第一章集合與常用邏輯用語[深研高考·備考導(dǎo)航]為教師授課、學(xué)生學(xué)習(xí)提供豐富備考資源[五年考情]考點2016年2015年2014年2013年2012年集合的概念及其運算全國卷Ⅰ·T1全國卷Ⅲ·T1全國卷Ⅰ·T1全國卷Ⅱ·T1全國卷Ⅰ·T1全國卷Ⅱ·T1全國卷Ⅰ·T1全國卷Ⅱ·T1全國卷·T1四種命題及其關(guān)系，充分條件與必要條件全國卷Ⅱ·T3含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷，全稱命題、特稱命題的否定全國卷Ⅰ·T5[重點關(guān)注]綜合近5年全國卷高考試題，我們發(fā)現(xiàn)高考命題在本章呈現(xiàn)以下規(guī)律：1．從考查題型看：一般是一個選擇題，個別年份是兩個選擇題，從考查分值看，在5分左右，題目注重基礎(chǔ)，屬容易題．2．從考查知識點看：主要考查集合的關(guān)系及其運算，有時綜合考查一元二次不等式的解法，突出對數(shù)形結(jié)合思想的考查，對常用邏輯用語考查較少，有時會命制一道小題．3．從命題思路看：(1)集合的運算與一元二次不等式的解法相結(jié)合考查．(2)充分條件、必要條件與其他數(shù)學(xué)知識(導(dǎo)數(shù)、平面向量、三角函數(shù)、集合運算等)相結(jié)合考查．(3)全稱命題、特稱命題、含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題與其他數(shù)學(xué)知識相結(jié)合考查．(4)通過對近5年全國卷高考試題分析，可以預(yù)測，在2018年，本章內(nèi)容考查的重點是：①集合的關(guān)系及其基本運算；②全稱命題、特稱命題、含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷；③充分條件，必要條件的判斷．[導(dǎo)學(xué)心語]根據(jù)近5年的全國卷高考命題特點和規(guī)律，復(fù)習(xí)本章時，要注意以下幾個方面：1．全面系統(tǒng)復(fù)習(xí)，深刻理解知識本質(zhì)(1)重視對集合相關(guān)概念的理解，深刻理解集合、空集、五個特殊集合的表示及子集、交集、并集、補集等概念，弄清集合元素的特征及其表示方法．(2)重視充分條件、必要條件的判斷，弄清四種命題的關(guān)系．(3)重視含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的判斷，掌握特稱命題、全稱命題否定的含義．2．熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律(1)子集的個數(shù)及判定問題．(2)集合的運算問題．(3)充分條件、必要條件的判斷問題．(4)含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假判斷問題．(5)特稱命題、全稱命題的否定問題．3．重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用(1)數(shù)形結(jié)合思想：解決有關(guān)集合的運算問題時，可利用Venn圖或數(shù)軸更直觀地求解．(2)轉(zhuǎn)化與化歸思想：通過運用原命題和其逆否命題的等價性，進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，巧妙判斷命題的真假．第一節(jié)集合————————————————————————————————[考綱傳真]1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義.3.(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算．1．元素與集合(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．2．集合間的基本關(guān)系(1)子集：若對?x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.(2)真子集：若A?B，但?x∈B，且x?A，則AB或BA.(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運算并集交集補集圖形表示符號表示A∪BA∩B?UA意義{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A}4.集合關(guān)系與運算的常用結(jié)論(1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個．(2)子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.(3)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.(4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任何集合都有兩個子集．()(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A＝B＝C.()(3)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.()(4)若A∩B＝A∩C，則B＝C.()[解析](1)錯誤．空集只有一個子集，就是它本身，故該說法是錯誤的．(2)錯誤．集合A是函數(shù)y＝x2的定義域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函數(shù)y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是拋物線y＝x2上的點集．因此A，B，C不相等．(3)錯誤．當(dāng)x＝1時，不滿足互異性．(4)錯誤．當(dāng)A＝?時，B，C可為任意集合．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改編)若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(10)}，a＝2eq\r(2)，則下列結(jié)論正確的是()A．{a}?A B．a(chǎn)?AC．{a}∈A D．a(chǎn)?AD[由題意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2eq\r(2)，知a?A.]3．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)集合A＝{1,3,5,7}，B＝{x|2≤x≤5}，則A∩B＝()A．{1,3} B．{3,5}C．{5,7} D．{1,7}B[集合A與集合B的公共元素有3,5，故A∩B＝{3,5}，故選B.]4．(2016·全國卷Ⅲ)設(shè)集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，則?AB＝()A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}C[∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，∴?AB＝{0,2,6,10}．]5．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，則A∩B的元素個數(shù)為________．2[集合A表示圓心在原點的單位圓上的點，集合B表示直線y＝x上的點，易知直線y＝x和圓x2＋y2＝1相交，且有2個交點，故A∩B中有2個元素．]集合的基本概念(1)已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是()A．1B．3C．5D．9(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝()A．eq\f(9,2) B．eq\f(9,8)C．0 D．0或eq\f(9,8)(1)C(2)D[(1)當(dāng)x＝0，y＝0,1,2時，x－y＝0，－1，－2；當(dāng)x＝1，y＝0,1,2時，x－y＝1,0，－1；當(dāng)x＝2，y＝0,1,2時，x－y＝2,1,0.根據(jù)集合中元素的互異性可知，B的元素為－2，－1,0,1,2，共5個．(2)若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根．當(dāng)a＝0時，x＝eq\f(2,3)，符合題意；當(dāng)a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝eq\f(9,8)，所以a的取值為0或eq\f(9,8).][規(guī)律方法]1.研究集合問題，首先要抓住元素，其次看元素應(yīng)滿足的屬性；特別地，對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合的元素是否滿足互異性，如題(1)．2．由于方程的不定性導(dǎo)致求解過程用了分類討論思想，如題(2)．[變式訓(xùn)練1]已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝?，則實數(shù)a的取值范圍為________. 【導(dǎo)學(xué)號：31222001】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,8)))[∵A＝?，∴方程ax2＋3x－2＝0無實根，當(dāng)a＝0時，x＝eq\f(2,3)不合題意；當(dāng)a≠0時，Δ＝9＋8a＜0，∴a＜－eq\f(9,8).]集合間的基本關(guān)系(1)已知集合A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，則()A．AB B．BAC．A?B D．B＝A(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，則實數(shù)m(1)B(2)(－∞，4][(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，因此BA.