第四屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽

初賽試題

復(fù)賽試題

決賽第一試

決賽第二試

團(tuán)體決賽口試

初賽

(1)請(qǐng)將下面算式結(jié)果寫成帶分?jǐn)?shù)：

0.5X236X59

119

Art"460

［答案］58—

［分析］這是每位小學(xué)生都會(huì)算的題目，但初賽要求在30秒內(nèi)計(jì)算出正確的結(jié)果，

就需要在平時(shí)鍛煉快算的技巧。注意0.5乘236之積為118,僅比分母小1。抓住這個(gè)

特點(diǎn)，算起來便很快了。

118X59(119-1)X5960

［解］原式==58H9

119二H9

［注］華羅庚爺爺在四十年代給他的孩子出了一道題：“全家九口人，每人每日食半

兩油，問全家一個(gè)月30天要食幾斤油？”當(dāng)時(shí)一斤等于16兩?？焖傩乃愕乃悸肥牵好?/p>

人一月食15兩油，即一斤少一兩。全家九口人，一月食9斤少9兩，即8斤7兩。列成

算式是

0.5X30X9

16

本題便是根據(jù)華爺爺?shù)膯栴}改編而成的。

（2）一塊木板上有13枚釘子（右圖）。用橡皮筋套住其中的幾枚釘子，可以構(gòu)成

三角形，正方形，梯形，等等（下圖）。請(qǐng)回答：可以構(gòu)成多少個(gè)正方形？

［答案］共11個(gè)。

［分析］可以構(gòu)成的正方形有好幾種，大小和位置不一樣。要想無一遺漏地?cái)?shù)出全部

正方形，最好用分類法。

［解］依正方形的面積分類，設(shè)最小的正方形面積為1。

面積為1的正方形,有5個(gè)（圖a）；

面積為2的正方形,有4個(gè)（圖b）；

面積為4的正方形,有1個(gè)（圖c）；

還有1個(gè)面積比4大的正方形（圖d）。

［討論］本題也可以按其他特征來分類。例如按正方形各邊的方向的特征，如果各邊

是水平和豎直方向的，有6個(gè)（圖a和圖c）；各邊都是傾斜的有5個(gè)（圖b和圖d）。

用分類法的關(guān)鍵是抓住事物的特征，給列舉的類排序。既要窮盡所有的可能性，以

避免遺漏，又要注意每二類之間是否有共同的部分，如果有，則需要加以排除。

（3）這里有一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐（下圖），它們的高和底面直徑都標(biāo)在圖上，單位

是厘米。請(qǐng)回答：圓錐體積與面積的比是多少？

H——8—HH-4T

［答嗚

［分析］這是一道普通的體積計(jì)算題。相信同學(xué)們都能記住圓柱和圓錐的

體積計(jì)算公式：圓柱面積=兀/h,圓錐體積=:兀Jh,現(xiàn)在是求二者之

3比，”可以消

去，再把各自的底面半徑和高代入公式便行了。

圓錐體積

2

［解」圓柱體積一4X8-24

⑷這里有5個(gè)分?jǐn)?shù)：左黑，景如果按大小順序排注…一H

38231719歹ij,排在中間的

是哪個(gè)數(shù)？

［答案瑤

［分析］要比較分?jǐn)?shù)大小，通常的做法是先通分，再比較分子的大小，這道題目的5

個(gè)分母通分，公分母是個(gè)很大的數(shù)，算起來便復(fù)雜了。我們可以換個(gè)方式：將5個(gè)分?jǐn)?shù)

的分子換成相同的數(shù)，再比較分母的大小。也就是說，先找出分子的最小公倍數(shù)，再將

這些分?jǐn)?shù)進(jìn)行等值變換。

［解］分子的最小公倍數(shù)是60o給出的5個(gè)分?jǐn)?shù)依次等于：

6060606060

90"96,92*102*95

比較分母的大小，居中的分?jǐn)?shù)是祟，即言。

yjiy

［注］把這道題放在初賽中，目的是測(cè)驗(yàn)同學(xué)們快算技巧和靈活性。如果按通常先找

分母最小公倍數(shù)的做法，就不可能在60秒鐘內(nèi)解答完。

（5）現(xiàn)在流行的變速自行車，在主動(dòng)軸和后軸分別安裝了幾個(gè)齒數(shù)不同的齒輪。用

鏈條連接不同搭配的齒輪，通過不同的傳動(dòng)比獲得若干檔不同的車速。

“希望牌”變速自行車主動(dòng)軸上有三個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是48,36,24；后軸上有四

個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是36,24,16,12。問：“這種變速車一共有幾檔不同的車速？

［答案］8檔。

［分析］傳動(dòng)比=主軸齒輪齒數(shù)：后軸齒輪齒數(shù)。例如主軸齒輪48齒，后軸齒輪16齒,

傳動(dòng)比=48：16=3,也就是說如果主軸轉(zhuǎn)一圈，輪子轉(zhuǎn)3圈。這道題目實(shí)際上是要求算出

所有的傳動(dòng)比，再看看有幾個(gè)不同的。

［解法］算出全部傳動(dòng)比，并列成表:

X36241612

484234

3

361393

24

242132

32

3

這里有4對(duì)傳動(dòng)比是相同的：1,楙，3,4。

將重復(fù)的傳動(dòng)比去掉，剩下8個(gè)不同的

比，所以有8檔不同的車速。

［討論］現(xiàn)實(shí)生活中處處都有美妙的數(shù)學(xué)問題，本題只是一個(gè)例子。出這道題的用意

就是鼓勵(lì)同學(xué)們留心注意周圍的事物，并用課堂中學(xué)到的知識(shí)，去解決實(shí)際問題。

對(duì)于愛動(dòng)腦筋，喜歡尋根問底的同學(xué)，大概不會(huì)滿足于懂得解答本題。他們也許會(huì)

去找一輛真正變速車，實(shí)地?cái)?shù)一數(shù)主軸和后軸齒輪的齒數(shù)。他們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這里邊還有許

多更有趣的數(shù)學(xué)問題哩！

有一輛12速的山地車（實(shí)物），它的主軸有3個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是48,38,28；后

軸有6個(gè)齒輪，齒數(shù)分別是28,24,20,18,16,14。如果按剛才的解法，列出下面的

傳動(dòng)比：

X282420181614

12122424

48T2T33T

191919191919

38

141210987

77147

2812

65V4

其中重復(fù)的傳動(dòng)比只有1個(gè)（2）,去掉它，這輛車應(yīng)該有17檔不同的車速，為什

么叫12速山地車?

