第28講圓的有關性

第29講直線與圓的位置關系第30講圓與圓的位置關系第31講正多邊形、扇形的面積、圓錐的計算問題第六單元圓中考數學總復習第六單元圓第28講┃圓的有關性第28課時圓的有關性質第28講┃考點聚焦考點聚焦考點1圓的有關概念圓的定義定義1：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑定義2：圓是到定點的距離等于定長的點的集合第28講┃考點聚焦弦連接圓上任意兩點的________叫做弦直徑經過圓心的弦叫做直徑弧圓上任意兩點間的部分叫做弧優(yōu)弧大于半圓的弧叫做優(yōu)弧劣弧小于半圓的弧叫做劣弧線段

第28講┃考點聚焦考點2

點和圓的位置關系如果圓的半徑是r，點到圓心的距離是d，那么點在圓外?________點在圓上?________點在圓內?________d>r

d=r

d<r

考點3確定圓的條件及相關概念第28講┃考點聚焦確定圓的條件不在同一直線的三個點確定一個圓三角形的外心三角形三邊________的交點，即三角形外接圓的圓心防錯提醒銳角三角形的外心在三角形的內部，直角三角形的外心在直角三角形的斜邊上，鈍角三角形的外心在三角形的外部垂直平分線考點4圓的對稱性第28講┃考點聚焦圓既是一個軸對稱圖形又是一個________對稱圖形，圓還具有旋轉不變性．

中心考點5垂徑定理及其推論第28講┃考點聚焦垂徑定理垂直于弦的直徑______，并且平分弦所對的兩條弧推論(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；(2)弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧總結簡言之，對于①過圓心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧中的任意兩條結論成立，那么其他的結論也成立平分弦考點6圓心角、弧、弦之間的關系第28講┃考點聚焦定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的______相等，所對的______相等推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角﹑兩條弧或兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也分別相等弧弦考點7圓周角第28講┃考點聚焦圓周角定義頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角________，都等于該弧所對的圓心角的________推論1在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧______推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是______；90°的圓周角所對的弦是______推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是________三角形相等一半相等直角直徑直角考點8圓內接多邊形第28講┃考點聚焦圓內接四邊形如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形．這個圓叫做這個多邊形的外接圓圓內接四邊形的性質圓內接四邊形的______對角互補考點9反證法第28講┃考點聚焦定義不直接從命題的已知得出結論，而是假設命題的結論不成立，由此經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法步驟(1)假設命題的結論不正確，即提出與命題結論相反的假設(2)從假設的結論出發(fā)，推出矛盾(3)由矛盾的結果說明假設不成立，從而肯定原命題的結論正確第28講┃歸類示例歸類示例?類型之一確定圓的條件命題角度：1.確定圓的圓心、半徑；2.三角形的外接圓圓心的性質．10或8例1

[2012·資陽]

直角三角形的兩邊長分別為16和12，則此三角形的外接圓半徑是________．第28講┃歸類示例第28講┃歸類示例(1)過不在同一條直線上的三個點作圓時，只需由兩條線段的垂直平分線確定圓心即可，沒有必要作出第三條線段的垂直平分線．事實上，三條垂直平分線交于同一點．(2)直角三角形的外接圓是以斜邊為直徑的圓．?類型之二垂徑定理及其推論命題角度：1.垂徑定理的應用；2.垂徑定理的推論的應用．第28講┃歸類示例例2[2012·臺州]

把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖28－1所示，已知EF＝CD＝16厘米，則球的半徑為________厘米．圖28－110第28講┃歸類示例[解析]首先找到EF的中點M，作MN⊥AD于點M，分別交圓于G、N兩點，取GN的中點O，連接OF，設OF＝x，則OM＝16－x，MF＝8.在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2，即(16－x)2＋82＝x2，解得x＝10.

