直線(xiàn)的方程知識(shí)講解一、兩點(diǎn)之間的距離公式教師內(nèi)容：在學(xué)習(xí)兩點(diǎn)間距離公式之前，建議教師將平面直角坐標(biāo)系中的軸及軸上的兩點(diǎn)間的距離求法作復(fù)習(xí)．已知，，則教師內(nèi)容：由原點(diǎn)與任意點(diǎn)的距離導(dǎo)出兩點(diǎn)間的距離公式：、兩點(diǎn)間的距離通常用表示．由勾股定理可知：．若為任意兩點(diǎn)，，從點(diǎn)和分別向軸和軸作垂線(xiàn)、和、，垂足分別為、、、，其中直線(xiàn)和相交于點(diǎn)，由勾股定理得：，從而得到平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)間的距離公式．二、中點(diǎn)公式已知，，則中點(diǎn)坐標(biāo)為：，三、傾角與斜率1．直線(xiàn)的傾斜角的概念當(dāng)直線(xiàn)與軸相交時(shí)，取軸作為基準(zhǔn)，軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角叫做直線(xiàn)的傾斜角．特別地，當(dāng)直線(xiàn)與軸平行或重合時(shí)，規(guī)定．因此傾斜角的取值范圍是．2．直線(xiàn)的斜率：一條直線(xiàn)的傾斜角的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母表示，也就是⑴直線(xiàn)與軸平行或重合時(shí)，，；⑵時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為銳角，此時(shí)，值增大，直線(xiàn)的傾斜角也隨著增大；⑶時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為鈍角，此時(shí)，值增大，直線(xiàn)的傾斜角也隨著增大；⑷當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，，不存在．由此可知，一條直線(xiàn)的傾斜角一定存在，但是斜率不一定存在；⑸當(dāng)是銳角時(shí)，．例如，時(shí)，；時(shí)，．學(xué)習(xí)了斜率之后，我們又可以用斜率來(lái)表示直線(xiàn)的傾斜程度．3．直線(xiàn)的斜率公式：設(shè)，，則：斜率公式：對(duì)于上面的斜率公式要注意下面五點(diǎn)：⑴當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線(xiàn)的斜率不存在，傾斜角，直線(xiàn)與軸垂直；⑵與、的順序無(wú)關(guān)，即，和，在公式中的前后次序可以同時(shí)交換，但分子與分母不能交換；⑶斜率可以不通過(guò)傾斜角而直接由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得；⑷當(dāng)時(shí)，斜率，直線(xiàn)的傾斜角，直線(xiàn)與軸平行或重合．⑸求直線(xiàn)的傾斜角可以由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率而得到．教師內(nèi)容：直線(xiàn)的傾斜角和斜率是高中解析幾何內(nèi)容的開(kāi)端，是用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的初步，對(duì)基本概念要準(zhǔn)確掌握，尤其是傾斜角和斜率之間的關(guān)系．例子，判斷對(duì)錯(cuò)：①直線(xiàn)的傾斜角為，則它的斜率為；②直線(xiàn)斜率為，則它的傾斜角為；③因?yàn)樗械闹本€(xiàn)都有傾斜角，所以所有的直線(xiàn)都有斜率；④因?yàn)槠叫杏谳S的直線(xiàn)的斜率不存在，所以平行于軸的直線(xiàn)的傾斜角不存在．答案：①②③④都不對(duì)．四、直線(xiàn)的方程教師內(nèi)容：平面直角坐標(biāo)系中的任意一條直線(xiàn)是否都可以用方程來(lái)表示呢？除了兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)有兩點(diǎn)式以外，結(jié)合我們剛學(xué)過(guò)的斜率，直線(xiàn)的方程可以有點(diǎn)斜式、斜截式和截距式，還有一種特殊的直線(xiàn)：與軸垂直的直線(xiàn)，上述直線(xiàn)方程都是的二元一次方程，因此可以總結(jié)出直線(xiàn)方程的一般式（，即不全為）．重點(diǎn)是點(diǎn)斜式方程，直線(xiàn)方程的推導(dǎo)過(guò)程能體現(xiàn)出求軌跡方程的基本思路和步驟．直線(xiàn)方程的形式：1．點(diǎn)斜式方程：，由直線(xiàn)上一點(diǎn)和斜率確定直線(xiàn)方程；教師內(nèi)容：利用點(diǎn)斜式求直線(xiàn)方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否．①當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角時(shí)，斜率不存在，不能用點(diǎn)斜式方程表示，但這時(shí)直線(xiàn)恰與軸平行或重合，這時(shí)直線(xiàn)上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于，所以此時(shí)的方程為．