03圖形的性質(zhì)、圖形的變化-四川省自貢市2020-2022中考數(shù)學(xué)

真題知識點(diǎn)分類匯編

一.選擇題（共21小題）

1.（2022?自貢）如圖，將矩形紙片A8CO繞邊CQ所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是

2.（2022?自貢）如圖，菱形A8CQ對角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，點(diǎn)A（-2,5）,則點(diǎn)C

-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

3.(2022?自貢)如圖,直線AB、CO相交于點(diǎn)。,若Nl=30°,則N2的度數(shù)是（）

4

B

A.30°B.40°C.60°D.150°

4.（2022?自貢）P為。。外一點(diǎn)，PT與。。相切于點(diǎn)了，。？=10,NOPT=30°,則P7

長為（）

A.573B.5C.8D.9

5.（2022?自貢）等腰三角形頂角度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20。，則這個(gè)底角的度數(shù)是

（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.（2022?自貢）如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于。。，AB是O。的直徑，ZABD=20°,則/

BCD的度數(shù)是（）

7.（2021?自貢）如圖，直線y=-2%+2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段A8上的一個(gè)

動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線y=-x+3于點(diǎn)Q,/XOPQ繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,

邊PQ掃過區(qū)域（陰影部分）面積的最大值是（）

321632

8.（2021?自貢）如圖是一個(gè)小正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，有“迎”字

一面的相對面上的字是（）

9.（2021?自貢）如圖，AB為。。的直徑，弦CZ）_LAB于點(diǎn)尸，OELAC于點(diǎn)E,若OE=3,

OB=5,則C￡＞的長度是（）

10.（2021?自貢）如圖，AC是正五邊形A8CQE的對角線，NACC的度數(shù)是（）

11.（2021?自貢）如圖，A（8,0）,C（-2,0）,以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y

軸正半軸于點(diǎn)8,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）

12.（2020?自貢）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,/A=50°,以點(diǎn)B為圓心，BC

長為半徑畫弧，交A3于點(diǎn)O,連接CQ,則NACQ的度數(shù)是（)

C.30°D.20°

13.（2020?自貢）如果一個(gè)角的度數(shù)比它補(bǔ)角的2倍多30°,那么這個(gè)角的度數(shù)是（）

A.50°B.70°C.130°D.160°

14.(2020?自貢)如圖，直線a〃4Zl=50°,則N2的度數(shù)為()

a

b

A.40°B.50°C.55°D.60°

15.（2020?自貢）如圖，在平行四邊形A8CO中，A￡）=2,AB=QN8是銳角，AEA.BC

于點(diǎn)E,尸是A3的中點(diǎn)，連接。尸、EF.若NEFZ）=90°,則AE長為（）

D.平

展C.3近

"T"

如圖所示的幾何體的左視圖是（)

17.（2020?自貢）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（2,1）向下平移3個(gè)單位長度，所得點(diǎn)的坐

18.（2020?自貢）下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）

19.（2021?自貢）如圖，在正方形ABC。中，AB=6,例是AD邊上的一點(diǎn)，AM：MD=｝：

2.將△8AM沿3M對折至連接。N,則。N的長是（）

—IC

B.嶇

8。?喳

20.（2021?自貢）下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數(shù)最多的是（）

21.（2022?自貢）剪紙與扎染、龔扇被稱為自貢小三絕，以下學(xué)生剪紙作品中，軸對稱圖形

二.填空題（共4小題）

22.（2022?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦48長20厘

米，弓形高C。為2厘米，則鏡面半徑為______厘米.

D

-------------------------1--------------------------

23.（2020?自貢）如圖，矩形ABCQ中，E是AB上一點(diǎn)，連接。E,將△ACE沿。E翻折,

恰好使點(diǎn)4落在BC邊的中點(diǎn)尸處，在。尸上取點(diǎn)0,以。為圓心，。尸長為半徑作半圓

與CO相切于點(diǎn)G.若AD=4,則圖中陰影部分的面積為.

24.（2020?自貢）如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形DC//AB.BC長6

米，坡角0為45°,A。的坡角a為30°,則AO長為米（結(jié)果保留根號）.