垂徑定理及其推論是證明兩線段相等，兩條弧相等及兩直線垂直的重要依據之一，在有關弦長、弦心距的計算中常常需要作垂直于弦的線段，構造直角三角形．第28講┃歸類示例?類型之三圓心角、弧、弦之間的關系

例3

[2011·濟寧]

如圖28－2，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為點F，∠ABC的平分線交AD于點E，連接BD、CD.(1)求證：BD＝CD；(2)請判斷B、E、C三點是否在以D為圓心，以DB為半徑的圓上？并說明理由．第28講┃歸類示例命題角度：在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦之間的關系．圖28－2第28講┃歸類示例

[解析](1)根據垂徑定理和同圓或等圓中等弧對等弦證明；(2)利用同弧所對的圓周角相等和等腰三角形的判定證明DB＝DE＝DC.解：(1)證明：∵AD為直徑，AD⊥BC，∴BD＝CD.∴BD＝CD.(2)B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上.理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.∴B，E，C三點在以D為圓心，以DB為半徑的圓上.

?類型之四圓周角定理及推論D命題角度：1.利用圓心角與圓周角的關系求圓周角或圓心角的度數；2.直徑所對的圓周角或圓周角為直角的圓的相關計算．第28講┃歸類示例

例4[2012·湘潭]

如圖28－3，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，則∠BOD＝(

)A.20°B.40°C.50°D.80°圖28－3[解析]先根據弦AB∥CD得出∠ABC＝∠BCD＝40°，再根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，即可得出∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°.第28講┃歸類示例圓周角定理及其推論建立了圓心角、弦、弧、圓周角之間的關系，最終實現了圓中的角(圓心角和圓周角)的轉化．第28講┃歸類示例?類型之五與圓有關的開放性問題命題角度：1.給定一個圓，自由探索結論并說明理由；2.給定一個圓，添加條件并說明理由．第28講┃歸類示例

例5[2012·湘潭]

如圖28－4，在⊙O上位于直徑AB的異側有定點C和動點P，AC＝0.5AB，點P在半圓弧AB上運動(不與A、B兩點重合)，過點C作直線PB的垂線CD交PB于D點．圖28－4

(1)如圖①，求證：△PCD∽△ABC；(2)當點P運動到什么位置時，△PCD≌△ABC？請在圖②中畫出△PCD，并說明理由；(3)如圖③，當點P運動到CP⊥AB時，求∠BCD的度數．

第28講┃歸類示例第28講┃歸類示例

[解析](1)由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A＝∠P.(2)由△PCD∽△ABC，可知當PC＝AB時，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等；(3)由∠ACB＝90°，AC＝0.5AB，可求得∠ABC的度數，利用同弧所對的圓周角相等得∠P＝∠A＝60°，通過證△PCB為等邊三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度數

第28講┃歸類示例解：(1)證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝∠D＝90°.又∵∠CAB＝∠DPC，∴△PCD∽△ABC.(2)如圖，當點P運動到PC為直徑時，△PCD≌△ABC.理由如下：∵PC為直徑，∴∠PBC＝90°，則此時D與B重合，∴PC＝AB，CD＝BC，故△PCD≌△ABC.(3)∵AC＝0.5AB，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°.∴∠CPB＝∠CAB＝60°.∵PC⊥AB，∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°，∴△PBC為等邊三角形．又CD⊥PB，∴∠BCD＝30°.第29講┃直線與圓的位置關系第29課時直線與圓的位置關系第29講┃考點聚焦考點聚焦考點1直線和圓的位置關系設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么(1)直線l和⊙O相交?________(2)直線l和⊙O相切?________(3)直線l和⊙O相離?________d<r

d=r

d>r

第29講┃考點聚焦考點2圓的切線切線的性質圓的切線________過切點的半徑推論(1)經過圓心且垂直于切線的直線必過________；(2)經過切點且垂直于切線的直線必過________切線的判定(1)和圓有________公共點的直線是圓的切線(2)如果圓心到一條直線的距離等于圓的________，那么這條直線是圓的切線(3)經過半徑的外端并且________這條半徑的直線是圓的切線常添輔助線連接圓心和切點垂直于切點圓心唯一半徑垂直于考點3切線長及切線長定理第29講┃考點聚焦切線長在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長________，圓心和這一點的連線________兩條切線的夾角基本圖形如圖所示，點P是⊙O外一點，PA、PB切⊙O于點A、B，AB交PO于點C，則有如下結論：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP相等平分考點4三角形的內切圓第29講┃考點聚焦三角形的內切圓與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，這個三角形叫圓的外切三角形三角形的內心三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心．它是三角形______________的交點，三角形的內心到三邊的________相等三條角平分線距離第29講┃考點聚焦第29講┃歸類示例歸類示例?類型之一直線和圓的位置關系的判定命題角度：1.定義法判定直線和圓的位置關系；2.d、r比較法判定直線和圓的位置關系．D例1

