河北省衡水十三中2024屆數(shù)學高一下期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若平面和直線，滿足，，則與的位置關系一定是（）A．相交 B．平行 C．異面 D．相交或異面2．已知函數(shù)圖象的一條對稱軸是，則的值為（）A．5 B． C．3 D．3．已知向量=(2，tan)，=(1，-1)，∥，則=()A．2 B．-3 C．-1 D．-34．已知，其中，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，則實數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．5．對于函數(shù)，在使成立的所有常數(shù)中，我們把的最大值稱為函數(shù)的“下確界”.若函數(shù)，的“下確界”為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．設a，b，c為的內(nèi)角所對的邊，若，且，那么外接圓的半徑為A．1 B． C．2 D．47．若且，則的最小值是（）A．6 B．12 C．24 D．168．已知分別為的三邊長，且，則=（）A． B． C． D．39．已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，按學段用分層抽樣的方法抽取該地區(qū)的學生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的初中生中近視人數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，10．若，則等于（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數(shù)列中，已知，50為第________項.12．已知為的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，向量，．若，且，則B=13．已知x、y滿足約束條件，則的最小值為________.14．過點且在坐標軸上的截距相等的直線的一般式方程是________.15．函數(shù)，的遞增區(qū)間為______.16．已知直線與軸、軸相交于兩點，點在圓上移動，則面積的最大值和最小值之差為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足若數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：是等差數(shù)列.18．某種汽車,購車費用是10萬元,每年使用的保險費和汽油費為萬元,年維修費第一年為萬元,以后逐年遞增萬元,問這種汽車使用多少年時,它的年平均費用最少?19．設銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,（Ⅰ）求B的大小;（Ⅱ）若,求的取值范圍.20．對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取名學生作為樣本，得到這名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖：分組頻數(shù)頻率2440.120.05合計1（1）求出表中，及圖中的值；（2）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率．21．已知，其中，，．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角，，所對的邊分別為，，，，，且向量與共線，求邊長和的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

當時與相交，當時與異面.【題目詳解】當時與相交，當時與異面.故答案為D【題目點撥】本題考查了直線的位置關系，屬于基礎題型.2、D【解題分析】

化簡函數(shù)f（x）＝acosx+sinx為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用圖象關于直線對稱，就是時，函數(shù)取得最值，求出a即可．【題目詳解】函數(shù)f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，其圖象關于直線對稱，所以θ，θ，所以tanθ＝a，故答案為D【題目點撥】本題考查正弦函數(shù)的對稱性，考查計算能力，邏輯思維能力，是基礎題．3、B【解題分析】

通過向量平行得到的值，再利用和差公式計算【題目詳解】向量=(2，tan)，=(1，-1)，∥故答案選B【題目點撥】本題考查了向量的平行，三角函數(shù)和差公式，意在考查學生的計算能力.4、D【解題分析】

求出函數(shù)，令，，根據(jù)不等式求解，即可得到可能的取值.【題目詳解】由題：，其中，令，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，則有解，解得：當當當結合四個選項可以分析，實數(shù)的取值可能是.故選：D【題目點撥】此題考查根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)的取值范圍，需要熟練掌握三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，求出函數(shù)零點再討論其所在區(qū)間列不等式求解.5、A【解題分析】

由下確界定義，，的最小值是，由余弦函數(shù)性質(zhì)可得．【題目詳解】由題意，的最小值是，又，由，得，，，時，，所以．故選：A．【題目點撥】本題考查新定義，由新定義明確本題中的下確界就是函數(shù)的最小值．可通過解不等式確定參數(shù)的范圍．6、A【解題分析】

由得b2+c2-a2=bc．利用余弦定理，可得A=．再利用正弦定理可得2R=，可得R.【題目詳解】∵,∴,整理得b2+c2-a2=bc，根據(jù)余弦定理cosA=，可得cosA=∵A∈（0，π），∴A=由正弦定理可得2R==,解得R=1，故選A【題目點撥】已知三邊關系，可轉(zhuǎn)化為接近余弦定理的形式，直接運用余弦定理理解三角形，注意整體代入思想.7、D【解題分析】試題分析：，當且僅當時等號成立，所以最小值為16考點：均值不等式求最值8、B【解題分析】

由已知直接利用正弦定理求解．【題目詳解】在中，由A＝45°，C＝60°，c＝3，由正弦定理得．故選B．【題目點撥】本題考查三角形的解法，考查正弦定理的應用，屬于基礎題．9、A【解題分析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論。【題目詳解】由圖1得樣本容量為，抽取的初中生人數(shù)為人，則初中生近視人數(shù)為人，故選．【題目點撥】本題主要考查分層抽樣的應用。10、B【解題分析】試題分析：，.考點：三角恒等變形、誘導公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)關系．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解題分析】

