目錄

0.基本數(shù)量關(guān)系...............................3

1.行程問題...............................4

1.1相遇追及問題...........................4、5

（相遇、追及、錯車與超車、鐘表問題）

1.2流水問題/行船問題........................6

1.3過橋問題................................6

L4行程綜合...............................7

2.計算問題...................................8

2.1加減法...................................8

（加法、減法、等差數(shù)列求和）

2.2乘法的速算...............................11

2.3除法的速算...............................13

2.4定義新運算...............................14

2.5巧算速算：小數(shù)...........................14

2.6分?jǐn)?shù)大小的比較...........................15

2.7分?jǐn)?shù)拆分...............................16

2.8找規(guī)律...................................18

2.9填數(shù)、符號...............................19

3.數(shù)論問題.................................20

3.1奇數(shù)與偶數(shù)...............................20

3.2數(shù)的整除、整數(shù)拆分......................20

3.3余數(shù)問題、同余與周期....................22

3.4約數(shù)與倍數(shù)..............................23

2.5質(zhì)數(shù)與合數(shù)...............................24

2.6分解因式.................................24

2.7數(shù)進(jìn)制...................................25

3.8完全平方數(shù)...............................25

3.9循環(huán)小數(shù).................................26

3.10比和比例...............................26

4.計數(shù)問題.....................................27

4.1幾何圖形計數(shù)............................27

4.2加法乘法原理............................28

4.3容斥原理................................32

5.應(yīng)用題（解題方法）.......................34

5.1和差倍問題...............................34

5.2歸一歸總.................................35

5.3平均數(shù)...................................35

5.4植樹問題.................................36

5.5年齡問題.................................38

5.6工程問題.................................38

5.7盈虧問題.................................38

5.8假設(shè)問題（雞兔同籠、牛吃草、）..........39

5.9還原問題..............................40

5.10列方程解應(yīng)用題.........................41

5.11消元問題...............................42

5.12其他解題方法..........................43

（有序思考、圖形法、列表法、錯中求解、一題多解、開放題）

6.幾何問題..................................45

6.1小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計算公式...................45

6.2圓的計算...............................46

6.3幾何面積...............................46

6.4立體圖形...............................47

7.雜題.....................................49

7.1抽屜原理...............................49

7.2邏輯推理...............................49

7.3最優(yōu)化（統(tǒng)籌）.........................50

7.4幻方與數(shù)陣.............................50

7.5時間問題...............................50

7.6周期問題...............................50

7.7智力趣題...............................50

7.8其他...................................50

基本數(shù)量關(guān)系

1每份數(shù)X份數(shù)=總數(shù)

總數(shù)?每份數(shù)=份數(shù)

總數(shù)?份數(shù)=每份數(shù)

21倍數(shù)X倍數(shù)=幾倍數(shù)

幾倍數(shù)?1倍數(shù)=倍數(shù)

幾倍數(shù)?倍數(shù)=1倍數(shù)

3速度X時間=路程

路程+速度=時間

路程小時間=速度

4單價X數(shù)量=總價

總價+單價=數(shù)量

總價?數(shù)量=單價

5工作效率X工作時間=工作總量

工作總量+工作效率=工作時間

工作總量+工作時間=工作效率

6加數(shù)+加數(shù)=和

和個加數(shù)=另一個加數(shù)

7被減數(shù)一減數(shù)=差

被減數(shù)一差=減數(shù)

差+減數(shù)=被減數(shù)

8因數(shù)X因數(shù)=積

積?一個因數(shù)=另一個因數(shù)

9被除數(shù)+除數(shù)=商

被除數(shù)+商=除數(shù)

商X除數(shù)=被除數(shù)