[2012·無錫]已知⊙O的半徑為2，直線l上有一點P滿足PO＝2，則直線l與⊙O的位置關系是(

)A．相切B．相離C．相離或相切D．相切或相交第29講┃歸類示例[解析]分OP垂直于直線l，OP不垂于直線l兩種情況討論．當OP垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d＝2＝r，⊙O與l相切；當OP不垂直于直線l時，即圓心O到直線l的距離d<2＝r，⊙O與直線l相交．故直線l與⊙O的位置關系是相切或相交．第29講┃歸類示例在判斷直線與圓的位置關系的時候可以根據定義法，也可以利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系進行比較，在判斷其關系時要結合題目的已知條件選擇正確的方法．?類型之二圓的切線的性質命題角度：1.已知圓的切線得出結論；2.利用圓的切線的性質進行有關的計算或證明．第29講┃歸類示例例2[2012·湛江]如圖29－1，已知點E在直角△ABC的斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與直角邊BC相切于點D.(1)求證：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半徑．圖29－1第29講┃歸類示例

[解析](1)先連接OD，則OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行從而得證；(2)設圓的半徑為R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半徑．解：(1)證明：連接OD，∵BC與⊙O相切于點D，∴OD⊥BC.又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC.(2)設圓的半徑為R，在Rt△BOD中，BO2＝BD2＋OD2，∵BE＝2，BD＝4,∴(BE＋OE)2＝BD2＋OD2，即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3，故⊙O的半徑為3.第29講┃歸類示例

“圓的切線垂直于過切點的半徑”，所以連接切點和圓心構造垂直或直角三角形是進行有關證明和計算的常用方法．第29講┃歸類示例?類型之三圓的切線的判定方法

例3

[2012·臨沂]如圖29－2，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP＝AC.(1)求證：AP是⊙O的切線；(2)求PD的長．第29講┃歸類示例命題角度：1.利用圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，判定這條直線是圓的切線；2.利用一條直線經過半徑的外端，且垂直于這條半徑，判定這條直線是圓的切線．圖29－2第29講┃歸類示例

[解析](1)首先連接OA，利用圓周角定理，即可求得∠AOC的度數，利用等邊對等角求得∠PAO＝90°，則可證得AP是⊙O的切線；(2)由CD是⊙O的直徑，即可得∠DAC＝90°，然后利用三角函數與等腰三角形的判定定理，即可求得PD的長．第29講┃歸類示例第29講┃歸類示例變式題[2011·安順]

已知：如圖29－3，在△ABC中，BC＝AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點D，DE⊥AC，垂足為點E.(1)求證：點D是AB的中點；(2)判斷DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論．圖29－3第29講┃歸類示例

[解析](1)連接CD，利用等腰三角形底邊上的高也是底邊上中線證明．

解：(1)證明：連接CD，因為BC為⊙O的直徑，則CD⊥AB.∵AC＝BC，∴AD＝BD，即點D是AB的中點．(2)DE是⊙O的切線.證明：連接OD,則DO是△ABC的中位線，∴DO∥AC.又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，即DE是⊙O的切線．

在涉及切線問題時，常連接過切點的半徑，要想證明一條直線是圓的切線，常常需要作輔助線．如果已知直線過圓上某一點，則作出過這一點的半徑，證明直線垂直于半徑；如果直線與圓的公共點沒有確定，則應過圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑．第29講┃歸類示例?類型之四切線長定理的運用命題角度：1.利用切線長定理計算；2.利用切線長定理證明．第29講┃歸類示例