②當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角時(shí)，，此時(shí)直線(xiàn)的方程為．③當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角不為或時(shí)，可以直接代入方程求解．點(diǎn)斜式是直線(xiàn)方程的重點(diǎn)．2．斜截式方程：，由直線(xiàn)的斜率和其在軸上的截距確定直線(xiàn)的方程；教師內(nèi)容：利用斜截式求直線(xiàn)方程時(shí)，需要先判斷斜率存在與否．①并非所有直線(xiàn)在軸上都有截距，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，如直線(xiàn)在軸上就沒(méi)有截距，即只有不與軸平行的直線(xiàn)在軸上有截距，從而得斜截式方程不能表示與軸垂直的直線(xiàn)的方程．②直線(xiàn)的斜截式方程是關(guān)于的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)為常量函數(shù)；當(dāng)時(shí)，該函數(shù)為一次函數(shù)．③直線(xiàn)的斜截式方程是直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程的特例．3．兩點(diǎn)式方程：，由直線(xiàn)上兩點(diǎn)確定方程；教師內(nèi)容：兩點(diǎn)式方程需要注意的是①當(dāng)直線(xiàn)沒(méi)有斜率或斜率為時(shí)，不能用兩點(diǎn)式表示它的方程；②可以把兩點(diǎn)式的方程化為整式，就可以用它來(lái)求過(guò)平面上任意兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程；如過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程可以求得，過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程可以求得．③需要特別注意整式與兩點(diǎn)式方程的區(qū)別，前者對(duì)于任意的兩點(diǎn)都適用，而后者則有條件的限制，兩者并不相同，前者是后者的拓展．4．截距式方程：，由直線(xiàn)在，軸上的截距，確定方程；教師內(nèi)容：用截距式方程表示直線(xiàn)時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：①方程的條件限制為，即兩個(gè)截距均不能為，因此截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)以及與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)；②用截距式方程最便于作圖，要注意截距是坐標(biāo)而不是長(zhǎng)度；③要注意“截距相等”與“截距絕對(duì)值相等”是兩個(gè)不同的概念，截距式中的截距可正、可負(fù)，不為．5．一般式方程：，可表示平面上所有直線(xiàn)．教師內(nèi)容：直線(xiàn)方程的幾種特殊形式都有其使用的限性，解題過(guò)程中要能夠根據(jù)不同的題設(shè)條件，靈活選用恰當(dāng)?shù)闹本€(xiàn)形式來(lái)求直線(xiàn)方程．五、直線(xiàn)的位置關(guān)系1．兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系（斜截式）：，兩條直線(xiàn)相交、平行與重合條件：①相交的條件：②平行的條件：且③重合的條件：，．兩條直線(xiàn)垂直的條件：2．兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系（一般式）：，；兩條直線(xiàn)相交、平行與重合條件：①相交的條件：或②平行的條件：且或③重合的條件：，，或兩條直線(xiàn)垂直的條件：．教師內(nèi)容：兩條直線(xiàn)相交、平行或重合的位置關(guān)系的判斷由這兩條直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的方程構(gòu)成的方程組的解的情況來(lái)判斷．直線(xiàn)的一般式包含了直線(xiàn)的所有可能的情況，不需要考慮斜率的存在問(wèn)題，而斜截式要注意這點(diǎn)．相對(duì)而言，斜截式的幾何特征比較明顯，條件比較容易記憶．討論兩條直線(xiàn)的垂直關(guān)系時(shí)，通過(guò)將直線(xiàn)平移到過(guò)原點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合的思想得出結(jié)論．在分析斜率關(guān)系和計(jì)算時(shí)，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)斜率存在與斜率不存在時(shí)的情況對(duì)比．六、點(diǎn)到線(xiàn)與線(xiàn)到線(xiàn)距離公式點(diǎn)到直線(xiàn)以及平行線(xiàn)之間的距離公式：⑴點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的計(jì)算公式：．教師內(nèi)容：方法一：根據(jù)定義，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)，如圖所示．