第八章第4節(jié)《空間點'直線'平面之間的位置關(guān)系》解答題(6)

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8Q9是邊長為2百的菱形，4840=60°,PD1平面ABCQ,

PD=2V3,E是棱P￡＞上的一個點，DE=等,尸為PC的中點.

(1)證明：BF〃平面ACE；(2)求三棱錐F--EAC的體積.

1G一R

2.如圖，直三棱柱48。一公當6中，AC=B

點，DCi_LBD求證：DCj1BC.

3.如圖四面體ABC。中，AABC是正三角形，40=CD.證明：AC1BD；

4.?等邊三角形ABC的邊長為3,點，E分別是邊AB,AC上的點，且滿足*3=；(如圖1),將

UDN

/ADE沿。E折起到Z&DE的位置，使二面角DE-8為直二面角，連接&B,&C(如圖2),

(1)求證：ArD1.^BCED；

(2)在線段BC上是否存在點P,使直線P&與平面&B。所成的角為?若存在，求出尸B的長；若不

存在，請說明理由。

5.如圖，三棱柱48。-公&口中，底面為等邊三角形，側(cè)面A41&B為菱形，且NB44=60。.

(1)證明：AB1A±C；

(2)若4B=2,4傳=逐，求三棱柱ABC-41B1G的體積.

H

6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA_L平面ABCD,PA=AB=1,BC=CD=2,AB//CD，乙40c

2

(1)求證：PD1AB；

(2)求直線AC與平面PBC所成角的正弦值.

7.已知圓臺。1。2,軸截面A8CZ),圓臺的上底面圓半徑與高相等，下底面圓半徑為高的兩倍，點

E為下底圓弧力的中點，點N為上底圓周上靠近點A的您的四等分點，經(jīng)過Or02,N三點的

平面與弧比交于點M,且E,M,N三點在平面A8CD的同側(cè).

(I)判斷平面Oi^MN與直線CE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(n)P為上底圓周上的一個動點，當四棱錐P-ABCD的體積最大時，求異面直線C尸與QB所成角的

余弦值.

8.如圖長方體4BCD-418165的=1,底面ABC。的周長為4,E為的中點.

(I)判斷兩直線EG與AD的位置關(guān)系，并給予證明:

(11)當長方體48。0-&816。1體積最大時，求直線與平面&CD所成角仇

9.如圖⑴，在矩形ABC。中，E,F在邊CD上，BC=CE=FF=FD.沿BE,AF,將4。85和4DAF

折起，使平面CBE和平面D4尸都與平面ABE尸垂直，如圖(2).

(I)試判斷圖(2)中直線C。與A8的位置關(guān)系，并說明理由;

(H)若平面DF4C平面CEB=1,證明：IABEF.

10.已知au平面a,4?平面a,8e平面a,Ba,求證：直線AB和〃是異面直線.

11.如圖1,在梯形4BC。中，AB//CD,且AB=2CD=4,△力BC是等腰直角三角形，其中BC為

斜邊.若把44CC沿AC邊折疊到團ACP的位置，使平面P4C，平面ABC,如圖2.

DCP(D)

(1)證明：ABLPA；

(2)若E為棱8c的中點，求點B到平面PAE的距離.

12.如圖，已知正方體ABCD-的棱長為6,E,F分別是棱上的點，且CE=CF=2.

(1)證明：A、E、F、Di點共面.

(2)求幾何體CEF-CADi的體積V.

13..如圖，在四棱錐P-4BCD中，PD1平面ABC。，底面A8C￡＞是正方形，PD=DC,E,尸分別

是4B,PB的中點。

p

AEB

(1)求證：EF1CD；

(2)在平面PAD內(nèi)求一點G使GF_L平面PCB,并證明你的結(jié)論。

14.如圖所示，在空間四邊形各邊AO,AB,BC,CD上分別取E,F,G,

”四點，如果EF,GH交于一點P,求證：點P在直線8。上.

15.在正方體48CD-4181cl/中:

(1)441與CG是否在同一平面內(nèi)？

(2)點位，C「。是否在同一平面內(nèi)？

(3)畫出平面AQ與平面BCi。的交線，平面力CD】與平面BOQ的交線.

16.已知正三棱柱4BC-公當6如圖所示，點M是線段BC的中點.