方程變?yōu)?，設，解關于的二次方程可求得?！绢}目詳解】，則，即設，則，有或取得，，所以是第4項?！绢}目點撥】發(fā)現(xiàn)，原方程可通過換元，變?yōu)殛P于的一個二次方程。對于指數(shù)結構，，等，都可以通過換元變?yōu)槎涡问窖芯俊?2、【解題分析】

根據(jù)得，再利用正弦定理得，化簡得出角的大小。再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得B.【題目詳解】根據(jù)題意,由正弦定理可得則所以答案為。【題目點撥】本題主要考查向量與三角形正余弦定理的綜合應用,屬于基礎題。13、－3【解題分析】

作出可行域，目標函數(shù)過點時，取得最小值.【題目詳解】作出可行域如圖表示：目標函數(shù)，化為，當過點時，取得最大值，則取得最小值，由，解得，即，的最小值為.故答案為:【題目點撥】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，以及線性目標函數(shù)的最值，屬于基礎題.14、或【解題分析】

討論直線過原點和直線不過原點兩種情況，分別計算得到答案.【題目詳解】當直線過原點時，設，過點，則，即；當直線不過原點時，設，過點，則，即；綜上所述：直線方程為或.故答案為：或.【題目點撥】本題考查了直線方程，漏解是容易發(fā)生的錯誤.15、[0，](開區(qū)間也行)【解題分析】

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，以及題中條件，即可求出結果.【題目詳解】由得：，又，所以函數(shù)，的遞增區(qū)間為.故答案為【題目點撥】本題主要考查正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，熟記正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，屬于?？碱}型.16、15【解題分析】

解：設作出與已知直線平行且與圓相切的直線，

切點分別為，如圖所示

則動點C在圓上移動時，若C與點重合時，

△ABC面積達到最小值；而C與點重合時，△ABC面積達到最大值

∵直線3x＋4y?12＝0與x軸、y軸相交于A（4，0）、B（0，3）兩點

可得∴△ABC面積的最大值和最小值之差為

，

其中分別為點、點到直線AB的距離

∵是圓（x?5）2＋（y?6）2＝9的兩條平行切線與圓的切點

∴點、點到直線AB的距離之差等于圓的直徑，即

因此△ABC面積的最大值和最小值之差為

故答案為：15三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(1)證明見解析【解題分析】

數(shù)列滿足，變形為，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出數(shù)列滿足：，時，，可得，化為：，可得：，相減化簡即可證明．【題目詳解】（1）數(shù)列滿足，，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為1，公比為1．，．證明：數(shù)列滿足：，時，，解得．時，，可得，化為：，可得：，相減可得：，化為：，是等差數(shù)列．【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式、指數(shù)運算性質(zhì)、數(shù)列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、這種汽車使用年時,它的年平均費用最小【解題分析】

設這種汽車使用年時,它的年平均費用為萬元，則，于是，當，即時，取得最小值，所以這種汽車使用10年時,它的年平均費用最小19、（1）（2）【解題分析】

（Ⅰ）由條件利用正弦定理求得sinB的值，可得B的值（Ⅱ）使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c關于A的三角函數(shù)，根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)得出a+c的最值．【題目詳解】解（Ⅰ）銳角又，，由正弦定理得，∴．

∴的取值范圍為【題目點撥】本題主要考查正弦定理，余弦定理的應用，基本不等式的應用，屬于基礎題．20、(1)；；；(2)60人．(3)【解題分析】

（1）根據(jù)頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關系即頻率等于頻數(shù)除以樣本容量，寫出算式，求出式子中的字母的值；（2）該校高三學生有240人，分組內(nèi)的頻率是0.25，估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人；（3）設在區(qū)間內(nèi)的人為，，，，在區(qū)間內(nèi)的人為，，寫出任選2人的所有基本事件，利用對立事件求得答案.【題目詳解】（1）由分組內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25知，，∴．∵頻數(shù)之和為40，∴，，．∵是對應分組的頻率與組距的商，∴；（2）因為該校高三學生有240人，分組內(nèi)的頻率是0.25，∴估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人．（3）這個樣本參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生共有人，設在區(qū)間內(nèi)的人為，，，，在區(qū)間內(nèi)的人為，．則任選2人共有，，，，，，，，，，，，，，15種情況，而兩人