湖南省長沙雅禮中學(xué)2024屆高三下學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．2．設(shè)集合，則()A． B．C． D．3．若θ是第二象限角且sinθ=，則=A． B． C． D．4．已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù)，則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為（）A．(-2,6) B．(-6,2) C．(-4,3) D．(-3,4)5．設(shè)，分別為雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．為純虛數(shù)7．已知直線是曲線的切線，則（）A．或1 B．或2 C．或 D．或18．過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，，，為切點(diǎn)，當(dāng)直線，關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，（）A． B． C． D．9．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（）A． B． C． D．10．已知集合，將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則（）A．1194 B．1695 C．311 D．109511．函數(shù)，，的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為（）A． B．C． D．12．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍為_____．14．已知不等式的解集不是空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是；若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___15．已知全集，集合則_____．16．二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為_____，含項(xiàng)的系數(shù)為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函數(shù)f(x)的最大值m；（2）正數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c=m，求證：18．（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場上流行多種可實(shí)現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購買“小愛同學(xué)”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)男4560105女554095合計(jì)100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計(jì)該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多少人？（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來，電子購物平臺(tái)成為人們的熱門選擇.為提高市場銷售業(yè)績，某公司設(shè)計(jì)了一套產(chǎn)品促銷方案，并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn).運(yùn)作一年后，對(duì)“采用促銷”和“沒有采用促銷”的營銷網(wǎng)點(diǎn)各選取了50個(gè)，對(duì)比上一年度的銷售情況，分別統(tǒng)計(jì)了它們的年銷售總額，并按年銷售總額增長的百分點(diǎn)分成5組：，分別統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方圖，并規(guī)定年銷售總額增長10個(gè)百分點(diǎn)及以上的營銷網(wǎng)點(diǎn)為“精英店”.（1）請(qǐng)你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”；采用促銷沒有采用促銷合計(jì)精英店非精英店合計(jì)5050100（2）某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤，通過分析上一年度的售價(jià)(單位：元)和日銷量(單位：件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進(jìn)行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表，表中的：①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算的值；②已知該公司成本為10元/件，促銷費(fèi)用平均5元/件，根據(jù)所求出的回歸模型，分析售價(jià)定為多少時(shí)日利潤可以達(dá)到最大.附①：附②：對(duì)應(yīng)一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.20．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角的大??；（2）若，求的面積．21．（12分）如圖，三棱錐中，（1）證明：面面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，且與短軸兩端點(diǎn)的連線相互垂直.（1）求橢圓的方程；（2）若圓上存在兩點(diǎn)，，橢圓上存在兩個(gè)點(diǎn)滿足：三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，且，求四邊形面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用不等式性質(zhì)可判斷，利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【題目詳解】解：對(duì)于實(shí)數(shù)，，不成立對(duì)于不成立．對(duì)于．利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增性質(zhì)，即可得出．對(duì)于指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減性質(zhì)，因此不成立．故選：．【題目點(diǎn)撥】利用不等式性質(zhì)比較大小．要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．2、B【解題分析】

直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可．【題目詳解】解：；∴．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】由θ是第二象限角且sinθ=知：，．所以．4、C【解題分析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可知在R上為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化條件得，解一元二次不等式即可得解.【題目詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，即，解得，即，易知在R上為增函數(shù).又，所以，解得.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，考查了一元二次不等式的解法，屬于中檔題.5、C【解題分析】

設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，且，再由和雙曲線的定義可得，得出為中點(diǎn)，則有，得到，即可求解.【題目詳解】設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為，，所以是中點(diǎn)，，，.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì)，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.6、D【解題分析】

將復(fù)數(shù)整理為的形式，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【題目詳解】的虛部為，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的模長、實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

求得直線的斜率，利用曲線的導(dǎo)數(shù)，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，求得的值.【題目詳解】直線的斜率為，對(duì)于，令，解得，故切點(diǎn)為，代入直線方程得，解得或1.故選：D【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

判斷圓心與直線的關(guān)系，確定直線，關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是與直線垂直，從而等于到直線的距離，由切線性質(zhì)求出，得，從而得．【題目詳解】如圖，設(shè)圓的圓心為，半徑為，點(diǎn)不在直線上，要滿足直線，關(guān)于直線對(duì)稱，則必垂直于直線，∴，設(shè)，則，，∴,．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線的對(duì)稱性，解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對(duì)稱，得出與直線垂直，從而得就是圓心到直線的距離，這樣在直角三角形中可求得角．9、D【解題分析】

由，可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而可知的最小值為，求解即可.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意得，，得，解得，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則的最小值為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.10、D【解題分析】