(1)若平面a〃平面AMG，&Bu平面a,平面a=N,求罄的值；

(2)若A4=BC,求二面角C-4C1-M的余弦值.

17.在如圖所示的多面體中，四邊形A8EG是矩形，梯形。GEF為直角梯形，平面DGEF，平面A8EG,

S.DG1GE,DF//GE,AB=2AG=2DG=2DF=2.

⑴求證：FG1平面BEF；

(2)求二面角4-BF-E的大小.

18.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PC,AB=BC,。是AC的中點，P01BO,PO=AC=2,

BO=3.

(I)證明：aciPB；

(n)求三棱錐a-PBC的體積.

19.如圖，在梯形4DE8中，AB//DE,AD=DE=2AB,△ACT)是正三角形，ABACD,且

產(chǎn)是C。的中點.

(1)判斷直線AF與平面BCE的位置關(guān)系并加以證明;

(2)求平面BCE與平面4C。所成銳二面角的大小.

20.在直角梯形ABC。中，AB=BC=2,CD=4,BC1DC,AE1DC,M,N兩點分別在線段

AD,BE上運動，且OM=EN(如圖1).將三角形AOE沿AE折起，使點。到達劣的位置(如圖2),

且平面，平面ABCE.

(1)判斷直線與平面ACE的位置關(guān)系并證明；

(2)證明：MN的長度最短時，M,N分別為45和BE的中點；

(3)當MN的長度最短時，求平面5MN與平面EMN所成角(銳角)的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：解：（1）連接80,設(shè)B0rMC=。，

取PE的中點G,連接BG,0E,FG,

在aBOG中，因為0,E分別為BD,DG的中點,

所以O(shè)E//BG.

又BG仁平面AEC,OEu平面AEC,

所以BG〃平面AEC.

同理，在APEC中，F(xiàn)GIICE,

FG(Z.^AEC,CEC平面4EC,

FG〃平面AEC.

又GBCGF=G,GB,GFC平面BFG,

所以平面BFG〃平面AEC.

因為BFu平面BFG,

所以BF〃平面ACE.

(2):由(1)知BF〃平面ACE,

所以%_E4c=^B-EAC,乂/-E4c=^E-ABC,

所以%-E4C=^E-ABC-

因為AC=24Bsin60°=6，

OB=V3，DE=—，

3

所以，VF-EAC=^E-ABC=|X竽X手=2.

解析：本題主要考查空間中直線與平面的位置關(guān)系，與棱錐的體積，屬于一般題.

(1)建立如圖所示的坐標系，結(jié)合相關(guān)定理即可推出結(jié)論.

(2)利用(1)中的結(jié)論，結(jié)合題中所給信息，即可推出結(jié)論.

2.答案：證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形.由于。為的中點，故。C=DC「又=

可得DC：+DC2=CCf,所以。G10C.而DC]1BD,CDdBD=D,所以O(shè)Q，平面8CO.因為BCu

平面BCD,所以DC11BC.

解析：略

3.答案：證明：取AC中點。，連結(jié)。。、BO,

???△ABC是正三角形，AD=CD,

：■DO1AC,BO1AC,

vDOCtBO=0,DO,BOu平面BDO,

AC1平面BDO

vBDu平面BDO,

■■■AC1BD.

解析：本題考查線線垂直的證明，考查空間中線線、線面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能

力及空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

取4c中點。，連結(jié)DO.BO,推導(dǎo)出DOLAC,BO1AC,從而AC_L平面BDO,由此能證明AC1BD.

4.答案：⑴證明：???正△ABC的邊長為3,且*=m=j

UDDAN

???AD=1,AE=2,

△4OE中，/.DAE=60°,由余弦定理，

得DE=Vl2+22-2x1x2Xcos600=V3.

vAD2+DE2=4=AE2,：.AD1DE.

