書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟！住在富人區(qū)的她2022-2023年研究生入學(xué)《數(shù)學(xué)二》預(yù)測試題（答案解析）全文為Word可編輯，若為PDF皆為盜版，請謹(jǐn)慎購買！第壹卷一.綜合考點(diǎn)題庫(共50題)1.下列廣義積分收斂的為

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

2.已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時(shí)刻物體溫度對時(shí)間的變化率與該時(shí)刻物體和介質(zhì)的溫差成正比，現(xiàn)將一初始溫度為120℃的物體在20℃的恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后，該物體溫度降至30℃，若要物體的溫度繼續(xù)降至21℃，還需要冷卻多長時(shí)間？

正確答案：

本題解析：

設(shè)t時(shí)刻物體的溫度為x（t）（t單位：小時(shí)），比例常數(shù)為k（＞0），介質(zhì)溫度為m，則dx/dt＝k（x－m），從而x（t）＝Cekt＋m，x（0）＝120，m＝20，所以C＝100。則t時(shí)刻物體溫度方程為x（t）＝100ekt＋20。

∵x（1/2）＝30，∴k＝－（ln10）/30。∴當(dāng)x＝21時(shí)，t＝60。故還需要冷卻30min。

3.f(x)與g(x)的圖像如圖所示，設(shè)u(x)=f[g(x)],則

正確答案：

本題解析：

4.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

5.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

6.設(shè)函數(shù)y（x）是微分方程

滿足條件

的特解。

（Ⅰ）求y（x）；

（Ⅱ）設(shè)平面區(qū)域D＝{（x，y）|1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

正確答案：

本題解析：

（Ⅰ）用一階線性微分方程通解公式，可得

由

得C＝0，所以

（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）中求出的函數(shù)y（x），且D＝{（x，y）|1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，可得旋轉(zhuǎn)體體積為

7.設(shè)線性方程組問方程組何時(shí)無解，有唯一解，有無窮多解，有無窮多解時(shí)，求出其全部解。

正確答案：

本題解析：

將方程組的增廣矩陣作初等行變換，有

8.甲，乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方10（單位：m）處，圖1中實(shí)線表示甲的速度曲線v＝v1（t）（單位：m/s）。虛線表示乙的速度曲線v＝v2（t），三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10、20、3，計(jì)時(shí)開始后乙追上甲的時(shí)刻記為t0（單位：s），則（）。

A.t0＝10

B.15＜t0＜20

C.t0＝25

D.t0＞25

正確答案：C

本題解析：

從0到t0時(shí)刻，甲乙的位移分別為與。根據(jù)圖像，t0＝0時(shí)，甲在乙前方10m，由定積分的幾何意義知，乙追上甲滿足方程：

而在t0＝25時(shí)，乙比甲多跑10m，滿足題意，故t0＝25。

9.設(shè)函數(shù)y（x）具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線l：y＝y(tǒng)（x）與直線y＝x相切于原點(diǎn)，記α為曲線l在點(diǎn)（x，y）處切線的傾角，若

求y（x）的表達(dá)式。

正確答案：

本題解析：

dy/dx＝tanα，兩邊對x求導(dǎo)得

10.曲線

在（0，0）處的切線方程為______。

正確答案：y＝2x

本題解析：

暫無解析

11.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

12.

A.I1＞0

B.I2＞0

C.I3＞0

D.I4＞0

正確答案：B

本題解析：

13.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

14.設(shè)A是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若線性方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系中只有2個(gè)向量，則r（A*）＝（）。

A.0

B.1

C.2

D.3

正確答案：A

本題解析：

伴隨矩陣的秩

由于r（A）＝n－2＜n－1，所以r（A*）＝0。故選A。

15.設(shè)

（Ⅰ）求|A|；

（Ⅱ）已知線性方程組Ax＝β有無窮多解，求a，并求Ax＝β的通解。

正確答案：

本題解析：

16.