設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)為，垂足為，由可知的斜率為．∴的方程為與聯(lián)立解方程組．解得交點(diǎn)，．．方法二：設(shè)，這時(shí)與軸、軸都相交．如圖：過(guò)作軸的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)；作軸的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)，由，，得，，∴，，由三角形面積公式知：，∴，當(dāng)或時(shí)，以上公式仍適用．兩條平行線(xiàn)，之間的距離為，則．教師內(nèi)容：求兩條平行線(xiàn)之間的距離，可通過(guò)在一條直線(xiàn)上取一點(diǎn)，求這點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離即可．典例精講一．選擇題（共10小題）1．（2018春?孝感期末）已知點(diǎn)A（﹣2，﹣4），B（2，1），若直線(xiàn)l：kx﹣y+（2﹣k）=0與線(xiàn)段AB相交，則k的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞） B．（﹣2，1） C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D．（﹣1，2）【分析】根據(jù)題意，分析可得可以將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為A、B兩點(diǎn)在直線(xiàn)l的異側(cè)或在直線(xiàn)上，進(jìn)而可得（﹣2k+4+2﹣k）（2k﹣1+2﹣k）≤0，解可得k的范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，點(diǎn)A（﹣2，4），B（2，1），直線(xiàn)l：kx﹣y+（2﹣k）=0與線(xiàn)段AB相交，則A、B兩點(diǎn)在直線(xiàn)l的異側(cè)或在直線(xiàn)上，則有（﹣2k+4+2﹣k）（2k﹣1+2﹣k）≤0，解可得：k≤﹣1或k≥2，故選：C．2．（2017秋?青羊區(qū)校級(jí)月考）直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)A（2，1），B(1，m+1m-2)A．[π4，πC．[0，π4]【分析】設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為θ，θ∈[0，π）．m＞0，由tanθ=m+1m-3【解答】解：設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為θ，θ∈[0，π）．又m＞0，∴tanθ=m+1m-31-2=3﹣(m+∴θ∈[0，π4]故選：B．3．（2018春?新華區(qū)校級(jí)期末）已知直線(xiàn)mx+y﹣pq=0與x﹣y+2q﹣pq=0互相垂直，垂足坐標(biāo)為（p，q），且p＞0，q＞0，則p+q的最小值為（）A．1 B．4 C．8 D．9【分析】根據(jù)題意求得m=1，把坐標(biāo)（p，q）代入直線(xiàn)方程得出p+q﹣pq=0，再利用基本不等式求得p+q的最小值．【解答】解：直線(xiàn)mx+y﹣pq=0與x﹣y+2q﹣pq=0互相垂直，則m=1；又垂足坐標(biāo)為（p，q），則p+q﹣pq=0，∴p+q=pq；又p＞0，q＞0，且pq≤(p+q2)∴p+q≤(p+q)2解得p+q≥4，∴p+q的最小值為4．故選：B．4．（2018春?陸川縣校級(jí)期末）已知直線(xiàn)l：kx﹣y+2﹣k=0過(guò)定點(diǎn)M，點(diǎn)P（x，y）在直線(xiàn)2x+y﹣1=0上，則|MP|的最小值是（）A．10 B．355 C．6 【分析】令直線(xiàn)l的參數(shù)k的系數(shù)等于零，求得定點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，求得|MP|的最小值．【解答】解：直線(xiàn)l：kx﹣y+2﹣k=0，即k（x﹣1）﹣y+2=0，過(guò)定點(diǎn)M（1，2），點(diǎn)P（x，y）在直線(xiàn)2x+y﹣1=0上，∴y=1﹣2x，∴|MP|=(x-1)2+(1-2x-2)2=5x故當(dāng)x=﹣15時(shí)，|MP|取得最小值為3故選：B．5．（2018春?陸川縣校級(jí)期末）已知直線(xiàn)l：kx﹣y+2﹣k=0過(guò)定點(diǎn)M，點(diǎn)P（x，y）在直線(xiàn)2x+y﹣1=0上，則|MP|的最小值是（）A．10 B．355 C．6 【分析】令直線(xiàn)l的參數(shù)k的系數(shù)等于零，求得定點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，求得|MP|的最小值．【解答】解：直線(xiàn)l：kx﹣y+2﹣k=0，即k（x﹣1）﹣y+2=0，過(guò)定點(diǎn)M（1，2），點(diǎn)P（x，y）在直線(xiàn)2x+y﹣1=0上，∴y=1﹣2x，∴|MP|=(x-1)2+(1-2x-2)2=5x故當(dāng)x=﹣15時(shí)，|MP|取得最小值為3故選：B．6．（2017春?