試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2.5專題強化三動態(tài)平衡臨界、極值問題（講)第二章相互作用專題強化三動態(tài)平衡臨界、極值問題一、動態(tài)平衡1.動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài)。2.做題流程3.常用方法（1）圖解法此法常用于定性分析三力平衡問題中，已知一個力是恒力、另一個力方向不變的情況。（2）解析法對研究對象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖，根據(jù)物體的平衡條件列方程或根據(jù)相似三角形、正弦定理，得到因變量與自變量的函數(shù)表達(dá)式（通常為三角函數(shù)關(guān)系），最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化。二、臨界、極值問題1.當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等。臨界問題常見的種類：（1）由靜止到運動，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。（2）繩子恰好繃緊，拉力F=0.（3）剛好離開接觸面，支持力FN=0.2.平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。考點一動態(tài)平衡問題一、三力平衡、合力與分力關(guān)系如圖，F(xiàn)1、F2、F3共點平衡，三力的合力為零，則F1、F2的合力F3′與F3等大反向，F(xiàn)1、F2、F3′構(gòu)成矢量三角形，即F3′為F1、F2的合力，也可以將F1、F2、F3直接構(gòu)成封閉三角形。二、動態(tài)平衡問題1.一個力恒定，另一個力始終與恒定的力垂直，三力可構(gòu)成直角三角形，可作不同狀態(tài)下的直角三角形，比較力的大小變化，利用三角函數(shù)關(guān)系確定三力的定量關(guān)系?；臼噶繄D，如圖所示2.一力恒定，另外兩力方向一直變化，但兩力的夾角不變，作出不同狀態(tài)的矢量三角形，利用兩力夾角不變，結(jié)合正弦定理列式求解，也可以作出動態(tài)圓，恒力為圓的一條弦，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。基本矢量圖，如圖所示3.一力恒定（如重力），其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向等平行，即三力構(gòu)成的矢量三角形與繩長、半徑、高度等實際幾何三角形相似，則對應(yīng)邊相比相等?；臼噶繄D，如圖所示基本關(guān)系式：==典例精析變式鞏固【例題】。1．一盞電燈重力為G，懸于天花板上A點，在電線O處系一細(xì)線OB，使電線OA偏離豎直方向的夾角為β=30°，如圖所示?，F(xiàn)保持β角不變，緩慢調(diào)整OB方向至虛線位置，則下列說法正確的是（）A．OA中的張力先減小后增大B．OB中的張力先增大后減小C．OA中的張力不斷增大D．OB中的張力不斷減小【答案】C【詳解】對O點受力分析，重力為恒力，OA繩的拉力方向不變，OB繩的拉力大小和方向均變化在轉(zhuǎn)動，則構(gòu)成三力平衡的一類動態(tài)平衡，由圖解法作圖如圖所示當(dāng)時，最小，整個轉(zhuǎn)動過程，先減小后增大，與重力的合力不斷增大，即OA繩的張力不斷增大。故選C?！咀兪筋}1】2．如圖所示，在粗糙水平地面上放著一個截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，已知A的圓半徑為球B的半徑的3倍，球B所受的重力為G，整個裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)。設(shè)墻壁對B的支持力為F1，A對B的支持力為F2，若把A向右移動少許后，它們?nèi)蕴幱陟o止?fàn)顟B(tài)，則F1、F2的變化情況分別是（）A．F1減小 B．F1增大 C．F2增大 D．F2減小【答案】AD【詳解】法一：解析法以球B為研究對象，受力分析如圖所示由平衡條件可得F1=GtanθF2=當(dāng)A向右移動少許后，θ減小，則F1減小，F(xiàn)2減小，AD正確。