A.x

B.y

C.z

D.0

正確答案：C

本題解析：

17.設(shè)A＝（α1，α2，α3，α4）是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣。若（1，0，1，0）T是方程組Ax＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則A*x＝0的基礎(chǔ)解系可為（）。

A.α1，α3

B.α1，α2

C.α1，α2，α3

D.α2，α3，α4

正確答案：D

本題解析：

因?yàn)锳x＝0基礎(chǔ)解系含一個(gè)線性無關(guān)的解向量，所以r（A）＝3，于是r（A*）＝1，故A*x＝0基礎(chǔ)解系含3個(gè)線性無關(guān)的解向量。又A*A＝|A|E＝0且r（A）＝3，所以A的列向量組中含A*x＝0的基礎(chǔ)解系。

因?yàn)椋?，0，1，0）T是方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系，所以α1＋α3＝0，故α1，α2，α4或α2，α3，α4線性無關(guān)，顯然α2，α3，α4為A*x＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，故選D項(xiàng)。

18.設(shè)二階可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（1）＝f（－1）＝1，f（0）＝－1，且f″（x）＞0，則（）。

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：B

本題解析：

19.設(shè)曲線L的方程為y＝x2/4－lnx/2（1≤x≤e）。

（Ⅰ）求L的弧長；

（Ⅱ）設(shè)D是由曲線L，直線x＝1，x＝e及x軸所圍平面圖形，求D的形心的橫坐標(biāo)。

正確答案：

本題解析：

20.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

21.

A.5/3

B.5/6

C.7/3

D.7/6

正確答案：C

本題解析：

22.曲線y＝xsinx＋2cosx（－π/2＜x＜2π）的拐點(diǎn)是（）。

A.（0，2）

B.（π，－2）

C.（π/2，π/2）

D.（3π/2，－3π/2）

正確答案：B

本題解析：

由y＝xsinx＋2cosx計(jì)算y″得，y″＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，令y″＝0得x＝0，x＝π。在x＝0的兩側(cè)，y″不變號(hào)，即y″（0－）y″（0＋）＞0，所以（0，2）不是拐點(diǎn)；在x＝π的兩側(cè)，y″變號(hào)，即y″（π－）y″（π＋）＜0，所以（π，－2）是拐點(diǎn)。

23.已知函數(shù)f（x）滿足方程f″（x）＋f′（x）－2f（x）＝0及f″（x）＋f（x）＝2ex。

（Ⅰ）求表達(dá)式f（x）；

（Ⅱ）求曲線

的拐點(diǎn)。

正確答案：

本題解析：

24.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

25.設(shè)A，B是可逆矩陣，且A與B相似，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）。

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

26.已知矩陣

，若下三角可逆矩陣P和上三角可逆矩陣Q可使得PAQ為對角矩陣，則P，Q可以分別?。ǎ?/p>

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

經(jīng)驗(yàn)證，

27.設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)（x）由參數(shù)方程

確定，其中x＝x（t）是初值問題

的解，求d2y/dx2。

正確答案：

本題解析：

由dx/dt－2te－x＝0，得exdx＝2tdt，積分得ex＝t2＋C。

由條件x|t＝0＝0，得C＝1，即ex＝t2＋1，故x＝ln（1＋t2）。

方程組

兩端同時(shí)對t求導(dǎo)得

所以dy/dx＝（dy/dt）/（dx/dt）＝（1＋t2）ln（1＋t2）。

從而

28.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

29.設(shè)cosx－1＝xsinα（x），其中|α（x）|＜π/2，則當(dāng)x→0時(shí)，α（x）是（）。

A.比x高階的無窮小

B.比x低階的無窮小

C.與x同階但不等價(jià)的無窮小

D.與x等價(jià)的無窮小

正確答案：C

本題解析：

30.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

31.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

32.設(shè)二次型的正慣性指數(shù)p=2,負(fù)慣性指數(shù)q=0,且可用可逆線性變換x=Cy將其化為二次型（1）求常數(shù)a;(2）求可逆線性變換矩陣C

正確答案：

本題解析：

33.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

34.

