關(guān)于高中數(shù)學(xué)起始課的思考仙居中學(xué)應(yīng)福貴

一學(xué)生說在微博上看到：“語文使人談吐優(yōu)雅，歷史使人不背叛，政治讓人懂得如何維權(quán)，地理起碼讓人不迷路……數(shù)學(xué)呢？難道用函數(shù)去買菜嗎？”引子我學(xué)了9年的數(shù)學(xué)，還未真正考慮過學(xué)數(shù)學(xué)究竟是為了干什么。如果只是一味地做題，而不知道目的是什么，那真是白學(xué)了。老師，你一定要慎重對待這個(gè)問題。學(xué)生怎么想的：數(shù)學(xué)是什么？學(xué)數(shù)學(xué)有用嗎？高中數(shù)學(xué)要學(xué)什么？要學(xué)好數(shù)學(xué)就是多解題嗎？起始課的任務(wù)是什么？◆數(shù)學(xué)文化的啟蒙教育◆導(dǎo)游圖一、數(shù)學(xué)是美的二、數(shù)學(xué)是有用的三、高中數(shù)學(xué)特點(diǎn)一、數(shù)學(xué)是美的數(shù)學(xué)美的特點(diǎn)自然而不矯作；高貴而不庸俗；沉穩(wěn)而不浮躁；冷峻中不失靈動；奇異中又不乏和諧。簡潔、和諧、對稱、奇異1．整數(shù)的美學(xué)審視A.完全數(shù)因數(shù):完全數(shù):A.完全數(shù)完全數(shù)有多少?A.完全數(shù)物以稀為貴。雖然未找到實(shí)際中的特別用途，但完全數(shù)的奇異和美麗吸引了許多人。只發(fā)現(xiàn)了47個(gè)完全數(shù)有許多有趣的性質(zhì)：1、它們都是三角形數(shù)

6=1+2+3

28=1+2+3+4+5+6+7

496=1+2+3+……+30+31

8128=1+2+3……+126+1272、它們的全部因數(shù)的倒數(shù)之和都是21/1+1/2+1/3+1/6=21/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=21/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=23、都可以表達(dá)為2的一些連續(xù)正整數(shù)次冪之和

6=2^1+2^2

28=2^2+2^3+2^4

496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8

8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12

33550336=2^12+2^13+……+2^24B.Mersen數(shù)Euclid在探尋完全數(shù)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)：完全數(shù)可能的公式：B.Mersen數(shù)B.Mersen數(shù)Mersen數(shù)在代數(shù)編碼（密碼學(xué)）中有用。C.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（1）素?cái)?shù)的分布規(guī)律區(qū)間素?cái)?shù)個(gè)數(shù)1-10025100-20021200-30016300-40016400-50017500-60014600-70016有起有伏，似區(qū)間比例1-1001/41-10001/61-100001/81-1000001/10C.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（1）素?cái)?shù)的分布規(guī)律進(jìn)一步看，也C.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（1）素?cái)?shù)的分布規(guī)律

19世紀(jì)有一位數(shù)學(xué)愛好者觀察了600000內(nèi)的素?cái)?shù)，發(fā)現(xiàn)在n和2n之間至少有1個(gè)素?cái)?shù)。9年后一位俄國數(shù)學(xué)家證明了猜想的正確性。有一般的規(guī)律C.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（2）素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)無窮多1-n的區(qū)間素?cái)?shù)個(gè)數(shù)π(n)π(n)/n<n100251/4n10001681/5n1000012291/8n10000095921/10n101001000100001000001000000n

/π(n)2.545.958.1410.4212.05ln

n2.34.66.99.211.513.1C.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（2）素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)C.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（2）素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)

1800年一位德國數(shù)學(xué)家猜想這一等式成立，96年后，兩位法國數(shù)學(xué)家同時(shí)獨(dú)立地證明了猜想的正確性。數(shù)學(xué)在法國地位崇高，視數(shù)學(xué)為國學(xué)。C.素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（2）素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)獵奇——審美，它們之間是相通的。在雜亂無章的素?cái)?shù)分布上，人們發(fā)現(xiàn)了許多奇特的規(guī)律，猶如萬樹叢中的鳥語花香。2.斐波那契數(shù)列與黃金分割魔術(shù)師的地毯在美國《科學(xué)美國人》雜志上曾刊登過一則有趣的故事：世界著名的魔術(shù)家蘭迪先生有一塊長和寬都是8分米的地毯，他想把它改成5分米寬、13分米長的地毯。他拿著這塊地毯去找地毯匠奧馬爾，并對他說：“我的朋友，我想請您把這塊地毯分成四塊，然后再把它們縫在一起，成為一塊5分米×13分米的地毯?！眾W馬爾聽了以后說道：“很遺憾，蘭迪先生。您是一位偉大的魔術(shù)家，但您的算術(shù)怎么這樣差呢！8×8=64，5×13=65，這怎么辦得到呢？”蘭迪說：“親愛的奧馬爾，偉大的蘭迪是從來不會錯(cuò)的，請您把這塊地毯裁成這樣的四塊。”