25.（2022?自貢）如圖，矩形A8CQ中，AB=4,BC=2,G是AQ的中點(diǎn)，線段EF在邊

AB上左右滑動，若EF=1,則GE+CF的最小值為.

三.解答題（共9小題）

26.（2022?自貢）如圖，用四根木條釘成矩形框A8C。，把邊8c固定在地面上，向右邊推

動矩形框，矩形的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）.

（1）通過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系，如線段E8由AB旋轉(zhuǎn)得到，所

以EB=AB.我們還可以得到尸C=,EF=

（2）進(jìn)一步觀察，我們還會發(fā)現(xiàn)EF〃A。，請證明這一結(jié)論；

（3）已知BC=30?〃，￡>C=80cw,若8E恰好經(jīng)過原矩形。C邊的中點(diǎn)H,求EF與BC

之間的距離.

27.（2022?自貢）如圖，△ABC是等邊三角形，D、E在直線BC上，DB=EC.求證：ND

—AE.

28.（2021?自貢）如圖，XNBC的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上.只用不帶刻度的直尺，作

出△ABC的角平分線8。（不寫作法，保留作圖痕跡）.

29.（2021?自貢）如圖，點(diǎn)。在以A8為直徑的。。上，過。作。。的切線交AB延長線于

點(diǎn)C,于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)F,連接AO,FD.

（1）求證：/D4E=/D4C；

（2）求證：DF'AC=AD'DC-,

（3）若sin/C=1,AD=4jT5，求EF的長.

30.（2021?自貢）如圖，在矩形ABCQ中，點(diǎn)E、尸分別是邊AB、C。的中點(diǎn).求證：DE

=BF.

31.（2020?自貢）如圖，。。是△ABC的外接圓，AB為直徑，點(diǎn)P為。。外一點(diǎn)、,且以

=PC=yp2.AB,連接尸。交AC于點(diǎn)。，延長尸。交。。于點(diǎn)尸.

（1）證明：AF=CF；

（2）若tanNABC=2&,證明：%是。0的切線；

（3）在（2）條件下，連接PB交。。于點(diǎn)E,連接。E,若BC=2,求。E的長.

32.（2020?自貢）如圖，在正方形ABCQ中，點(diǎn)E在BC邊的延長線上，點(diǎn)尸在CD邊的延

長線上，且CE=DF,連接AE和8F相交于點(diǎn)

33.（2021?自貢）在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動中，小明所在的學(xué)習(xí)小組從綜合樓頂部B處測

得辦公樓底部D處的俯角是53°,從綜合樓底部A處測得辦公樓頂部C處的仰角恰好是

30。，綜合樓高24米.請你幫小明求出辦公樓的高度.（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)tan370

?=0.75,tan53°弋1.33,北-1.73)

B

34.（2022?自貢）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測量，活動過程如下:

（1）探究原理

制作測角儀時(shí)，將細(xì)線一端固定在量角器圓心。處，另一端系小重物G.測量時(shí)，使支

桿。加、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動量角器,

使觀測目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A、B共線（如圖②），此時(shí)目標(biāo)P的仰角NPOC=NGON.請

說明這兩個(gè)角相等的理由.

2

量角器

（2）實(shí)地測量

如圖③，公園廣場上有一棵樹,為測樹高，同學(xué)們在觀測點(diǎn)K處測得樹頂端P的仰角Z

POQ=60°,觀測點(diǎn)與樹的距離K”為5米，點(diǎn)。到地面的距離OK為1.5米，求樹高

PH.<73^1.73,結(jié)果精確到0.1米）

（3）拓展探究

公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距地面的高度PH（如圖④），同學(xué)們經(jīng)過討論,

決定先在水平地面上選取觀測點(diǎn)E、F（E、F、，在同一直線上），分別測得點(diǎn)P的仰角

a、0,再測得E、尸間的距離〃?，點(diǎn)01、02到地面的距離0班、02/均為1.5米.求PH

（用a、m表示）.

圖③

03圖形的性質(zhì)、圖形的變化--四川省自貢市2020-2022中考數(shù)學(xué)

真題知識點(diǎn)分類匯編

參考答案與試題解析

一.選擇題（共21小題）

1.（2022?自貢）如圖，將矩形紙片ABC。繞邊CC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是

【解答】解：根據(jù)“點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體”，

將矩形紙片ABCD繞邊CD所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得到的立體圖形是圓柱.

