修橋選址模型修橋選址模型模型講解模型講解已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：過(guò)A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：過(guò)A點(diǎn)作AE∥m,且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。方法點(diǎn)撥一、題型特征：AP+PQ+QB（其中PQ長(zhǎng)度一定）①兩動(dòng)點(diǎn)在一直線上運(yùn)動(dòng)，且兩動(dòng)點(diǎn)間的距離不變，兩定點(diǎn)分居兩動(dòng)點(diǎn)所在直線的兩側(cè)；②過(guò)任一定點(diǎn)作兩動(dòng)點(diǎn)所構(gòu)成線段的平行且相等，將這一定點(diǎn)經(jīng)行平移；③將平移后得到的點(diǎn)與另一定點(diǎn)相連。二、模型本質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短。例題演練例題演練1．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝2，當(dāng)BP＝（）時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最?。瓵．3 B．4 C．5 D．2【解答】解：如圖，在AD上截取線段AF＝PQ＝2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，∴∠GEH＝45°，∴∠CEQ＝45°，設(shè)BP＝x，則CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，在△CQE中，∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ＝EC，∴6﹣x＝2，解得x＝4．故選：B．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2018?如東縣二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF＝，連接CE，CF，則△CEF周長(zhǎng)的最小值為．2．（2020?陜西模擬）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，滿足AB＝MN，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，連接AN、PM，若AB＝6，則當(dāng)AN+PM的值最小時(shí)，線段AN的長(zhǎng)度為．3．如圖，G、B為直線l上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且GB＝2，P、Q為直線l外兩定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谥本€l上作出使得四邊形PGBQ周長(zhǎng)最小的G、B．4．（2019秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E為直線BC上一點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)E在線段BC上，且DE＝AD時(shí)，求BE的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若BD＝BE，連接DE，M為ED的中點(diǎn)，連接AM，CM，求證：AM⊥CM；（3）如圖3，在（2）條件下，P，Q為AD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ＝5，連接PB、MQ、BM，求四邊形PBMQ的周長(zhǎng)的最小值．5．（2018春?寶安區(qū)期末）如圖1，已知平行四邊形ABCO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，AB交y軸于點(diǎn)D，AD＝2，OC＝6，∠A＝60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點(diǎn)P為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸于點(diǎn)M點(diǎn)，點(diǎn)E與E′關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BP、E′M．（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)BP+PM+ME′的長(zhǎng)度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）如圖2，點(diǎn)N為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)且CM＝CN，連接MN，是否存在點(diǎn)P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的EP的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2017?內(nèi)江中考真題）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l