折疊后，仍有4。IDE,

???二面角必-DE-8成直二面角，二平面&OE，平面BCED,

又?.?平面4DEn平面BCED=DE,AXDu平面4即，AtD1DE,

，平面BCED；

(2)解;假設(shè)在線段8c上存在點P,使直線P4與平面&B0所成的角為全

如圖，作PH1BD于點H,連接&H、&P,

4】

,3

由(1)得平面BCED,而PHu平面BCED,

所以&D_LPH,

ArD,8。是平面4B0內(nèi)的相交直線，

PH1平面&B0,

由此可得4P4H是直線P4與平面48。所成的角，即NP&H=%

設(shè)PB=x(0WxW3),貝iJBH=PBCOS?=5，PH=PBsin60°=—x,

3/2

在RtAP&H中，NP&H/所以&H=|,

在RtAO&H中，ArD=1,DH=2-^x,

2

由41。2+?！?=&“2,得12+(2一：乃2=(|X),

解之得x=|,滿足0WxW3符合題意，

所以在線段2c上存在點尸，使直線“與平面4B0所成的角為60。，此時PB=|.

解析：本題給出平面翻折問題，求證直線與平面垂直并探索了直線與平面所成角的問題，著重考查

了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和直線與平面所成角的求法等知識，屬于拔高題.

⑴等邊△4BC中，根據(jù),=^=；得到4D=1B.AE=2,由余弦定理算出DE=6，從而得到8屏+

DE2=AE2,所以4。1DE.結(jié)合題意得平面&OE_L平面BCED,利用面面垂直的性質(zhì)定理，可證出

①。1■平面BCED-,

(2)作PH1B。于點H,連接治“、4P,由4道，平面5CED得所以PH1平面&BD,

可得NPaH是直線P4與平面&BD所成的角，即"4/=60。.設(shè)PB=x(0<x<3),分別在Rt△

BA/、々△241”和/?%。力/中利用三角函數(shù)定義和勾股定理，建立等量關(guān)系得I?+(2-1)2=

(1)2,解之得x=|,從而得到在BC上存在點尸且當PB=|時，直線P&與平面&BC所成的角為最

5.答案：(1)證明：取A8中點。，

連結(jié)0C,。①,&B,

因為△力BC為等邊三角形，

所以。C_LAB,

又因為側(cè)面44/卷為菱形，且6(1,

所以△A&B為等邊三角形，

所以。必J.4B,

因為OCnOa=。，OCQiu平面。&C,

所以4B1平面。4C,

又41cu平面0&C,

所以力BJ.4C.

(2)解：由已知△ABC與AA&B都是邊長為2的等邊三角形，。為A8中點.

所以0C=。&=V3，

又必。=y/6>

22

則4?=0C+0Ar,

所以O(shè)Ai10C,又???OAilAB,

因為OCC4B=。，0C,4Bu平面ABC.

所以。必_L平面A8C,

即。4為三棱柱ZBC-4送心的高，

又2力BC的面積SA.BC=V3,

所以三棱柱ABC-4B1C1的體積U=SMBC?。41=3.

解析：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了棱柱的體積，屬于中檔題.

(1)取48中點O,連結(jié)OC,0AltAXB,可通過證明4B_L平面041c得要證的結(jié)論；

(2)可得。C=。4=遍，由勾股定理得到。為，0C,再根據(jù)。41AB,得到。4為三棱柱ZBC-

&B1G的高，進而得出三棱柱ABC-的體積.

6.答案：解：(1)證明：由P41平面ABC。，^PALAB,

由得40J.CO,

又AB"CD,所以ADJ.AB,

又ADCP4=4,故ABI平面PAD,

又PDu平面PAD,所以PD1AB.

(2)解法一：在平面A8CZ)中，過4作4E1BC交CB的延長線于E,連接PE,過A作4G1PE于G,

連接CG.

由P4，平面ABCD,得PA1BC,又4EIBC,AE(\PA=A,故BC1平面PAE,又BCu平面PBC,

所以平面PBC平面尸AE,易知平面PBCn平面P4E=PE,結(jié)合4G_LPE得4G_L平面P8C.

故乙4CG是直線AC與平面PBC所成的角.

在四邊形ABCD中，可得AC=夕，

在三角形ABE中，可得4E=3,

2

在三角形PAE中，可得4G=每，

7

V21-

在Rt△4G。中，sinZ-ACG=—=-y=-=2?

>1CV77

故直線AC與平面PBC所成角的正弦值為手

解法二：等體積法.