故選：A.

2.（2022?自貢）如圖，菱形A8CD對角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，點(diǎn)A（-2,5）,則點(diǎn)C

的坐標(biāo)是（）

BFOK力

C

A.（5,-2）B.（2,-5）C.（2,5）D.(-2,-5)

【解答】解：：四邊形ABC。是菱形，

：.OA=OC,即點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，

?.?點(diǎn)A（-2,5）,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2,-5）.

故選:B.

3.（2022?自貢）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O,若Nl=30°,則N2的度數(shù)是（）

D.150°

【解答】解：；Nl=30°,N1與N2是對頂角，

.?.N2=N1=3O°.

故選：A.

4.（2022?自貢）P為。。外一點(diǎn)，尸7與。。相切于點(diǎn)T,OP10,NOPT=30°,貝ijPT

長為（）

A.573B.5C.8D.9

【解答】解：方法一：如圖，:PT與。。相切于點(diǎn)T,

.?./OTP=90°,

又；OP=10,NOPT=30°,

.,.O7'=AoP=Axi0=5,

22

?*-PT=Vop2-OT2"V102-52=5^3-

故選：A.

方法二：在RtZkOPT中，?.?cosP=FI,

_OP

：.PT=OP'cos300=10X叵二5近.

2

故選：A.

5.（2022?自貢）等腰三角形頂角度數(shù)比一個(gè)底角度數(shù)的2倍多20。，則這個(gè)底角的度數(shù)是

（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【解答】解：設(shè)底角的度數(shù)是x°，則頂角的度數(shù)為（2x+20）°,

根據(jù)題意得：x+x+2x+20=180,

解得：x=40,

故選：B.

6.（2022?自貢）如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于OO,AB是。。的直徑，ZABD=20°,則/

BCD的度數(shù)是（）

【解答】解：方法一：連接0。，如圖所示,

AZAOD=40°,

"."OA=OD,

：.ZOAD^ZODA,

"：ZOAD+ZODA+ZAOD=\SOa,

：.ZOAD=ZODA=10°,

：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

：.ZOAD+ZBCD=\SO°,

：.ZBCD=\IO°,

故選：C.

方法二：TAB是。0的直徑，

ZADB=90°,

/ABD=20°,

AZA=70°,

???四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,

/.ZA+ZBCD=180°,

.,.ZBCD=110°,

故選：C.

c

7.（2021?自貢）如圖，直線y=-2x+2與坐標(biāo)軸交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段A8上的一個(gè)

動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線y=-x+3于點(diǎn)Q,△OPQ繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,

邊尸。掃過區(qū)域（陰影部分）面積的最大值是（）

CD

16->

【解答】解：設(shè)P3n,-2m+2）f則Q（加，-〃?+3）.

OP2=m2+(-2m+2)2=5m2-8m+4,OQ1=n21+(-m+3)2=2m2-6ni+9.

.?.△。尸。絲△OOC,ZQOC^ZPOD=45°.

掃過區(qū)域（陰影部分）面積S—SsOQC-S0PD--^-x兀-002——XJI-0P2

360360

—兀/2、一3兀/1、22兀

（-3m+2m+5）一-T—（―

OOOO

當(dāng)〃2=工時(shí)，S的最大值為：”.

33

故選：A.

8.（2021?自貢）如圖是一個(gè)小正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，有“迎”字

一面的相對面上的字是（）

【解答】解：這是一個(gè)正方體的平面展開圖，共有六個(gè)面，其中面“迎”與“黨”相對,

面“建”與面”百”相對，”喜”與面”年”相對.

故選：B.

9.（2021?自貢）如圖，AB為。。的直徑，弦CCAB于點(diǎn)F,OELAC于點(diǎn)E,若OE=3,

08=5,則CD的長度是（）

C.5MD.10

【解答】解：：OE_LAC,

：.AE=EC,

'：AB±CD,

：.ZAFC=ZAEO=90°,

：OE=3,OB=5,

?，M￡=VA02-0E2=4>

：.AC=S,

VZA=Z4,ZAEO=ZAFC,

：.△AEOS/VIFC,

AAOJEO1即：

ACFC8FC

.24

??FC='

VCDLAB,

."￡>=2。/=至=9.6.