1.行程問題

簡單的相遇、追及問題基本行程問題火車過橋流水行船平均速度

多人行程二次相遇、追及問題多次相遇、追及問題發(fā)車問題

環(huán)形跑道鐘面行程走走停停接送問題電梯行程獵狗追兔

行程問題：走路、行車等勻速運動中的速度、時間和路程三者關(guān)系的應(yīng)用題叫行程問題。

行程問題根據(jù)題目的內(nèi)容、性質(zhì)所需要解答的問題，又分為相遇問題、追及問題、火車過橋

問題等。解答各類行程問題的基礎(chǔ)，要掌握速度、時間和路程三種量之間的關(guān)系：

路程=速度X時間時間=路程+速度速度=路程+時間

1.1相遇追及問題/16.X146154四A148、178四52、59、67五84華4.1-6

相遇問題的公式

相遇問題的特點是兩個運動物體或人，同時或不同時從兩地相向而行，或同時同地相背

而行，要解答相遇問題，掌握以下數(shù)量關(guān)系：

*速度和=甲速度+乙速度

相遇路程=速度和X相遇時間

相遇時間=相遇路程4-速度和

速度和=相遇路程+相遇時間

狗走路程=距離+（甲速度+乙速度）X狗速度

追及問題的公式四A178華4.2-7

運動的物體或人同向而不同時出發(fā)，后出發(fā)的速度快，經(jīng)過一段時間追上先出發(fā)的，這

樣的問題叫做追及問題，解答追及問題的基本條件是“追及路程”和“速度差”。追及問題

的基本數(shù)量關(guān)系是：

*一個速度快的物體追一個速度慢的物體。*追及距離=路程差

追及距離=速度差X追及時間

追及時間=追及距離+速度差

速度差=追及距離+追及時間

錯車與超車（相遇追擊問題）五94

鐘表問題

1解答鐘表問題，我們首先想辦法把有些能轉(zhuǎn)化成相遇或追及問題的轉(zhuǎn)化為相遇或追及問題

來解答。

2解答鐘表上的時間快慢問題，關(guān)鍵是抓住單位時間內(nèi)的誤差，然后根據(jù)某一時間段內(nèi)含多

少個單位時間，就可以求出這一時間段內(nèi)的誤差。

時鐘問題一一，快慢表問題

基本思路：

1、按照行程問題中的思維方法解題；

2、不同的表當(dāng)成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4、時間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時間；

5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系；

時鐘問題一一鐘面追及

基本思路：封閉曲線上的追及問題。

關(guān)鍵問題：①確定分針與時針的初始位置；

②確定分針與時針的路程差；

基本方法：

①分格方法：

時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格，

即一周；而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。

②度數(shù)方法:

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°,分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60度，即6°,時針每分鐘

轉(zhuǎn)360/12*60度，即1/2度。

1.2流水問題/行船問題三196四140五102華5.1-8

船在江河里航行，前進(jìn)的速度與水流動的速度有關(guān)系。船在流水中行程問題，叫做行船問題

（也叫流水問題）。

水速對船速有推送（順行）或頂逆（逆行）的不同左右。

*船順流而下的速度和逆流而上的速度與船速、水速的關(guān)系是：

順流速度=靜水速度（船速）+水流速度（水速）

逆流速度=靜水速度（船速）一水流速度（水速）

靜水速度=（順流速度+逆流速度）4-2

水流速度=（順流速度一逆流速度）4-2

*由于順?biāo)俣仁谴倥c水速的和，逆水速度是船速與水速的差，因此行船問題就是和差問題,

所以解答行船問題有時需要駝用和差問題的數(shù)量關(guān)系。

船速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

水速=（順?biāo)俣纫荒嫠俣龋?2

因為行船問題也是行程問題，所以在行船問題中也反映了行程問題的路程、速度與時間的關(guān)

系。

順?biāo)烦?順?biāo)俣萖時間=（船速+水速）X時間

逆水路程=逆水速度X時間=（船速-水速）X時間

1.3過橋問題/15.X三100、105四47

過橋問題的一船的數(shù)量關(guān)系是：

路程=橋長+車長

車速=（橋長+車長）+通過時間

通過時間=（橋長+車長）+車速

車長=車速義通過時間一橋長

橋長=車速x通過時間一車長

總行駛路程=車速X通過時間

1.4綜合行程華5.1-7

基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系.

基本公式：路程=速度X時間；路程+時間=速度；路程?速度=時間

關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和X相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間=路程差+速度差（寫出其他公式）

流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）X順?biāo)畷r間

逆水行程=（船速-水速）X逆水時間

順?biāo)俣?船速+水速

逆水速度=船速-水速

靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）4-2

水速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、

速度差）中任意兩個量，求第三個量。

2.計算問題

數(shù)學(xué)計算公式湊整拆分找規(guī)律比較與估算循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

