小升初-幾何專題1、〔★★〕如圖，四邊形ABCD中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD與AD垂直，那么四邊形的面積等于多少？[思路]：顯然四邊形ABCD的面積將由三角形ABD與三角形BCD的面積求和得到．三角形ABD是直角三角形，底AD，高BD是未知的，但可以通過勾股定理求出，進(jìn)而可以判定三角形BCD的形狀，然后求其面積．這樣看來，BD的長度是求解此題的關(guān)鍵．解：由于BD垂直于AD，所以三角形ABD是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD=AB－AD=13—12=25=5，所以BD=5．三角形BCD中BD=5，BC=3，CD=4，又3十4=5，故三角形BCD是以BD為斜邊的直角三角形，BC與CD垂直．那么：=+=12×5÷2+4×3÷2=36．．即四邊形ABCD的面積是36．2、〔★★〕如圖四邊形土地的總面積是48平方米，三條線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的面積分別是7平方米和9平方米．那么最大的一個三角形的面積是________平方米；779[分析]:剩下兩個三角形的面積和是48-7-9=32，是右側(cè)兩個三角形面積和的2倍，故左側(cè)三角形面積是右側(cè)對應(yīng)三角形面積的2倍，最大三角形面積是9×2=18。3．〔★★〕將下列圖中的三角形紙片沿虛線折疊得到右圖，其中的粗實線圖形面積與原三角形面積之比為2:3。右圖中3個陰影的三角形面積之和為1，那么重疊局部的面積為多少？[思路]：小升初中常把分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)，比例問題處理成份數(shù)問題，這個思想一定要養(yǎng)成。解：粗線面積：黃面積=2：3綠色面積是折疊后的重疊局部，減少的局部就是因為重疊才變少的，這樣可以設(shè)總共3份，后來粗線變2份，減少的綠色局部為1份，所以陰影局部為2-1=1份，4、〔★★〕求下列圖中陰影局部的面積：【解】如左下列圖所示，將左下角的陰影局部分為兩局部，然后按照右下列圖所示，將這兩局部分別拼補在陰影位置?？梢钥闯觯}圖的陰影局部等于右下列圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積之差。所以陰影面積：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。5、〔★★〕下列圖中陰影局部的面積是多少厘米2？分析與解：此題可以采用一般方法，也就是分別計算兩塊陰影局部面積，再加起來，但不如整體考慮好。我們可以運用翻折的方法，將左上角一塊陰影局部〔弓形〕翻折到半圓的右上角〔以下列圖中虛線為折痕〕，把兩塊陰影局部合在一起，組成一個梯形〔如下列圖所示〕，這樣計算就很容易。此題也可看做將左上角的弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)90°，到達(dá)右上角，得到同樣的一個梯形。6、〔★★〕如圖6-1，每一個小方格的面積都是l平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米?【分析與解】方法一：正方形格點陣中多邊形面積公式：〔N+-1)×單位正方形面積，其中N為圖形內(nèi)格點數(shù)，L為圖形周界上格點數(shù)．有N=4，L=7，那么用粗線圍成圖形的面積為：〔4+-1)×1=6.5(平方厘米)方法二：如下列圖，先求出粗實線外格點內(nèi)的圖形的面積，有①=3÷2=1.5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，還有三個小正方形，所以粗實線外格點內(nèi)的圖形面積為1.5+l+1+1+1+1+3=9.5，而整個格點陣所圍成的圖形的面積為16，所以粗線圍成的圖形的面積為：16-9.5=6.5平方厘米．7〔★★〕，四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的邊長為10厘米，那么圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米?