5

故選：A.

AC是正五邊形A8COE的對角線，NACQ的度數(shù)是（）

B.36°C.74°D.88°

【解答】解：在五邊形ABCQE中，

每個(gè)內(nèi)角為180°-360°+5=108°,

■:AB=BC,

Z.ZBC4=ZBAC=180°~108°=36°,

2

AZACD=ZBCD-ZBCA=108°-36°=72°，

故選：A.

11.（2021?自貢）如圖，A（8,0）,C（-2,0）,以點(diǎn)A為圓心，4c長為半徑畫弧，交y

軸正半軸于點(diǎn)B,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）

【解答】解：根據(jù)已知可得：AB=AC=iO,OA=8.

22

在RtZ\A8。中，Qg=7AB-OA=6?

：.B（0,6）.

故選：D.

12.（2020?自貢）如圖，在RtZXABC中，NACB=90°,Z4=50°,以點(diǎn)B為圓心，BC

長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)。，連接CD則NACO的度數(shù)是（）

【解答】解：.在RtZ\A8C中，ZACB=90°,ZA=50°,

AZB=40°,

?；BC=BD,

：.ZBCD=ZBDC=1.(180°-40°)=70°,

2

AZACD=90°-70°=20°,

故選：D.

13.（2020?自貢）如果一個(gè)角的度數(shù)比它補(bǔ)角的2倍多30。，那么這個(gè)角的度數(shù)是（）

A.50°B.70°C.130°D.160°

【解答】解：設(shè)這個(gè)角是￡,根據(jù)題意，得

x=2（180-x）+30,

解得：x=130.

即這個(gè)角的度數(shù)為130°.

故選：C.

14.（2020?自貢）如圖，直線。〃4Zl=50°,則N2的度數(shù)為（）

a

b

A.40°B.50°C.55°D.60°

【解答】解：如圖所示:

?：a"b.

.*.Z3=Zl=50°,

AZ2=Z3=50°；

故選：B.

15.（2020?自貢）如圖，在平行四邊形ABC。中，AD=2,AB=GNB是銳角，AELBC

于點(diǎn)E,F是AB的中點(diǎn)，連接。尸、EF.若NEFD=90°,則AE長為（）

22

【解答】解：如圖，延長EF交DA的延長線于Q,連接設(shè)

???四邊形A8CO是平行四邊形，

J.DQ//BC,

；.NQ=NBEF,

9：AF=FB,ZAFQ=ZBFE,

：./\QFA^/^EFB(A4S),

：.AQ=BE=x,QF=EF,

?：/EFD=90°,

：.DFLQE,

DQ=DE=x+2,

VAE±BC,BC//AD,

：.AE±AD,

：.ZAEB=ZEAD=90°,

VAE2=DE2-AD1=AB1-B修,

(x+2)2-4=6-x2,

整理得：2/+4x-6=0,

解得元=1或-3(舍棄)，

：.BE=\f

/M￡=VAB2-BE2=V6Z1=V5'

故選：B.

16.（2020?自貢）如圖所示的幾何體的左視圖是（)

故選：B.

17.（2020?自貢）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（2,1）向下平移3個(gè)單位長度，所得點(diǎn)的坐

標(biāo)是（）

A.（-1,1）B.（5,1）C.（2,4）D.（2,-2）

【解答】解：將點(diǎn)（2,1）向下平移3個(gè)單位長度所得點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1-3）,即（2,

■2）；

故選：D.

18.（2020?自貢）下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）

【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

8、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

。、既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意.

故選：A.

19.（2021?自貢）如圖，在正方形A8CC中，AB=6,M是4力邊上的一點(diǎn)，AM；MD=\；

2.將△BMA沿8M對折至連接則DN的長是（)

D?嗜

【解答】解：連接AN交8M于點(diǎn)0,作NHLAD于點(diǎn)H.如圖:

：.AM=2,M￡>=4.

；四邊形ABC。是正方形.