繁分?jǐn)?shù)的計算分?jǐn)?shù)裂項與整數(shù)裂項換元法通項歸納定義新運算

特殊數(shù)列求和分?jǐn)?shù)比大小

巧算速算/31.XI、47、13、41、61、92、86、267

2.1加減法二61、118三A14、64配對求和、五39巧妙求和、79華3.1-1華4.1-1

*湊整法二61

**補數(shù):兩個數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬…，就把其中的一個數(shù)叫做另

一個數(shù)的“補數(shù)”。兩個數(shù)互為“補數(shù)”。

對于一個較大的數(shù)，如何能很快地算出它的“補數(shù)”：從最高位湊起，使各位數(shù)字相加得

9,到最后個位數(shù)字相加得10。

如：87655fl2345,46802—53198,87362fl2638,…

**帶運算符號搬家，先把和是整十、整百、整千的數(shù)算出來。二118

(改變運算順序：在只有“+”、"-”號的混合算式中，運算順序可改變)

(每個數(shù)前面的運算符號是這個數(shù)的符號.如325+46T25+54中的+46,-125,+54.而325前

面雖然沒有符號，應(yīng)看作是+325。)

***兩個數(shù)相同而符號相反的數(shù)可以直接“抵消”掉。

**先拆分，再湊整。96+15=96+(4+11)

63+18+19=60+2+1+18+19=60+(2+18)+(1+19)

***在涉及所有數(shù)字都是9的計算中，常使用湊整法.例如將999化成1000—1去計算.這是小學(xué)

數(shù)學(xué)中常用的一種技巧.

9+99+999+9999+99999=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+(100000-1)

=10+100+1000+10000+100000-5

***除最高位是1外，其余都是9,仍使用湊整法.不過這里是加1湊整.(如199+1=200)

199999+19999+1999+199+19

=(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)+(19+1)-5

加法的速算

(1)加法交換律(2)加法結(jié)合律

(3)互補數(shù)如果兩個數(shù)的和是整十、整百、整千…那么這樣的兩個數(shù)叫做互為補數(shù)。

(4)基準(zhǔn)數(shù)法：三1

*為了湊整，多加幾個就減幾個，多減幾個就加幾個。(加整減零，減整加零，變更被減數(shù)。)

23+20+19+22+18+21=20X6+3+0T+2-2+1

?1966、1976、1986、1996、2006五個數(shù)的總和.

減法的速算

(1)一個數(shù)減去幾個數(shù)的和，可以用這個數(shù)依次減去和里面的各個加數(shù)。

(2)一個數(shù)減去兩個數(shù)的差，可以用這個數(shù)先減去差里的被減數(shù)，再加上減數(shù)；或用這個

數(shù)加上差里的減數(shù)，再減去被減數(shù)。

(3)一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以交換減數(shù)的位置，差不變。

先減去那些與被減數(shù)有相同尾數(shù)的減數(shù)。2356-159-256=2356-256-159

(4)集中相減三1

*把幾個互為“補數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去。

1000-90-80-20-10=1000-(90+80+20+10)

加減法混合運算的性質(zhì)：

(1)交換的性質(zhì)：在加減法混合運算式題中，帶著數(shù)字前面的運算符號，交換加減數(shù)的位置順序進(jìn)行計

算，其結(jié)果不變。

(2)結(jié)合的性質(zhì)：在加減混合運算式題中，可以把加數(shù)、減數(shù)用括號結(jié)合起來，當(dāng)加號后面添括號時，

原來的運算符號不變：當(dāng)減號后面添括號時，則原來的減數(shù)變加數(shù)，加數(shù)變減數(shù)。如：

去括號和添括號的法貝g

在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“+”號，則不論去掉括號或添上括號，括

號里面的運算符號都不變；如果括號前面是“-”號，則不論去掉括號或添上括號，括號里面

的運算符號都要改變，“+”變變"+”，即:

a+(b+c+d)=a+b+c+d

a-(b+a+d)=a-b-c-d

a-(b-c)=a-b+c

在加減混合運算中，根據(jù)運算定律和運算性質(zhì)可以歸納為：

括號前面是加號，去掉括號不變號；

加號后面添括號，括號里面不變號；

括號前面是減號，去掉括號要變號；

減號后面添括號，括號里面要變號。

注：號是指數(shù)字前面的運算符號。

如果我們能夠靈活運用運算定律和運算性質(zhì)計算，會使計算做得又對又快。

等式加減法二174

等差數(shù)列求和四A39、79四40、46五2華4.1-4

數(shù)列是指按一定規(guī)律順序排列成一列數(shù)。如果一個數(shù)列中從第二個數(shù)開始，每一個數(shù)減

去前一個數(shù)所得的差都是相等的話，我們就把這樣的一列數(shù)叫做等差數(shù)列。

等差數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做項，第一個數(shù)叫第一項，通常也叫“首項”，第二個數(shù)叫

