第5講第二章方程與不等式（綜合測(cè)試）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)拔萃實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）若，且是任意實(shí)數(shù)，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】A、∵a＞b，c是任意實(shí)數(shù)，∴一定成立，故本選項(xiàng)符合題意；B、∵a＞b，c是任意實(shí)數(shù)，∴一定成立，故原不等式錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)a＞b，c＞0時(shí)，一定成立，而此題c是任意實(shí)數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵a＞b，當(dāng)c≤0時(shí)，ac＜bc，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．（2022·吉林·前郭縣烏蘭塔拉鄉(xiāng)中學(xué)九年級(jí)期中）下列各數(shù)中，是方程的解的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：A．當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊≠右邊，∴不是方程的解，故此選項(xiàng)不符合題意；B．當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊≠右邊，∴不是方程的解，故此選項(xiàng)不符合題意；C．當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊＝右邊，∴是方程的解，故此選項(xiàng)符合題意；D．當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊≠右邊，∴不是方程的解，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．3．（2022·江蘇·常州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）已知是關(guān)于的方程的解，則的值為（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【詳解】解：∵是關(guān)于x的方程的解，∴，解得：，故選：B．4．（2022·廣東·景中實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）不等式組的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：解不等式①得，x＞1，解不等式②得，x≥2，∴不等式組的解集是x≥2，故選：A5．（2022·四川省開(kāi)江縣永興中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）用配方法解方程，變形正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：，，即．故選：C6．（2022·浙江·溫嶺市新河鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)期中）新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來(lái)越受消費(fèi)者喜愛(ài)，各種品牌的新能源汽車相繼投放市場(chǎng)，我國(guó)新能源汽車近幾年銷售量全球第一，2020年某款新能源車銷售量為19萬(wàn)輛，銷售量逐年增加，到2022年銷售量為25.6萬(wàn)輛，求這款新能源汽車的年平均增長(zhǎng)率是多少？可設(shè)年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可列方程為：（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，由題意，得：，故選：A．7．（2022·湖南·溆浦縣圣達(dá)學(xué)校八年級(jí)期中）已知關(guān)于的方程的增根是，則字母的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】方程兩邊同時(shí)乘以得：，把代入得：，解得：故選：C．8．（2022·四川瀘州·九年級(jí)期中）關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A．8 B．32 C．8或32 D．16或40【答案】B【詳解】解：由題意得：，，∴，，，，；故選：B．9．（2022·山東威?！て谥校┬←愔芏谀趁姘昊ㄔI了幾個(gè)面包，周六再去買時(shí)，恰好該面包店搞優(yōu)惠酬賓活動(dòng)，同樣的面包每個(gè)比原來(lái)便宜1元，結(jié)果小麗比上次少花了1元，卻比上次多買了2個(gè)面包．若設(shè)她周二買了個(gè)面包，根據(jù)題意可列方程為(

)A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：周二時(shí)面包的單價(jià)為：（元）周六時(shí)面包的單價(jià)為：（元）由題意可得：故選：B．10．（2022·重慶一中九年級(jí)階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式組有解，且關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的值之和是（）A．﹣8 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【答案】B【詳解】解：，解不等式①得，，解不等式②得，，關(guān)于x的不等式組有解，，解分式方程，去分母得，，解得：，關(guān)于y的方程的解是正數(shù)，且，且，解得，且，且，滿足條件的整數(shù)a的值：；，故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11．（2022·吉林·長(zhǎng)春南湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）不等式組的解集是______．【答案】【詳解】解：由，移項(xiàng)：，系數(shù)化為１，得：，由，系數(shù)化為１，得：，則不等式組的解集為，故答案為：．12．（2022·新疆·烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級(jí)期末）已知方程，當(dāng)=______時(shí)，是關(guān)于的一元二次方程．【答案】【詳解】解：方程是關(guān)于的一元二次方程且故答案為：-213．（2022·江西·信豐縣第七中學(xué)七年級(jí)期末）某社區(qū)為了美化環(huán)境，投入一定資金用于綠化一塊閑置空地，購(gòu)買了甲、乙兩種樹(shù)木共70棵，其中甲種樹(shù)木每棵85元，乙種樹(shù)木每棵78元，共用去資金5740元.