1-1連續(xù)介質(zhì)的條件

物理上就是不考慮流體分子結(jié)構(gòu)，把流體看成是一種在一定范圍內(nèi)均勻、密實而連續(xù)分布的

介質(zhì)，或者說流體是由連續(xù)分布的流體質(zhì)點組成。適用條件是所研究問題的特征尺度L遠(yuǎn)

遠(yuǎn)大于流體分子的平均自由程。

1-2(1)不成立。人造地球衛(wèi)星的特征尺度與分子自由行程可比擬。

(2)成立。地球半徑遠(yuǎn)大于分子自由行程。

1-3(1)粘性流體靜止時沒有切應(yīng)力。(2)理想流體的前提是〃=0,無切應(yīng)力。(3)不

是。粘性是流體的固有屬性，前提無論是靜止還是運動，粘性都客觀存在。

1-4(1)風(fēng)洞：10°時，y=14.19xl0-6w2.<1,Re=征/。=5.639x1()6,400時

6

。=17.1X1CT機(jī)2=4.678x1()6

⑵水池：10°時。WS.lxlCT6加Re=UL/D=6.106x1()6,

40°時，D=0.66xl(r6/"2.sT,Re=uL/"=i21x106

1-57水=〃水包=4.008Pa,F水=”=6.12N

dy

1-6%水=L1390x999.04xl()Y=1138x10^儂?〃，T?sT,

a氣=1.495x1.726xlO^=17.7xlO^Ag.m-l.5-1

dyJ

du

——0UO.455P<7

水而=1138x10-6x20x

IOXIO-2)

y=0

-3

du=17.7xl0^x20x―J-0|=7.08xl0Pa

%=公蘇10x10-2J

y=0

1-7很小,流體速度分布視為線性,

du=吟，扭矩"蕓=礙.乃心即M=〃曙

??T=LI---

dyy=o

.??流體粘性系數(shù)”爵

2-4F<=PcSx-PnSx=f+y,；Rsina卜Rsina-e18Rsina=0.375y8R2

Fz=P^S7+/v-P^S7=-；Rsina.Rcosa18=0.30773R2

tane/=^^=0.8189

Fx0.375

S*=14+43“八1=兄〃+廠3%2

2-5(1)Fx=(P0+yzcy

F=PSv=P(R-^

:0z+70'/?2—力~).]+y.QR~arcsin元—Q-1

22

=/J(7?-7/?-A)t|f—R2arcsin---h\jR2-h2

[2R2_

/1、1

^h+y--h2

l乙)

「P1

i期」=*+rh7n[h2f[h

Y〃?1以公=&_+彳9\_

a*\a3\a

(3)Fx=(R)+yz,)h

.h

arcsin-,,(嚕嶗

F.=4sz+/v=7J-----+y—arcsin—-[?sin/?xdr=—arcsin—+—arcsin—+—cos/?[—arcsin—|-y—

aba*babaa\ba)b

(.hy.hI(h\2

cosIarcsin—I=sinarccos—=JI-I—

...凡=('+弓)arcsin—

2-6左F=po+L^F：=po+Lr

右冗=4+g?，E=6+|y

=2.14X105/V

2-7由戶=__Lvp得戶=/X+巨W+M電=-2(祟母+/用+:需備)

p

2

-corer+Oe0-gez=一工(?0+妥同.弓導(dǎo))

pydroz

.?您=吸2r您=0圖=pg

dr80dz

dp=pco2rdr-\-pgdz,:.p-—1p(o2/2+pgZ+C

當(dāng)r=0,z=H時，p=pgH4-c=Po

壓力分布：p=p()+gparr2+pgz-pgh，表面方程：；parr1+pgz-c=0

122

當(dāng)r=O,z=h時，—pco~r+pgz—pgh—0

2-8

/%g—(叫+啊)g〃-?