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)x+my=0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)mx﹣y﹣m+3=0交于點(diǎn)P（x，y），（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），則△PAB的面積最大值是（）A．25 B．5 C．52 【分析】動(dòng)直線(xiàn)x+my=0，令y=0，解得x=0，因此此直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)A（0，0）．動(dòng)直線(xiàn)mx﹣y﹣m+3=0，即m（x﹣1）+3﹣y=0，令x﹣1=0，3﹣y=0，可得此直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)B（1，3）．分類(lèi)討論：m=0時(shí)，兩條直線(xiàn)分別為x=0，y=3，交點(diǎn)P（0，3），可得S△PAB=32．m≠0時(shí)，兩條直線(xiàn)的斜率分別為：﹣1m，m，則﹣1當(dāng)PA=PB時(shí)，△PAB的面積取得最大值．即可得出．【解答】解：動(dòng)直線(xiàn)x+my=0，令y=0，解得x=0，因此此直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)A（0，0）．動(dòng)直線(xiàn)mx﹣y﹣m+3=0，即m（x﹣1）+3﹣y=0，令x﹣1=0，3﹣y=0，解得x=1，y=3，因此此直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)B（1，3）．m=0時(shí)，兩條直線(xiàn)分別為x=0，y=3，交點(diǎn)P（0，3），S△PAB=12×1×3=m≠0時(shí)，兩條直線(xiàn)的斜率分別為：﹣1m，m，則﹣1m當(dāng)PA=PB時(shí)，△PAB的面積取得最大值．由2PA=AB=12+32=∴S△PAB=12PA綜上可得：△PAB的面積最大值是52故選：C．7．（2018春?雙流區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）中，不過(guò)原點(diǎn)的兩直線(xiàn)l1：x﹣my+2m﹣1=0、l2：mx+y﹣m﹣2=0的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)O分別向直線(xiàn)l1、l2引垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN的面積的最大值為（）A．3 B．32 C．5 D．【分析】先求出直線(xiàn)l1、l2所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，即為點(diǎn)P的坐標(biāo)，于是得到|OP|=5，結(jié)合勾股定理得到|OM|2+|ON|2=5，注意到直線(xiàn)l1、l2垂直，于是得到四邊形OMPN為矩形，由矩形的面積公式得到矩形OMPN的面積為S=|OM|?|ON|，結(jié)合基本不等式可求出S的最大值．【解答】解：將直線(xiàn)l1的方程變形得（x﹣1）+m（2﹣y）=0，由x-1=02-y=0，得x=1y=2，則直線(xiàn)l1過(guò)定點(diǎn)A（1，2），同理可知，直線(xiàn)l所以，直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），易知，直線(xiàn)l1⊥l2，如下圖所示，易知，四邊形OMPN為矩形，且|OP|=1設(shè)|OM|=a，|ON|=b，則a2+b2=5，四邊形OMPN的面積為S=|OM|?|ON|=ab≤a當(dāng)且僅當(dāng)a=ba2+因此，四邊形OMPN面積的最大值為52故選：D．8．（2018?重慶一模）設(shè)m，θ∈R，則(22A．3 B．4 C．9 D．16【分析】令點(diǎn)P（22﹣m，22+m），Q（cosθ，sinθ）．點(diǎn)P在直線(xiàn)x+y-42=0上，點(diǎn)Q的軌跡為單位圓：x2+y2=1．因此(22【解答】解：令點(diǎn)P（22﹣m，22+m），Q（cosθ，sinθ）．點(diǎn)P在直線(xiàn)x+y-42=0上，點(diǎn)Q的軌跡為單位圓：x2+y因此(22-m-cosθ)故其最小值=(422故選：C．9．（2018春?田家庵區(qū)校級(jí)期末）m∈R，動(dòng)直線(xiàn)l1：x+my﹣1=0過(guò)定點(diǎn)A，動(dòng)直線(xiàn)l2：mx﹣y﹣2m+3=0過(guò)定點(diǎn)B，若l1與l2于點(diǎn)P（異于點(diǎn)A，B），則|PA|+|PB|的最大值為（）A．5 B．25 C．10 D．210【分析】求出直線(xiàn)l1：x+my﹣1=0過(guò)定點(diǎn)A的坐標(biāo)和直線(xiàn)l2：mx﹣y﹣2m+3=0過(guò)定點(diǎn)B的坐標(biāo)，l1與l2交于點(diǎn)P，根據(jù)兩條直線(xiàn)的斜率不難發(fā)現(xiàn)有則有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．利用基本不等式的性質(zhì)可得|PA|+|PB|的最大值．