專題15導數(shù)壓軸題

1.(2021?江蘇一模)設(shè)函數(shù)J,(x)=，+e-*(a>l).

(1)求證：f(x)有極值點；

(2)設(shè)/(x)的極值點為%,若對任意正整數(shù)a都有用€(利,〃)，其中加，nsZ.求

的最小值.

2.(2021?南京二模)已知函數(shù)f(x)="-ar-l.

(1)當a=2時，求曲線在(I,/(1))處的切線方程；

(2)若g(x)=f(x)-V,且g(x)在［0,+oo)上的最小值為0,求a的取值范圍.

3.(2021?江蘇一模)已知函數(shù)f(x)=V一'竺一

X

(1)若/(%)..0，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(幻有兩個零點不，x2,證明：^<1.

4.(2021?江蘇一模)己知函數(shù)/(x)=I+m//優(yōu)(m￡R).

(1)當〃2=2時，一次函數(shù)g(x)對任意X￡(0,+oo),/(x)^(x)f恒成立，求g(x)的表達

式；

(2)討論關(guān)于x的方程與■=/解的個數(shù).

/(-)

X

5.(2021?江蘇二模)已知函數(shù)=-a￥sinx—工一1,XG[0,乃],aeR.

(1)當a時，求證：f(x)..0；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

6.(2021?江蘇二模)已知函數(shù)/(x)=*(加x+l)(awR),尸(4為f(x)的導數(shù).

(1)設(shè)函數(shù)g(x)=譽，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/")有兩個極值點%,%2(%1<x2),

①求實數(shù)。的取值范圍；

②證明：當“<21時，如2</竺.

為x2

7.(2021?徐州模擬)己知函數(shù)/(x)=Mnx-gx2+(2a-i)x(4€R).

(1)討論函數(shù)/(%)的極值點的個數(shù)：

(2)已知函數(shù)g{x}=--f\x)有兩個不同的零點％,x，，且為<x,.證明：

X

4a2-2a-l

XX

2-l<2a

8.(2021?無錫模擬)對于定義在。上的函數(shù)f(x),如果存在實數(shù)%,使得/(%)=.，那

么稱X。是函數(shù)f(x)的一個不動點.已知，(%)=如2+1.

(1)當a=-2時，求f(x)的不動點；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個不動點％,x2,且不<2<占.

①求實數(shù)〃的取值范圍；

②設(shè)g(x)=k>g//(x)-x],求證：g(x)在(“,+<?)上至少有兩個不動點.

9.(2021?江蘇模擬)已知函數(shù)f(x)=

(1)若直線》=區(qū)-1是曲線y=/(x)的切線，求實數(shù)4的值；

(2)若對任意xw(0,+oo),不等式/(x),,or-1-叁成立，求實數(shù)a的取值集合.

10.（2021?全國四模）設(shè)0<x<l.

(1)證明：1一三<小<1；

(2)若冰---<sinx,求a的取值范圍.

6

11.(2021?江蘇模擬)己知函數(shù)/(x)=x*-/心，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a>0.

(1)若曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為1,求〃的值；

(2)對于給定的常數(shù)若/(x)..bx+l對xw(0,+oo)恒成立，求證：/??a.

12.(2021?江蘇模擬)已知函數(shù)/(工)=/(12+〃優(yōu)+/)，^(x)=ax2+x+axlnx.

(1)若函數(shù)/(x)在％=-1處取極小值，求實數(shù)〃?的值；

(2)設(shè)川=0,若對任意xe(0,+oo),不等式/(x)..g(x)恒成立，求實數(shù)。的值.

13.(2021?淮安模擬)已知函數(shù)/(》)=皿上￡的導函數(shù)為了，(x),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

ex

(1)若加eR,使得廣(x0)=0,求實數(shù)1的取值范圍；

(2)當r=2時，Vxe[0,+00),1(力+*-竺.0恒成立，求實數(shù)左的取值范圍.

14.(2021?如皋市模擬)已知函數(shù)f(x)=/”(x+l)-Ax-l,x.0.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于X的不等式/。)+￡..0對任意X..0恒成立，求實數(shù)4的取值范圍.

X+1

15.(2021?江蘇模擬)已知函數(shù)f(x)=ae'+sinx+x,XG[0,4].

(1)證明：當a=-1時，，函數(shù)〃幻有唯一的極大值點；

(2)當一2vav0時，證明：f(x)<7r.

16.(2021?南京三模)已知函數(shù)/(x)=±￡+Rnr,awR.

X

(1)若a<e,求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>e,求證：函數(shù)f(x)有且僅有1個零點.

17.(2021?常州一模)已知函數(shù)/(x)=ox+/nx+l.

(1)a=—1,求函數(shù)/(x)的最大值；

(2)若/(x)-0恒成立，求a的取值集合;

(3)令尸(x)=/(x)-or-1,過點P(x0,%)做曲線y=%x)的兩條切線，若兩切點橫坐標

互為倒數(shù)，求證：點P一定在第一象限內(nèi).

18.(2021?江蘇模擬)已知函數(shù)/。)=/〃2(》+1)-工.

X+1

(1)求一(X)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若不等式(1e對任意〃eN*恒成立，求。的取值范圍.

n

19.(2021?常州一模)己知函數(shù)f(x)=x—a/nr+2,a,b&R.

X

\7

(1)若a>0,/?>0,且1是函數(shù)/(x)的極值點，求上+工的最小值；

ab

(2)若6=a+l,且存在與€上，1],使/(%)<0成立，求實數(shù)a的取值范圍.

e

20.(2021?錫山區(qū)校級三模)己知函數(shù)/(幻=。/一8sm-1),aeR.

(1)若a=l,求曲線y=/(x)在點(0,7(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(X)=/(x)-加(x+1),若g(x)..O,求。的取值范圍.

21.(2021?蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)=2ex+aln(x+1)-2.

(1)當a=-2時，討論/(?的單調(diào)性；

(2)當xw[0,乃]時，/(%)..sinx恒成立，求a的取值范圍.

a(X2)

22.(2021?江蘇模擬)設(shè)/(x)=/〃(x-l),g(x)=-,a是常數(shù).

X

(1)當x>2時，若/(x)>g(x)恒成立，求a的取值范圍；

(2)當x>0時，證明不等式：//〃(尤+1)>/+工.

x+2

23.(2021?南通模擬)已知函數(shù)/(x)=e'-]x2(e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個極

值點X,x2?

(1)求a的取值范圍；

(2)求證：xl+x2<2加a.

24.(2021?江蘇模擬)函數(shù)/(x)=sinx?(l+cosx),g(x)=a(ex-1).

(1)當a<0時，函數(shù)F(x)=/(x)+g(x)在xe(0,g有極值點，求實數(shù)a的取值范圍;

(2)對任意實數(shù)xe[0,+oo),都有f(x),,g(x)成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

25.(2021?無錫一模)已知函數(shù)〃的=加+佇￡,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

X

(1)設(shè)直線y=Zx-2是曲線y=f(x)(x>l)的一條切線，求a的值；

e

(2)若maeR,使得/(x)+ma.O對X/x￡(0,+oo)恒成立，求實數(shù)〃z的取值范圍.

26.f(x)=xlnx-x+—,其中awR.

x

(1)討論/(x)的極值點的個數(shù)；

(2)當〃eN*時，證明：ln22+In2-+In2-+-■■+lr^>―-—

23n2n+