故選AD。法二：圖解法先根據(jù)平衡條件和平行四邊形定則畫出如圖所示的矢量三角形當(dāng)A向右移動少許后，θ減小，從圖中可直觀地看出，F(xiàn)1、F2都減小，AD正確。故選AD?！咀兪筋}2】3．如圖所示，在傾角為α的斜面上，放一質(zhì)量為m的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦，當(dāng)擋板繞O點逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中（）A．斜面對球的支持力逐漸增大 B．斜面對球的支持力逐漸減小C．擋板對小球的彈力先增大后減小 D．擋板對小球的彈力先減小后增大【答案】BD【詳解】球受重力、斜面支持力和擋板支持力，將與合成為，如圖小球一直處于平衡狀態(tài)，三個力中的任意兩個力的合力與第三個力等大、反向、共線，故與合成的合力一定與重力等大、反向、共線。從圖中可以看出，當(dāng)擋板繞O點逆時針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中，越來越小，先變小，后變大。故選BD?！纠}2】4．如圖所示，質(zhì)量分布均勻的細(xì)棒中心為O點，O1為光滑鉸鏈，O2為光滑定滑輪，O2在O1正上方，一根輕繩一端系于O點，另一端跨過定滑輪O2，由水平外力F牽引，用FN表示鉸鏈對細(xì)棒的作用，現(xiàn)在外力F作用下，細(xì)棒從圖示位置緩慢轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中，下列說法正確的是（）A．F逐漸變小，F(xiàn)N大小不變 B．F逐漸變小，F(xiàn)N大小變大C．F先變小后變大，F(xiàn)N逐漸變小 D．F先變小后變大，F(xiàn)N逐漸變大【答案】A【詳解】畫出細(xì)棒的受力分析，如下圖所示。根據(jù)三角形定則及相似三角形可知因OO1和O1O2不變，則FN大小不變；隨著OO2的減小，F(xiàn)逐漸減小。故選A?！咀兪筋}】5．如圖所示為一簡易起重裝置，（不計一切阻力）AC是上端帶有滑輪的固定支架，BC為質(zhì)量不計的輕桿，桿的一端C用鉸鏈固定在支架上，另一端B懸掛一個質(zhì)量為m的重物，并用鋼絲繩跨過滑輪A連接在卷揚機上。開始時，桿BC與AC的夾角∠BCA>90°，現(xiàn)使∠BCA緩緩變小，直到∠BCA=30°。在此過程中，桿BC所產(chǎn)生的彈力（）A．大小不變 B．逐漸增大 C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】A【詳解】對結(jié)點B受力分析，由平衡條件可畫出受力示意圖，如圖所示由相似三角形可得可得桿對B點的彈力大小為在變小的過程中，由于AC、BC長度不變，故N大小不變。故選A?！纠}3】6．如圖，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N．初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α（）．現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變．在OM由豎直被拉到水平的過程中()A．MN上的張力逐漸增大B．MN上的張力先增大后減小C．OM上的張力逐漸增大D．OM上的張力先增大后減小【答案】AD【詳解】以重物為研究對象，受重力mg，OM繩上拉力F2，MN上拉力F1，由題意知，三個力合力始終為零，矢量三角形如圖所示，在F2轉(zhuǎn)至水平的過程中，MN上的張力F1逐漸增大，OM上的張力F2先增大后減小，所以A、D正確；B、C錯誤．【例題4】7．《大國工匠》節(jié)目中講述了王進(jìn)利用“秋千法”在1000kV的高壓線上帶電作業(yè)的過程。如圖所示，絕緣輕繩OD一端固定在高壓線桿塔上的O點，另一端固定在兜籃D上。另一絕緣輕繩跨過固定在桿塔上C點的定滑輪，一端連接兜籃，另一端由工人控制。身穿屏蔽服的王進(jìn)坐在兜籃里，緩慢地從C點運動到處于O點正下方E點的電纜處。繩OD一直處于伸直狀態(tài)，兜籃、王進(jìn)及攜帶的設(shè)備總質(zhì)量為m，可看作質(zhì)點，不計一切阻力，重力加速度大小為g。關(guān)于王進(jìn)從C點緩慢運動到E點的過程中，下列說法正確的是（）