【分析與解】方法一：因為CEFG的邊長題中未給出，顯然陰影局部的面積與其有關(guān)．設(shè)正方形CEFG的邊長為x，有：又陰影局部的面積為:(平方厘米).方法二：連接FC，有FC平行與DB，那么四邊形BCFD為梯形．有△DFB、△DBC共底DB，等高，所以這兩個三角形的面積相等，顯然,△DBC的面積(平方厘米)．陰影局部△DFB的面積為50平方厘米．8、〔★★〕用棱長是1厘米的正方塊拼成如下列圖所示的立體圖形，問該圖形的外表積是多少平方厘米？[方法一]：[思路]：整體看待面積問題。解：不管疊多高，上下兩面的外表積總是3×3；再看上下左右四個面，都是2×3+1，所以，總計9×2+7×4=18+28=46。[方法二]：[思路]：所有正方體外表積減去粘合的外表積解：從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，總共有14個正方體，這樣我們知道總共的外表積是：6×14=64，但總共粘合了18個面，這樣就減少了18×1=18，所以剩下的外表積是64-18=46。[方法三]：直接數(shù)數(shù)。[思路]：通過圖形，我們可以直接數(shù)出總共有46個面，每個面面積為1，這樣總共的外表積就是46。9、〔★★〕一個圓柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5cm，玻璃杯內(nèi)側(cè)的底面積是72cm2，在這個杯中放進(jìn)棱長6cm的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊，這時水面高多少厘米？解：水的體積為72×2.5=180〔cm3〕，放入鐵塊后可以將水看做是底面積為72-6×6=32〔cm2〕的柱體，所以它的高為180÷32=5〔cm〕。10、〔★★〕有一個棱長為1米的立方體，沿長、寬、高分別切二刀、三刀、四刀后，成為60個小長方體(見左下列圖).這60個小長方體的外表積總和是______平方米.〔06年三帆中學(xué)考試題〕【解】原正方體外表積：1×1×6＝6〔平方米〕，一共切了2＋3＋4＝9〔次〕，每切一次增加2個面：2平方米。所以外表積：6＋2×9＝24〔平方米〕二：提高題11、〔★★★〕圖是由正方形和半圓形組成的圖形。其中P點為半圓周的中點，Q點為正方形一邊的中點。正方形的邊長為10，那么陰影局部面積是多少？〔π取3.14.〕[方法一]：陰影面積的“加減法〞。[思路]：因為陰影局部面積不是正規(guī)圖形，所以通過整個面積減去空白局部面積來求解。解：過P點向AB作垂線，這樣空白局部面積分成上面的三角形和下面的梯形，這樣陰影面積=整個面積-空白面積=〔正方形ABCD+半圓〕—〔三角形+梯形〕=〔10×10+π×5×5÷2〕-[15×5÷2+〔5+15〕×5÷2]=51.75[總結(jié)]：這種方法是小升初中最常用的方法，一定要學(xué)會這種處理思路。[方法二]：面積的“加減法〞和“切割法〞綜合運用[思路]：出現(xiàn)正方形，出現(xiàn)弧線時，注意兩個考點：1.半葉形2。1/4圓，所以我們可以先把面積補上再減去補上的面積解：S1=正方形-1/4圓=5×5-1/4×π×5×5上面陰影面積=三角形APE-S1=15×5÷2-5×5-1/4×π×5×5下面陰影面積=三角形QPF-S2=所以陰影面積=〔15×5÷2-5×5-1/4×π×5×5〕+〔10×5÷2-5×5-1/4×π×5×5〕=51.75[方法三]：面積的“切割法〞[思路]：出現(xiàn)正方形，出現(xiàn)弧線時，注意兩個考點：1.半葉形2。1/4圓，這樣可以考慮把陰影面積切成幾個我們會算的規(guī)那么圖形解：半葉形S1=正方形-1/4圓=5×5-1/4×π×5×5上面陰影面積=三角形ADP+S1=10×5÷2+5×5—1/4×π×5×5下面陰影面積=三角形QPC+S2=5×5÷2+5×5—1/4×π×5×5陰影面積=〔10×5÷2+5×5—1/4×π×5×5〕+〔5×5÷2+5×5—1/4×π×5×5〕=51.7512、〔★★★〕如圖，ABCG是4×7的長方形，DEFG是2×10的長方形，那么，三角形BCM的面積與三角形DCM的面積之差是多少？