第二項，第三個數(shù)叫第三項……最后一項叫做“末項”。

等差數(shù)列中相鄰兩項的差叫做“公差”。等差數(shù)列中項的個數(shù)叫做“項數(shù)”。

等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用al表示；

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示；

通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：al,an,d,n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其

中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：通項公式：an=al+(n—1)d；

通項=首項+(項數(shù)一1)X公差；

數(shù)列和公式：sn,=(al+an)Xn4-2；

數(shù)列和=(首項+末項)X項數(shù)+2；

項數(shù)公式：n=(an+al)-rd+1；

項數(shù)=(末項-首項)?公差+1；

公差公式：d=(an—al))4-(n—1)；

公差=(末項一首項)+(項數(shù)一1)；

關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；

1.等差連續(xù)數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，它們的和等于中間數(shù)乘以個數(shù)，簡記成：

和=中間數(shù)義個數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9=5*9中間數(shù)是5

2.等差連續(xù)數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，它們的和等于首數(shù)與末數(shù)之和乘以個數(shù)的一半，簡記成:

和=(首數(shù)+末數(shù))X(個數(shù)+2)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)X5=1IX5=55

2.2乘法的速算三5三A70五165華4.1-2

1.湊整、湊易算

*兩數(shù)的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個特殊的等式：5X2=10

25X4=100125X8=1000

2.配對125X2X8X25X5X4=(125X8)X(25X4)X(5X2)

3.分組、分類簡化。分解因數(shù)，湊整先乘。

24X25=6X(4X25)56X125=7X8X125=7X(8X125)

125X5X32X5=125X5X4X8X5=(125X8)X(5X5X4)

4.運算定律：乘法中的速算，要運用以下定律：

(1)乘法交換律(2)乘法結(jié)合律(3)乘法分配律

(4)乘法性質(zhì)①兩個數(shù)的差與一個數(shù)相乘，可以用被減數(shù)和減數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把所

得的積相減。

②一個數(shù)與兩個數(shù)的商相乘，可用這個數(shù)先與商里的被除數(shù)相乘，再除以商里的除數(shù)；或用

這個數(shù)先除以商里的除數(shù)，再與商里的被除數(shù)相乘。

32X125X27537X48X625

=(4X8)X125X(25X11)=37X(3X16)X625注意37X3=111

=(4X25)X(8X125)XH=(37X3)X(16X625)

=111X10000

=100X1000X11=1110000

=1100000注意37X3=111

(5)積的變化規(guī)律

(6)特殊數(shù)字的乘積

5X2=1025X4=100125X8=100025X16=1000037X3=11175X4=300375X8=3000

**幾種特殊因數(shù)的巧算。

***X10、X100,X1000

例一個數(shù)X10,數(shù)后添0；15X10=150

一個數(shù)X100,數(shù)后添00；15X100=1500

一個數(shù)X1000,數(shù)后添000；15X1000=15000

***一個數(shù)X9,數(shù)后添0,再減此數(shù)；12X9=120-12=108

一個數(shù)X99,數(shù)后添00,再減此數(shù)；12X99=1200-12=1188

一個數(shù)X999,數(shù)后添000,再減此數(shù)；12X999=12000-12=11988

以此類推。

***一個偶數(shù)乘以5,可以除以2添上0。

如：6X5=3016X5=80116X5=580

***一個數(shù)乘以11,“兩頭一拉，中間相加”

***一個偶數(shù)乘以15,“加半添0”.24X15=(24+12)X10=360

***個位為5的兩位數(shù)的自乘：十位數(shù)字X(十位數(shù)字加1)X100+25

如15X15=1X(1+1)X100+25=22525X25=2X(2+1)X100+25=625

35X35=3X(3+1)X100+25=1225

***一個數(shù)乘以11,“兩頭一拉，中間相加”。如2222X11=24442

注意：某數(shù)乘以11的積等

于該數(shù)錯位相加之和，如：

25

XI1

~25

25

275

***恒等變形：

比較下面兩個積的大?。?/p>

A=987654321X123456789,

B=987654322X123456788.

解：A=987654321X123456789=987654321X(123456788+1)

=987654321X123456788+987654321.

B=987654322X123456788=(987654321+1)X123456788

=987654321X123456788+123456788.

因為987654321>123456788,所以A>B.

***一般說來，將一個整數(shù)拆成兩部分(或兩個整數(shù))，兩部分的差值越小時，這兩部分的乘

積越大.

如：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5則5X5=25積最大.