〃lcxn1V3.yf3

Vp-ABC=]S?ABC.4P=]XwX1=w，

在四邊形ABC。中，可得4C=夕，

在APBC中，BC=2,PB=V2,PC=25/2,

故cos/BPC==：，sinzBPC=g

所以SgipBC=IXV2X2V2X?=?,

設(shè)A到平面P8C的距離為d,則由“TBC=K4-PBC，得工x立xd=3,解得d=豆，

3267

設(shè)直線AC與平面P8C所成角的大小為仇

則sin?=—=—.

AC7

解法三：空間向量法.

以A為坐標原點，射線AB,AD,AP為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,如圖所

由題意知4(0,0,0),8(1,0,0),C(2,V3,0),D(0,V3,0),P(0,0,1).

貝施=(2,V3,0),Pfi=(1,0,-1),PC=(2,V3,-1).

設(shè)平面P8C的法向量為祐=(x,y,z),

n-PB=0,x—z=0,

則可取”=(1，-冬1

n-PC=0,2x+V3y—z=0,

于是|cos胸砌=骷=今

故直線4c與平面P8C所成角的正弦值為杯

解析：本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

⑴由PA，平面ABCD,得PA1AB,由乙4DC=得4D1CD,由AB〃CD,得AD1AB,從而4B1

平面PAD,由此能證明PD14B.

(2)解法一：在平面A8CD中，過A作4E1BC交CB的延長線于E,連接PE,過A作4G1PE于G,

連接CG.

由P4，平面ABCD,結(jié)合4G1PE得AG1平面PBC.

故乙4CG是直線AC與平面P8C所成的角.利用三角函數(shù)可得答案.

解法二：等體積法.

^P-ABC=I^BC'=lX^2X

設(shè)直線4C與平面P8C所成角的大小為。，計算可得答案.

解法三：空間向量法.

以A為坐標原點，射線AB,AD,AP為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標系4-xyz,如圖所

示.

由題意知4(0,0,0),B(l,0,0),C(2,V3,0),Z)(0,V3,0),P(0,0,1).

則前=(2,b,0),而=(1,0,-1),PC=(2,A/3,-1).

利用空間向量可得答案.

7.答案：解：(I)CE〃平面O1O2MM

證明：???圓臺的兩個底面互相平行，

???平面O1O2MN與圓臺兩個底面的交線平行，

又因為點N為上底圓周上靠近點A的曲的四等分點，

???點M為下底圓周上靠近點D的力的四等分點，

TT

??,乙4。1乂=乙。。2"=%

??,點E為下底圓弧CO的中點，???4。2。5=%

02M//CE,

又。2“U平面O1O2MN,CEC平面OlOzMN,

CE//^^O1O2MN.

(〃)當四棱錐P-ABCD的體積最大時，也就是點P到平面48CD的距離最大,

此時點P為上底圓周上翁的中點.

設(shè)圓臺的上底面圓的半徑為r,則高為r,02C=2r.

以點。2為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則C(0,2r,0),P(r,0,r),D(0,-2r,0),B(0,r,r),

CP=(r,—2r,r),^B=(0,3r,r)?

則COS〈配函=(r，-警轡w=一”

''VlOr6

???異面直線CP與08所成角的余弦值為叵.

6

當點尸在?的另一側(cè)中點時，異面直線CP與OB所成角的余弦值也是叵，

6

???異面直線CP與所成角的余弦值為西.

6

解析：(1)。后〃平面。1。2時"先證明OzM〃CE,利用直線與平面平行的判斷定理，證明CE〃平面

0102MN.

(〃)點P為上底圓周上部的中點.設(shè)圓臺的上底面圓的半徑為r,則高為，，02c=2r.以點。2為坐標

原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出而=(r,-2r,r),麗=(0,3r,r)，利用向量法，求出異

面直線CP與所成角的余弦值即可.

本題考查直線與平面位置關(guān)系的判斷，直線與平面平行的判斷定理，空間異面直線所成角的求法，

是中檔題.

8.答案：解析：(1)EG與AO是相交直線.

