xué)們再見！

水跑上來說：同學(xué)們，今天我很高興，我“水伯伯”今天很開心，你們知道了有了我就有了生命的源泉，請你們今后一定節(jié)約用水呀！讓人類和動物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你們還有發(fā)言的嗎？

答：有。

生：我代表人們謝謝你，水伯伯，節(jié)約用水就等于保護(hù)我們?nèi)祟愖约骸?/p>

動物：小熊上場說：我代表動物家族謝謝你了，我們也會保護(hù)你的！

花草樹木跑上場說：我們也不會忘記你的貢獻(xiàn)！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同學(xué)們的笑聲不斷。

主持人：水伯伯，您這是干什么呢？

水伯伯：因?yàn)槲姨吲d了，今后還請你們多關(guān)照我呀！

主持人：水伯伯，請放心，今后我們一定會做得更好！再見！

4.主持人：大家歡迎老師講話！

同學(xué)們，今天我們召開的班會非常生動，非常有意義。水是生命之源，無比珍貴，愿同學(xué)們能加倍珍惜它，做到節(jié)約一滴水，造福子孫后代。

5.主持人宣布：“水”是萬物之源主題班會到此結(jié)束。

6.活動效果：

此次活動使學(xué)生明白了節(jié)約用水的道理，浪費(fèi)水的現(xiàn)象減少了，宣傳節(jié)約用水的人增多了，人人爭做節(jié)水小標(biāo)兵

活動目的：教育學(xué)生懂得“水”這一寶貴資源對于我們來說是極為珍貴的，每個(gè)人都要保護(hù)它，做到節(jié)約每一滴水，造福子孫萬代。

活動過程：

1.主持人上場，神秘地說：“我讓大家猜個(gè)謎語，你們愿意嗎？”大家回答：“愿意！”

主持人口述謎語：

“雙手抓不起，一刀劈不開，

煮飯和洗衣，都要請它來。”

主持人問：“誰知道這是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的頭飾上場說：“我就是同學(xué)們猜到的水。聽大家說，我的用處可大了，是真的嗎？”

主持人：我宣布：“水”是萬物之源主題班會現(xiàn)在開始。

水說：“同學(xué)們，你們知道我有多重要嗎？”齊答：“知道?！?/p>

甲：如果沒有水，我們?nèi)祟惥蜔o法生存。

小熊說：我們動物可喜歡你了，沒有水我們會死掉的。

花說：我們花草樹木更喜歡和你做朋友，沒有水，我們早就枯死了，就不能為美化環(huán)境做貢獻(xiàn)了。

主持人：下面請聽快板《水的用處真叫大》

竹板一敲來說話，水的用處真叫大；

洗衣服，洗碗