[方法一]：[思路]：公共局部的運用，這是小升初的常用方法，熟練找出公共局部是解題的關(guān)鍵。解:GC=7，GD=10推出HE=3；BC=4，DE=2陰影BCM面積-陰影MDE面積=(BCM面積+空白面積)-(MDE面積+空白面積)=三角形BHE面積-長方形CDEH面積=3×6÷2-3×2=3[總結(jié)]：對于公共局部要大膽的進(jìn)行處理,這樣可以把原來無關(guān)的面積聯(lián)系起來,到達(dá)解題的目的.[拓展]：如圖,圓的直徑為20,S1-S2=12,求BD的長度?[方法二]：[思路]：畫陰影的兩個三角形都是直角三角形，而BC和DE均為的，所以關(guān)鍵問題在于求CM和DM．這兩條線段之和CD的長是易求的，所以只要知道它們的長度比就可以了，這恰好可以利用平行線BC與DE截成的比例線段求得．解:GC=7，GD=10知道CD=3；BC=4，DE=2知道BC:DE=CM:DM所以CM=2，MD=1。陰影面積差為:4×2÷2-1×2÷2=3[方法三]：連接BDS—S=S—S=(3×4—2×3)÷2=3．13．〔★★★〕如下圖，在三角形ABC中，DC＝3BD，DE＝EA。假設(shè)三角形ABC的面積是1，那么陰影局部的面積是多少？[方法一]：[思路]：陰影面積是兩個不在一起的圖形，我們先要通過等量代換，把兩個圖形拼成一個整體解：連接FD，因為AE=DE，所以S1=S3，S2=S4，S1+S2=S3+S4，即三角形AFC=三角形FCD，陰影面積等于S3+S4的面積。又因為DC＝3BD，三角形FDC=3×三角形BDF，這樣我們就可以設(shè)三角形DFB為1份，那么三角形FDC=3份，三角形AFC=三角形FCD=3份，這樣總共面積分成7份，所以陰影面積為1÷7×3=3/7[方法一]：14、〔★★★〕如圖，在△ABC中，AD是AC的三分之一，AE是AB的四分之一，假設(shè)△AED的面積是2平方厘米，那么△ABC的面積是多大？[分析]連結(jié)EC，如圖，因為AC＝3AD，△AED與△AEC中AD，AC邊上的高相同，所以△AEC的面積是△AED面積的3倍，即△AEC面積是6平方厘米，用同樣方法可判斷△ABC的面積且△AEC面積的四倍，所以△ABC的面積是6×4＝24〔平方厘米〕。15〔★★★〕從一塊正方形木板鋸下寬為米的一個木條以后，剩下的面積是平方米．問鋸下的木條面積是多少平方米?【分析與解】我們畫出示意圖(a)，那么剩下的木塊為圖(b)，將4塊剩下的木塊如下拼成一個正方形得到圖(c)．我們稱AB為長，AD為寬，有長與寬的差為，所以圖(c)中心的小正方形邊長為，于是大正方形AEHK的面積為×4+×==×，所以AK長為．即，長+寬=，：長-寬=，得長=，于是鋸去局部的木條的面積為×==1(平方米)．16、〔★★★〕將三角形ABC的BA邊延長1倍到D；CB邊延長2倍到E，AC邊延長3倍到F，如果三角形ABC的面積等于1，那么三角形DEF的面積是_____。[分析]如圖，連接CD、BF，那么三角形ADC的面積＝三角形ABC的面積＝1；三角形BDE的面積＝三角形BCD的面積×2＝(1+1)×2＝4；三角形CDF的面積＝三角形ADC的面積×3＝3；三角形BCF的面積＝三角形ABC的面積×3＝3；三角形BEF的面積＝三角形BCF的面積×2＝6；三角形DEF的面積＝三角形ABC的面積+三角形ADC的面積+三角形BDE的面積+三角形CDF的面積+三角形BCF的面積+三角形BEF的面積＝1+1+4+3+3+6＝18。17、〔★★★〕如圖，AE＝AC/5，CD＝BC/4，BF＝AB/6，那么等于多少？[分析]這道題與例34很相像，但不同的是沒有一個現(xiàn)成的單位面積。要求出這樣一個比例，要求我們自己開發(fā)一個單位面積?？刹豢梢跃陀么笕切蔚拿娣e做單位面積呢？如圖，連接AD，那么S△CDE＝S△ACD×4/5＝S△ABC×1/4×4/5＝S△ABC×1/5同理，連接BE，那么S△AEF＝S△ABE×5/6＝S△ABC×1/5×5/6＝S△ABC×1/6連接CF，那么S△BDF＝S△BCF×3/4＝S△ABC×1/6×3/4＝S△ABC×1/8所以＝1－1/5－1/6－1/8＝18、〔★★★〕如圖，D是BC中點，E是CD中點，F(xiàn)是AC中點。