將軍飲馬模型將軍飲馬模型模型講解模型講解一、求線段之和的最小值1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：A、A’是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）、臺(tái)球兩次碰壁模型變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.二、求兩線段差的最大值問(wèn)題1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：解析：延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：解析：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’方法點(diǎn)撥一、題型特征：①AP+PB或者AM+MN+AN②兩定點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)或一定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)③動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線二、模型本質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短。例題演練例題演練1．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF分別交AB、AC邊于點(diǎn)E、F，點(diǎn)K為EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BK+CK的最小值是以下哪條線段的長(zhǎng)度（）A．EF B．AB C．AC D．BC【解答】解：連接AK，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AK＝BK，∴BK+CK＝AK+CK，∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，∵AK+CK≥AC，∴當(dāng)AK+CK＝AC時(shí)，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，∴BK+CK的最小值是線段AC的長(zhǎng)度，故選：C．2．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小，則∠AMN+∠ANM＝°．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AB到A′使得BA′＝AB，延長(zhǎng)AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N．∵A、A′關(guān)于BC對(duì)稱，A、A″關(guān)于CD對(duì)稱，∴AM＝A'M，AN＝A″N，此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小值等于A'A″的長(zhǎng)，∵BA＝BA′，NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝130°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°，∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°．故答案為：100．3．如圖已知EF∥GH，AC⊥EF于點(diǎn)C，BD⊥EF于點(diǎn)D交HG于點(diǎn)K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．（1）若CD＝6，點(diǎn)M是CD上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等時(shí)，求CM的長(zhǎng)；（2）若CD＝，點(diǎn)P是HG上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是EF上一點(diǎn)，連接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．【解答】解：（1）如圖1中，連接AB，作線段AB的中垂線MN，交AB于N，交EF于M，連接AM，BM．設(shè)DM＝x．在Rt△ACM中，AM2＝AC2+CM2＝32+（6﹣x）2，在Rt△BDM中，BM2＝DM2+BD2＝x2+62，∵AM＝MB，∴32+（6﹣x）2＝x2+62，解得x＝，∴CM＝CD﹣MD＝6﹣＝．（2）如圖2中，如圖，作點(diǎn)A故直線GH的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′交GH于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)Q，作B′H⊥CA交CA的延長(zhǎng)線于H．則此時(shí)AP+PQ+QB的值最小．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可知：PA＝PA′，QB＝QB′，∴PA+PQ+QB＝PA′+PQ+QB′＝A′B′，∴PA+PQ+PB的最小值為線段A′B′的長(zhǎng)，在Rt△A′B′H中，∵HB′＝CD＝，HA′＝DB′+CA′＝7+6＝13，∴A′B′＝＝＝，∴AP+PQ+QB的最小值為．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，B（3，3），點(diǎn)D在邊AB上，AD＝2BD，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊OB上的動(dòng)點(diǎn)，若使四邊形PCAD周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）（，）B．（2，2）C．（，）D．（，）2．如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是．3．如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE＞AE，在BC，DE上分別找一點(diǎn)M，N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為．4．如圖，∠AOB＝45°，P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PO＝10，點(diǎn)Q，R分別在∠AOB的兩邊上，△PQR周長(zhǎng)的最小值是．5．如圖所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝12，ON＝4．點(diǎn)P、Q分別是OA、OB上動(dòng)點(diǎn)，則MQ+PQ+NP的最小值是．6．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分別是邊AB、AC、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PN和MN，則PM+PN+MN的最小值是．7．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝17，CD為AB邊上的高，CD＝12，點(diǎn)P為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則△MNP周長(zhǎng)的最小值是．8．已知：M、N分別是∠AOB的邊OA、OB上的定點(diǎn)，（1）如圖1，若∠O＝∠OMN，過(guò)M作射線MD∥OB（如圖），點(diǎn)C是射線MD上一動(dòng)點(diǎn)，∠MNC的平分線NE交射線OA于E點(diǎn)．試探究∠MEN與∠MCN的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若P是線段ON上一動(dòng)點(diǎn)，Q是射線MA上一動(dòng)點(diǎn)．∠