第三章動(dòng)量與角動(dòng)量（MomentumandAngularMomentum）

§3.1沖量，動(dòng)量，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理§3.2質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理§3.3動(dòng)量守恒定律

§3.4變質(zhì)量系統(tǒng)、火箭飛行原理§3.5質(zhì)心§3.6質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理§3.7質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量§3.8角動(dòng)量守恒定律§3.9質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量§3.10質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理前言1前言我們往往只關(guān)心過(guò)程中力的效果——力對(duì)時(shí)間和空間的積累效應(yīng)。力在時(shí)間上的積累效應(yīng)：平動(dòng)沖量動(dòng)量的改變轉(zhuǎn)動(dòng)沖量矩角動(dòng)量的改變力在空間上的積累效應(yīng)功改變能量牛頓定律是瞬時(shí)的規(guī)律。在有些問(wèn)題中，如：碰撞（宏觀）、（微觀）…散射2

§3.1沖量，動(dòng)量，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理定義：力的沖量（impulse）—質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量（momentum）—質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理：（微分形式）（積分形式）3平均沖力

[例1]已知：一籃球質(zhì)量m=0.58kg，

求：籃球?qū)Φ氐钠骄鶝_力解：籃球到達(dá)地面的速率從h=2.0m的高度下落，到達(dá)地面后，接觸地面時(shí)間

t=0.019s。FFto

t速率反彈，以同樣4例2：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)做圓錐擺運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的速率為v，圓半徑為R。圓錐母線與軸線之間的夾角為

，計(jì)算質(zhì)點(diǎn)所受的拉力在一周內(nèi)的沖量。

5演示逆風(fēng)行舟帆

1

2

1

2Δ

風(fēng)

F風(fēng)對(duì)帆

F橫

F進(jìn)

F橫

F阻龍骨F帆對(duì)風(fēng)Δ

6§3.2質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理（theoremofmometumofparticlesystem）Fipi

fjifij為質(zhì)點(diǎn)i受的合外力，········ij質(zhì)點(diǎn)系

為質(zhì)點(diǎn)i受質(zhì)點(diǎn)j的內(nèi)力，為質(zhì)點(diǎn)i的動(dòng)量。對(duì)質(zhì)點(diǎn)i：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系：由牛頓第三定律有：7所以有：令則有：或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理（微分形式）─質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理（積分形式）用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理處理問(wèn)題可避開(kāi)內(nèi)力。8例3：一輛裝煤車以v=3m/s的速率從煤斗下面通過(guò)，每秒鐘落入車廂的煤為

m=500Kg。如果使車廂的速率保持不變，應(yīng)用多大的牽引力拉車廂？（忽略車廂與鋼軌之間的摩擦。）Fmdmv9§3.3動(dòng)量守恒定律這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律。

0=外Fv時(shí)，=Pv常量即幾點(diǎn)說(shuō)明：

1.動(dòng)量守恒定律是牛頓第三定律的必然推論。2.動(dòng)量定理及動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量不隨時(shí)間改變。（lawofconservationofmomentum）104.若某個(gè)方向上合外力為零，5.當(dāng)外力<<內(nèi)力

6.動(dòng)量守恒定律是比牛頓定律更普遍、更基本則該方向上動(dòng)盡管總動(dòng)量可能并不守恒。量守恒，且作用時(shí)間極短時(shí)（如碰撞），可認(rèn)為動(dòng)量近似守恒。的定律，它在宏觀和微觀領(lǐng)域均適用。7.用守恒定律作題，應(yīng)注意分析過(guò)程、系統(tǒng)和條件。切慣性系中均守恒。3.動(dòng)量若在某一慣性系中守恒，則在其它一11xyVmvxMR例4：一個(gè)有1/4圓弧滑槽的大物體的質(zhì)量為M，停在光滑的水平面上，另一質(zhì)量為m的小物體自圓弧頂端由靜止下滑。求當(dāng)小物體m滑到底時(shí)，大物體M在水平面上移動(dòng)的距離。12

§3.4變質(zhì)量系統(tǒng)、火箭飛行原理

“神州”號(hào)飛船升空13

▲粘附—主體的質(zhì)量增加（如滾雪球）

▲拋射—主體的質(zhì)量減少（如火箭發(fā)射）還有另一類變質(zhì)量問(wèn)題是在高速（v

c）情況下，這時(shí)即使沒(méi)有粘附和拋射，質(zhì)量也可以改變—隨速度變化m=m(v)，這是相對(duì)論情形，不在本節(jié)討論之列。兩類變質(zhì)量問(wèn)題（低速，v

<<c）：下面僅以火箭飛行原理為例，討論變質(zhì)量問(wèn)題。14條件：燃料相對(duì)箭體以恒速u噴出初態(tài)：系統(tǒng)質(zhì)量M，速度v(對(duì)地)，動(dòng)量Mv一.火箭不受外力情形（在自由空間飛行）1.火箭的速度系統(tǒng)：火箭殼體+尚存燃料總體過(guò)程：i(點(diǎn)火)

f(燃料燒盡)先分析一微過(guò)程：

t

t+dt末態(tài)：噴出燃料后噴出燃料的質(zhì)量：dm=-dM，噴出燃料速度(對(duì)地)：v-uvu15火箭殼體+尚存燃料的質(zhì)量：M-dm系統(tǒng)動(dòng)量：