下面哪道題得數(shù)最大：241X249242X248243X247244X246245X245

取整計算：華6.2-2

在數(shù)學(xué)計算中，有時會略去某些量的小數(shù)部分，而只需求它的整數(shù)部分.比如，用5米長的花

布做上衣，已知每件上衣需用布2米，求這塊布料可以做幾件？

所以數(shù)學(xué)上引進(jìn)了符號（），使我們的表述簡明.[a]表示不超過a的最大整數(shù)，稱為a

的整數(shù)部分.

[a]顯然有以下性質(zhì)：

①[a]是整數(shù)；

②[x]Wx；

③x<[x]+l；

④若b2L則[a+b]>(a)；

若bWL則(a+b)W[a]+L

2.3除法的速算三25、30三A49、76

除法中的速算，要根據(jù)以下各種性質(zhì)：

*在乘除混合運算中，乘數(shù)和除數(shù)都可以帶符號“搬家”。864X27+54=864+54X27

(1)兩個數(shù)或幾個數(shù)的積除以一個數(shù)，可以先用積里的任何一個因數(shù)除以這個數(shù)，所得的商

再與其他因數(shù)相乘。

(2)一個數(shù)除以兩個數(shù)的積，可以用這個數(shù)依次除以積里的各個因數(shù)。

(3)一個數(shù)除以兩個數(shù)的商，可以用這個數(shù)除以商里的被除數(shù)，再乘以商里的除數(shù)；或者用

這個數(shù)乘以商里的除數(shù)，再除以商里的被除數(shù)。

(4)兩個或幾個數(shù)的和除以一個數(shù)，可以把和里的各個數(shù)分別除以這個數(shù)，再把它們的商相

加。

(5)兩個數(shù)的差除以一個數(shù)，可以用被減數(shù)、減數(shù)分別除以這個數(shù)，再把所得的商進(jìn)行相減。

(當(dāng)n個數(shù)都除以同一個數(shù)后再加減時，可以將它們先加減之后再除以這個數(shù)。)

(6)商不變的性質(zhì)：如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，商不變。

***一個數(shù)除以10、100、1000比較容易：

①110+5=(110X2)+(5X2)=2204-10=22

②3300+25=(3300X4)4-(25X4)=132004-100=132

③440004-125=(44000X8)+(125X8)=3520004-1000=352

(7)乘除法混合運算的交換性質(zhì)：在乘除混合運算中，帶著數(shù)字前面的運算符號交換乘數(shù)、

除數(shù)的位置，結(jié)果不變。

在乘法、除法和乘除法混合運算中，根據(jù)運算的定律和運算性質(zhì)，可以歸納為：

括號前面是乘號，去掉括號不變號；

乘號后面添括號，括號里面不變號；

括號前面是除號，去掉括號要變號；

除號后面添括號，括號里面要變號；

注：號是指數(shù)字前面的運算符號。

***在乘除混合運算中“去括號”或添“括號”的方法：如果“括號”前面是乘號，去掉“括

號”后，原“括號”內(nèi)的符號不變；如果“括號”前面是除號，去掉“括號”后，原“括號”

內(nèi)的乘號變成除號，原除號就要變成乘號，添括號的方法與去括號類似。

即aX(b+c)=aXb+c從左往右看是去括號，

a4-(bXc)=a-rb-rc從右往左看是添括號。

a-7-(b4-c)=a-rbXc

2.4定義新運算115華4.1-3

基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本(混合)運算。

基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按

照基本運算過程、規(guī)律進(jìn)行運算。

關(guān)鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

2.5巧算速算：小數(shù)51五9

比較大小

估算最常用的技巧是“放大縮小”，即先對某個數(shù)或算式進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹胺糯蟆被颉翱s小”，

確定它的取值范圍，再根據(jù)其他條件得出結(jié)果，調(diào)整放縮幅度的方法有兩條：一是分組（分

段），并盡可能使每組所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)相同；另一種方法是按近似數(shù)乘除法計算法則，比要求

的精確度多保留一位，進(jìn)行計算。

2.6分?jǐn)?shù)大小的比較

通分（通分子、通分母）、與“1”相減、比倒數(shù)、重要結(jié)論、放縮法、做商比較、交叉相乘、

跟著感覺走、

①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。

（分子相同的分?jǐn)?shù)比較大小，分母大的分?jǐn)?shù)反而小。）

②通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。

（分母相同的分?jǐn)?shù)比較大小，分子大的分?jǐn)?shù)比較大。）

③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。

④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個分子或分母同時變化時分?jǐn)?shù)的大小，除了運用以上方法外，可以