例4[2012·綿陽]如圖29－4，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，連接PO、AB相交于D，C是⊙O上一點，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20cm，求△AOB的面積．圖29－4

[解析](1)由切線的性質，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圓周角定理，求得∠AOB的度數，繼而求得∠APB的大?。?2)由切線長定理，可求得∠APO的度數，繼而求得∠AOP的度數，易得PO是AB的垂直平分線，然后利用三角函數的性質，求得AD與OD的長．第29講┃歸類示例第29講┃歸類示例(1)利用過圓外一點作圓的兩條切線，這兩條切線的長相等，是解題的基本方法．(2)利用方程思想求切線長常與勾股定理，切線長定理，圓的半徑相等緊密相連．第29講┃歸類示例?類型之五三角形的內切圓命題角度：1.三角形的內切圓的定義；2.求三角形的內切圓的半徑．第29講┃歸類示例

例5[2012·玉林]如圖29－5，Rt△ABC的內切圓⊙O與兩直角邊AB，BC分別相切于點D，E，過劣弧DE(不包括端點D，E)上任一點P作⊙O的切線MN，與AB，BC分別交于點M，N，若⊙O的半徑為r，則Rt△MBN的周長為(

)圖29－5C第29講┃歸類示例

[解析]連接OD、OE，則∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，推出四邊形ODBE是正方形，得出BD＝BE＝OD＝OE＝r.根據切線長定理得出MP＝DM，NP＝NE,Rt△MBN的周長為：MB＋NB＋MN＝MB＋BN＋NE＋DM＝BD＋BE＝r＋r＝2r，故選C.解三角形內切圓問題，主要是切線長定理的運用．解決此類問題，常轉化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性質及三角函數等解決．第29講┃歸類示例第30講┃圓與圓的位置關系第30課時圓與圓的位置關系第30講┃考點聚焦考點聚焦考點1

圓和圓的位置關系設⊙O1，⊙O2的半徑分別為R，r(R>r)，圓心之間的距離為d，那么⊙O1和⊙O2外離?________外切?________相交?________內切?________兩圓內含?________d>R＋r

d＝R＋r

R－r<d<R＋r

d＝R－rd<R－r

第30講┃考點聚焦考點2相交兩圓的性質性質(1)相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦(2)兩圓相交時的圖形是軸對稱圖形點撥解有關兩圓相交問題時，常常要作出連心線，公共弦，或者連接交點與圓心，從而把兩圓的半徑，公共弦長的一半，圓心距等集中在同一個三角形中，利用三角形的知識加以解決考點3相切兩圓的性質第30講┃考點聚焦相切兩圓的性質如果兩圓相切，那么兩圓的連心線經過________兩圓相切時的圖形是軸對稱圖形，通過兩圓圓心的連線(連心線)是它的對稱軸切點第30講┃歸類示例歸類示例?類型之一圓和圓的位置關系的判別命題角度：1.根據兩圓的公共點的個數確定；2.根據兩圓的圓心距與半徑的數量關系確定．D例1

[2012·上海]如果兩圓的半徑長分別為6和2，圓心距為3，那么這兩圓的關系是(

)A．外離B．相切C．相交D．內含[解析]∵兩個圓的半徑分別為6和2，圓心距為3，又∵6－2＝4，4＞3，∴這兩個圓的位置關系是內含．?類型之二和相交兩圓有關的計算命題角度：1.相交兩圓的連心線與兩圓的公共弦的關系；2.和勾股定理有關的計算．第30講┃歸類示例例2[2012·宜賓]如圖30－1，⊙O1、⊙O2相交于P、Q兩點，其中⊙O1的半徑r1＝2,⊙O2的半徑r2＝√2，過點Q作CD⊥PQ，分別交⊙O1和⊙O2于點C、D，連接CP、DP，過點Q任作一直線AB分別交⊙O1和⊙O2于點A、B，連接AP、BP、AC、DB，且AC與DB的延長線交于點E.圖30－1第30講┃歸類示例第30講┃歸類示例?類型之三和相切兩圓有關的計算