(

M-dm)(v

+dv)+

-dM(v

-u)

火箭殼體+尚存燃料的速度(對(duì)地)：v

+dv由動(dòng)量守恒，有

Mv

=-dM(v

-u)+(M-dm)(v

+dv

)經(jīng)整理得：Mdv

=-udM速度公式：16引入火箭質(zhì)量比：得討論：提高vf的途徑(1)提高u（現(xiàn)可達(dá)u=4.1km/s）

(2)增大N（受一定限制）為提高N，采用多級(jí)火箭（一般為三級(jí)）v

=u1lnN1+u2lnN2+u3lnN3

資料：長(zhǎng)征三號(hào)（三級(jí)大型運(yùn)載火箭）全長(zhǎng)：43.25m，最大直徑：3.35m，

起飛質(zhì)量：202噸，起飛推力：280噸力。17t+dt時(shí)刻：速度v-u，動(dòng)量dm(v-u)由動(dòng)量定理，dt內(nèi)噴出氣體所受沖量2.火箭所受的反推力研究對(duì)象：噴出氣體dmt時(shí)刻：速度v(和主體速度相同)，動(dòng)量vdmF箭對(duì)氣dt=dm(v-u)-vdm=-F氣對(duì)箭dt由此得火箭所受燃?xì)獾姆赐屏?8二.重力場(chǎng)中的火箭發(fā)射

可得t時(shí)刻火箭的速度：忽略地面附近重力加速度g的變化，

Mt：t時(shí)刻火箭殼和尚余燃料的質(zhì)量19書P172.習(xí)題3.6第5題：已知：如圖示，繩的線密度為

。求：F=?（1）v=const.（2）a

=const.解：aF

yy軟繩v按變質(zhì)量問(wèn)題討論。主體是被拉起的繩，其質(zhì)量在不斷增加。

設(shè)t時(shí)刻繩長(zhǎng)y被拉起，dt內(nèi)繩長(zhǎng)dy被拉起。（y+dy）為我們所研究的系統(tǒng)。下面分兩種情況討論：F=?方法一.20在dt

時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)動(dòng)量增量為：

dyv

ygvyyF0如圖示，整理得：

t時(shí)刻系統(tǒng)動(dòng)量：t+dt時(shí)刻系統(tǒng)動(dòng)量：（1）v=const.由動(dòng)量定理有：21（2）a

=const.

t時(shí)刻系統(tǒng)動(dòng)量：t+dt時(shí)刻系統(tǒng)動(dòng)量：

ygvyyF0a在dt

時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)動(dòng)量增量為：如圖示，由動(dòng)量定理有：22方法二.分別以被拉起的長(zhǎng)為y的一段繩和設(shè)dy被拉起時(shí)受的拉力為f，dt內(nèi)被拉起的一段繩dy為對(duì)象。

yg

f

=fvyyF0a對(duì)dy，由動(dòng)量定理有對(duì)y，（1）v=const.a=0，（2）a

=const.v=2ay，則由牛Ⅱ有dyt

fdyt+dtv23思考有一種做法如下，此做法是否有問(wèn)題？解：以被拉起的繩為變質(zhì)量系統(tǒng)。yv

aFy

yg由牛Ⅱ有：（1）v=const.a=0，（2）a

=const.v=2ay，24rc§3.5質(zhì)心（centerofmass）一.質(zhì)心的概念和質(zhì)心位置的確定×C······mi·z·riyx0定義質(zhì)心C的位矢為：（）質(zhì)心位置是質(zhì)點(diǎn)位置以質(zhì)量為權(quán)重的平均值。25二.幾種系統(tǒng)的質(zhì)心●兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)m2m1··×r1r2Cm1r1=m2r2●連續(xù)體×rrcdmC0mzxy……26R●“小”線度物體的質(zhì)心和重心是重合的。[例6]如圖示，CxCO″rO′rddxyO均質(zhì)圓盤求挖掉小圓盤后系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)。由對(duì)稱性分析，質(zhì)心C應(yīng)在x軸上。解：令為質(zhì)量的面密度，則質(zhì)心坐標(biāo)為：挖空

·●均勻桿、圓盤、圓環(huán)、球，質(zhì)心為其幾何中心。27例7：一段均勻鐵絲彎成半圓形，其半徑為R，求此半圓形鐵絲的質(zhì)點(diǎn)。xydl

R思考：求半圓的質(zhì)心的位置？28§3.6質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（theoremofmotionofcenterofmass）一.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理rcCvc×······mi·z·riyx0vi總動(dòng)量29由—質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有拉力紙·C×球往哪邊移動(dòng)？30（如拋擲的物體、跳水的運(yùn)動(dòng)員、爆炸的焰火等，其質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)都是拋物線）。系統(tǒng)內(nèi)力不會(huì)影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)31