用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。

⑦倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。

⑧大小比較法：用一個分?jǐn)?shù)減去另一個分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個基準(zhǔn)數(shù)，每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。（用“第三個數(shù)”1比較大?。?/p>

分子和分母都不相同的分?jǐn)?shù)比較大小，可以把它們轉(zhuǎn)化成分母相同的分?jǐn)?shù)比較大小；也可以

把它們轉(zhuǎn)化成分子相同的分?jǐn)?shù)比較大小。

一個真分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上同一個自然數(shù)，所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)大。

一個真分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去同一個自然數(shù)（這個自然數(shù)小于真分?jǐn)?shù)的分子），所得的新分

數(shù)比原分?jǐn)?shù)小。

一個假分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去同個自然數(shù)（這個自然數(shù)小于假分?jǐn)?shù)分母），所得的新分?jǐn)?shù)比

原分?jǐn)?shù)大。

一個假分?jǐn)?shù)的分子、分母都加上同一個自然數(shù)，所得的新分?jǐn)?shù)比原分?jǐn)?shù)小。

2.7分?jǐn)?shù)拆分

把一個分?jǐn)?shù)拆成兩個或兩個以上分?jǐn)?shù)的和或差的形式，叫做分?jǐn)?shù)的拆分。

1111111111_1

-4---—=--1-----；等等。

185427184530,189922,62-312-34

一、將一個分?jǐn)?shù)單位分解成兩個分?jǐn)?shù)之和的公式:

11x33121111x441311

例:—=----=—=—1—=—1—-=--1--——1--

22x3666633-3^4121212124

1_1x55141

20,20

44x52020

111_1_1

方法一：-=+----

n〃+1〃x(〃+l)n〃+1

方法二：把一個分?jǐn)?shù)單位拆分成兩個分?jǐn)?shù)單位之和的方法是

⑴找分母的約數(shù)；

⑵擴分把分?jǐn)?shù)單位’的分子、分母分別乘A的任意兩個約數(shù)之和；

A

⑶拆分把所得分?jǐn)?shù)拆分成兩個分?jǐn)?shù)之和，使兩個約數(shù)恰好是兩個分?jǐn)?shù)的分子;

（4）約分把所得兩個分?jǐn)?shù)約成最簡分?jǐn)?shù)。

怎樣把一個分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)的差。

當(dāng)一個分?jǐn)?shù)為——的形式時，可以拆分為‘一」一的形式（n為自然數(shù)，且n不為0）

nx（/?7-1）nn

1_1_1

即:

nx(n-/-1)nn+\

11111_11

例如:；--

204^54-5426^767

分?jǐn)?shù)拆分的具體應(yīng)用

例?計算：1+1+—+—+—+—

2612203042

111111_11111111111

2612203042223344556674=7

當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子正好等于分母中兩個因數(shù)的差時，這個分?jǐn)?shù)也可以拆成兩個分?jǐn)?shù)之差。

221155113311

例如:

63-7^9-7-924-3^8-3-828-4^7-4-7

d11

用公式表示就是：當(dāng)n、n+d(n不為0)都是自然數(shù)時,

〃x(〃+d)nn+d

具體應(yīng)用:

22J，

計算：++

12x1414x1616x1818x20

-------------1--------------1------------H--------------

12x1414x1616x1818x20

JJJJ1

-12-1414-1616-1818-2020

1

-12

nX(n+d)=TX(n-n+ct)

d_11

nx(n+d)nn+d

對這個公式可以進(jìn)行變形：例如:

1UxAUx(l-l)

24524538

因為8-3=5所以提取一個,，當(dāng)然，24也可以看成4X6,而6-4=2,所以也可以提取一個‘，

52

—=-x—=這得看計算時的需要了。

24224246

1111

練習(xí):計算+十-----F------F-----

U55^99x1313x1717x21

---------F----------1-------------1---------------1-------------

1x55x99x1313x1717x21

=L(-+上+上)

41x55x99x1313x1717x21

11111111

=-x(l--+-----1---------1---------------1------

4559913131717

1八1、

=-x(1-—)

421

120

=—X-----

421

5

21

2.8找規(guī)律/27.X20二48、55、203三134三A7四A1、6、44、48

華2.2-7

找規(guī)律：等差數(shù)列二55三A7四A1、6華-2-42-5、2-6、2-7華3.1-6

華3.2-1

自然數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列也是等差數(shù)列.

(1)1,2,3,4,5,口，口，8,9,10.