求甲、乙兩種樹(shù)木各購(gòu)買了多少棵？設(shè)甲種樹(shù)木購(gòu)買了棵，乙種樹(shù)木購(gòu)買了棵，則列出的方程組是___________.【答案】【詳解】解：設(shè)甲種樹(shù)木的數(shù)量為x棵，乙種樹(shù)木的數(shù)量為y棵，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①甲、乙兩種樹(shù)木共70棵；②共用去資金5740元，根據(jù)等量關(guān)系列出方程：．故答案為：．14．（2022·廣東·平洲一中八年級(jí)階段練習(xí)）分式方程：的解是_________.【答案】3【詳解】解：1+3（x-2）=41+3x-6=43x=4+6-13x=9x=3檢驗(yàn)，當(dāng)x=3時(shí)，x-2=1≠0，故x=3是分式方程的解．故答案為3．15．（2022·湖北·前川三中九年級(jí)階段練習(xí)）若，是方程的兩個(gè)根，則的值是__________．【答案】【詳解】∵m，n是方程的兩根，∴，，∴．故答案為：．16．（2022·江蘇·安東學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)、、在數(shù)軸上位置如圖，為原點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，則的值是________．【答案】2【詳解】解：為的中點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)是，為的中點(diǎn)，，解得或，，，故答案為：2．三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（2022·寧夏·中衛(wèi)市第三中學(xué)九年級(jí)期中）解下列方程(1)（用配方法）(2)（用公式法）【答案】(1)，(2)，【詳解】（1）解：移項(xiàng)，得，配方，得，根據(jù)平方根的意義，得，即或，即，（2）解：，，，，，，，18．（2022·遼寧省鞍山華育外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）“南國(guó)梨”素有“梨中之王”美稱，主產(chǎn)于中國(guó)遼寧省的鞍山，某南國(guó)梨種植基地2020年種植64畝，到2022年的種植面積達(dá)到100畝．(1)求該基地這兩年“南國(guó)梨”種植面積的平均增長(zhǎng)率．(2)某超市調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)“南國(guó)梨”的售價(jià)為8元/千克時(shí)，每周能售出400千克，售價(jià)每千克上漲0.5元，每周銷售量減少10千克，已知該超市“南國(guó)梨”的進(jìn)價(jià)為6元/千克，為了維護(hù)消費(fèi)者利益，物價(jià)部門規(guī)定，該水果售價(jià)不能超過(guò)17元/千克．若使銷售“南國(guó)梨”每周獲利2400元，則售價(jià)應(yīng)多少元/千克？【答案】(1)25%(2)16元/千克【詳解】（1）設(shè)該基地這兩年“南國(guó)梨”種植面積的平均增長(zhǎng)率為x，依題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．故該基地這兩年“南國(guó)梨”種植面積的平均增長(zhǎng)率為25%（2）設(shè)售價(jià)為y元/千克，則每千克的銷售利潤(rùn)為元，每周能售出千克，依題意得：千克，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．故售價(jià)應(yīng)為16元/千克19．（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽(yáng)邏街第一初級(jí)中學(xué)三模）解不等式組，請(qǐng)按下列步驟完成解答：(1)解不等式，得___________；(2)解不等式，得___________；(3)把不等式和的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)；(4)原不等式組的解集為_(kāi)__________．【答案】(1)(2)(3)見(jiàn)解析(4)【詳解】（1）解：解不等式，，∴，故答案是：．（2）解：解不等式，，∴，故答案是：．（3）解：把不等式和的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，如圖所示，故答案如圖所示．（4）解：根據(jù)圖示得，原不等式組的解集為，故答案是：．20．（2022·湖北·十堰市北京路中學(xué)七年級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)，滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是先將①，②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過(guò)適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①-②可得，由①+②×2可得．這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．解決問(wèn)題：(1)已知二元一次方程組，則__________，_________．(2)對(duì)于實(shí)數(shù)、，定義新運(yùn)算：，其中、、是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知，，求的值．【答案】(1)-1，5(2)-11（1），由①-②可得：x-y=-1，由（①+②）可得：x+y=5，故答案為：-1，5；（2）依題意得：，由可得：a+b+c=-11，即=a+b+c=-11．21．（2022·吉林·長(zhǎng)春市赫行實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）小慧用因式分解法解一元二次方程時(shí)，她的做法如下：方程兩邊同時(shí)除以，得，第一步系數(shù)化為，得第二步(1)小慧的解法是不正確的，她從第______步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤．(2)請(qǐng)用小慧的方法完成這個(gè)題的解題過(guò)程．【答案】(1)一(2)，【詳解】（1）解：可以為，而0不能做除數(shù)，所以方程兩邊除以不符合方程的同解原理；小慧的解法是不正確的，她從第一步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；故答案為：一（2）解：正確解法為：先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程；，，，或，所以，22．