..co=--——-------M-=6.36m/s

(町+和+g)

tan”也史上空二H^+h=0.292，”

ga2g

2-9浮力F=rytk+r2V2k=(/^+yy2)k

3-1只要能夠?qū)⒘鲃拥倪B續(xù)方程轉(zhuǎn)化為兩項相加的形式，就存在流函數(shù)。

3-2不可壓縮流體的平面無旋運動的流函數(shù)滿足Laplace方程，流函數(shù)滿足橢圓方程，不滿

足Laplace方程。

3-3(1)v=wf+V/

a=-^-=^4-(v-V)v=(v-V)v=++vy)

dudum2x

a=u—+v—=-----7--------7

v小dy4/任+y2y

dvdvnr

a=u—+v—=---J

)vdxdy4/(X22)2

(2)

V=Ul+vj

一DvSJ.▽一

a=——=—+(v-V)v

Dtdtv)

dududu2(y~一廠)2k2t2x

Cl---FU---FV=--------H----------r

&&的任+,2,(九2+力

dvdvdv2kxy2k2t2x

—+u—+V—=-----------7--------r

況&dy(爐+y2y(―+力

3-4設(shè)流體質(zhì)點的軌跡線為戶=婷+爐+zE

則有蟲=〃=x+/,—=v=y+t,—=w=0

dtdtdt

積分得x=-(，+l)+c「d,y=-?+1)+。2,/*=G

.,.當(dāng)t=0時，x=a,y=b,z=c,其中c1=6?4-1,C2=/?+1,C3=C

二質(zhì)點位移及速度的拉格朗日表達(dá)式分別為

亨=[一±+l)+(a+:+[-(/+1)+9+1)-]/+灰

/=午=[(。+1)/-1]『+[(/?+1)/-1]/

3-6(1)

u=y,v=-x,.\v=yi-xj

Vxv=f--—^=-2￡^0,.-.不存在勢函數(shù)。

ydxdyJ

▽?爐=絲+@=0,.,.存在流函數(shù)中=[udy-vdx=—(y24-x2

dxdyJ2'.

(2)u=x-y,v=x+y

Vxv=f"-包"=-25x0,.?.不存在勢函數(shù)。

V8x^y)

=如+包=2#o,「.不存在流函數(shù)

dxdy

(3)u=j3-y1+x,v=-(2Ay+y)

▽乂/二(六一個)左=0,.\存在勢函數(shù)e=J“辦+呦=$3_孫2-g,2

V*v=—+—=0,.\存在流函數(shù)5=[udy-vdx=x2y+xy--y3

dxdyJ3

2rdx人dy人

3Tu=—=Ar,v=—=-Ay

dtdt

dx..dy..

：.—=Adt,—=-Adt

xy

At

lnx=Ar+Cplny=-At+c2/.x=qe"y=c2e~

3-8

dxdxdx_cdy

,,__=__

UVx+t」-y+t

.,._/〃(_y+，)=//2(x+，)+q=>(x+r)(^—r)=c

將t=0時，x=-l,y=l代入得c=-l

得流線為：xy=-l

3-9；蟲=@,即4=，^

uvx2t-2xyt

f—==>-lnx=—!—Iny+c,xyfy=ct

JxtJ-2yft-2t”

將t=l時，x=.2,y=l代入得：c=-2

流線方程為x6=-2,即fy=4。

4

?/—=-=dt,,:4=tdt,—=一2，力.積分得:產(chǎn)+xq=-1,yt=c2

uvxxy2

將日時，x=-2,y=l,代入得q=0,。2=1

所以軌跡為"2=_2,*4=1,即工2_分=o

dududu2c3sSvdvdv..