為了解答這個(gè)疑問，我們還可以做一些數(shù)學(xué)上的分析。先將算出的傳動(dòng)比都化成小

數(shù)，并保留小數(shù)后二位（四舍五入）：

X282420181614

481.7122.42.6733.43

381.361.581.92.112.382.71

2811.171.41.561.752

任意2個(gè)傳動(dòng)比，如果它們相差小于0.05,將被看成是近似地相同的。上表中的2.71

與2.67；2.38與2.4；1.75與L71；1.56與1.58；1.4與1.36；相差都不大于0.04,

這5對(duì)傳動(dòng)比作用差不多，可以看作近似地相同。將重復(fù)的去掉，便只剩下12檔不同的

車速了。

有些年青人到商店買自行車，總希望車速越多越好。車速越多，價(jià)格就越昂貴。有

些商店為迎合顧客的心理，將剛才分析的山地車標(biāo)以“18速山地車”。你問他們?yōu)槭裁?/p>

是18速，他們會(huì)振振有詞地說：3乘6等于18嘛！如果你懂得點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)，你大概就不

會(huì)上當(dāng)。你也不會(huì)多花好多錢，去買一輛名義上許多檔、實(shí)際上并非如此的昂貴自行車

了。

(6)右圖中的大正方形ABCD的面積是1,其它點(diǎn)都是它所在的邊的中點(diǎn)。請(qǐng)問：

陰影三角形的面積是多少？

［分析］圖中有大、中、小三個(gè)正方形，面積依次縮小;，所以小正方

形面積是大正方形的，。需要進(jìn)一步考察陰影三角形面積是小正方形的幾

分之幾？

［解法］將小正方形各頂點(diǎn)標(biāo)上字母如右圖，很容易看出三角形JFG面積

三角形IHG面積=yX正方形EFGH面積，三角形EJI面積=?X三角形

EFH面積=/X正方形EFGH面積。所以陰影三角形JGI面積=

844

13?

-5)X小正方形面積=/X小正方形面積=京X大正方形面積。

oo

(7)在右邊的算式中，被加數(shù)的數(shù)字和是和數(shù)的數(shù)字和的三倍。問：被加數(shù)至少是

多少？

□□

+3

□□

［答案］18

［分析］從“被加數(shù)的數(shù)字和是和數(shù)的數(shù)字和的三倍”這句話，可以推斷出兩點(diǎn)：①

被加數(shù)可以被3整除，和數(shù)也可以被3整除；②在加法運(yùn)算時(shí)，個(gè)位數(shù)相加一定有進(jìn)位,

否則和數(shù)的數(shù)字和只會(huì)增加。

［解法］因?yàn)閭€(gè)位數(shù)相加必有進(jìn)位，所以被加數(shù)的個(gè)位數(shù)只可能是7,8或9。又出為

被加數(shù)是3的倍數(shù)，它只能是下面幾種情形：

個(gè)位數(shù)是7,被加數(shù)可能是27,57,87,經(jīng)驗(yàn)算，27滿足題目要求。

個(gè)位數(shù)是8,被加數(shù)可能是18,48,78,經(jīng)驗(yàn)算，18滿足要求。

個(gè)位數(shù)是9,被加數(shù)可能是39,69,99,都不滿足題目要求。

因此，滿足題目的最小的被加數(shù)是18。

(8)筐中有60個(gè)蘋果，將它們?nèi)慷既〕鰜?，分成偶?shù)堆，使得每堆的個(gè)數(shù)相同。

問：有多少種分法？

［答案］8種。

［分析］“每堆個(gè)數(shù)相同”和“偶數(shù)堆”二個(gè)條件合起來，就是要求60的偶因子的個(gè)