證明如下：如下圖所示，連接4名，6。，則力當弓。是平行四邊形,

VE也是4仇的中點，

AE/fCyD.AE=20,

???AEG。為梯形，4E，G，D四點共面，

EQ與AO為梯形兩腰，故EC】與AO相交；

(2)設(shè)AB=b,4D=2-b,

以BCD-A81C也=b(2—b)xAAT

=b(2—匕)《(手)2=1,

當且僅當b=2-b,b=1時取等號，

分別以邊4B,AD,A4i所在直線為x,y,z軸，建立如上圖所示直角坐標系,

則8(1,0,0),a(0,0,1)C(l,1,0),￡)(0,1,0),

西=(-1,0,1),CD=(-1,0,0),西=(-1.-1.1).

設(shè)平面4CD的法向量為汽=(x,y,z),

則［一*=°n，取z=l,則元=(0,1,1),

(—X—y+z=0、'

??「=

?sin0=1Icos<BA1A，,n>\I=y」/2xy/22

e屋

解析：考查通過建立空間直角坐標系，利用空間向量求線面角，解決線面垂直問題的方法，基本不

等式的運用，長方體的體積公式，以及平面法向量的概念及求法，直線和平面所成角與直線方向向

量和平面法向量夾角的關(guān)系，向量夾角余弦的坐標公式，線面垂直的性質(zhì)，兩向量垂直的充要條件.

(1)首先證明A,EC，D四點共面，再由EC】與AO為梯形兩腰，得到EC】與AO相交；

(2)求體積公式，利用基本不等式求得長方體體積最大時長和寬，分別以AB,AD,力4三直線為x,

y,z軸，建立空間直角坐標系，從而可寫出空間一些點的坐標，根據(jù)條件即可求出b=1.設(shè)平面&CD

的法向量為蘇Zi),根據(jù)即可求出法向量/，設(shè)直線和平面&CD所成角為

e,由

sin。=|cos<兩，石>|即可求出仇

9.答案：證明：(1)。0〃48.理由如下:

連結(jié)CD,分別取AF,BE的中點M,N,連結(jié)。M,CN,MN,

由圖(1)

可得，△力。?與4BCE都是等腰直角三角形且全等，則DM1AF,

CN1BE,DM=CN

???平面4DF_L平面ABEF,交線為AF,DMu平面ADF,DM1AF

：.DML平面ABEF.

同理得，CN，平面ABEF,：.DM〃CN.

又；DM=CN四邊形CDWN為平行四邊形，

???CD//MN.

?：M,N分別是AF,BE的中點，MN〃AB

???CD//AB.

(H)證明：DM//CN,DMU平面。尸A,CNC平面。尸4

CN〃面DFA

vCNu平面CEB,而0F4n平面CEB=I

CN//1

???DM//CN

DM//1

由(I)問有。MJL平面ABEF.

IJ_平面ABEF.

解析：(I)分別取AF,BE的中點M,N,連結(jié)。M,CN,MN,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)分別證明。"_1平

面A8EF和CN，平面A8EF,然后證明CD〃MN即可.

(H)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)進行證明即可.

本題主要考查空間直線，平面，線面之間位置關(guān)系的判定，利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理是解決

本題的關(guān)鍵，是中檔題.

10.答案：證明：假設(shè)直線AB與。在同一個平面內(nèi)，

則這個平面一定經(jīng)過點B和直線”，

由BCa,經(jīng)過點5與直線〃有且只有一個平面a,可得直線AB與a在同一個平面a內(nèi)，

又46a,這與已知ACa矛盾，

故直線48和〃是異面直線.

解析：利用反證法證明.

本題考查了異面直線的判定，考查了反證法，屬于中檔題

11.答案：(1)證明：:△ABC是等腰直角三角形，8C為斜邊，.?.4B_L力C,

???平面PAC_L平面ABC,平面PACn平面SBC=",

P

：.AB1平面PAC,

???P4u平面PAC,4B1P4\

(2)解：由(1)知，ABLAC,PCJ_平面ABC,c\X.

由題意可得，PC=2,4C=4B=4,AC1AB,\A

則BC=4a,PA=V4+16=2V5.--------------------

VE為棱BC的中點，AE=EC=|BC=2尤，則PE=V4T8=

2V3.

在△PAM，AE=2V2,AP=2V5，PE=2V3.

AE2+PE2=PA2,即AE1PE.

則4PAE的面積S=iX2V2X2A/3=276.