BM=VAB2+AM2=2V10-

根據(jù)折疊性質(zhì)，A0±BM,AO=ON.AM=MN=2.

yAB-AMAO-

2X6=3板

AO=

27105

42嘈

*：NH工AD.

:.AN2-AH2=MN2-MH2.

空晏）2-（2+MH）2=22

D

HN=VMN2-MH2=^22-（-1）2《

.12

??HD=AD-AM-MH=^-

b

/.D2V=VHD2+HN2=-J（y-）2+（-|-）2

故選：O.

20.（2021?自貢）下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數(shù)最多的是（）

6>??.0

A【解答】解：A.是軸B對稱圖形，共有1條對c稱軸；

B.不是軸對稱圖形，沒有對稱軸；

C.不是軸對稱圖形，沒有對稱軸；

D.是軸對稱圖形，共有2條對稱軸.

故選：D.

21.（2022?自貢）剪紙與扎染、龔扇被稱為自貢小三絕，以下學(xué)生剪紙作品中，軸對稱圖形

是（）

【解答】解：選項(xiàng)A,B,C都不能找到這樣的一條直線，使這些圖形沿一條直線折疊，

直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

選項(xiàng)。能找到這樣的一條直線，使這個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，所以是軸對稱圖形.

故選：D.

二.填空題（共4小題）

22.（2022?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦長20厘

米，弓形高CO為2厘米，則鏡面半徑為」^厘米.

【解答】解：如圖，點(diǎn)。是圓形玻璃鏡面的圓心，連接0C,則點(diǎn)C,點(diǎn)。，點(diǎn)。三點(diǎn)

共線,

由題意可得：OC_LAB,AC=14B=10（厘米）,

2

設(shè)鏡面半徑為x厘米，

由題意可得:，=1。2+（X-2）2,

鏡面半徑為26厘米,

故答案為：26.

23.（2020?自貢）如圖，矩形ABCQ中，E是A8上一點(diǎn)，連接。E,將沿。E翻折,

恰好使點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)尸處，在OF上取點(diǎn)O,以O(shè)為圓心，OF長為半徑作半圓

與。相切于點(diǎn)G.若AO=4,則圖中陰影部分的面積為應(yīng)

【解答】解：連接OG,QG,

D

?.?將△ADE沿OE翻折，恰好使點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)尸處,

：.AD=DF=4,BF=CF=2,

:矩形ABC。中，ZDCF=90°,

AZFDC=30°,

AZDFC=60°,

；O。與CD相切于點(diǎn)G,

AOGICD,

"：BCVCD,

：.OG//BC,

:.△DOGs^DFC,

?DO0G

??n■■，

DFFC

設(shè)OG=OF=x,則生三J,

42

解得：彳=生即00的半徑是生

33

連接。。，作OH_LFQ,

VZDFC=60°,OF=OQ,

...△OFQ為等邊三角形；同理△OGQ為等邊三角形;

：.ZGOQ=ZFOQ=60°,04=?0Q=2i巨，

23

QH=也2a一=2,

3x33

；.CQ=2

3

???四邊形O"CG為矩形,

：.OH=CG=^I^-,

3

:，S陰影=SACGQ=^XCQXCG=^乂呼

nZooy

故答案為：2V1.

9

24.（2020?自貢）如圖，我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABC￡>,DC//AB.BC長6

米，坡角0為45°,A。的坡角a為30°,則A。長為」米（結(jié)果保留根號）.

【解答】解：過點(diǎn)。作QELAB于E,過點(diǎn)C作CFLAB于F.

'：CD//AB,DELAB,CFLAB,

：.DE=CF,

在RtZXCFB中，CF=BC?sin45°=3五（米），

:.DE=CF=3近（米），

在中，VZA=30°,ZAED=90°,

:.AD=2DE=6近（米），

故答案為：6近.

25.（2022?自貢）如圖，矩形A8CZ）中，AB=4,BC=2,G是AO的中點(diǎn)，線段EF在邊

AB上左右滑動，若EF=1,則GE+CF的最小值為3亞.