然而奧馬爾照他所說的裁成四塊后。蘭迪先生便把這四塊重新擺好，再讓奧馬爾把它們縫在一起，這樣就得到了一塊5分米×13分米的地毯。魔術(shù)師的地毯把一個(gè)邊長為8分米的正方形按圖（1）方式剪裁，然后拼成圖(2)的矩形，會發(fā)現(xiàn)：（1）（2）原正方形面積為：而長方形面積為：13×5=65多出一個(gè)面積單位，何故？奧馬爾始終想不通：“這怎么可能呢？地毯面積由64平方分米擴(kuò)大到65平方分米，那一平方米怎么來的呢？”將四個(gè)小塊拼成長方形時(shí)，在對角線中段附近發(fā)現(xiàn)了微小的空隙。正是沿著對角線的這點(diǎn)空隙，而導(dǎo)致了多出一個(gè)單位的面積。涉及到四個(gè)長度數(shù)3，5，8，13，21都是斐波那契數(shù)，并且。有趣而重要的性質(zhì)：

注意到3，5，8，13都是斐波那契數(shù)，且是正方形的面積，是長方形的面積。問題：若要求面積不變，應(yīng)如何剪？斐波那契數(shù)列(Fibonacci)要使，即亦即解得取，即即為黃金分割。（1）人的肚臍是人體總長的黃金點(diǎn)；（2）人的膝蓋是人體肚臍到腳跟的黃金點(diǎn)；（3）植物莖上兩相鄰葉片夾角是，對通風(fēng)和采光都是最佳的。（5）東方明珠廣播電視塔高達(dá)468米，上球體位于黃金分割的250-295米處，觀之令人賞心悅目。生活中的黃金分割（4）黃金分割還是一種有效的優(yōu)選法。如在煉鋼時(shí)需加入某種元素來增加鋼材強(qiáng)度，若將試驗(yàn)點(diǎn)取在這一元素用量區(qū)間的0.618處，獲得理想用量的試驗(yàn)次數(shù)將大大減少。實(shí)驗(yàn)證明，對一個(gè)因素的問題，用優(yōu)選法做16次試驗(yàn)，就可達(dá)到“對分法”做2000余次試驗(yàn)的效果。請您欣賞-東方明珠健康中的黃金分割

現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)此比值和醫(yī)學(xué)保健、健康長壽有著千絲萬縷的聯(lián)系，亦可稱為健康的黃金分割律。例如，人為什么在環(huán)境氣溫22℃－24℃下生活感到最適宜？因?yàn)槿梭w的正常體溫是36℃－37℃，這個(gè)體溫與0.618的乘積恰好是22.4℃－22.8℃，而且在這一環(huán)境溫度中，人體的生理功能、生活節(jié)奏等新陳代謝水平均處于最佳狀態(tài)。

再如，營養(yǎng)學(xué)中強(qiáng)調(diào)，一餐主食中要有六成粗糧和四成細(xì)糧的搭配進(jìn)食，有益于腸胃的消化與吸收，避免腸胃病。這也可納入飲食的0.618規(guī)律之列。

養(yǎng)生或自我保健也可應(yīng)用“黃金律”，如醫(yī)學(xué)研究表明，養(yǎng)成飯吃六七分飽習(xí)慣的人很少患胃病，主食以四分精糧六分粗糧搭配不易患高血壓、冠心病。

抗衰老有生理與心理抗衰之分，哪個(gè)為重？研究證明，生理上的抗衰為四，而心理上的抗衰為六，也符合黃金分割律。充分調(diào)動與合理協(xié)調(diào)心理和生理兩方面的力量來延緩衰老，可以達(dá)到最好的延年益壽的效果。健康中的黃金分割