a=—+〃一+v—=x+2x7=-12,tz=—+M—+v—=12

vrdtdxdyyvdtdxdy

3-10(1)不可壓縮流體滿足連續(xù)方程▽?/=(),即史+史+羽=2ox+(-公-0)+如=0

dxdydzv7dz

~~=(d-2a)x+€z

w=(d-2a)xz+gez2+

r=idu、

(2)|可T5理I一+一+—=0+0+—=0,.\w=f(x,y)

dxdydzdz'7

3-11

(1)0=——t=v?rJ,v=———/,%=0

_2Jrr\_2rJ

(2)t=0時,r=2時,"7，%=0

q=&+以匕+也立式=」一4二一［=一1Z

dtdrd6rrrr3\4)32

%=0

3-12不可壓縮流體滿足連續(xù)方程▽./=(),即：生+包=65+包=0

8xdySy

q=-6ax,v=-6axy+/(x)

又平面勢流▽x"=0

dvdu/(x)/、

/.--------=-bay+——4-bay=0,/.j(x)=c,v=-6axy4-c

dxdydx

將(0,0)點處u=0,v=0代入，則c=0.

3

:.v=-6ory,〃=J-vdx+udy=3ax^y-ay,Q=y/A-y/B

ci八、Sudvdw.

3-13(1)s:=—=a,s=—=a,￡.=—=-2a

dxndy7dz

1(dv。卬1-1(oudw

-------+—=0,%-=--十—

%2(Szdy)-2(8zdx

體積膨脹率為▽而=0

（2）Vx/=O,流場為無旋場,:.(p=^udx-\-vdy-st-wdz=^ax2+^ay2-az2+c

cd--rfdwav)dur(dvdu\

3-14渦量：Q=Vxv=^---j+y^---J+^---J

=?(2-l)+J(2-l)+)l(2-l)=f+J+￡

渦通量J="C?萬力

一IT1丁1r

"有'+用+工

.?.</="Ql*nds=JJCds=V3jjds=6A=百

4-1歐拉運動微分方程前提：理想流體

":單位質(zhì)量的局部慣性力（非定常流動引起的）

dt

（v.V）v:單位質(zhì)量的變位慣性力（非均勻場引起的）

3：單位質(zhì)量力：

，Vp：單位壓力

P

伯努利積分前提：理想流體作定?；蚍嵌ǔo旋運動

V2

L：單位質(zhì)量流體的動能；

2

口：單位質(zhì)量流體的壓力能

U:質(zhì)量力的勢函數(shù)，單位質(zhì)量流體的位勢能

C:不同流線上C值不同，表示總能量值

4-2（1）汽化器的真空度P.=pa~p,pa為大氣壓，p為絕對壓力，取汽化器的軸線為流

線，無窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)為2,速度為0,進(jìn)氣管壓強(qiáng)為P,速度為V

由伯努利方程得：且+Z+E=2L+Z+0

/i2g/,

真空度：//、//。/。、2or”AZ,?

Pv=Pa-P\=Y\（—）=P8（—）=—=—（1------）=.8776.4N/m

2g2g221^2

（2）由伯努利方程得:

上+4+2=%+0

%2g

,12

Yih+-pv；=pu-p2

；pv；=P「泮

v=4.2]f?i/s

Q=V5=v.1-Jid2-120cm's

4

4-3以S2處的軸線為X軸，以豎直管軸線為y軸，建立直角坐標(biāo)系

2

由伯努利方程K+zH......-const

Y2g

V22

得P,=P2+-(2~V,)=47954P刀

戶+(-PJS：=p(f)$(-匕):+QV2s2f

22

.-.F=(pv,S,+pv2S2+p,S,)i=359.65M

工=359.65N,工=0

由動量矩方程得xHj+0=Fxej-ptsjxHj

e=那」+P冏.〃=068H

F

4-4?.?°=KS=KEK=2.548m/s,V2=4.529m/s

伯努利方程且+z+止=4+z,+工

/'2gy2g

由4=z?,得="J+夕憶_氏)=837"/62

夕(一M)，匕/+pv2s2(cos60°f+sin60°7)=F+pxsj-p2s2(cos60°/+sin60°j)