【解答】解：如圖，作G關(guān)于AB的對稱點(diǎn)GI在C￡>上截取C4=l,然后連接"G交

A8于E,在EB上截取EF=1,此時(shí)GE+C尸的值最小，

H

D

G'

?：CH=EF=1,CH//EF,

四邊形EFCH是平行四邊形，

：.EH=CF,

：.G'H=EG'+EH=EG+CF,

'：AB=4,BC=AD=2,G為邊的中點(diǎn),

DG=AD+AG'=2+1=3,DH=4-1=3,

由勾股定理得：f7=丘2+32=3&,

即GE+CF的最小值為3近.

故答案為：3&.

三.解答題（共9小題）

26.（2022?自貢）如圖，用四根木條釘成矩形框ABC。，把邊2C固定在地面上，向右邊推

動矩形框，矩形的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）.

（1）通過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關(guān)系，如線段仍由AB旋轉(zhuǎn)得到，所

以EB=AB.我們還可以得至UFC=CD,EF=AD；

（2）進(jìn)一步觀察，我們還會發(fā)現(xiàn)EF〃A。，請證明這一結(jié)論；

（3）已知BC=30a",0c=80"〃，若8E恰好經(jīng)過原矩形OC邊的中點(diǎn)H,求EF與BC

之間的距離.

A,---------|D

【解答】（1）解：；把邊BC固定在地面上，向右邊推動矩形框，矩形的形狀會發(fā)生改

變，

?,?矩形ABCD的各邊的長度沒有改變,

:.AB=BE,EF=AD,CF=CD,

故答案為：CD,AD,

(2)證明：???四邊形A8CO是矩形,

：.AD//BCfAB=CD,AD=BC,

■:AB=BE,EF=AD,CF=CD,

:,BE=CF,EF=BC,

???四邊形BER:是平行四邊形，

：.EF//BC,

：.EF//AD；

(3)如圖，過點(diǎn)E作EGJ_BC于G,

，：DC=AB=BE=80cm,點(diǎn)”是CD的中點(diǎn)，

:?CH=DH=40cm,

22=

在RtZ\BHC中，^=VBC+CHV1600+900=50(cm),

VEG1BC,

:.CH〃EG,

:?△BCHs/\BGE,

???—BH=—CH?

BEEG

?50=40

*80EG*

：.EG=64,

:.EF與BC之間的距離為64cm.

27.(2022?自貢)如圖，△ABC是等邊三角形，D、E在直線BC上，DB=EC.求證：ZD

=NE.

A

【解答】證明：:△ABC是等邊三角形,

，AB=AC,ZABC=ZACB=60a,

，N4BD=N4CE=120°,

在△A8O和△ACE中，

，AB=AC

-ZABD=ZACE-

BD=CE

.?.△ABOZzMCE(SAS),

：.ND=NE.

28.(2021?自貢)如圖，△ABC的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上.只用不帶刻度的直尺，作

出△48C的角平分線8。(不寫作法，保留作圖痕跡).

【解答】解：如圖，線段8。即為所求作.

29.(2021?自貢)如圖，點(diǎn)。在以AB為直徑的。。上，過力作。。的切線交AB延長線于

點(diǎn)C,AE，C￡＞于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)尸，連接A。，F(xiàn)D.

(1)求證：ZDAE=ZDAC；

(2)求證：OF?AC=AO?OC；

(3)若sin/C=2，AD=4yflO,求EF的長.

E

D

【解答】（1）證明：如圖，連接0D

是。。的切線,

：.ODLEC,

VAE1CE,

：.AE//OD,

：.ZEAD=ZADO,

???OA=。。,

.??ZADO=ZDAO9

：.ZDAE=ZDAC.

(2)證明：如圖，連接BE

TAB是直徑，

AZAFB=90°,

VAE±EC,

AZAFB=ZE=90°,

:.BF〃EC,

：./ABF=NC,

*/ZADF=ZABFf

：.NADF=NC,

?.*ZDAF=ZDAC,

.?.△DAF^ACAD,

?AD=DF

**CACD，

：.DF^C=AD^DC.