數(shù)，因?yàn)槊總€(gè)偶因子對(duì)應(yīng)于一種符合條件的分法。

［解法1］直接列舉出60的偶因子：2,4,6,10,12,20,30,600共8個(gè)。

［解法2］60的偶因子個(gè)數(shù)與30的因子個(gè)數(shù)相同。30=2X3X5。所以因子個(gè)數(shù)為：

(1+1)X(1+1)X(1+1)=8。

(9)小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，其中小猴得5分，套中小狗得2分。

小明共套了10次，每次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得了

61分。問：小雞至少被套中多少次？

［答案］本題的解法看來沒有太多技巧，只能用試湊法。因?yàn)閱栃‰u至少被套中多少

次，很自然會(huì)想到從多往少地試小雞被套中的次數(shù)。

［解法1］設(shè)小雞被套中次數(shù)為X。

x不能多于6,否則得分超過了61分。

x=6,套中小雞得分為6X9=54,余下4次套小猴和小狗，得分最少的情況是套中小

猴1次，小狗3次，得5+2X3=11分。總得分65,超過16分，所以不可能套中小雞

6次。

x=5,套中小雞5次得45分。余下5次套小猴和小狗應(yīng)該得16分。如果套中小猴2

次得10分，套中小狗3次得6分，符合要求。

因此，小明至多套中小雞5次。

［解法2］設(shè)套中小雞x次，套中小猴y次，那么套中小狗(10-x-y)次。得分為61

分，所以

9x+5y+2(10-x-y)=61

化簡后得7x=41-3y。

顯然y越小，x越大。將y=l代入得7x=38,無整數(shù)解。若y=2,7x=35,解得x=5。

因此，小明至多套上小雞5次。

(10)車庫中停放若干輛雙摩托車和四輪小臥車，車的輛數(shù)與車的輪子數(shù)之比是2：50

問：摩托車的輛數(shù)與小臥車的輛數(shù)之比是多少？

［答案］3：1

［解法1］車庫中，平均每2輛車有5個(gè)輪子。也就是說，平均每4輛車有10個(gè)輪子。

用簡單的試湊法可以知道，1輛小臥車和3輛摩托車恰好是10個(gè)輪子。所以摩托車的輛

數(shù)與小臥車的輛數(shù)之比為3：1。

［解法2］設(shè)有摩托車x輛，小臥車y輛。由題意

2/、

x+y=—(2x+4y)

5x+5y=4x+8y

x=3y

x：y=1：3

［討論］本題其實(shí)是換一種形式描述的“雞兔同籠”問題，而且只是求二種車數(shù)之比。

解法2是雞兔同籠問題的列方程解法，在一般情況下都適用。解法2中用試湊法，解本

題時(shí)很方便，不懂得解方程的學(xué)生容易理解。即使給出的數(shù)字變得復(fù)雜些，也不難算出

結(jié)果。例如在本題中，設(shè)車的輛數(shù)與車輪子數(shù)之比是41：99,怎么算？

平均每82輛車有198個(gè)輪子。

0輛小臥車和82輛摩托車共164個(gè)輪子。

每增加1輛小臥車(相應(yīng)減少1輛摩托車)，增加2個(gè)輪子。

(198-164)4-2=344-2=17(小臥車)。

82-17=65(摩托車)。

摩托車輛數(shù)與小臥車輛數(shù)之比是65：17。

(11)有一個(gè)時(shí)鐘，它每小時(shí)慢25秒，今年3月21日中午十二點(diǎn)它的指示正確。

請(qǐng)問：這個(gè)時(shí)鐘下一次指示正確的時(shí)間是幾月幾日幾點(diǎn)鐘？

［答案］1993年6月1日中午12點(diǎn)鐘。

［解］當(dāng)這個(gè)時(shí)鐘總共慢12個(gè)小時(shí)的時(shí)候，它又指示12點(diǎn)，恰好是準(zhǔn)確的時(shí)間。先

求出多少小時(shí)后慢12個(gè)小時(shí)。因?yàn)槊啃r(shí)慢25秒，而1小時(shí)=60X60秒。

60X60X12

=12X12X12(小時(shí))

25

再求出它相當(dāng)于多少天:

12X12X12

=72（天）。

24

最后求出3月21日后的72天是幾月幾日？注意3月份有31天，4月份有30天，5

月份有31天，到6月1日中午，恰好是72天。

（12）某人由甲地去乙地。如果他從甲地先騎摩托車行12小時(shí)，再換騎自行車9小

時(shí)，恰好到達(dá)乙地。如果他從甲地先騎自行車行21小時(shí)，再換騎摩托車行8小時(shí)，也恰

好到達(dá)乙地。問：全程騎摩托車需要幾小時(shí)到達(dá)乙地？

［答案］15小時(shí)。

［分析］在分析行程問題時(shí)，一般部是在草稿紙上先畫出粗略的示意圖。本題給出的

兩種行進(jìn)方式是

甲地上處I.…身…乙地

自21摩8

可以看出：摩托車走12-8=4小時(shí)的路程，自行車要用21-9=12小時(shí)。這就是解題

的關(guān)鏈。如果我們將第二次行進(jìn)方式次序改一下，與第一次作比較，就可以看得更清楚

T：

go自21

甲地,一評(píng)............乙地

［解］摩托車是12-8=4小時(shí)的路程，自行車要用21-9=12小時(shí)。摩托車走完全程需要

12+9X^1=15（小時(shí)）

（13）下圖的二個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)A,大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米。二只

甲蟲同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同速度分別沿二個(gè)圓爬行。問：當(dāng)小圓上

的甲蟲爬了幾圈時(shí)，二只甲出相距最遠(yuǎn)？

［答案］4圈。

［分析］圓內(nèi)的任意兩點(diǎn)，以直徑兩端點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)。如果沿小圓爬行的甲蟲爬到A

點(diǎn)，沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到B點(diǎn)，二甲蟲的距離便最遠(yuǎn)。小圓周長為nX30=30n,