(2)1,3,5,7,9,口，口，15,17,19.

(3)2,4,6,8,10,口，口，16,18,20.

(4)1,4,7,10,口，口，19,22,25.

(5)5,10,15,20,口，口，35,40,45.

斐波那契數(shù)列：從第三個數(shù)起，每個數(shù)都是它前面的兩個數(shù)之和.這是個有重要用途的數(shù)列.

1,1,2,3,5,8,13,口，口，55,89.

等比數(shù)列：它的后一個數(shù)是前一個數(shù)的2倍。1,2,4,8,16,口，□,128,256.

例9一天，爸爸給小明買了一包糖，數(shù)一數(shù)剛好100塊.爸爸靈機一動，又拿來了10個紙盒,

接著說：“小明，現(xiàn)在你把糖往盒子里放，我要求你在第一個盒子里放2塊，第二個盒子里放

4塊，第三個盒子里放8塊，第四個盒子里放16塊，……照這樣一直放下去.要放滿這10個盒，

你說這100塊糖夠不夠？”

差是個自然數(shù)列：后一個數(shù)減前一個數(shù)的差是逐漸變大的，這些差是個自然數(shù)列：

*后一個數(shù)減前一個數(shù)的差是逐漸變大的，差的變化規(guī)律是個等比數(shù)列，后一個差是前一個差

的2倍.（后一個數(shù)等于前一個數(shù)乘以2再加1,即后一個數(shù)=前一個數(shù)X2+1.）

自然數(shù)平方數(shù)列：它的每一個數(shù)都是自然數(shù)的自乘積.如：1=1X1,4=2X2,9=3X3

1,4,9,16,25,口，口，64,81,100.

***一輛公共汽車有78個座位，空車出發(fā).第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依

此下去，多少站以后，車上坐滿乘客？（假定在坐滿以前，無乘客下車）

解：車上的人數(shù)是自1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，到第幾站后，就加到幾，所以只要加到出

現(xiàn)78時，就可知道是到多少站了，

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）

圖形變化規(guī)律二48、203三134華2-7華2.2-11

和差變化規(guī)律四A44

積商變化規(guī)律四A48

2.9填數(shù)、符號/29.X6、20、33二86、146、153、174、三9、34、38、42、48、54、

59、127、三A20、26、33、40、四A22、28

華2.2-8華3.1-7、8

*數(shù)字迷3.1-9、10、H算符3.1-11、12

橫式華4.1-13、14

3.數(shù)論問題

奇偶分析數(shù)的整除整數(shù)拆分余數(shù)問題約數(shù)倍數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)

進(jìn)位制完全平方數(shù)中國剩余定理位值原理

48.數(shù)：單雙、奇偶、公約公倍X67、73、79、86、92二72、五139、152約數(shù)倍數(shù)

3.1奇數(shù)與偶數(shù)華5.1-5

加法：偶數(shù)十偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)

偶數(shù)十奇數(shù)=奇數(shù)

減法：偶數(shù)一偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)一奇數(shù)=偶數(shù)

偶數(shù)一奇數(shù)=奇數(shù)

乘法：偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)X奇數(shù)=奇數(shù)

偶數(shù)X奇數(shù)=偶數(shù)

3.2數(shù)的整除五132華5.1-1

一、基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù)b,得到一個整數(shù)商c,而且沒有余數(shù)，那么叫做a

能被b整除或b能整除a,記作b|a。否則，稱為a不能被b整除，（或b不能整除a）,記作b+a。

2、常用符號:整除符號“I”,不能整除符號“+”;因為符號“?；”，所以的符號

二、整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質(zhì)：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

能被30以下質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的特征：華5.1-6

整除數(shù)特征

2末尾是0、2、4、6、8

3各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)

5末尾是0或5

9各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)

11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)

4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)

8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)

7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)

整數(shù)拆分華2.2-9華6.2-7

3.3余數(shù)問題

一個帶余數(shù)除法算式包含4個數(shù)：被除數(shù)?除數(shù)=商……余數(shù)。

它們的關(guān)系也可表示為：被除數(shù)=除數(shù)義商十余數(shù)，或(被除數(shù)一余數(shù))?除數(shù)=商。

余數(shù)及其應(yīng)用

基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r,如果使得a+b=q……r,且O〈r〈b,那么r叫做a除以

b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

@a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

余數(shù)、同余與周期五159帶余、同余華5.2-5

一、同余的定義：

①若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。

②已知三個整數(shù)a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余，記作amb(modm),讀作a