A．繩OD的拉力一直變小B．工人對繩的拉力一直變大C．OD、CD兩繩拉力的合力小于mgD．當(dāng)繩CD與豎直方向的夾角為30°時，工人對繩的拉力為【答案】D【詳解】AB．對兜籃、王進(jìn)及攜帶的設(shè)備整體受力分析，如圖所示

繩OD的拉力為，與豎直方向的夾角為；繩CD的拉力為，與豎直方向的夾角為，則由幾何關(guān)系得由正弦定理可得解得α增大，θ減小，則增大，減小，故AB錯誤；C．兩繩拉力的合力大小等于mg，故C錯誤；D．當(dāng)時根據(jù)平衡條件有可得故D正確。故選D?！咀兪筋}】8．質(zhì)量為的凹槽靜止在水平地面上，內(nèi)壁為半圓柱面，截面如圖所示，為半圓的最低點，為半圓水平直徑的端點。凹槽恰好與豎直墻面接觸，內(nèi)有一質(zhì)量為的小滑塊。用推力推動小滑塊由A點向點緩慢移動，力的方向始終沿圓弧的切線方向，在此過程中所有摩擦均可忽略，下列說法正確的是（）A．推力先增大后減小B．凹槽對滑塊的支持力先減小后增大C．墻面對凹槽的壓力先增大后減小D．水平地面對凹槽的支持力先減小后增大【答案】C【詳解】AB．對滑塊受力分析，由平衡條件有滑塊從A緩慢移動B點時，越來越大，則推力F越來越大，支持力N越來越小，所以AB錯誤；C．對凹槽與滑塊整體分析，有墻面對凹槽的壓力為則越來越大時，墻面對凹槽的壓力先增大后減小，所以C正確；D．水平地面對凹槽的支持力為則越來越大時，水平地面對凹槽的支持力越來越小，所以D錯誤；故選C。例59．如圖所示，在豎直放置的穹形支架上，一根長度不變且不可伸長的輕繩通過輕質(zhì)光滑滑輪懸掛一重物G?，F(xiàn)將輕繩的一端固定于支架上的A點，另一端從B點沿支架緩慢地向C點靠近（C點與A點等高）。則在此過程中繩中拉力大小（）A．先變大后不變 B．先變大后變小C．先變小后不變 D．先變小后變大【答案】A【詳解】對滑輪受力分析如圖甲所示，由于跨過滑輪的繩子拉力一定相等，即F1＝F2，由幾何關(guān)系易知繩子拉力方向與豎直方向夾角相等，設(shè)為θ，可知如圖乙所示，設(shè)繩長為L，由幾何關(guān)系，即其中d為兩端點間的水平距離，由B點向C點移動過程中，d先變大后不變，因此θ先變大后不變，由上式可知繩中拉力先變大后不變，A正確，BCD錯誤。故選A?？键c二平衡中的臨界、極值問題1.臨界問題當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等。臨界問題常見的種類：（1）由靜止到運動，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。（2）繩子恰好繃緊，拉力F=0.（3）剛好離開接觸面，支持力FN=0.2.極值問題平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。3.解題方法（1）極限法：首先要正確地進(jìn)行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態(tài)來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小。（2）數(shù)學(xué)分析法：通過對問題的分析，根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系（或畫出函數(shù)圖像），用數(shù)學(xué)方法求極值（如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值）。（3）物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進(jìn)行動態(tài)分析，確定最大值與最小值。典例精析變式鞏固【例題1】10．如圖所示，兩質(zhì)量均為的物體甲、乙靜置于水平地面上，兩物體與地面間的動摩擦因數(shù)均為，兩物體通過一根不可伸長的細(xì)繩繞過光滑的動滑輪連接，滑輪質(zhì)量，現(xiàn)用一豎直向上的力拉滑輪，當(dāng)滑輪拉起至細(xì)繩伸直，甲、乙兩物體剛要開始滑動時，連接乙的細(xì)繩與水平方向的夾角為，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度取，下列說法正確的是（）A．力的大小為B．力的大小為C．輕繩對中物體的拉力大小為D．輕繩對甲物體的拉力大小為【答案】B【詳解】對甲乙兩物體分別受力分析，由平衡可知解得繩子的拉力T=50N則對滑輪受力分析可知故選B?！咀兪筋}1】11．如圖所示，一輕質(zhì)光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質(zhì)量分別為m和2m的物塊A、B，通過不可伸長的輕繩跨過滑輪連接，A、B間的接觸面和輕繩均與木板平行。A與B間、B與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當(dāng)木板與水平面的夾角為45°時，物塊A、B剛好要滑動，則μ的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)木板與水平面的夾角為時，兩物塊剛好滑動，對A物塊受力分析如圖沿斜面方向，A、B之間的滑動摩擦力根據(jù)平衡條件可知對B物塊受力分析如圖沿斜面方向，B與斜面之間的滑動摩擦力根據(jù)平衡條件可知兩式相加，可得解得故選C。【變式題2】。12．筷子是中國人常用的飲食工具，也是中華飲食文化的標(biāo)志之一，筷子在先秦時稱為“梜”，漢代時稱“箸”，明代開始稱“筷”，如圖所示，用筷子夾質(zhì)量為m的小球，筷子均在豎直平面內(nèi)，且筷子和豎直方向的夾角均為θ，已知小球與筷子之間的動摩擦因數(shù)為μ（μ＜tanθ），最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。為使小球靜止，求每根筷子對小球的壓力FN的取值范圍。