大圓用長為48",一半便是24口。問題便變?yōu)榍?0n和24”的最小公倍數(shù)問題了。

30n和24”的最小公倍數(shù)，相當(dāng)于30與24的最小公倍數(shù)再乘以no

［解法］30與24的最小公倍數(shù)是120,

1204-30=4

120+24=5。

所以小圓上甲蟲爬4圈后，大圓上爬行了5個(gè)g圓周長，即是爬到了B

點(diǎn)。

（14）某種少年讀物，如果按原定價(jià)格銷售，每售一本，獲利0.24元；現(xiàn)在降價(jià)銷

售，結(jié)果售書量增加一倍，獲利增加0.5倍。問：每本書售價(jià)降價(jià)多少元？

［答案］降低降06元。

［解法1］按題意，降價(jià)銷售后平均每售2本書獲利0.24X（1+1）=0.36一、匕

2（兀），每

本獲利0.18（元），所以每本書售價(jià)降低0.24-0.18=0.06（元）。

［解法2］設(shè)降價(jià)后每本書獲利為a,由于銷量加倍，而獲利為原先日倍，

3_

所以2Xa=5X0.24,a=0.18元，故每本書售價(jià)降低0.06元。

（15）有一座四層樓房，每個(gè)窗戶的4塊玻璃分

/f/

■E田

H5

a1

GB田

KM田

別涂上紅色和白色，每個(gè)窗戶代表一個(gè)數(shù)字。每層樓有三個(gè)窗戶，由左向右表示一

個(gè)三位數(shù)。四個(gè)樓層表示的三位數(shù)有：791,275,362,612。問：第二層樓表示哪個(gè)三

位數(shù)？

［答案］612。

［分析］一個(gè)窗戶相當(dāng)于代表一個(gè)數(shù)字的符號(hào)，從給出的條件設(shè)法推斷出每個(gè)符號(hào)代

表什么數(shù)字，便可以回答本題了。

［解］給出的4個(gè)數(shù)中362和612個(gè)位數(shù)相同，第二和第四層右邊窗戶符號(hào)也相同，

可以肯定這兩層分別代表362和612。這二個(gè)數(shù)中又有數(shù)字6是一樣的，對(duì)照第二層和第

四層的窗戶，進(jìn)一步確定第二層代表612（同樣，很容易確定每層所代表的數(shù)字）。

復(fù)賽

（1）化簡

3.875X1+38gX0.09-0.155+0.4

54

1852911

2-+[(4.32-168-1-^X—-y]*1—+1—

_.31319311

「解1上式的分子=一+—X-----X-

歷山人」刀丁40402402

3191

=￥(1+2-2)

=31

=T

3八c131084233523535

上的合■&=—I-r(----------)x-----1x—十—

八刀叫6"252525；117J4424

13,33sz3535

—十|—X--+--

6L254424

93

24

31

~8

所以，原式等于1。

［注］本題與第三屆“華杯賽”復(fù)賽第一道參考試題性質(zhì)近似。

解這類題時(shí)，在乘、除運(yùn)算中，小數(shù)宜寫成分?jǐn)?shù)、代分?jǐn)?shù)宜化成假分?jǐn)?shù)并將運(yùn)算結(jié)

果及時(shí)約分；在加、減運(yùn)算中，當(dāng)小數(shù)、分?jǐn)?shù)都出現(xiàn)時(shí)，通常宜于都化為分?jǐn)?shù)，因?yàn)椋?/p>

分?jǐn)?shù)化為小數(shù)時(shí)，有可能出現(xiàn)無限循環(huán)小數(shù)；當(dāng)然，在能都化成有限小數(shù)時(shí)，也可以都

化為小數(shù)。

(2)電視臺(tái)要播放一部30集電視連續(xù)劇。如果要求每天安排播出的集數(shù)互不相等,

該電視連續(xù)劇最多可以播幾天？

［分析］由于希望播出的天數(shù)盡可能地多，所以，在每天播出的集數(shù)互不相等的條件

下，每天播放的集數(shù)應(yīng)盡可能地少。

我們知道,1+2+3+4+5+6+7=28。

所以，如果各天播出的集數(shù)分別為1,2,3,4,5,6,7時(shí)，這七天共可插出28集,

還剩2集未播出。由于已有過一天播出2集的情形，因此，這余下的2集不能再單獨(dú)于

一天播出，而只好把它們分到以前的日子，通過改動(dòng)某一天或某二天播出的集數(shù)，來解

決這個(gè)問題。例如，各天播出的集數(shù)安排為1,2,3,4,5,7,8或1,2,3,4,5,6,

9都可以。

［答］最多可以播7天。

［注］本題實(shí)際上是問，把正整數(shù)30分拆成互不相等正整數(shù)之和時(shí)，最多能寫成幾項(xiàng)

之和？也可以問，把一個(gè)正整數(shù)拆成若干個(gè)正整數(shù)之和時(shí)，有多少種分拆的辦法？例如:

5=1+1+1+1+1=1+1+1+2=1+2+2=1+1+3=2+3=1+4共6種分拆法(不計(jì)分成的

整數(shù)相加的順序)。

(3)一個(gè)正方形的紙盒中，恰好能放入一個(gè)體積為628立方厘米的圓柱體，紙盒的

容積有多大？(圓周率=3.14)。

［分析］由于是正方形紙盒，所以它的長、寬、高相等。又因?yàn)閳A柱體“恰好”能放

入，所以圓柱體的高等于紙盒的高，而后者又與圓柱體底面的直徑相等。從而，圓柱體

的體積V既等于6.28立方厘米，又等于3.14X（底面半徑），又2倍的底面半徑=6.28X

（底面半徑）3立方厘米由此可見，圓柱的底面半徑等于1（厘米），從而底面直徑等于

2厘米，由此即知紙盒的容積是2X2X2=8立方厘米。

［答］紙盒的容積是8立方厘米。

（4）有一筐蘋果，把它們?nèi)确趾筮€剩2個(gè)蘋果，取出其中兩份，將它們?nèi)确趾?/p>

還剩2個(gè)；然后再取出其中兩份，又將這兩份三等分后還剩2個(gè)，問：這筐蘋果至少有

幾個(gè)？

［分析］我們面對(duì)著最后剩下的2個(gè)蘋果，它們是把某兩份蘋果三等分后剩下的。換

句話說，把所剩的2個(gè)蘋果與三等分的三份蘋果放在一起，應(yīng)是上一輪分割中的兩份。

所以這個(gè)總數(shù)必須能被2整除。題中又問這筐蘋果“至少”有幾個(gè)，從而上述總數(shù)又應(yīng)