（2022·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）根據(jù)下列解方程的過(guò)程，請(qǐng)?jiān)谇懊娴睦ㄌ?hào)內(nèi)填寫(xiě)變形步驟，在后面的括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)變形依據(jù)．解：原方程可變形為．（________）去分母，得．（________）去括號(hào)，得．（________）（________），得．（________）合并同類項(xiàng)，得．（________）（________），得（________）【答案】分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；等式的基本性質(zhì)2；去括號(hào)法則或乘法分配律；移項(xiàng)；等式的基本性質(zhì)1；合并同類項(xiàng)法則；系數(shù)化為1；等式的基本性質(zhì)2【詳解】解：原方程可變形為．（分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)）去分母，得．（等式的基本性質(zhì)2）去括號(hào)，得．（去括號(hào)法則或乘法分配律）（移項(xiàng)），得．（等式的基本性質(zhì)1）合并同類項(xiàng)，得．（合并同類項(xiàng)法則）（系數(shù)化為1），得（等式的基本性質(zhì)2），故答案為：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；等式的基本性質(zhì)2；去括號(hào)法則或乘法分配律；移項(xiàng)；等式的基本性質(zhì)1；合并同類項(xiàng)法則；系數(shù)化為1；等式的基本性質(zhì)2．23．（2022·江蘇鹽城·九年級(jí)階段練習(xí)）為了有效預(yù)防和控制疫情，及時(shí)監(jiān)測(cè)疫情發(fā)展態(tài)勢(shì)，實(shí)施定期核酸檢測(cè)．某社區(qū)準(zhǔn)備搭建一個(gè)動(dòng)態(tài)核酸檢測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)有27米可移動(dòng)的隔離帶，搭圍成如圖的臨時(shí)檢測(cè)點(diǎn)，這是一個(gè)一面靠墻（為墻面）的矩形，內(nèi)部分成兩個(gè)區(qū)，區(qū)為登記區(qū)，區(qū)為檢測(cè)區(qū)，入口通道在邊上，兩區(qū)通道在邊上，出口通道在邊上，通道寬均為1米．(1)若設(shè)，則可表示為（用含有x的代數(shù)式表示）；(2)問(wèn)所圍成矩形的面積能否達(dá)到72平方米？如果能，求出的長(zhǎng)；如果不能，說(shuō)明理由；(3)檢測(cè)點(diǎn)使用一天后，發(fā)現(xiàn)檢測(cè)點(diǎn)面積需要擴(kuò)大，問(wèn)現(xiàn)有的27米隔離帶，能否圍出108平方米的面積？如果能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不能，在搭圍方法不變的情況下，則至少需要增加多少米隔離帶，恰好能圍成108平方米？【答案】(1)；(2)能達(dá)到72平方米，的長(zhǎng)為4米或6米；(3)不可能圍出的面積；至少需要增加6米隔離帶，恰好能圍成108平方米．【詳解】（1）解：由題意得：（米），故答案為：；（2）解：根據(jù)題意得：，整理得：，解得：或，答：能達(dá)到72平方米，的長(zhǎng)為4米或6米；（3）解：根據(jù)題意得：矩形的面積為：，當(dāng)時(shí)，整理得：，∵，∴該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即不可能圍出的面積；設(shè)增加的隔離帶長(zhǎng)度為p米，由題意得：，整理得：，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴或（舍去），∴，∴至少需要增加6米隔離帶，恰好能圍成108平方米，答：不可能圍出的面積；至少需要增加6米隔離帶，恰好能圍成108平方米．24．（2022·江蘇·南京明道中學(xué)九年級(jí)期中）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的3倍，那么稱這樣的方程為“三倍根方程”．例如，方程的兩個(gè)根是1和3，則這個(gè)方程就是“三倍根方程”．(1)下列方程是三倍根方程的是___________；①

②

③(2)若關(guān)于的方程是“三倍根方程”，則c=___________；(3)若是關(guān)于的“三倍根方程”，求代數(shù)式的值．【答案】(1)③(2)(3)【詳解】（1）解：由可得：，不滿足“三倍根方程”的定義；由可得：，不滿足“三倍根方程”的定義；由可得：，滿足“三倍根方程”的定義；故答案為③；（2）解：設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)根為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，令，則有，∴，，∴；（3）解：由可得：，∴，令，則有：．25．（2022·北京八中七年級(jí)期中）對(duì)于數(shù)軸上的點(diǎn)，，給出如下定義：若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（），則稱為點(diǎn)到點(diǎn)的追擊值，記作．例如，在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是5，點(diǎn)表示的數(shù)是2，則點(diǎn)到點(diǎn)的追擊值為．(1)點(diǎn)，都在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)是1，且點(diǎn)到點(diǎn)的追擊值（），則點(diǎn)表示的數(shù)是______（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖，點(diǎn)表示的數(shù)是1，在數(shù)軸上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，都沿著正方向同時(shí)移動(dòng)，其中點(diǎn)的速度為每秒4個(gè)單位，點(diǎn)的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)從表示數(shù)的點(diǎn)出發(fā)，且數(shù)不超過(guò)5，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）．①當(dāng)且______時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的追擊值；②當(dāng)時(shí)間不超過(guò)3秒時(shí)，求點(diǎn)到點(diǎn)的追擊值的最大值是多少？（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)或；(2)①