1.質(zhì)心系質(zhì)心系是固結(jié)在質(zhì)心上的平動(dòng)參考系。質(zhì)心系不一定是慣性系。質(zhì)點(diǎn)系的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)通?？煞纸鉃椋涸谫|(zhì)心系中考察質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)。討論天體運(yùn)動(dòng)及碰撞等問(wèn)題時(shí)常用到質(zhì)心系。質(zhì)點(diǎn)系整體隨質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)；各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)——二.質(zhì)心（參考）系（frameofcenterofmass）322.質(zhì)心系的基本特征質(zhì)心系是零動(dòng)量參考系。m1v10

m1v1

m2v20

m2v2

··質(zhì)心系中看兩粒子碰撞等值、反向的動(dòng)量。兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)在其質(zhì)心系中，總是具有33例8：一質(zhì)量m1=50Kg的人站在一條質(zhì)量m2=200Kg，長(zhǎng)度l=4m的船的船頭上。開(kāi)始時(shí)船靜止，試求當(dāng)人走到船尾時(shí)船的移動(dòng)。（不計(jì)水的阻力）ox1x2xy34例9：一枚炮彈發(fā)射的初速度為v0，發(fā)射角為

，在它飛行的最高點(diǎn)炸裂成質(zhì)量均為m的兩部分。一部分在炸裂后豎直下落，另一部分則繼續(xù)向前飛行。求這兩部分的著地點(diǎn)以及質(zhì)心的著地點(diǎn)。（忽略空氣阻力。）xyv0

xCx2x1C35

LmOpr

·§3.7質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（angularmomentumofaparticle）一.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

質(zhì)點(diǎn)m對(duì)固定點(diǎn)O的單位：

kg

m2/s

或J

sLRv

m·O

質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量定義為：角動(dòng)量的大小為L(zhǎng)=

mvR

、方向不變。36二.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理，力矩由有：定義力對(duì)定點(diǎn)O的力矩(momentofforce)

為：FM

r·Om

稱力臂r037于是有質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理或積分質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理稱沖量矩——力矩對(duì)時(shí)間的積累作用。（積分形式）（微分形式）38三.質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量

1.力對(duì)軸的力矩

F

r

平面

z軸r

sin

把對(duì)O點(diǎn)的力矩向過(guò)O點(diǎn)——力對(duì)軸的力矩。FzrOMMz·的軸（例如z軸）投影：392.質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量

r

sin

——質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量3.對(duì)軸的角動(dòng)量定理即——質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量定理pr

rO·zp

40——質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律

§3.8角動(dòng)量守恒定律

（lawofconservationofangularmomentum）

OmvF·L

（中心力）r（1）mvrsin=const.，（2）軌道在同一平面內(nèi)。41例10：行星對(duì)太陽(yáng)的徑矢在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。OL

rmv·

由角動(dòng)量守恒定律可導(dǎo)出行星運(yùn)動(dòng)的開(kāi)普勒第二定律。42——質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，而且在高速低速范圍均適用。43▲星云具有盤形結(jié)構(gòu):pc—秒差距，1pc=3.0861016m旋轉(zhuǎn)的星云44星球具有原始角動(dòng)量v·r星球所需向心力：引力不能再使r減小

?？梢栽谝ψ饔孟虏粩嗍湛s。粗略的解釋：r0v0·zm引力使r

到一定程度

r就不變了，但在z

軸方向卻無(wú)此限制，可近似認(rèn)為引力：45§3.9質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量（自己證）—質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理于是有：46——質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒和動(dòng)量守恒是否相互獨(dú)立？思考▲脈沖星的角動(dòng)量守恒時(shí)間間隔：1s脈沖星的精確周期性信號(hào)周期約1.19s47例11：質(zhì)量分別為m1和m2的小鋼球固定在一個(gè)長(zhǎng)為a的輕質(zhì)硬桿的兩端，桿的中點(diǎn)有一軸使桿可在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，桿原來(lái)靜止。另一泥球的質(zhì)量為m3，以水平速度v0垂直于桿的方向與m2發(fā)生碰撞，碰后二者粘在一起。設(shè)m1=m2=m3，求碰撞后桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。Ov0m1m2m3注意：質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量并不守恒。為什么？48第12題：如圖示，兩個(gè)同樣重的小孩，各抓著跨過(guò)滑輪的輕繩的一端。起初都不動(dòng)，然后右邊的小孩用力向上爬繩，左邊的小孩仍抓住繩子不爬動(dòng)。忽略滑輪的質(zhì)量和軸的摩擦。問(wèn)哪個(gè)小孩先到達(dá)滑輪？m1m2(不爬)(爬)49對(duì)“m1+m2

”系統(tǒng)：外力：滿足條件：所以角動(dòng)量守恒。設(shè)小孩上升速度分別為把小孩看成質(zhì)點(diǎn)，以滑輪中心O點(diǎn)為參考點(diǎn)。設(shè)滑輪半徑為R，