【解答】解：直線(xiàn)l1：x+my﹣1=0過(guò)定點(diǎn)A（1，0），斜率k=-1直線(xiàn)l2：mx﹣y﹣2m+3=0過(guò)定點(diǎn)B（2，3），斜率k=m，l1與l2始終垂直，P又是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，則有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．那么：(|PA|+|PB|)24≤|PA|2+|PB|∴|PA|+|PB|≤20=25．故選：B．10．（2018?南充模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知x12-lnx1-yA．1 B．2 C．3 D．4【分析】化簡(jiǎn)已知條件，得到兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)的斜率，利用平行線(xiàn)之間的距離求解即可．【解答】解：實(shí)數(shù)x1，y1，x2，y2滿(mǎn)足x12-lnx1可得y1=x12﹣lnx1，并且x2﹣y2﹣2=0，（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值轉(zhuǎn)化為：函數(shù)y=x2﹣lnx圖象上的點(diǎn)與x﹣y﹣2=0圖象上的點(diǎn)的距離的最小值的平方，由y=x2﹣lnx可得y′=2x﹣1x=2x與直線(xiàn)x﹣y﹣2=0平行的直線(xiàn)的斜率為1，所以2x﹣1x切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），與x﹣y﹣2=0平行的直線(xiàn)為：y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0，而x﹣y=0和x﹣y﹣2=0的距離是2，（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值為：2．故選：B．二．填空題（共9小題）11．（2018春?新吳區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)A（1，2），B（2，4），直線(xiàn)ax﹣y+1=0與線(xiàn)段AB有公共點(diǎn)，則a的最大值為32【分析】根據(jù)條件結(jié)合直線(xiàn)斜率的公式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【解答】解：由ax﹣y+1=0得y=ax+1，在a的幾何意義是過(guò)定點(diǎn)C（0，1）的直線(xiàn)斜率，由圖象知，BC的斜率最大，則BC的斜率k=4-12-0=3即a的最大值為32故答案為：312．（2018?全國(guó)一模）直線(xiàn)x﹣ysinα﹣3=0（α∈R）的傾斜角的取值范圍是[45°，135°]．【分析】討論若sinα=0，若sinα≠0，求得直線(xiàn)的斜率，由正弦函數(shù)的值域，可得k的范圍，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，即可得到傾斜角的范圍．【解答】解：直線(xiàn)x﹣ysinα﹣3=0（α∈R），若sinα=0，則x=3，直線(xiàn)的斜率不存在，傾斜角為90°；若sinα≠0，則直線(xiàn)的斜率k=1sinα由﹣1≤sinα＜0或0＜sinα≤1，可得k≥1或k≤﹣1，由k=tanθ（θ為不等于90°的傾斜角），可得45°≤θ＜90°或90°＜θ≤135°，綜合以上可得，傾斜角的取值范圍是[45°，135°]．故答案為：[45°，135°]．13．（2017秋?天津期末）平面上一質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持與點(diǎn)F（1，0）的距離和直線(xiàn)x=﹣1的距離相等，若質(zhì)點(diǎn)接觸不到過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）且斜率為k的直線(xiàn)，則k的取值范圍是(-∞，-22)∪【分析】由題意可得質(zhì)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上：y2=4x．過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）且斜率為k的直線(xiàn)方程為：y=k（x+2）．聯(lián)立y=k(x+2)y2=4x，化為：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2根據(jù)質(zhì)點(diǎn)接觸不到過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）且斜率為k的直線(xiàn)，則△＜0，即可得出．【解答】解：由題意可得質(zhì)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上：y2=4x．過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）且斜率為k的直線(xiàn)方程為：y=k（x+2）．聯(lián)立y=k(x+2)y2=4x，化為：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2∵質(zhì)點(diǎn)接觸不到過(guò)點(diǎn)P（﹣2，0）且斜率為k的直線(xiàn)，則△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，化為：k2＞12，解得k＞2∴k的取值范圍是(-∞，-22)故答案為：(-∞，-22)14．