一天合理的生活作息也符合0.618的分割，24小時(shí)中，2/3時(shí)間是工作與生活，1/3時(shí)間是休息與睡眠；在動與靜的關(guān)系上，究竟是“生命在于運(yùn)動”，還是“生命在于靜養(yǎng)”？從辯證觀和大量的生活實(shí)踐證明，動與靜的關(guān)系同一天休息與工作的比例一樣，動四分，靜六分，才是最佳的保健之道。由此可見，掌握與運(yùn)用好“0.618”，可使人體節(jié)約能耗，延緩衰老，提高生命質(zhì)量。健康中的黃金分割馬拉松中的黃金分割常稱35公里是馬拉松的鬼門關(guān)第一次出現(xiàn)極限:26公里,是總里程42公里的黃金分割點(diǎn)第二次出現(xiàn)極限:剩下的16公里距離再做一次黃金分割的點(diǎn),即36公里處.第一次黃金分割點(diǎn)心理和生理開始走下坡，第二個(gè)黃金分割點(diǎn)疲憊得接近崩潰。意志薄弱者往往在這一賽段中退出比賽。

有人試圖將距離加長,并告知運(yùn)動員,同樣會出現(xiàn)類似現(xiàn)象。解釋只有一個(gè)，作為高級動物的人類，思維系統(tǒng)過于精密和復(fù)雜，大腦會自動調(diào)整中樞神經(jīng)并通知身體各個(gè)部門，準(zhǔn)備在黃金分割點(diǎn)上“罷工”。說好聽一些，是人們自我保護(hù)的一個(gè)預(yù)警；說難聽點(diǎn)，是人們好吃懶做的惰性。大自然中的斐波那契數(shù)列螺線中的秘密3.數(shù)學(xué)圖形欣賞眼見為實(shí)?眼見為實(shí)?視覺的迷惑視覺的迷惑視覺的迷惑視覺的迷惑仔細(xì)盯著黑點(diǎn)看，你會發(fā)現(xiàn)旁邊的灰色陰影不見了！??！

n雪花曲線分形圖分形圖分形圖分形圖4.數(shù)學(xué)與自然蜜蜂是天然工程師

蜜蜂房呈六角形，角度也很精確，鈍角109°32′，這樣的巢不但節(jié)省材料，而且結(jié)實(shí)堅(jiān)固，令人類工程師驚嘆不已！更另人驚奇的是蜜蜂還知道兩點(diǎn)間的最短距離，蜜蜂在花間隨意來去采集花蜜后它知道取最直接的路線回到蜂房。當(dāng)對這個(gè)美麗的結(jié)構(gòu)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析時(shí)，發(fā)現(xiàn)在蜘蛛網(wǎng)上隱藏的數(shù)學(xué)概念多的驚人——半徑、弦、平行線段、三角形、全等、對應(yīng)角等。貓和蜘蛛是“幾何專家”

在寒冷的冬天，貓睡覺時(shí)總是把身體抱成一個(gè)球形。這樣身體露在冷空氣中的表面積最小，因而散發(fā)的熱量也最少。蜘蛛結(jié)的八卦網(wǎng)既復(fù)雜又非常美麗。這種八角形的幾何圖案，即使木工師傅用直尺和圓規(guī)也難畫得如蜘蛛網(wǎng)那樣勻稱。二、數(shù)學(xué)是有用的對數(shù)學(xué)應(yīng)用的新認(rèn)識

過去：基本方式是間接的應(yīng)用?，F(xiàn)在：計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展更為數(shù)學(xué)的應(yīng)用開了廣闊的前景。數(shù)學(xué)已經(jīng)從幕后走到了臺前，直接為社會創(chuàng)造價(jià)值。

“高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”。

對數(shù)學(xué)教育價(jià)值認(rèn)識的發(fā)展

傳統(tǒng)：數(shù)學(xué)是一種知識，能培養(yǎng)邏輯思維能力?，F(xiàn)在：數(shù)學(xué)的教育價(jià)值被進(jìn)一步得到認(rèn)識，數(shù)學(xué)的教育功能得到極大的拓寬。數(shù)學(xué)與戰(zhàn)爭