確定中前35項(xiàng)里兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)，數(shù)列中第35項(xiàng)為70，這時(shí)可通過比較確定中有多少項(xiàng)可以插入這35項(xiàng)里面即可得，然后可求和．【題目詳解】時(shí)，，所以數(shù)列的前35項(xiàng)和中，有三項(xiàng)3，9，27，有32項(xiàng)，所以．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列分組求和，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ)．解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的前35項(xiàng)中有多少項(xiàng)是中的，又有多少項(xiàng)是中的．11、A【解題分析】

根據(jù)圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點(diǎn)求出，化簡即得所求.【題目詳解】由圖像知，，，解得，因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，所以，，即，解得，因?yàn)?，所以?故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【題目詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的等價(jià)命題是方程在區(qū)間上有解，化簡方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.【題目詳解】解：根據(jù)題意，若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則方程在區(qū)間上有解，即方程在區(qū)間上有解，設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，又由，可得：當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故函數(shù)有最小值，又由；比較可得：，故函數(shù)有最大值，故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?；若方程在區(qū)間上有解，必有，則有，即的取值范圍是；故答案為：；【題目點(diǎn)撥】本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題,函數(shù)零點(diǎn)問題的拓展.由于函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根，在研究方程的有關(guān)問題時(shí)，可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.14、【解題分析】

利用絕對(duì)值的幾何意義，確定出的最小值，然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡不等式，求出的最大值，然后求出結(jié)果【題目詳解】的最小值為，則要使不等式的解集不是空集，則有化簡不等式有，即而當(dāng)時(shí)滿足題意，解得或所以答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問題和絕對(duì)值不等式，要注意到絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合來解答本題，注意去絕對(duì)值時(shí)的分類討論化簡15、【解題分析】

根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【題目詳解】解：．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了補(bǔ)集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

將代入二項(xiàng)式可得展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得出項(xiàng)的系數(shù).【題目詳解】將代入二項(xiàng)式可得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為.二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，令，解得，因此，展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：；.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）利用絕對(duì)值三角不等式求得的最大值.（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式證得不等式成立；方法二，利用“的代換”的方法，結(jié)合基本不等式證得不等式成立.【題目詳解】（1）由絕對(duì)值不等式性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以（2）由（1）得.法1：由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以.法2：由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查絕對(duì)值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式，屬于中檔題.18、（1）多2350人；（2）有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解題分析】

（1）根據(jù)題意，知100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估計(jì)該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性人數(shù)和購買“天貓精靈”的女性的人數(shù)，即可求得答案；（2）根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.【題目詳解】解：（1）由題可知，100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，由于地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，估計(jì)購買“小愛同學(xué)”的女性有人.估計(jì)購買“天貓精靈”的女性有人.則，∴估計(jì)該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.（2）由題可知，，∴有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)抽樣估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.19、（1）列聯(lián)表見解析，有把握；（2）①；②元時(shí)【解題分析】

（1）直接由題意列出列聯(lián)表，通過計(jì)算，可判斷精英店與采用促銷活動(dòng)是否有關(guān).（2）①代入表中數(shù)據(jù)，結(jié)合公式求出；②由①中所得的線性回歸方程，若售價(jià)為，單價(jià)利潤為，日銷售量為，進(jìn)而可求出日利潤，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求最值.【題目詳解】解：（1）由題意知，采用促銷中精英店的數(shù)量為，采用促銷中非精英店的數(shù)量為；沒有采用促銷中精英店的數(shù)量為，沒有采用促銷中非精英店的數(shù)量為，列聯(lián)表為采用促銷沒有采用促銷合計(jì)精英店352055非精英店153045合計(jì)5050100因?yàn)橛械陌盐照J(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”.（2）①由公式可得：所以回歸方程為②若售價(jià)為，單件利潤為，日銷售為，故日利潤，解得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故當(dāng)售價(jià)元時(shí)，日利潤達(dá)到最大為元.【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了線性回歸方程的求法，考查了函數(shù)最值的求解.在求函數(shù)的最值時(shí)，常用的方法有：函數(shù)圖像法、結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析最值、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法.其中最常用的還是導(dǎo)數(shù)法.20、（1）；（2）【解題分析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用二倍角的正弦公式與正弦的和角公式化簡求解即可.(2)由(1)有,根據(jù)正弦定理可得,進(jìn)而求得的值,再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【題目詳解】（1）由,得,得,由正弦定理得,顯然,同時(shí)除以,得.所以.所以.顯然,所以,解得.又,所以.（2）若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正余弦定理與面積公式在解三角形中的運(yùn)用,需要根據(jù)題意用正弦定理進(jìn)行邊角互化,再根據(jù)三角恒等變換進(jìn)行化簡求解等.屬于中檔題.21、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，證明平面得到答案.（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)