例3

(1)計算：如圖30－2①，直徑為a的三等圓⊙O1、⊙O2、⊙O3兩兩外切，切點分別為A、B、C

，求O1A的長(用含a的代數式表示)；第30講┃歸類示例命題角度：1.相切兩圓的性質；2.兩圓相切的簡單應用．圖30－2①第30講┃歸類示例圖30－2

(2)探索：若干個直徑為a的圓圈分別按如圖30－2②所示的方案一和如圖30－2③所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中n層圓圈的高度hn和h′n(用含n、a的代數式表示)；第30講┃歸類示例

(3)應用：現有長方體集裝箱，其內空長為5米，寬為3.1米，高為3.1米．用這樣的集裝箱裝運長為5米，底面直徑(橫截面的外圓直徑)為0.1米的圓柱形鋼管，你認為采用(2)中的哪種方案在該集裝箱中裝運鋼管數最多？并求出一個這樣的集裝箱最多能裝運多少根鋼管？(√3≈1.73)

第30講┃歸類示例第30講┃歸類示例第31講┃正多邊形、扇形的面積、圓錐的計算問題第31課時正多邊形、扇形的面積、圓錐的計算問題第31講┃考點聚焦考點聚焦考點1正多邊形和圓正多邊形和圓的關系正多邊形和圓的關系非常密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓正多邊形和圓的有關概念一個正多邊形外接圓的圓心叫做這個正多邊形的________正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的________正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的________正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的________中心

半徑

中心角

邊心距

第31講┃考點聚焦第31講┃考點聚焦考點2圓的周長與弧長公式圓的周長若圓的半徑是R，則圓的周長C＝________弧長公式若一條弧所對的圓心角是n°，半徑是R，則弧長l＝________.在應用公式時，n和180不再寫單位2πR

考點3扇形的面積公式

第31講┃考點聚焦扇形面積(1)S扇形＝______(n是圓心角度數，R是半徑)；(2)S扇形＝______(l是弧長，R是半徑)弓形面積S弓形＝S扇形±S△考點4

圓錐的側面積與全面積第31講┃考點聚焦圖形第31講┃考點聚焦圓錐簡介(1)h是圓錐的高；(2)a是圓錐的母線，其長為側面展開后所得扇形的________；(3)r是底面半徑；(4)圓錐的側面展開圖是半徑等于________長，弧長等于圓錐底面________的扇形圓錐的側面積S側＝________圓錐的全面積S全＝S側＋S底＝πra＋πr2半徑母線周長πra第31講┃歸類示例歸類示例?類型之一正多邊形和圓命題角度：1.正多邊形和圓有關的概念；2.正多邊形的有關計算．A例1

[2012·安徽]為增加綠化面積，某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖31－1所示的正八邊形植草磚，更換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設正八邊形與其內部小正方形的邊長都為a，則陰影部分的面積為(

)A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2第31講┃歸類示例

圓的內接正多邊形的每條邊所對的圓心角都相等，并且所對圓心角的和是360°.第31講┃歸類示例?類型之二計算弧長命題角度：1．已知圓心角和半徑求弧長；2．利用轉化思想求弧長．第31講┃歸類示例例2[2012·廣安]如圖31－2，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC＝√3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若Rt△ABC由現在的位置向右無滑動翻轉，當點A第3次落在直線l上時，點A所經過的路線的長為________(結果用含π的式子表示)．圖31－2第31講┃歸類示例

[解析]根據含30°角的直角三角形三邊的關系得到BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.點A先是以B點為旋轉中心，順時針旋轉120°到A1，再以點C1為旋轉中心，順時針旋轉90°到A2，然后根據弧長公式計算兩段弧長，從而得到點A第3次落在直線l上時，點A所經過的路線的長．

第31講┃歸類示例?類型之三

計算扇形面積

例3

[2012·泰州]

如圖31－3，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的頂點A、B、C在小正方形的頂點上．將△ABC向下平移4個單位、再向右平移3個單位得到△A1B1C1