（3）解：過點(diǎn)。作于凡

；。。是0。的切線，

\ZODC=90Q,

sinZC=?.=A,

OC4

??可以假設(shè)。。=鼠OC=4k,則OA=OO=A,

：^OD'DC=^OC'DH,

22

?./），=迎Lt,

4

,?^=VOD2-DH2=^

\AH=OA+OH=^-k,

4

:AD2=AH2+DH2,

（45/10）2=（芻）2+2

44

\k=8或-8（舍棄），

??4C=5k=40,AB=2k=\6,

*.sinC=^5-=A=sinZ/45F=-^l,

AC4AB

??AE=10,AF=4,

\EF=AE-AF=\0-4=6.

30.（2021?自貢）如圖，在矩形A8CO中，點(diǎn)￡、尸分別是邊A8、CQ的中點(diǎn).求證：DE

【解答】證明：:四邊形A3C。是矩形,

J.AB//CD,AB=CD,又E、尸分別是邊A3、CO的中點(diǎn),

:.DF=BE,5LAB//CD,

四邊形DEBF是平行四邊形，

：.DE=BF.

31.(2020?自貢)如圖，是△ABC的外接圓，AB為直徑，點(diǎn)P為。。外一點(diǎn)，且附

=PC=?AB,連接尸。交AC于點(diǎn)Q,延長P。交。。于點(diǎn)F.

(1)證明：AF=CF；

(2)若tan/ABC=2&,證明：以是。0的切線；

(3)在(2)條件下，連接P3交。。于點(diǎn)E,連接OE,若BC=2,求DE的長.

【解答】(1)證明：連接。C.

,：PC=PA,OC=OA,

OP垂直平分線段AC,

■*.AF=CF.

(2)證明：設(shè)8c=〃，

；AB是直徑，

ZACB=90Q,

tanAABC=旭=2M,

BC

22=22=3￡l>

:.AC=2近1ci,^B=VBC+ACVa+(2V2a)

；.OC=OA=OB=絲CD=AD=?a,

2

?.,必=PC=&AB,

.?.鞏=PC=3&a,

VZPDC=90°,

PZ)^VPC2-CD2"V18a2-2a2=4a,

'：DC=DA,AO=OB,

OO=2BC=L,

22

:.A0=PD，OD,

.AD=OD

**PDAD'

VZADP=ZADO=90°,

叢ADPs叢ODA,

：.ZPAD=ZDOA,

,：ZDOA+ZDAO=90a,

：.ZPAD+ZDA0=9Q°,

.,.ZB4O=90°,

：.OA±PA,

：.PA是。。的切線.

(3)解：法一：如圖，過點(diǎn)E作E/_LPF于J,BKLPF于K.

,:BC=2,

由(2)可知，PA=6?AB=6,

VZB4B=90°,

:?PB=VPA2+AB2=夜2+36=6A/3>

?：PA2^PE*PB,

.-.PE=_^2=473)

6V3

?：NCDK=NBKD=NBCD=9G,

四邊形C3K8是矩形，

:.CD=BK=2近,BC=DK=2,

：PZ)=8,

PK=W,

"."EJ//BK,

?PE=1J=PJ

"PBBKPK?

?4?=EJ=PJ

,啦2<210'

；.￡7=殳歷,尸/=理_,

33

：.DJ=PD-PJ=8-皎=生

33____________

DE=VEJ2+DJ2=(-^-)2+(y)2=-

法二：由(2)可得BC=2,AC=4&,AB=6,PA=65PB=6代,

在Rt△尸8A中，連接AE,可得/AEB=90°,

，/PEA=Nfi4B=90°,又/APE=NAPB,

.?.△PEAs△心B,

.PE=PA

"PAPB,

：.PE=4\/3,

過E作E/J_P￡＞于J,過3作3K_LPF于K,如圖所示，

4BCD=4CDF=NBKD=90°,

四邊形BCOK是矩形，

:.BK=CD=2近,

在RtZ\BPH中，sin/BP”=型=?,

PB9

在RtZ\PEN中，sin/BPH=亞，

_P.T

:.EJ=KL,

3

???PJ=JPE2-EJ2=?

；.JD=PD-PJ=2,

3

32.（2020?自貢）如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E在BC邊的延長線上，點(diǎn)尸在CC邊的延

長線上，且CE=DF,連接AE和8尸相交于點(diǎn)M.

求證：AE=BF.