設(shè)點B到平面PAE的距離為兒

^B-PAE=^P-ABE'

-x2V6/1=-xixix42x2,解得九=—.

33223

???點B到平面PAE的距離為辿.

3

解析：(1)由已知可得ZB1AC,再由平面與平面垂直的性質(zhì)可得4B1平面PAC,進一步得到4B1PA-.

(2)由(1)知，ABLAC,PC_L平面ABC,求解三角形證明4E_LPE.求出△P4E的面積，再由等體積

法求點B到平面PAE的距離.

本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等體積法求空

間中點到平面的距離，是中檔題.

12.答案：解：(1)連接PC】，易知四邊形ABCWi為平行四邊形，所以4

又因為CE=CF=2,所以EF〃BCi，所以AD//EF,故4、E、F、么點共面.

(2)連接DE,%E,所求幾何體的體積分成一個三棱錐E-和一個四棱錐E-CDD^F,

所求幾何體的體積為V=1x|x6x6x6+|x|(2+6)x6x2=52.

解析：本題考查了棱錐體積運算，考查了平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，

(1)連接BG，推導(dǎo)四邊形4BGD］為平行四邊形，證得4久〃EF.由此能證明E,B,F,劣四點共面.

(2)連接。E,DrE,所求幾何體的體積分成一個三棱錐E-4DD1和一個四棱錐E-CDDiF,由棱錐

體積公式運算即可

13.答案：(1)證明：以ZM,DC,QP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖，

則。(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a(，0),P(0,0,a),尸舞()，

EF=(—p0,^),pc=(0,a,0).

???EF?DC=(—p0,^)?(0,a,0)=0,EF1DC.

(2)解：VG6平面PAD,設(shè)G(x,O,z),

二同=(T，_；,z*).

由(1)知麗=(a,0,0)，CP=(0,-a,a).

由題意，要使GF_L平面PCB,

只需同?而=(x-_3?(a,0,0)=a(x-^)=0,

FG-CP=(x-p-pz-j)?(0,-a,a)=y+a(z-^)=0，

x——,z=0.

???點G的坐標為?0,0),即點G為AO的中點.

解析：本題考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系、利用空間向量判定線面的垂直、平行關(guān)系的相關(guān)

知識，屬于中檔題.

14.答案：證明：因為EFnGH=P,

所以P6EF且P￡GH.

又因為EFu平面ABD,GHu平面CBD,

所以PC平面ABD,且P6平面CBD,

所以P€平面ABOn平面CBD,

因為平面AB。n平面CBO=B。，由公理2可得P6B0.

所以點尸在直線8。上.

解析：略

15.答案：解：(1)在正方體48如一4/1(?1。1中,

因為441/CG，

所以由公理2的推論可知，441與CCi可確定平面4G.

所以44i與CCi在同一平面內(nèi).

(2)因為點B,6，。不共線，

由公理3可知，點B,G，。可確定平面BC1。，

所以點B,G，。在同一平面內(nèi).

(3)因為ACnBC=0,

所以點06平面。€平面BQO.

又ClC平面AC1，Ge平面BC1。，

所以平面AGn平面BC1。=0G.

連接CD1交QD于點E,

同理平面ACO1n平面80C1=0E.

(3)如下圖，平面4cl與平面BG。的交線為DC】，

平面AC。1與平面BDG的交線為EF.

AB

解析：略

16.答案：解：（1）依題意，平面a〃平面AMCi，即平面&BN〃平面4MG，

因為平面AMCiD平面BCG%=MC1（平面AiBNCI平面8。。1當=BN,故MCJ/BN；

因為BM〃CiN,故四邊形BMCiN為平行四邊形；故=GN=J/Q,即學(xué)=上

（2）因為團ABC為正三角形，且M為8c的中點，所以4MLBC.

由例，N分別為BC和&G的中點，得MN//BB],又因為BBi1平面A8C,

所以MN1平面ABC,所以MN_L4M,MN1BC.

分別以MC,MN,M4為x軸、y軸、z軸，如圖建立空間直角坐標系,

不妨設(shè)BC=2,則4(0,0,?G(1,2,0),C(l,0,0),M(0,0,0),B(—1,0,0),

所以西=(1,2,0),'MA=(0,0,A/3).CX=(-1,0,73)，國=(0,2,0)，

設(shè)平面ACjM的法向量汨=（x1,y1,z1'）,

由西？F=0，西元=0,令y1=l,得元=(-2,1,0).