盡可能地少。三份蘋果中，每份最少有1個(gè)蘋果，于是三份便是3個(gè)。2+3=5,但5不

被2整除，所以每份不應(yīng)只有一個(gè)蘋果。退而求其次：設(shè)三份蘋果中每份是2個(gè)，從而

三份共6個(gè)，2+6=8,于是可設(shè)上一輪中共有2+3X4=14個(gè)蘋果。14個(gè)又是第一輪分

割時(shí)三等分所得的2份，從而依題義，最初的蘋果應(yīng)有2+3X7=23個(gè)。

［解］用倒推法可見，原有蘋果數(shù)是

33

2+-X(2+-X[2+3X2])

3

=2+-X(2+3X4)=23

［答］這筐蘋果至少有23個(gè)。

［注］用倒推法還可以解決比本題復(fù)雜一些的類似的問題。例如，每次所剩的蘋果數(shù)

不都是2而是互相有所不同；每次也不一定三等分，等等。大家不妨自行編題去試。

（5）計(jì)算

1+3-+5—+7—+9—+11—+13—+15—+17—

612203042567290

［解］原式

=（1+3+5+7+9+11+13+15+17）

11111111

+（——++-----F++++■）

12203042567290,

9X18111111

=丁+限5-尹（二尹勺一？

+（歹耳）+（不一演+勺一百）+（丁下+（§-不］

11

=81+2-W

=81|

［注］本題的規(guī)律性很強(qiáng)。只要能觀察出每項(xiàng)的整數(shù)部分形成等差數(shù)列,

而分?jǐn)?shù)部分——■-——,■~—"———,…，?—-—"i

刀同刀62X323123X434909X109

《，便不難用上述辦法算出。

(6)長方形ABCD周長為16米，在它的每條邊上各畫一個(gè)以該邊為邊長的正方形,

已知這四個(gè)正方形的面積和是68平方米，求長方形ABCD的面積

［解］如圖，將AD向右延長，CE向上延長，交于E點(diǎn)，那么正方形AiBGE的面

積，等于長方形ABCD周長一半的平方。即64平方厘米。

長方形ABCD與D山EiE是全等的。而正方形AiADDi與DCCE的面積之

和，等于題中已給的四個(gè)正方形面積和的一半，即1X68=34平方厘

2米。64-34=30平

積是(X30=1坪方厘米。

方厘米應(yīng)等于長方形ABCD面積的2倍。所以ABCD的面2

［注］本題的解法，可算作求面積的“割補(bǔ)法”。

(7)“華羅庚”金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，第一屆在1986年舉行，第二屆在1988年舉

行，第三屆是在1991年舉行，以后每2年舉行一屆。第一屆“華杯賽”所在年份的各位

數(shù)字和是

Ai=l+9+8+6=24o

前二屆所在年份的各位數(shù)字和是

A2=l+9+8+6+1+9+8+8=50

問：前50屆“華杯賽”所在年份的各位數(shù)字和A“尸？

［分析］這是一次“跨世紀(jì)”的計(jì)算。

按所給的規(guī)律，在20世紀(jì)內(nèi)有7次賽事，前50屆在21世紀(jì)內(nèi)于是有43次賽事。

在20世紀(jì)內(nèi)，已知片=50,其余5屆年份各位數(shù)字的和是

5X(1+9)+5X9+(1+3+5+7+9)

=50+45+25=120

從而A：=A.+120=170

在21世紀(jì)內(nèi)的前5屆年份各位數(shù)字和是2X5+25=35。接下去的每5屆遞加數(shù)字5

(因?yàn)槟攴莸氖粩?shù)字各增了1),于是前47屆年份各位數(shù)字的和等于

170+35+40+45+50+55+60+65+70

=170+4X105=590

再加上前50屆中最后三屆年份的各位數(shù)字的和：2X3+8X3+(1+3+5)=6+24

+9=39。得A.=590+39=629o

［答］Aa=629

［注］以上的分析與計(jì)算，主要用了分段處理問題的想法，例如分“世紀(jì)”作考慮，

并且分“年代”作考慮。在計(jì)算中，主要依據(jù)了整數(shù)相加有交換律，可以把相同的項(xiàng)調(diào)

集在一起計(jì)算，以便用乘法代替連加。

(8)將自然數(shù)按如下順次排列：

12671516…

3581417…

4913…

1012…

11…

在這樣的排列下，數(shù)字3排在第二行第一列，13排在第三行第三列，問：1993排在

第幾行第幾列？

［分析］我們來分析一下給出陣列中每一斜行的規(guī)律。這里第2斜行的數(shù)字是3,2；

第3斜行的數(shù)字是4,5,6；余此類推。仔細(xì)觀察后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：

奇數(shù)斜行中的數(shù)字由下向上遞增；

偶數(shù)斜行中的數(shù)字由上向下遞增。

第陳I?行中最大的數(shù)字是Sn=￡n(n+1)

如果我們找出1993位于斜行的第幾位，再換算成原陣列中的第幾行第幾列，問題便

解決了。

［解］經(jīng)試算，第62斜行中最大的數(shù)字是

62X63=1953

2

第63斜行中最大的數(shù)字是2016。所以1993位于第63斜行。第63斜行中數(shù)字是由

下向上遞增加，左邊第一位數(shù)字是1954,因此，1993位于第63斜行由上向下數(shù)第

(1993-1954+1)=40位。換算為原陣列的行和列，便是第(63-43+1)=24行,第40列。

［答］1993排在第24行,第40列。

(9)在下圖中所示的小圓圈內(nèi)，試分別填入1、2、3、4、5、6、7、8這八個(gè)數(shù)字,

使得圖中用線段連接的兩個(gè)小圓圈內(nèi)所填的數(shù)字之差(大數(shù)字減小數(shù)字)恰好是1、2、3、

4、5、6、7這七個(gè)數(shù)字。

［分析］把連接小圓圈的線段叫作邊，把小圓圈稱作這個(gè)邊的端點(diǎn)。同一個(gè)邊的兩個(gè)