（2017秋?益陽(yáng)期末）已知過(guò)P（3，4）點(diǎn)的直線(xiàn)l與x軸，y軸在第二象限圍成的三角形的面積為3，則直線(xiàn)l的方程為2x﹣3y+6=0．【分析】設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，由直線(xiàn)過(guò)（﹣3，4）得到直線(xiàn)方程，求出直線(xiàn)l與x軸、y軸上的截距，由直線(xiàn)l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3列方程求出k的值，再驗(yàn)證是否滿(mǎn)足題意即可．【解答】解：設(shè)直線(xiàn)l的方程是y=k（x﹣3）+4，k＞0；它在x軸、y軸上的截距分別是﹣4k+3，﹣3k+由已知，得|（﹣3k+4）（﹣4k+3）|可得（3k﹣4）（3k﹣4）=6k或﹣6k，解得k1=23或k2=8k=23時(shí)，直線(xiàn)l的方程為：2x﹣3y+k=83故答案為：2x﹣3y+6=0．15．（2018?廣陵區(qū)校級(jí)四模）若直線(xiàn)kx﹣y﹣k+2=0與直線(xiàn)x+ky﹣2k﹣3=0交于點(diǎn)P，則OP長(zhǎng)度的最大值為22+1．【分析】根據(jù)題意知直線(xiàn)kx﹣y﹣k+2=0與直線(xiàn)x+ky﹣2k﹣3=0過(guò)分別定點(diǎn)A、B，且互相垂直，其交點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，結(jié)合圖形求得OP長(zhǎng)度的最大值．【解答】解：直線(xiàn)kx﹣y﹣k+2=0化為k（x﹣1）﹣y+2=0，過(guò)定點(diǎn)A（1，2），直線(xiàn)x+ky﹣2k﹣3=0化為x+k（y﹣2）﹣3=0，過(guò)定點(diǎn)B（3，2）；且滿(mǎn)足k?1﹣1?k=0，∴兩條直線(xiàn)互相垂直，其交點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，如圖所示；結(jié)合圖形知，OP長(zhǎng)度的最大值為|OC|+1=22+1．故答案為：22+1．16．（2017?浙江二模）直線(xiàn)l：x+λy+2﹣3λ=0（λ∈R）恒過(guò)定點(diǎn)（﹣2，3），P（1，1）到該直線(xiàn)的距離最大值為13．【分析】直線(xiàn)l：x+λy+2﹣3λ=0（λ∈R）即λ（y﹣3）+x+2=0，令y-3=0x+2=0，解出可得直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)Q（﹣2，3），P（1，1）到該直線(xiàn)的距離最大值=|PQ|【解答】解：直線(xiàn)l：x+λy+2﹣3λ=0（λ∈R）即λ（y﹣3）+x+2=0，令y-3=0x+2=0∴直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)Q（﹣2，3），P（1，1）到該直線(xiàn)的距離最大值=|PQ|=32+2故答案為：（﹣2，3），13．17．（2016秋?濟(jì)寧期末）已知直線(xiàn)l1：kx﹣y+4=0與直線(xiàn)l2：x+ky﹣3=0（k≠0）分別過(guò)定點(diǎn)A、B，又l1、l2相交于點(diǎn)M，則|MA|?|MB|的最大值為252【分析】先計(jì)算出兩條動(dòng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，即A和B，注意到兩條動(dòng)直線(xiàn)相互垂直的特點(diǎn)，則有MA⊥MB；再利用基本不等式放縮即可得出|MA|?|MB|的最大值．【解答】解：由題意可知，直線(xiàn)l1：kx﹣y+4=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，4），直線(xiàn)l2：x+ky﹣3=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)B（3，0），注意到kx﹣y+4=0和直線(xiàn)l2：x+ky﹣3=0始終垂直，M又是兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，則有MA⊥MB，∴|MA|2+|MB|2=|AB|2=25．故|MA|?|MB|≤252（當(dāng)且僅當(dāng)|MA|=|MB|=5故答案為：25218．（2018?全國(guó)四模）若直線(xiàn)y=a分別與f（x）=ex﹣1，g（x）=ln（x﹣1）的圖象交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的最小值為2【分析】（解法1）根據(jù)f（x）、g（x）的圖象與性質(zhì)，令f（x1）=g（x2）=a，計(jì)算x2﹣x1的值，再構(gòu)造函數(shù)并求其最小值即可．