(2)當(dāng)B＝?時，有m＋1≥2m－1，則m當(dāng)B≠?時，若B?A，如圖．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))解得2＜m≤4.綜上，m的取值范圍為m≤4.][規(guī)律方法]1.B?A，應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況討論．2．已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀進(jìn)行求解．[變式訓(xùn)練2](1)(2017·長沙雅禮中學(xué)質(zhì)檢)若集合A＝{x|x＞0}，且B?A，則集合B可能是()A．{1,2} B．{x|x≤1}C．{－1,0,1} D．R(2)(2017·湖南師大附中模擬)已知集合A＝{x|eq\r(x)＝eq\r(x2－2)，x∈R}，B＝{1，m}，若A?B，則m的值為()【導(dǎo)學(xué)號：31222000】A．2 B．－1C．－1或2 D．2或eq\r(2)(1)A(2)A[(1)因為A＝{x|x＞0}，且B?A，再根據(jù)選項A，B，C，D可知選項A正確．(2)由eq\r(x)＝eq\r(x2－2)，得x＝2，則A＝{2}．因為B＝{1，m}，且A?B，所以m＝2.]集合的基本運算eq\a\vs4\al(?)角度1求集合的交集或并集(1)(2015·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為()A．5B．4C．3D．2(2)(2017·鄭州調(diào)研)設(shè)集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，則M∪N＝()A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1](1)D(2)A[(1)集合A中元素滿足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中滿足這一要求的元素只有8和14.共2個元素．(2)M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0<x≤1}，M∪N＝[0,1]．]eq\a\vs4\al(?)角度2集合的交、并、補的混合運算(1)(2016·山東高考)設(shè)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，則?U(A∪B)＝()A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}(2)(2017·太原一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，則陰影部分(如圖1-1-1)表示的集合是()圖1-1-1A．[－1,1) B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)(1)A(2)D[(1)∵A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，∴A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，∴?U(A∪B)＝{2,6}．(2)由題意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴陰影部分表示的集合為M∩(?UN)＝(－3，－1)．][規(guī)律方法]1.求集合的交集和并集時首先應(yīng)明確集合中元素的屬性，然后利用交集和并集的定義求解．2．在進(jìn)行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．易錯警示：在解決有關(guān)A∩B＝?，A?B等集合問題時，往往忽視空集的情況，一定要先考慮?是否成立，以防漏解．[思想與方法]1．在解題時經(jīng)常用到集合元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點；另一方面，對求出的字母的值，應(yīng)檢驗是否滿足集合元素的互異性，以確保答案正確．2．求集合的子集(真子集)個數(shù)問題，需要注意的是：首先，過好轉(zhuǎn)化關(guān)，即把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言；其次，當(dāng)集合的元素個數(shù)較少時，常利用枚舉法解決．3．對于集合的運算，常借助數(shù)軸、Venn圖求解．(1)對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成關(guān)于參數(shù)的方程或不等式關(guān)系．(2)對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖，這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)．[易錯與防范]1．集合問題解題中要認(rèn)清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點集還是其他類型集合)，要對集合進(jìn)行化簡．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時刻關(guān)注對空集的討論，以防漏解．3．解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系．4．Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補運算的常用方法，其中運用數(shù)軸圖示法時要特別注意端點是實心還是空心．課時分層訓(xùn)練(一)集合A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．(2016·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，則A∩B＝()A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1,2}D[∵x2＜9，∴－3＜x＜3，∴B＝{x|－3＜x＜3}．又A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}．]2．(2015·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，則()A．A＝B B．A∩B＝?C．AB D．BAD[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1?B，∴BA.]3．(2017·濰坊模擬)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為()【導(dǎo)學(xué)號：31222002】A．1 B．2C．3 D．4D[由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由題意知B＝{1,2,3,4}，∴滿足條件的C可為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4個．]4．(2016·山東高考)設(shè)集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B＝()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，則A∪B＝{x|x>－1}．]5．(2017·衡水模擬)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，則集合A∩?UB＝()A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}A[由題意得?UB＝{2,5,8}，∴A∩?UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．]6．若x∈A，則eq\f(1,x)∈A，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)，2，3))的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)是()【導(dǎo)學(xué)號：31222003】A．1 B．3C．7 D．31B[具有伙伴關(guān)系的元素組是－1，eq\f(1,2)，2，所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個：{－1}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，2)).]7．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}D[∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在數(shù)軸上表示如圖，∴?U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．]二、填空題8．已知A＝{0，m,2}，B＝{x|x4－4x2＝0}，若A＝B，則m＝________.－2[由題知B＝{0，－2,2}，A＝{0，m,2}，若A＝B，則m＝－2.]9．(2016·天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，則A∩B＝________.{1,4}[因為集合B中，x∈A，所以當(dāng)x＝1時，y＝3－2＝1；當(dāng)x＝2時，y＝3×2－2＝4；當(dāng)x＝3時，y＝3×3－2＝7；當(dāng)x＝4時，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因為A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．]10．集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|y＝