羅馬將領(lǐng)馬塞拉斯最后感慨萬千地對身邊的士兵說：“怎么樣？在這位幾何學(xué)‘百手巨人’面前，我們只得放棄作戰(zhàn)。他拿我們的戰(zhàn)船當(dāng)游戲扔著玩。在一剎那間，他向我們投射了這么多鏢、箭和石塊，他難道不比神話里的百手巨人還厲害嗎？”當(dāng)士兵的利劍指向他時(shí)，他卻用身子護(hù)住幾何圖形，大叫：“不要碰我的圖形！”他要求把原理證明完再走，但激怒了那個(gè)魯莽無知的士兵，他竟用利劍刺死了75歲的老科學(xué)家。馬塞拉斯勃然大怒，他處死了那個(gè)士兵，為他開了追悼會并建了陵墓。阿基米德被后世的數(shù)學(xué)家尊稱為“數(shù)學(xué)之神”，在人類有史以來最重要的三位數(shù)學(xué)家中，阿基米德占首位，另兩位是牛頓和高斯。在海灣戰(zhàn)爭中，美國將大批人員和物資調(diào)運(yùn)到位，只用了短短一個(gè)月時(shí)間，效率驚人，這是因?yàn)樗麄冞\(yùn)用了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)籌學(xué)和優(yōu)化技術(shù)。數(shù)學(xué)與戰(zhàn)爭人們說第一次世界大戰(zhàn)是化學(xué)戰(zhàn)（火藥），第二次世界大戰(zhàn)是物理戰(zhàn)（原子彈），海灣戰(zhàn)爭是數(shù)學(xué)戰(zhàn)。——王梓坤五角大樓因此委托一家公司研究這個(gè)問題，這個(gè)公司利用流體力學(xué)的基本方程以及熱量傳遞的方程建立數(shù)學(xué)模型，經(jīng)過計(jì)算機(jī)仿真模擬，得出結(jié)論，認(rèn)為點(diǎn)燃所有的油井后果是嚴(yán)重的，但只會波及到海灣地區(qū)以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至于產(chǎn)生全球性的后果。

數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)縱觀諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，從1969年開始頒獎,至2002年共頒獎34屆,獲獎?wù)哌_(dá)51人，除了1974年獲獎的哈耶克，幾乎所有的獲獎成果都用到了數(shù)學(xué)工具;有一半以上獲獎?wù)叨际怯猩詈駭?shù)學(xué)功底的經(jīng)濟(jì)學(xué)家,還有少數(shù)獲獎?wù)弑旧砭褪侵臄?shù)學(xué)家。作為“自然科學(xué)王冠上的明珠”———數(shù)學(xué)，在社會科學(xué)的顯學(xué)———經(jīng)濟(jì)學(xué)中一樣熠熠生輝。

數(shù)學(xué)：經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的重要工具

海王星是通過計(jì)算才發(fā)現(xiàn)的

1781年在發(fā)現(xiàn)了天王星之后，當(dāng)人們觀察天王星時(shí)，發(fā)現(xiàn)它的運(yùn)行軌跡總是和原來預(yù)測的情況有一定的差異。當(dāng)時(shí)有人懷疑在它周圍還存在著另外一顆行星，在影響著它的運(yùn)行軌跡。

1845年法國一個(gè)年輕的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家勒維烈根據(jù)引力法則和攝動理論，通過一年多大量繁復(fù)的數(shù)學(xué)計(jì)算，具體算出了這顆行星的運(yùn)行軌跡。1846年9月23日晚，加勒將望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)了夜空，果然在與他們預(yù)報(bào)的位置只差一度之處找到了這顆行星，它就是后來被命名的海王星。海王星的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)計(jì)算的偉大勝利。

數(shù)學(xué)與物理學(xué)麥克斯韋方程組優(yōu)美地表達(dá)電磁場

麥克斯韋用純數(shù)學(xué)的方法對自法拉弟、安培以來的電磁理論的成功總結(jié)，他在其中將全部電磁現(xiàn)象規(guī)律歸結(jié)表述為兩組方程，并根據(jù)對這兩組方程的推導(dǎo)結(jié)果大膽地預(yù)言了一種以光速傳播著的波也就是電磁波的存在。

24年后，德國物理學(xué)家赫茲在振盪放電實(shí)驗(yàn)中證明了麥克斯韋的預(yù)言?！皬V義相對論”背后的數(shù)學(xué)工具在廣義相對論中，愛因斯坦使用了黎曼幾何和能量計(jì)算。但是，這些智力工具并非是為物理學(xué)而建立的，它早已在純數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展起來。數(shù)學(xué)與繪畫健美的人體（如古希臘雕塑《米羅的維納斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世紀(jì)以來，世界各國的選美標(biāo)準(zhǔn)大部分都依據(jù)《米羅的維納斯》身材各部分的尺寸。她的體形符合希臘人關(guān)于美的理想與規(guī)范，身長比例接近所追求的人體美標(biāo)準(zhǔn)，即身與頭之比為8∶1。由于8為3加5之和，這就可以分割成1∶3∶5，這就是“黃金分割律”，這個(gè)比例成為后代藝術(shù)家創(chuàng)造人體美的準(zhǔn)則。）亦有多組比例符合黃金分割比。如人的臍部到頭頂?shù)木嚯x與臍部高度之比、頭頂?shù)脚e手指端的距離與臍部到頭頂距離之比、膝蓋到肚臍同膝蓋到腳底之比，都符合黃金分割。數(shù)學(xué)與繪畫達(dá)·芬奇認(rèn)為繪畫是一門科學(xué),其基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)。他在評價(jià)數(shù)學(xué)時(shí)說：“在科學(xué)中，凡是和數(shù)學(xué)沒有聯(lián)系的地方，都是不可靠的。”他用一句話概括了他的《藝術(shù)專論》的思想：“欣賞我的作品的人，沒有一個(gè)不是數(shù)學(xué)家”?！叭魏稳祟惖奶骄炕顒右膊荒艹蔀榭茖W(xué)，除非這種活動通過數(shù)學(xué)表達(dá)方式和經(jīng)過數(shù)學(xué)證明為自己開辟道路?！睗h字激光照排系統(tǒng)