同余于b模mo

二、同余的性質(zhì)：

①自身性：a三a(modm)；

②對稱性：若a三b(modm),則b三a(modm)；

③傳遞性：若a三b(modm),b=c(modm),則a三c(modm)；

④和差性：若a三b(modm),c=d(modm),則a+c三b+d(modm),a-c=b-d(modm)；

⑤相乘性：若a三b(modm),c=d(modm),則aXc三bXd(modm)；

⑥乘方性：若a三b(modm),則an三bn(modm)；

⑦同倍性：若a三b(modm),整數(shù)c,則aXc三bXc(modmXc)；

三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識：

①若A=aXb,則MA=MaXb=(Ma)b

②若B=c+d則MB=Mc+d=McXMd

四、被3、9、11除后的余數(shù)特征：

①一個自然數(shù)M,n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M三n(mod9)或(mod3)；

②一個自然數(shù)M,X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，丫表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，

則M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod11)；

五、費爾馬小定理：如果P是質(zhì)數(shù)(素數(shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1三l(mod

p)o

帶余除法：華5.1-4

前面我們講到除法中被除數(shù)和除數(shù)的整除問題.除此之外,例如：16+3=5-1,即16=5X3+1.

此時，被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們稱之為帶余數(shù)的除法。

一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(bWO),那么一定有另外兩個整數(shù)q和r,0Wr<b,使得a=b

Xq+r0

當(dāng)r=0時，我們稱a能被b整除。

當(dāng)rWO時，我們稱a不能被b整除，r為a

運用同余解題：華6.1-8

3.4約數(shù)與倍數(shù)華5.1-3華5.2-4

約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最

大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。

2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。

3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。

例如：12的約數(shù)有1、2,3、4、6、12；

18的約數(shù)有：1、2、3、6,9、18；

那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12,18)=6；

求最大公約數(shù)基本方法：

1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最

小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48……；

18的倍數(shù)有:18、36、54、72...；

那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]=36；

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

3.5質(zhì)數(shù)與合數(shù)華5.1-2

質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。

合數(shù)：一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)

因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=,其中al、a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且

al<a2<a3<...<ano

求約數(shù)個數(shù)的公式:P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X...X(rn+1)

互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

3.6分解因式

質(zhì)因數(shù)：如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

一個自然數(shù)的約數(shù)的個數(shù)，恰為質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1后的乘積。

一個數(shù)的完全平方數(shù)，各個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)，恰好是平方前這個數(shù)各個質(zhì)因數(shù)個數(shù)的2倍。

一個完全平方數(shù)各個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)都是偶數(shù)。

3.7數(shù)進(jìn)制四A191華3.2-14華6.1-9

1將任意一個P進(jìn)制的數(shù)改寫成十進(jìn)制的數(shù)，只要寫成，計算其相應(yīng)的結(jié)果。

2將任意一個十進(jìn)制數(shù)化為P進(jìn)制數(shù)都可以用P去除這個數(shù)，記下余數(shù)，直至商為0,然后

將余數(shù)自下而上依次排列。

3二進(jìn)制的妙用，在日常生活中經(jīng)常會碰到，應(yīng)靈活運用。

十進(jìn)制：用0?9十個數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2

表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2X102+3X10+4。

=AnX10n-l+An-lX10n-2+An-2X10n-3+An-3X10n-4+An-4X10n-5+An-6X10n-7+........+A3X

102+A2X101+A1X100

注意：N0=l；N1=N(其中N是任意自然數(shù))

二進(jìn)制：用0?1兩個數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。

(2)=AnX2n-l+An-lX2n-2+An-2X2n-3+An-3X2n-4+An-4X2n-5+An-6X2n-7

+.......+A3X22+A2X21+A1X20

注意：An不是0就是l0

十進(jìn)制化成二進(jìn)制：

①根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為0,然后把每次所得的余數(shù)

按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此

方法一直找到差為0,按照二進(jìn)制展開式特點即可寫出。

3.8完全平方數(shù)

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余0或余1；反之不成立。

4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2

3.9循環(huán)小數(shù)五31

一、把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則

①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)作為分子，分母的各位都是

9,9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，最后能約分的再約分。

②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個循環(huán)節(jié)以前的小數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不

循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分母的頭幾位數(shù)字是9,9的個數(shù)與一個循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同,

末幾位是0,0的個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。

二、分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：

①一個最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5,又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個

分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。

②一個最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個分?jǐn)?shù)化成的小