三角形ABC由①~⑥這6局部組成，其中②比⑤多6平方厘米。那么三角形ABC的面積是多少？[分析]仔細(xì)觀察圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)②和⑤這兩個三角形形狀是一樣的，并且EF是△ACD的中位線，也就是EF：AD＝1：2。那么②和⑤底和高的比都是2：1〔形狀相同，高之比和底之比是一樣的〕，面積比自然就是4：1了。②與⑤的面積比為4：1，并且相差6平方厘米，所以⑤的面積＝6÷〔4－1〕＝2〔平方厘米〕②的面積＝2×4＝8〔平方厘米〕③與④的面積均為⑤的二倍，②的一半，即4平方厘米；⑥的面積為④＋⑤，即4＋2＝6〔平方厘米〕①的面積為②＋③＋④＋⑤＋⑥，即8＋4＋4＋2＋6＝24〔平方厘米〕大三角形的面積為①的二倍，即24×2＝48〔平方厘米〕。19、〔★★★〕在ΔABC中BD：DC=2:1,AE：EC=1:3求BO：OE。OOABDCE[分析]:解法一，用按比例分配的方法，觀察線段BE正好被AD分成BO與OE兩局部，求這兩局部的比，可以AD為底，B，E為頂點構(gòu)造兩個三角形，BAD與EAD，這樣就可以面積比與線段比之間架一座橋。因為三角形BAD的三個頂點都在三角形ABC的邊上，因此把三角形ABC的面積看作單位“1〞，就可以用來表示ABD的面積，用AE的長占AC的1/4，CD的長占CB的1/3，=來表示AED的面積。因為：SΔABD：SΔAED=：=8：1，所以BO：OE=8：1。解法二：這幅圖形一看就感覺它是燕尾定理的根本圖，但2個燕尾似乎少了一個，因此應(yīng)該補全，所以第一步我們要連接OC，因為AE:EC=1:3(條件)所以SΔAOE/SΔCOE=1:3假設(shè)設(shè)SΔAOE=x,那么SΔCOE=3xSΔAOC=4x,根據(jù)燕尾定理SΔAOB：SΔAOC=BD：DC=2:1所以SΔAOB=8xBO：OE=SΔAOB：SΔAOE=8x：x=8:1。20、〔★★★〕角形ABC中，C是直角，AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN〔陰影局部〕的面積是多少？[分析]:可以連接NB，由燕尾定理及條件可知CAN：ABN＝2：1，不妨設(shè)ANM為1份，那么ANB為兩份，CAN就是4份，CND也是4份，全圖就是10份，陰影就占全圖的21〔★★★〕在圖中，直線CF與平行四邊形ABCD的AB邊相交于E點，如果三角形BEF的面積為6平方厘米，求三角形ADE的面積是多少？[分析]:連結(jié)AC，因為AB平得CD，AE是三角形ADE，ACE的公共底邊，所以三角形ADE與三角形ACE的面積相等。又因為BC平行于AF，AF是三角形AFC與三角形ABF的公共底邊，所以三角形ACF與三角形ABF的面積相等。從圖中還可看出，三角形ACF的面積＝三角形ACE的面積+三角形AEF的面積，三角形ABF的面積＝三角形BEF的面積+三角形AEF的面積。從上面兩個等式可以得到三角形ACE的面積＝三角形BEF的面積，而三角形BEF的面積為6平方厘米，所以三角形ACE的面積也為6平方厘米，再根據(jù)三角形ADE與三角形ACE的面積相等可得三角形ADE的面積為6平方厘米。所以三角形ADE的面積為6平方厘米。22、〔★★★〕圖中的四邊形土地總面積為52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃。那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？[分析]:我們不妨把四個小三角形看成四個元素，而不是整體的一局部。如圖，四個小三角形面積中，兩個是我們的，另兩個未知。的兩個三角形有共同的底邊，所以它們的高之比就等于面積比6：7；S1與S2同樣有共同的底邊，并且它們的高分別與面積為6和7的兩個小三角形相同，也就是同樣有6：7的關(guān)系。這樣S1：S2＝6：7；這樣，原來的問題就變成一個和倍問題了。很容易知道S1＝(52－6－7)÷(6＋7)×6＝18〔公頃〕S2＝(52－6－7)÷(6＋7)×7＝21〔公頃〕這樣四個三角形的面積分別為6、7、18、21，最大的一個為21。