端點(diǎn)，叫作相鄰的端點(diǎn)，當(dāng)小圓圈內(nèi)填入某數(shù)字k時(shí)，便用k來記它，把兩個(gè)端點(diǎn)所填

數(shù)字之差(大數(shù)字減小數(shù)字)稱為它們之間的邊的“標(biāo)號(hào)”。那么，標(biāo)號(hào)為1的邊和它

的端點(diǎn)，可能有：①-②，③-③，③-④，④-⑤，⑤-⑥，⑥-⑦，⑦-⑧；標(biāo)號(hào)為2的邊

和它的端點(diǎn)，可能有：①-③，②-④，③-⑤，④-⑥，⑤-⑦，⑥-⑧；標(biāo)號(hào)為3的邊和

它的端點(diǎn)，可能有：①-⑤，②-⑥，③-⑦，④-⑧，標(biāo)號(hào)為5的邊和它的端點(diǎn)，可能有:

①-⑥，②-⑦，③-⑧，標(biāo)號(hào)為6的邊和它的端點(diǎn)，可能有：①-⑦，②-⑧，標(biāo)號(hào)為7的

邊和它的端點(diǎn)是：①-⑧，可見，①與⑧必是相鄰的端點(diǎn)，由上可見，⑧可以是任何標(biāo)號(hào)

的邊的端點(diǎn)，所以，選擇鄰點(diǎn)最多的點(diǎn)，例如C,作⑧似乎是自然的。但，這時(shí)F不能取

作①，因?yàn)槿绻@樣，以①(即F)為一個(gè)端點(diǎn)而尚未加標(biāo)號(hào)的邊還有三條，它們地位是

對(duì)稱的，在1、2、3、4、5、6中，無論取哪三個(gè)作它們的標(biāo)號(hào)，都會(huì)得到矛盾。例如，

取作標(biāo)號(hào)的數(shù)為1、3、6,則與F相鄰的點(diǎn)除C外，就是②、④、⑦，剩下未標(biāo)號(hào)的邊,

其標(biāo)號(hào)只能取2、4,5,于是與C(即⑧)相鄰的點(diǎn)便應(yīng)是③、④、⑥。這里出現(xiàn)了④的

重復(fù)出現(xiàn)，這是矛盾。所以，應(yīng)取A、B、D之一為①，由對(duì)稱性，不妨取A為①。還有

三個(gè)與C相鄰的點(diǎn)：B、D、F。其中，F(xiàn)的地位與B、D不同。仿上可知，在F處不能

是③。⑤、⑥、⑦。取F為④，令以F為一端點(diǎn)的未標(biāo)號(hào)的邊的標(biāo)號(hào)為1、2、3,從而

以C為一端的、余下未標(biāo)號(hào)的兩條邊的標(biāo)號(hào)便應(yīng)是5、6、這樣便可得B=③，D=②，

E=⑦，G=⑤，H=⑥。

［答］在A、B、C、D、E、F、H處，順次在小圓圈內(nèi)填入1、3、8、2、7、4、5、6

便可滿足要求。

［注］滿足題目要求的圖，叫作“優(yōu)美圖”。本題是一個(gè)至今尚未解決的猜想的一個(gè)

特殊的例子。

本題的答案不止一種。例如：

A(1)、B(6)、C(8),D(4),E(3),F(2),G(7),H(5)；又如：

A(8),B(6),C(1),D(7),E(2),F(5),G(3),H(4)等等都是。

由于c與F的地位，A、B、D的地位，E、G、H的地位分別都是對(duì)稱的，所以，當(dāng)相

鄰關(guān)系不變時(shí)，填在C、F處的，A、B、D處的以及填在E、G、H處的數(shù)字可以分別交換,

而這樣得到的結(jié)果并無實(shí)質(zhì)上的區(qū)別。請(qǐng)想一想：有多少種既滿足題目要求又實(shí)質(zhì)上不

同的填法？

(10)1'+2―3+4'+5，+6?+T+8*+9,除以3的余數(shù)是幾？為什么?

［分析］上式各加項(xiàng)中，3\6\9?除以3余數(shù)得0,所以只須看表達(dá)式1葉2葉4，+5，+

7+8除以3余幾，任何不是3的倍數(shù)的自然數(shù)，必可表為3k+l或3k+2,其中k是某

個(gè)非負(fù)整數(shù)，而(3k+l)=9k+6k+l,(3k+2)=9k：+12k+3+l?？梢?，不是3的倍

數(shù)的自然數(shù)的平方，除以3余數(shù)都是1,即都可表為3的某個(gè)倍數(shù)加1。今1，=1,2-4=3

+1,4'=(402=3M'+1,5'=(502?5=(3m'+l)(3+2)=9M.+3+6m+2=3m+2,7=

(792?7=(3M+1)(6+1)=3MS+1,8'=(8)M?+l,總上可見，原式除以3的余

數(shù)，是1+1+1+2+1+1=7除以3的余數(shù)，所以余數(shù)是1。

［答］余數(shù)是1。

(11)A、B、C、D、E、F六個(gè)選手進(jìn)行乒乓球單打的單循環(huán)比賽(每人都與

其他選手賽一場)，每天同時(shí)在三張球臺(tái)各進(jìn)行一場比賽，已知第一天B對(duì)D,第二天C

對(duì)E,第三天D對(duì)F,第四天B對(duì)C,問：第五天A與誰對(duì)陣？另外兩張球臺(tái)上是誰與誰

對(duì)陣？

［分析］我們?cè)谄矫嫔戏謩e畫上6個(gè)點(diǎn)，依次用它們代表選手A,B,C,D,E,F,將

給定的比賽對(duì)陣用二點(diǎn)的連線來表示(右圖，連線上的數(shù)字表示第幾天。

注意到每位選手每天恰賽一場，每對(duì)選手之間5天內(nèi)也恰賽一場。第二天A不可能

與F對(duì)陣，否則當(dāng)天E要對(duì)C,而他們之間的比賽已安排在第2天。

所以第一天只能是A-E和C-F,或是A-C,E-Fo這次逐天分析推理，一定可以得出

本題的答案。

［解］逐天分析可能的對(duì)陣情況，列成下表:

第幾天已給的比塞對(duì)陣當(dāng)天可能安排的對(duì)陣情況

III

1B—DA—E,C—FA—C,E—F

2C—EA—D,B—FA—D,B—F

3D—FA—C9B—E已無法安排

4B—CA—F,D—E

5A—B,C—D,E-F

［答］第五天A與B對(duì)陣，另2張球臺(tái)上的

對(duì)陣是C對(duì)D,E對(duì)F。

［注］這是道很有意思的邏輯推理題。如果在草圖上用不同顏色代表不同天的對(duì)陣安

排，便能很清楚地從圖上推出結(jié)論，不必畫表。請(qǐng)同學(xué)們自己試試看。

(12)有一批長度分別為1、2、3、4、5、6、7、8、9、10和11厘米的細(xì)木條，它

們的數(shù)量都足夠多，從中適當(dāng)選取3根本條作為三條邊，可圍成一個(gè)三角形。如果規(guī)定

底邊是11厘米長，你能圍成多少個(gè)不同的三角形？

［分析］任何一個(gè)三角形，它的三條邊中的任何兩條邊的長度之和，總比余下的一條

邊要長。換句話說，在本題中底邊是11厘米長的三角形的其余二

邊長分別是a及b時(shí)，必有11<a+b。此夕卜,為確切起見,可設(shè)a￡b,

于是(a、b)的可能的值便有

(11,11)；(10,10),(10,11)；(9,9),(9,10),

(9,11)；(8,8),(8,9),(8,10),(8,11)

(7,7),(7,8),(7,9),(7,10),(7,11)；

(6,6),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),

(6,11)；(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),

(5,11)；(4,8),(4,9),(4,10),(4,11)

(3,9),(3,10),(3,11)；(2,11)

(1,11)o可見，總數(shù)等于2義(1+2+3+4+5)+6=36。

［答］能圍成36個(gè)不同的三角形。

［討論］仿上面的分析，如果木條的長度是從1到10厘米，并規(guī)定底邊長為10厘米,

那么同樣問題的答案將如下得出，記號(hào)仿前：(a,b)可能的值有：(10,10)；(9,

9),(9,10)；(8,8),(8,9),

(8,10)；(7,7)(7,8),(7,9),(7,10)；

(6,6),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10)；

(5,6)(5,7),(5,8),(5,9),(5,10)；

(4,7),(4,8),(4,9),(4,10)；(3,8),

(3,9),(3,10)；(2,9),(2、10)；(1,10)所以總數(shù)是2X(1+2+3

+4+5)=30o一般情況，當(dāng)最長細(xì)木條的長

度為曜米，則k為奇數(shù)時(shí)，問題的答案是2X(1+2+????+?)+?

=(等)2。當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，問題的答案是2X(1+2+…+*)等

42'4

（13）把下圖a中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。問：有無可能使得在同一條直線上

的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？請(qǐng)說明理由。

［分析］紅藍(lán)二色可以分別更換為數(shù)字1與Oo

這樣作對(duì)問題的實(shí)質(zhì)并無影響。

假定題中所設(shè)想的涂色方案能夠?qū)崿F(xiàn)，那么每條直線上代表各點(diǎn)的數(shù)字之和便應(yīng)都

是奇數(shù)。一共有五條直線，所以，把這五條直線上代表各點(diǎn)的數(shù)字之和的這五個(gè)奇數(shù)再

加起來，得到的總和數(shù)仍是一個(gè)奇數(shù)。但是，由視察可見，圖中每個(gè)點(diǎn)都恰好同時(shí)位于

兩條直線上，所以，在求上述總和數(shù)時(shí)，代表各點(diǎn)的數(shù)字都恰被加過兩次，所以這個(gè)總

和應(yīng)是一個(gè)偶數(shù)。這就導(dǎo)致一個(gè)矛盾。

［答］沒有可能。

［討論］由于每條直線上恰有4個(gè)點(diǎn)，所以，也不可能使同一條直線上的藍(lán)圈數(shù)都是

奇數(shù)?？梢姛o論設(shè)紅色為1藍(lán)色為1,結(jié)果都不變。

如果是由偶數(shù)條直線構(gòu)成的類似的圖,例如圖b,問題中要求的涂色法便有可能實(shí)現(xiàn)。

比如給A、B、C三點(diǎn)涂紅色，其余涂藍(lán)色。

（14）甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，

沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達(dá)出發(fā)點(diǎn)后立即回頭加速跑第

二圈，跑第一圈時(shí)，乙的速度是甲速度與，甲跑第二圈時(shí)速度比第一圈提高

了1乙跑第二圈時(shí)速度提高了］已知甲、乙二人第二次相遇點(diǎn)距第一田上

35次相遇點(diǎn)190

米，問：這條橢圓形跑道長多少米？

［分析］讓我們先畫一個(gè)示意圖（右圖），并設(shè)一開

始時(shí)甲的速度是a,于是乙的速度便是5a,再設(shè)跑道長是L,則甲、乙第

一次相遇點(diǎn)，按甲前進(jìn)方向距出發(fā)點(diǎn)為9L,甲跑第一圈需時(shí)為工，這時(shí)，

乙跑了工?乙再跑余下的，需時(shí)為這時(shí)，甲已

a333332a

折返，（l+3=：a的速度跑。在乙跑完第一圈時(shí)，甲己折返跑了;-

333a2a

|Lo這時(shí)，乙折返并以|a（l+；）=（曲速度跑著。從這時(shí)起，甲、乙

445

速度之比是即5：工所以在二人第二次碰頭時(shí)，甲跑了余下

的與的《而乙跑了它的2即第二次相遇時(shí)距出發(fā)點(diǎn)沿甲第一圈跑向?yàn)??