【答案】【詳解】筷子對小球的壓力最小時，小球恰好不下滑，小球所受最大靜摩擦力沿筷子向上，如圖甲所示

則2FNsinθ＋2Ffcosθ＝mgFf＝μFN聯(lián)立解得筷子對小球的壓力最大時，小球恰好不上滑，小球所受最大靜摩擦力沿筷子向下，如圖乙所示

有2FN′sinθ＝mg＋2Ff′cosθFf′＝μFN′聯(lián)立解得綜上可得，筷子對小球的壓力的取值范圍為【例題2】13．如圖，表面粗糙的楔形物塊A靜置在水平地面上，斜面上有小物塊B，用平行于斜面的力F拉B，使之沿斜面勻速上滑?，F(xiàn)逆時針緩慢旋轉(zhuǎn)該力至圖中虛線位置，并保證在旋轉(zhuǎn)該力過程中物塊B一直處于勻速上滑狀態(tài)，且在B運動的過程中，楔形物塊A始終保持靜止。則在力F旋轉(zhuǎn)的過程中，下列關(guān)于各力變化的說法正確的是（）A．F可能一直減小 B．物塊B受到的摩擦力可能不變C．物塊的對斜面的作用力一定減小 D．地面受到的摩擦力大小可能不變【答案】AC【詳解】AB．拉力F平行斜面向上時，先對物塊B受力分析，根據(jù)平衡條件，平行斜面方向F＝Ff＋mgsinθ垂直斜面方向FN＝mgcosθ其中Ff＝μFN解得F＝mg（sinθ＋μcosθ），F(xiàn)f＝μmgcosθ拉力改變方向后，設(shè)其與斜面夾角為α，根據(jù)平衡條件，平行斜面方向F′cosα＝Ff′＋mgsinθ垂直斜面方向FN′＋F′sinα＝mgcosθ其中Ff′＝μFN′解得F′＝Ff′＝μ（mgcosθ－F′sinα）比較兩式得到滑動摩擦力減小，拉力F可能變大，也可能減小，故A正確，B錯誤；C．對A受力分析，受重力、支持力、B對A的壓力、B對A的滑動摩擦力、地面對A的靜摩擦力，由牛頓第三定律知Ff″＝Ff，F(xiàn)N″＝FN根據(jù)平衡條件，水平方向有Ff靜＝FN″sinθ＋Ff″cosθ結(jié)合前面A、B選項分析可知，當(dāng)拉力改變方向后，F(xiàn)N″和Ff″都減小，故Ff″和FN″的合力一定減小。因B對A的力就是Ff″和FN″的合力，即物塊對斜面的作用力一定減小，C正確。D．對A進(jìn)行分析，根據(jù)平衡條件可知，地面對A的摩擦力大小等于B對A作用力FBA在水平方向的分力大小，因為FBA方向不變且變小，所以地面對A的摩擦力一定變小，則地面受到的摩擦力一定變小，故D錯誤。故選AC?！咀兪筋}1】14．如圖所示，一個重為5N的大砝碼用細(xì)線懸掛在O點，在力F作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)不斷調(diào)整力F的方向，但砝碼始終靜止在如圖所示的位置處，則下列說法正確的是（）A．調(diào)整力F的方向的過程中，力F最小值為2.5NB．力F在豎直方向時，力F最小C．力F在豎直方向時，另一側(cè)細(xì)線上的張力最小D．當(dāng)力F處于水平方向和斜向右上與水平方向夾角60°時，力F大小相等【答案】ACD【詳解】AB．對砝碼受力分析如下圖所示根據(jù)平行四邊形定則，可知當(dāng)F的方向與細(xì)線垂直時，力F最小，最小值為故A正確，B錯誤；C．當(dāng)力F在豎直方向時，另一側(cè)細(xì)線上的張力最小，故C正確；D．當(dāng)力F處于水平方向時，力F與細(xì)線拉力T的合力豎直向上大小等于mg由幾何關(guān)系得當(dāng)力F處于斜向右上與水平夾角60°時，此時F、細(xì)線拉力T與豎直方向夾角相等，則兩力大小相等合力豎直向上大小等于mg，由幾何關(guān)系得故D正確。故選ACD。【變式題2】15．三角形具有穩(wěn)定性，生活中隨處可見利用三角形支架固定的物體。浴室里洗手盆下的支架、空調(diào)外掛機的支架、手機支架……等等如圖甲所示?，F(xiàn)有一個懸掛物體的支架，如圖所示乙所示，傾斜支撐桿端用可自由轉(zhuǎn)動的鉚釘固定在墻上，拉桿左端可上下移動并且可伸縮以便調(diào)節(jié)拉桿的長度，輕繩一端固定在點，另一端懸掛重物。已知初始時桿水平，桿與豎直方向成60°角，懸掛物質(zhì)量為，另一端懸掛重物。重力加速度為。求：(1)初始狀態(tài)下，、桿的作用力分別為多少；(2)保持點不動，調(diào)節(jié)拉桿的長度同時左端向上移動到某點后固定，可使拉桿上的作用力最小，此時與豎直墻面的夾角為多少？此時的作用力分別為多少？【答案】(1)；；(2)30°；；【詳解】(1)對點受力分析建立坐標(biāo)系可得：