23、〔★★★〕如圖，在三角形ABC中，，D為BC的中點，E為AB上的一點，且BE=AB,四邊形EDCA的面積是35，求三角形ABC的面積.〔06年清華附中入學(xué)測試題〕【解】根據(jù)定理：==，所以四邊形ACDE的面積就是6-1=5份，這樣三角形35÷5×6=42。24、〔★★★〕四個完全一樣的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方(如圖)如果小正方形面積是1平方米，大正方形面積是5平方米，那麼直角三角形中，最短的直角邊長度是______米.〔06年實驗中學(xué)入學(xué)測試題〕【解】小正方形面積是1平方米，大正方形面積是5平方米，所以外邊四個面積和是5-1=4，所以每個三角形的面積是1，這個圖形是“玄形〞，所以長直角邊和短直角邊差就是中間正方形的邊長，所以求出短邊長就是1。25、〔★★★〕如圖在長方形ABCD中，△ABE、△ADF、四邊形AECF的面積相等?！鰽EF的面積是長方形ABCD面積的______(填幾分之幾)。〔03年資源杯試題〕?！窘狻窟B接AC，首先△ABC和△ADC的面積相等，又△ABE和△ADF的面積相等，那么△AEC和△AFC的面積也相等且等于ABCD的1/6，不難得△AEC與△ABE的面積之比為1/2，由于這兩個三角形同高，那么EC與BE之比為1/2，同理FC與DF之比也為1/2。從而△ECF相當(dāng)于ABCD面積的1/18，而四邊形AECF相當(dāng)于ABCD面積的1/3，從而答案為1/3-1/18=5/18。26、〔★★★〕如圖1，一個長方形被切成8塊，其中三塊的面積分別為12，23，32，那么圖中陰影局部的面積為_____〔01年同方杯〕【解】設(shè)圖示兩個三角形的面積分別為a和b，因為△AED面積等于ABCD的一半，那么△ABE加上△DEC的面積也等于ABCD的一半。而△FDC的面積也等于ABCD的一半，即23+a+32+12+b=a+b+陰影面積，可見陰影面積=23+32+12=67。27、〔★★★〕右圖中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四邊形ABDE的面積是平方厘米．【解】：四邊形AFDC的面積=三角形AFD+三角形ADC=〔×FD×AF〕+〔×AC×CD〕=〔FE+ED〕×AF+〔AB+BC〕×CD=〔×FE×AF+×ED×AF〕+〔×AB×CD+×BC×CD〕。所以陰影面積=四邊形AFDC-三角形AFE—三角形BCD=〔×FE×AF+×ED×AF〕+〔×AB×CD+×BC×CD〕-×FE×AF-×BC×CD=×ED×AF+×AB×CD=×8×7+×3×12=28+18=46。28、〔★★★〕如圖，三個一樣大小的正方形放在一個長方形的盒內(nèi)，A和B是兩個正方形重疊局部，C，D，E是空出的局部，這些局部都是長方形，其中4個的面積比是A:B:C:D＝1:2:3:4。那么這個長方形的長與寬之比是多少？：[方法]：29．〔★★★〕如圖，長方形的面積是小于100的整數(shù)，它的內(nèi)部有三個邊長是整數(shù)的正方形，①號正方形的邊長是長方形長的5/12，②號正方形的邊長是長方形寬的1/8。那么，圖中陰影局部的面積是多少？[方法一]：從整除入手，我們可以推出長方形的面積只能是8×12=96，再入手就很簡單可。解：=1\*GB3①的面積就是5×5=25=2\*GB3②的面積是1×1=1最大的空白正方形面積=〔8-1〕×〔8-1〕=49陰影面積=96-49-25-1=2130、〔★★★〕圖30-10是一個正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米．問：陰影局部的面積是多少平方厘米?【分析與解】如下列圖所示，為了方便所敘，將某些點標(biāo)上字母，并連接BG．設(shè)△AEG的面積為x，顯然△EBG、△BFG、△FCG的面積均為x，那么△ABF的面積為3x，即，那么正方形內(nèi)空白局部的面積為.所以原題中陰影局部面積為(平方厘米)．【挑戰(zhàn)題】1、〔★★★★〕一塊三角形草坪前，工人王師傅正在用剪草機剪草坪．一看到小靈通，王師傅熱情地招呼，說：“小靈通，聽說你很會動腦筋，我也想問問你，這塊草坪我把它分成東、西、南