2

Fy=夕射22s2cos60°+p2s2cos60°--pv}S}

：.工=326N,F、,=-26L48M作用點位置在8P2的交點上。

Az

4-5體積流量Q=------294"-------=().03加3/

9.8，"/s'?999.04kg/m3s

同理2=().()12加is°-2=0018M/s

根據(jù)動量方程有：

月=夕(一％)%S°+夕232cos?)S2

Fy=。(一%HE+pv2{y2sina)52

由伯努利方程上+z+^—=const

Y2g

得%=匕=%

sina=—=—=—,a=41.8。

S2Q23

Fx=pv。（。2cos。-Q）=T97.03N,Fv=0.

4-6取控制體左半部分

取流線Af氏匕=0,%=也證

列動量方程QWW（吊=一%（（/；+R（x）=R（x）=（pv,2+Po）.d；

右半部分：

,12

P8fh+-PV-+PQ=PZ

=Pz=Po+Pgh2

（pg色+%嚀"；=（pv,2+p*d；

4（夕g4+P0）=2Pg瓦+%=>%=1九一?

2pg

4-7設(shè)S,處速度為匕,設(shè)52處速度為匕，

Q=V5=%S2,即用=2,匕=2

沿管線軸中心線為流線，由伯努利方程得：

22

旦+2二三+捍，其中，P2=P]+hg（P〃1P）

72gy2g

>>i

zV2V.1,22\

P2-Pl=pg（;^--十）=彳。（匕一匕）

=ga*_=力g（g”-q）

Q2（S；-S；）=2hg91n-A

S-

Q=I2hg（Pm-a

也-S：P

4-9R點：%=_L（COS0-COSC]X2=E，方向為指向紙外

K2）2R

P點：V/,=—fcos0-cos-lx2=--方向為指向紙外

cosO-cos^

Q點：%x2+

4

方向為指向紙外

5-1,r,

(1)由點渦形成的速度分布可得匕=__L-

24廠

在(0,-5)點，10=.「，得「=100萬

27rx5

(2)(0,5)點的速度分布為：〃=10+型如=10+10=20加s(方向指向x)，

2;rx5

u=06/s

過駐點的流線方程：C=/y+—Inr=一5〃()+50仇5

2萬

即:y+5/〃：+5=0

5-2點源與點匯疊加后速度勢、流函數(shù)及復(fù)勢分別為：

9=等11J(x+l!+y2-掃ny/(x-2)2+y2

,20y40y

(b=——arctan--------arctan——

2乃x+12%x-2

W(z)=|^n(z+1)-3n(z-2)

復(fù)速度：^=io.L_2oL

dz4z+17iz-2

10x+120尢-210y20y

乃(x+l『+y2兀(X-2)2+y271(x+1)2+y2"(x-2)2+y2

徂10x+l20x-2

1討〃=--------r----------------z----

冗(x+l)~+y271(x-2)4-/

U)y20y

冗(x+l)2+y27t(x-2)2+y2

5-4(1)

w(z)=0(x,y)+i”(x,y)

(p=^udx+vdy=jv0cosadx+jv0sinady=v0cosa?x+%sina?y

=-jvdx+udy=-%sina?x+%cosa-y

W

,a

w(z)=0(x,y)+i咳(x,y)=v0cosa-(x+iy)+vQsina\y-ix)=v0cos??z-/v0sina-z=vQze~

=m

m夕=Jvrdr-\-verdOdr=——Inr

vr=---2乃

<2兀r=

(2)

，坨=0w=J-3r+v“，=底d0=—0

27r

mmm

卬(/z)、=——1Inr+——1IneiO=——1Inz

2九2424

點源位于(a,0),通過坐標(biāo)平移，得Mz)=3」n(z_z。)