（解法2）設(shè)y=f（x﹣t）=ex﹣t﹣1與g（x）有公切點(diǎn)P（x0，y0），則t=|AB|min，由y'(x【解答】解：（解法1）f（x）在R上單調(diào)遞增，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；∴f（x1）=g（x2）=a∈（﹣1，+∞）；∴x2﹣x1=（ea+1）﹣ln（a+1）=h（a），h′（a）=ea﹣1a+1在（﹣1，+∞∴h（a）在（﹣1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；∴h（a）min=h（0）=2，即|AB|min=2．（解法2）設(shè)y=f（x﹣t）=ex﹣t﹣1與g（x）有公切點(diǎn)P（x0，y0），則t=|AB|min；由y'(x得ex∴1x0-1∴l(xiāng)n（x0﹣1）﹣1x0令h（x）=ln（x﹣1）﹣1x-1+1，x∈（1，+∞顯然h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且h（2）=0；∴x0=2，t=2，即|AB|min=2．故答案為：2．19．（2017秋?伊通縣期末）點(diǎn)A，B分別為圓M：x2+（y﹣3）2=1與圓N：（x﹣3）2+（y﹣8）2=4上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在直線(xiàn)x+y=0上運(yùn)動(dòng)，則|AC|+|BC|的最小值為7．【分析】根據(jù)題意，算出圓M關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的圓M'方程為（x+3）2+y2=1．當(dāng)點(diǎn)P位于線(xiàn)段NM'上時(shí)，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)就是|AC|+|BC|的最小值，由此結(jié)合對(duì)稱(chēng)的知識(shí)與兩點(diǎn)間的距離公式加以計(jì)算，即可得出|AC|+|BC|的最小值．【解答】解：設(shè)圓M'是圓M：x2+（y﹣3）2=1關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對(duì)稱(chēng)的圓可得M'（﹣3，0），圓M'方程為（x+3）2+y2=1，可得當(dāng)點(diǎn)P位于線(xiàn)段NM'上時(shí)，線(xiàn)段AB長(zhǎng)是圓N與圓M'上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離最小值，此時(shí)|AC|+|BC|的最小值為AB，N（3，8），圓的半徑R=2，∵|NM'|=(-3-3)可得|AB|=|NM'|﹣R﹣r=10﹣2﹣1=7因此|AC|+|BC|的最小值為7，故答案為7．三．解答題（共6小題）20．（2017秋?邯鄲期末）已知直線(xiàn)1：2x﹣y+2=0，點(diǎn)P（3，2），M和N分別是直線(xiàn)l和x軸上的點(diǎn)，求△MPN的周長(zhǎng)最小值及此時(shí)點(diǎn)M和N的坐標(biāo)．【分析】求出點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2，求過(guò)點(diǎn)P1、P2（3，﹣2）的直線(xiàn)l′的方程，由此求得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再計(jì)算|MN|、|PN|和|PM|的值，即可求得△MPN的周長(zhǎng)最小值．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P（3，2）關(guān)于直線(xiàn)1：2x﹣y+2=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1（x1，y1），則由y1-2x1-3×2=-12×又點(diǎn)P（3，2）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2（3，﹣2），過(guò)點(diǎn)P1（﹣95，225）和P2（3，﹣2）的直線(xiàn)l′的斜率為k=225∴y﹣（﹣2）=﹣43（x﹣3），化簡(jiǎn)為4x+即直線(xiàn)l′的方程為4x+3y﹣6=0；由4x+3y-6=02x-y+2=0由4x+3y-6=0y=0，解得N（3此時(shí)|MN|=(-32)|PN|=(32)|PM|=3，∴△MPN的周長(zhǎng)最小值為52+52此時(shí)點(diǎn)M（0，2），點(diǎn)N（3221．（2017秋?漢中期末）已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求邊AC中線(xiàn)所在直線(xiàn)方程（Ⅱ）求△ABC的面積．【分析】（Ⅰ）直接利用中點(diǎn)的坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出直線(xiàn)的方程．（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和兩點(diǎn)間的距離公式求出三角形的面積．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)AC邊中點(diǎn)為M，則M點(diǎn)坐標(biāo)為（12，7∴直線(xiàn)kBM∴直線(xiàn)BM方程為：y﹣（﹣1）=95（x+整理得：9x﹣5y+13=0．∴AC邊中線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為：9x﹣5y+13=0．