2002年，王選院士的代表性成就“漢字激光照排系統(tǒng)”獲得了國家科技最高獎。王選說：“由于我是數(shù)學(xué)系畢業(yè)，所以很容易想到信息壓縮，即用輪廓描述和參數(shù)描述相結(jié)合的方法描述字形，并于1976年設(shè)計(jì)出一套把漢字輪廓快速復(fù)原成點(diǎn)陣的算法?！钡?0世紀(jì)80年代初期，他開發(fā)的技術(shù)已經(jīng)處于國際先進(jìn)水平。其中數(shù)學(xué)技術(shù)是關(guān)鍵的因素之一?，F(xiàn)代密碼學(xué)計(jì)算機(jī)病毒是一種惡意的軟件，防病毒同樣是靠各種軟件，軟件的核心是數(shù)學(xué)；對付黑客的辦法是級別越來越高的電子加密，而現(xiàn)代密碼學(xué)的基礎(chǔ)是近世代數(shù)、數(shù)論、代數(shù)幾何等一些相當(dāng)高深的數(shù)學(xué)理論。

人們把數(shù)學(xué)對于我們社會的貢獻(xiàn)比喻為空氣和食物對生命的作用，我們大家都生活在數(shù)學(xué)的時(shí)代——我們的文化已“數(shù)學(xué)化”了。

——著名的文學(xué)家哈佛大學(xué)亞瑟.杰費(fèi)在人類社會發(fā)展中，數(shù)學(xué)不僅對科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步有巨大的推動作用，同樣對社會科學(xué)、人文科學(xué)的發(fā)展都產(chǎn)生了不可低估的影響。數(shù)學(xué)為經(jīng)濟(jì)理論、社會學(xué)理論、醫(yī)療保險(xiǎn)學(xué)說提供了可靠的理論；數(shù)學(xué)甚至對音樂、繪畫、語言學(xué)研究、文學(xué)批評理論也都產(chǎn)生了一定的影響。數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)思想通過各種形式的應(yīng)用，已廣泛滲透于人類社會的各個(gè)角落。

——著名數(shù)學(xué)家霍格本三、高中數(shù)學(xué)特點(diǎn)一、主要內(nèi)容和思想方法例16根火柴棒最多能拼成幾個(gè)正三角形？介紹立體思維和立體幾何例2動點(diǎn)C到定點(diǎn)A、B的距離之比為1:1，求動點(diǎn)C的軌跡。變式1：若改為“距離比為2:1”呢？變式2：若改為“兩距離之和為定值（大于ＡＢ）”呢？變式４：若改為“點(diǎn)C到定點(diǎn)A的距離和到定直線ｌ（不過Ａ）的距離相等”呢？變式３：若改為“兩距離之差的絕對值為定值（小于ＡＢ）”呢？介紹圓錐曲線的應(yīng)用、解析幾何的特點(diǎn)

例3國王為獎勵(lì)國際象棋的發(fā)明者，問他需要什么獎賞，他說：棋盤的第一個(gè)小格內(nèi)1粒麥子，在第二個(gè)小格內(nèi)給2粒，在第三個(gè)小格內(nèi)給4粒，以后每一小格內(nèi)的麥子是前一小格內(nèi)的2倍，直到把每一小格都擺上麥粒為止。國王認(rèn)為這位大臣的要求不算多，就爽塊地答應(yīng)了。請問國王能兌現(xiàn)嗎？

介紹數(shù)列總質(zhì)量就是7300多億噸；即使按全世界年產(chǎn)小麥約6億噸的數(shù)字來算，也需要一千多年。

例