27r

5-5利用鏡像法，得

222

(P=InJ(x-a)+V+jn^(x+tz)4-y

mymy

夕=——arctg----+——arctg----

2萬x-a2乃x+a

/、.m”，、m、，、

vv(z)=(p+w-——ln(z—a)+——ln(z+〃)

2TT2〃

8(pmx-ax+a,

u=—=—[r----------r+----z——-]

dx2〃(x-a)(x+a)+y

丫=絲=&[一一+一>:一1

dy2TU(x-a)2+y2(x+4z)24-y2

x-ax+a

n=------------1---------

將加=2萬代入，得](x-a)2+y2(x+a)2+y2

--—+_2：__?

(x-tz)2+y2(x+a)2+y2

w=-2---■

固壁上，x=o代人：〃~+y

當(dāng)y=±。時，v最大，vmax=±—

a

6-1海洋波視為平面進(jìn)行波

2=—=145AW,^=—,c=—=.l—thkh=\5m/s

R2k\k兀

6-2視其為無限深平面進(jìn)行波，故。=色=

k

6-3證明：w（z）=Acos（弓■（4+汨）一。/

Acos(今"-Or)+今2乃())+")，=Acos7.71x-Q.t\ch^-^y+H)-zsin2/r%-可§吟(y+“)

ATT

24

所以9=cosx-Qrjc/?—(y+/7)

T

d(p24.2乃

-I-=——Acos

dyAT

乂濟(jì)g*°（y=o）

聯(lián)立上兩式得,

6-5

2==60c

k

co

c=一=>c=牛a9.36"?/s,4=6ca56.15m

k

co2=kg

(c-wt.)xl6.5=702

-=>2=25.45”,u=c--=2.06m/s

)x6=2e6

6-6(1)由g(z=o)可得

g%

?4

&=——coBchkhcos(fcr+69/)=Acos(fct+d7/),故5=-

（2）由券展=°

(z=0)可得

-orBchkhsin(fcr+創(chuàng))+gkBsin("+cot^shkh

ar=gkthkh

6-7設(shè)波形為J=gcos(Ax-創(chuàng))

則四二一〃sin(k/),tan/?=—Z:=>Z:=2tan—=5.7

dx2V728

對無限水深進(jìn)行波co=y[gk^7.48/72/5

7-1由圓管內(nèi)定常層流理論得

得22)

△p_8〃Q_8x71//x16

/一乃a4-萬x(0.075)"

duNp

=u—=----r

dr21

△pAp_2r0_2x48N/>

一五"'7~~a~―0.075

470A4r/3

力,v=萬=3.5x10-8*/s

16x8x71'p16x8Q/?

7-2混合長度理論的基本思路是把湍流中微團(tuán)的脈動與氣體分子的運動相比擬。普朗德假定

在湍流中y向的流動只有在經(jīng)過某一段距離L（分子平均自由行程相當(dāng)?shù)拈L度）才將所攜帶

的動量交給相鄰層。（L稱為混合長度）

7-3由于二元流動連續(xù)性方程，N一一S方程及邊界條件建立如下方程組

答▽?(")=()

-^=7--VpvV2v+1^z(V.v)

rL=0

Hl=Pa

0=o

'y=±h?Lo

因為流體不可壓縮，所以▽?/=（）

dudv八

—+—=0

dxdy

dud

u—+v—七號x」型駕2+粵2

dxdypdx+J[dxdy)1

2

dvdprIdp(dv

u---1-v—

dx5

r|=0P\y=H=Pa叱用=0叱=0=0

\y=h

因為平板無限大，忽略端部影響，考慮“內(nèi)=0則流體只沿X方向流動，即v=。

du/x

/.——=0nu=u(y)

dxv7

j

又:=gsin夕fy=~gcos0

[3〃

/.-gcos0=------，:.p=-ypgcos0+C](x)