設(shè)平面4C1C的法向量苴=（X2，y2，Z2），

由科?荻=0，苗?荻=0，得[；'2）尸22=0,令Z2=l,得近=（舊,0,1）.

"力=u

設(shè)二面角C-AC.-M的平面角為。，則IcosOI=|普昌|=平，

由圖可得二面角C-4G-M為銳二面角,

所以二面角C-AC.-M的余弦值為詈.

解析：本題主要考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，利用空間向量求線線、線面和面面的夾角以及

二面角的求法，屬于中檔題.

(1)可證四邊形BMGN為平行四邊形，進而得到BM=CiN=^BiCi，即得答案；

(2)取2c的中點M,可證MN14M,MN1BC,于是分別以MC,MN,MA為x軸、)，軸、z軸，如

圖建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求二面角C-ACi的余弦值.

17.答案：(1)證明：???平面。GEF_L平面ABEG,且BE_LGE,

平面DGEFn平面4BEG=GE,

BE_L平面DGEF,

???BE±FG,

由題意可得FG=FE=&，GE=2,

：.FG2+FE2=GE2,

：.FE1FG.

因為FEnBE=E,FE,BEu平面BEF,

：.FG1平面BEF.

(2)解：由(1)知BE_L平面。GEF,AG//BE,

：.AGDGEF,建立如圖所示的坐標系，則4(1,0,0),8(1,2,0),E(0,2,0),F(0,l,1),

FA=(1,-1,-1),麗=(1,1,一1),而=(0,1,-1)，

設(shè)平面AFB的法向量為記=(x,y,z),

—y-z=0

/+y—z=O'

，取x=l,得五=(1,0,1)

由(1)知平面BEF的法向量記=d=(0,1,1),

兩法向量所成的角為:，

<)

由圖知，二面角4一BF-E的大小為:.

解析：本題考查線面垂直的判定，考查面面垂直的性質(zhì)，考查利用利用空間向量求二面角的平面角,

空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

(1)先證BE_L平面DGEF,即可證明BE1FG,由題意得到FG=FE=/，即可得到FG?+FE2=

GE2,進而得證FELFG,再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證FG，平面BEF.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論進一步證明AG1平面OGEF,建立空間直角坐標系，標明相關(guān)點的坐標，求出相

關(guān)向量的坐標，再求出兩個半平面對應(yīng)的法向量夾角，利用兩平面法向量夾角與二面角平面角的關(guān)

系求解.

18.答案:解：(I)證明：???三棱錐P-4BC中，P4=PC,AB

。是AC的中點，

???P01AC,BO1AC,

vPOOB0=0,POu平面POB,BOu平面POB,

AC1平面POB,

vPBPOB,AC1PB.

(II)???P。J.B。，PO1AC,BOOAC=0,BOu平面ABC,

ACu平面ABC,

：.PO_L平面ABC,

-.-PO=AC=2,BO=3.

三棱錐4-PBC的體積為：

1

匕-PBC=%-ABC=-XPOXS4ABe

11

=-x2x-x2x3=2.

32

解析：(1)推導(dǎo)出。。，4。，BOLAC,從而4c_1平面PO2,由此能證明4c_LPB.

(H)推導(dǎo)出P。，平面ABC,三棱錐4-PBC的體積為以_PBC=Vp-ABC=[xP。xShABC.

本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

19.答案：解：(1)4F〃平面BCE,證明如下：

取CE的中點P,連接BP,FP,

???F是C。的中點，P是CE的中點，

PF=-DE<又AB=-DE^

22

:.AB=PF，

二四邊形ABPF是平行四邊形，

AF//BP,又AFC平面BCE,BPu平面BCE,

4F〃平面BCE.

(2)設(shè)EB,D4的延長線交于點0,連接0C,

則0C為平面AC￡＞和平面8CE的交線，

設(shè)AB=1,貝=DE=CD=AC=2,

"AB//DE,==i

''ODDE2

???OD=4,5LZ-CDA=60°,

0C=J16+4-2x4x2x；2g,

222

???0C+CDOD,A0C1CD,