（Ⅱ）由于：B（﹣2，﹣1），C（2，3）．則：|BC|=42由B（﹣2，﹣1），C（2，3）．得直線(xiàn)BC的方程為：x﹣y+1=0．所以點(diǎn)A到直線(xiàn)BC的距離d=|-1-4+1|2所以：S△ABC22．（2017秋?襄陽(yáng)期末）已知直線(xiàn)l的方程為（a+1）x+y+2﹣a=0，其中a∈R，直線(xiàn)11的方程為x﹣2y+4=0，直線(xiàn)l2的方程為4x+3y+27=0．（Ⅰ）若l在y軸上的截距是在x軸上的距的2倍，求l的方程；（Ⅱ）若直線(xiàn)l與l1、l2可組成三角形，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（I）若2﹣a=0，解得a=2，此時(shí)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，滿(mǎn)足題意．a(chǎn)+1=0時(shí)，不滿(mǎn)足題意，舍去．2﹣a≠0，a+1≠0時(shí)，直線(xiàn)l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為：（a-2a+1，0），（0，a﹣2），則a﹣2=2×a-2（II））聯(lián)立x-2y+4=04x+3y+27=0（i）當(dāng)直線(xiàn)（a+1）x+y+2﹣a=0過(guò)l1與l2的交點(diǎn)P時(shí)，不能構(gòu)成三角形，（ii）當(dāng)直線(xiàn)（a+1）x+y+2﹣a=0分別與l1、l2平行時(shí)，不能構(gòu)成三角形．【解答】解：（I）若2﹣a=0，解得a=2，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為：3x+y=0，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，滿(mǎn)足題意．a(chǎn)+1=0時(shí)，不滿(mǎn)足題意，舍去．2﹣a≠0，a+1≠0時(shí)，直線(xiàn)l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為：（a-2a+1，0），（0，a﹣2），則a﹣2=2×a-2∴l(xiāng)的方程為：2x+y+1=0．綜上可得：l的方程為：2x+y+1=0或3x+y=0．（II））聯(lián)立x-2y+4=04x+3y+27=0（i）當(dāng)直線(xiàn)（a+1）x+y+2﹣a=0過(guò)l1與l2的交點(diǎn)P時(shí)，不能構(gòu)成三角形，∴（a+1）（﹣6）+（﹣1）+2﹣a≠0，解得a≠﹣57（ii）當(dāng)直線(xiàn)（a+1）x+y+2﹣a=0分別與l1、l2平行時(shí)，不能構(gòu)成三角形，∴﹣（a+1）≠12，﹣（a+1）≠﹣4解得a≠﹣32，a≠1綜上所述：a≠﹣32，a≠13，a≠﹣23．（2017春?贛州期末）已知直線(xiàn)l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．（1）求證：直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)；（2）當(dāng)m變化時(shí)，求點(diǎn)P（3，1）到直線(xiàn)l的距離的最大值；（3）若直線(xiàn)l分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線(xiàn)l的方程．【分析】（1）直線(xiàn)l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．化為：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令-x+2y+3=02x+y+4=0（2）當(dāng)m變化時(shí)，PQ⊥直線(xiàn)l時(shí)，點(diǎn)P（3，1）到直線(xiàn)l的距離的最大．（3）由于直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（﹣1，﹣2）．直線(xiàn)l的斜率k存在且k≠0，因此可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y+2=k（x+1），可得與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A(yíng)（2-kk，0），B（0，k﹣2）兩點(diǎn)，2-kk＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．可得S△OAB=12×k-2k【解答】（1）證明：直線(xiàn)l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．化為：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令-x+2y+3=02x+y+4=0，解得x=-1則直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（﹣1，﹣2）．（2）解：當(dāng)m變化時(shí)，PQ⊥直線(xiàn)l時(shí)，點(diǎn)P（3，1）到直線(xiàn)l的距離的最大=(-1-3)（3）解：由于直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q（﹣1，﹣2