3OOO

TT2110

5?言，可見兩次相遇點(diǎn)間的距離是（《-5）L=190米，或^L=190米,

5oJo4U

第二次相遇點(diǎn)

甲跑完第一圈乙到達(dá)

出發(fā)點(diǎn)的位或，以及乙麗充一

因甲折返蹌到的位或

tfc

即L=400米。

［答］跑道長為400米。

（15）下圖la中的正方形ABCD的面積為1,M是AD邊上的中點(diǎn)。求圖中陰影部分的

面積。

（圖b）

社-------1c

（圖a）

［分析同于Z\ACM=AABM=:,所以CGM=AACM-AAGM=

ABM-AAGM=AABG

延長CM及BA,設(shè)交點(diǎn)為B'。易知△ABM冬△CDM=AACM。所以大三

角形ABB，M=，但AB,GM=ACGM（這一步用了矩形B'BCC的對(duì)

對(duì)線破中線AD平分這個(gè)事實(shí)）。AAB*G=Z\ABG,因此;=3ACGM

△CGM=},從而△CGM+ZXABG=2Z\CGM=5

［答］圖中陰影部分面積是:。

［注］這是求面積常用的“割補(bǔ)法”的一次具本運(yùn)用；也可以不用割補(bǔ)法

（見圖b）,自G傳AM的垂線，垂足為H點(diǎn)。由相似性知HM=；GH=gAH

從而:AM=1：3,因此GH:AB=1：3,所以Z\AGM=從

24

而△ABGMgAABM,^J^JZkABG=△CGM,AABG+ACGM=-△

ABM,但AAEMJ,.,.ABG+Z\CGM=!。

43

（16）四個(gè)人聚會(huì)，每人各帶了2件禮品，分贈(zèng)給其余三個(gè)人中的二人，試證明：

至少有兩對(duì)人，每對(duì)人是互贈(zèng)過禮品的。

［證明］設(shè)此四人為甲、乙、丙、丁并用畫在平面上的四個(gè)點(diǎn)分別表示他們，稱為它

們的代表點(diǎn)，當(dāng)某人（例如甲）贈(zèng)了1件禮品給另一人（例如乙）時(shí)，就由甲向乙的代

表點(diǎn)畫一條有指向的線，無非有以下兩個(gè)可能：

（-）甲、乙、丙、丁每人各收到了2件禮品。

（二）上面的情形不發(fā)生。這時(shí)只有以下一個(gè)可能，即有一個(gè)人接受了3件禮品（即

多于2件禮品；因?yàn)橐蝗酥饪偣策€有三個(gè)人，所以至多收到3件禮品）。（或許會(huì)有

人說，還有二個(gè)可能：有人只收到1件禮品及有人什么禮品也沒收到。其實(shí)，這都可歸

以“有一人接受了3件禮品”這個(gè)情形。因?yàn)椋?dāng)有一人（例如甲）只接受了1件禮品

的情形發(fā)生時(shí)，四人共帶來的8件禮品中還剩下7件在甲以外的三個(gè)人中分配，如果他

們每人至多只收到2件禮品，則收受禮品數(shù)將不超過6件，這不可能，所以至少有一人

收到2件以上（即3件）禮品，同樣，當(dāng)甲未收到禮品時(shí)，8件禮品分給乙、丙、丁三人,

也必定有人收到3件禮品）。

當(dāng)（一）發(fā)生時(shí)，例如甲收到乙、丙的禮品，由于甲發(fā)出的禮品中至少有1件給了

乙或丙，為確切計(jì)，設(shè)乙收到了甲的禮品，于是我們先有了一對(duì)人：（甲、乙），他們

互贈(zèng)了禮品，如果丙也收到甲的禮品，那么又有了第二對(duì)互贈(zèng)了禮品的人（甲、丙）；

如果收到甲禮品的另一人是?。ㄈ缬覉D）丁的2件禮品必定分贈(zèng)了乙及丙（甲已收足了

本情形中限定的2件札品）丙或乙的另一件禮品給了丁，則問題也已解決（這時(shí)另一對(duì)

互贈(zèng)了禮品的人便是（乙、?。┗颍ū?、?。┑牧硪患Y品只能給丁，因?yàn)檫@時(shí)

乙己收足了2件禮品，所以，當(dāng)本情形發(fā)生時(shí)，至少能找到兩對(duì)互贈(zèng)過1件禮品的人。

當(dāng)（二）發(fā)生時(shí)，不失一般性，設(shè)甲收到了來自乙、丙、丁的各1件禮品，但甲又

應(yīng)向他們之中的某二人（例如乙、丙）各贈(zèng)送1件禮品，于是（甲、乙），（甲、丙）

便是要找的兩對(duì)人?？偵峡芍?，證明完畢。

［注］像圖中所畫的這種示意圖，叫作“有向圖”，是一個(gè)數(shù)學(xué)分支“圖論”所研討

的內(nèi)容之一。

決賽第一試

（1）在100以內(nèi)與77互質(zhì)的所有奇數(shù)之和是多少？

［解］設(shè)A為100以內(nèi)所有奇數(shù)之和，B為100以內(nèi)與77有非1的公約數(shù)的全體奇數(shù)

之和，X為100以內(nèi)與77互質(zhì)的所有奇數(shù)之和，因?yàn)槿我蛔匀粩?shù)，要么與77互質(zhì)，要

么與77有非1的公約數(shù)，所以

X=A