pdy

,1dC82U

sin6n/=------Lt+L>—r=const

pdydy2

2

積分得〃=■一gvsin。9—y+C3y+C4?其中C)==const

I〃)2dx

應(yīng)用邊界條件r=〃4￡=(。2-pgsinJ)/7+G

p=-ypgcos0+C1(x)|)=-pghcos0+C1=pa

Cj=pghcos0+paC2=0,C3=pghsinC4=0

u=---sin0y2+pgsin0y

2v

p=-ypgcos6+pghcos0+Pa=pgcos(/?-y)+pa

7-4因為不計質(zhì)量力，流動應(yīng)滿足的基本方程和邊界條件

dudv

一+一二0(1)

dxdy

叱=，械-1”=。

因為平板無限長，忽略端部影響，即v=0

代入（1）式，得包=o“=〃（）,）

dx''

代入（2）、⑶式得

0」2+懸0」曳

pdxdy2pdx

1opd2ud2u_1dp

???P=P(x)------=U—

pdxdy72dy2/idx

代入邊界條件得

1dp

+Cj/ij+C1—VQ⑹

2內(nèi)dx

1dp

+G"+C4=0⑺

24

C2=C4=0……(8)

又因為平板無限長，p與x無關(guān)

空=0...............(9)

dx

由⑹-(9)式可得。2=。4=0,C,，組％,曳/?

34dx

1dp

yQ<y<h

3內(nèi)dx}

1dp

<y<0

3外dx

y+外」生

Q<y<\

IL2dx

7-6(1)沿管道軸線的粘性流體列伯努利方程

22

lL

^-+a,^-+Z,+HT=^+al^+Z2+\H

y2gy2g

其中Z、=Z"a、=a、=2(層流)

\p=p}-p2-y\H%=0

=A%=2—

Repumdygumd

\p=科=y?64)一.-曝=32〃”，=0.836xlO4Pa

Ygu,?dd2gd2

=0.466/n/s

z"'!44

__.jlr*-1-?ZC3Cz7VCl.7V(1

7-7查表得〃=——-=\.24m/s,Q=-----bp=-------Np

7ta8〃/3ypl

Ap=亞華=3.0x105出

7ta

r0=—a=6.246尸。

7-8(1)a-4?=&P_kpd_△。/⑴

-11

i2，r2—i，,一］")?()

-pu-m7tdl-pu-ml2pl\umd)

Re=江,...“2/2=Re?4..(2)

u

將(2)式代入(1)式得2=16"3。16Aq3w」

p/Re2u2/〃2Re2

(2)由N-S方程［4)包］=_L蟲

rdr\dr)//dx

2

得〃=^--r+QInr+C2

4^dx'2

由邊界條件得G=o,c,=-燧蟲

4〃dx

上型)型=絲

4〃dx'0'dxI

8-1

(1)潛艇在風(fēng)洞中作定常運動時，所受總阻力均與航速U、特征長度L、氣密度Q、粘性u有關(guān)，即

Rt=f\U,L,p,u)

C一及

f_122?_UL

應(yīng)用不定理得無因次系數(shù)C=/Rei,其中2PUL為總阻力系數(shù)，Re=工為雷諾數(shù).

(2)潛艇近水面水平直線航行時的阻力實驗Rt=f>U,L,p,u,g<

1/(Re,?)

2-Z2

C,=、&……口阻力系D,Re=匹，尸，=旦……弗口德口

8-2

(1)在水池中興波阻力&=f'U,L,p,g)

D7J

———=/iFr)Fr=~^=

“定理：西"閂展

w

-T-=/'Fr)-一興波阻力

粘性阻力：%=WLpw

—生一=/iRe)Re=—

*”2v

u>_u.P—實船

今限顯7瘋1％一模型

fReFr2

(2)在風(fēng)洞中：%=0,Rf=『'U,L，P，PO,3

Req

-Z——-——=/iRe,Eui

V

C4/Z.R="為

fRefL

8-3

(1)水雷懸于深水中