①

②聯(lián)立可得：

③

④(2)受力分析豎直拉力大小方向不變，方向不變，當(dāng)方向與方向垂直時，上的拉力最小?？傻么藭r與豎直墻面的夾角為30°⑤受力分析建立坐標(biāo)系可得：

⑥

⑦聯(lián)立可得

⑧

⑨（2019·全國）16．如圖，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪．一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N．另一端與斜面上的物塊M相連，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)用水平向左的拉力緩慢拉動N，直至懸掛N的細(xì)繩與豎直方向成45°．已知M始終保持靜止，則在此過程中（）A．水平拉力的大小可能保持不變B．M所受細(xì)繩的拉力大小一定一直增加C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D．M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加【答案】BD【詳解】如圖所示，以物塊N為研究對象，它在水平向左拉力F作用下，緩慢向左移動直至細(xì)繩與豎直方向夾角為45°的過程中，水平拉力F逐漸增大，繩子拉力T逐漸增大；對M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，則隨著繩子拉力T的增加，則摩擦力f也逐漸增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，則隨著繩子拉力T的增加，摩擦力f可能先減小后增加．故本題選BD．（2017·天津）17．如圖所示，輕質(zhì)不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點，懸掛衣服的衣架鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài)．如果只改變一個條件，當(dāng)衣架靜止時，下列說法正確的是

(

)A．繩的右端上移到b′，繩子拉力變小`B．繩的兩端高度差越小，繩子拉力越大C．將桿N向右移一些，繩子拉力變大D．若換掛質(zhì)量更大的衣服，則衣服架懸掛點右移【答案】C【詳解】AB．因為衣服鉤時光滑的，所以繩子兩端的拉力大小相同，設(shè)兩桿間距為d，繩子長為L，左右兩端繩子長度分別為L1、L2，繩子拉力為T，兩部分與豎直夾角分別為、，根據(jù)題意有因為衣架鉤是光滑的，繩子拉力相等，所以即所以繩的右端上移或繩的兩端高度差改變，d與L均為定值，所以為定值，為定值，繩子拉力不變，故AB錯誤；C．桿N向右移一些，d變大變大，變小，拉力變大，故C正確；D．掛質(zhì)量更大的衣服，d與L均不變，繩中拉力變大，位置不變，故D錯誤。故選C。（2022·湖南）18．2022年北京冬奧會跳臺滑雪空中技巧比賽場地邊，有一根系有飄帶的風(fēng)力指示桿，教練員根據(jù)飄帶的形態(tài)提示運動員現(xiàn)場風(fēng)力的情況。若飄帶可視為粗細(xì)一致的勻質(zhì)長繩，其所處范圍內(nèi)風(fēng)速水平向右、大小恒定且不隨高度改變。當(dāng)飄帶穩(wěn)定時，飄帶實際形態(tài)最接近的是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由于風(fēng)速水平向右、大小恒定且不隨高度改變，可認(rèn)為單位長度飄帶受到的風(fēng)力相同，假設(shè)飄帶總長為，質(zhì)量為，由飄帶自由端向上選取任意一段，該部分飄帶的重力和所受風(fēng)力分別為該部分飄帶穩(wěn)定時受力平衡，受力分析如圖所示重力與風(fēng)力的合力與剩余部分間的張力是平衡力，設(shè)