A.(-1,1)

B.(-1,2)

C.(-∞,1)

D.(-∞,2)

正確答案：A

本題解析：

35.當(dāng)x→0時(shí)，f（x）＝x－sinax與g（x）＝x2ln（1－bx）是等價(jià)無窮小，則（）。

A.a＝1，b＝－1/6

B.a＝1，b＝1/6

C.a＝－1，b＝－1/6

D.a＝－1，b＝1/6

正確答案：A

本題解析：

當(dāng)x→0時(shí)，有l(wèi)n（1－x）～x，sinx～x，結(jié)合等價(jià)無窮小和洛必達(dá)法則，可得

∴a3＝－6b，故排除BC兩項(xiàng)。另外，存在，蘊(yùn)含了1－acosax→0（x→0），故a＝1。排除D項(xiàng)。所以本題選A項(xiàng)。

36.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

37.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

38.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在（a,b)內(nèi)可導(dǎo)

正確答案：

本題解析：

39.設(shè)A為3階矩陣，α1，α2為A的分別屬于－1，1的特征向量，向量α3滿足Aα3＝α2＋α3。

（Ⅰ）證明α1，α2，α3線性無關(guān)；

（Ⅱ）令P＝（α1，α2，α3），求P－1AP。

正確答案：

本題解析：

證明：（Ⅰ）設(shè)存在數(shù)k1，k2，k3，使得k1α1＋k2α2＋k3α3＝0①。

由已知條件知Aα1＝－α1，Aα2＝α2。用矩陣A分別乘式①的左右兩邊，得－k1α1＋k2α2＋k3（α2＋α3）＝0②。

式①－②得2k1α1－k3α2＝0。

由于α1，α2為A的分別屬于－1，1的特征向量，所以α1，α2線性無關(guān)，即k1＝k3＝0，代入①得k2α2＝0。

因?yàn)棣?是A的特征向量，α2≠0，得k2＝0，即k1＝k2＝k3＝0，所以α1，α2，α3線性無關(guān)。

（Ⅱ）由題意有

因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，所以矩陣P可逆，得

40.曲線的斜漸近線的條數(shù)為

A.0條

B.1條

C.2條

D.3條

正確答案：C

本題解析：

41.設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[－2，2]上可導(dǎo)，且f′（x）＞f（x）＞0，則（）。

A.f（－2）/f（－1）＞1

B.f（0）/f（－1）＞e

C.f（1）/f（－1）＜e2

D.f（2）/f（－1）＜e2

正確答案：B

本題解析：

因f′（x）＞f（x）＞0，f′（x）－f（x）＞0，從而e－x[f′（x）－f（x）]＞0，即[e－xf（x）]′＞0。

從而e－xf（x）在[－2，2]上單調(diào)遞增，故e－0f（0）＞e1f（－1），得f（0）＞ef（－1）。

又f（x）＞0，故f（0）/f（－1）＞e，故應(yīng)選B項(xiàng)。

由e－1f（1）＞e1f（－1），得f（1）/f（－1）＞e2，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

由e－2f（2）＞e1f（－1），得f（2）/f（－1）＞e2，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)A，因f′（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增，從而f（－1）＞f（－2），得f（－2）/f（－1）＜1，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。

42.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

43.

A.必要條件而非充分條件

B.充分條件而非必要條件

C.充分必要條件

D.既非充分又非必要條件

正確答案：C

本題解析：

44.已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，＋∞）上具有2階導(dǎo)數(shù)，f（a）＝0，f′（x）＞0，f″（x）＞0，設(shè)b＞a，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（b，f（b））處的切線與x軸的交點(diǎn)是（x0，0），證明：a＜x0＜b。

正確答案：

本題解析：

45.數(shù)列{xn}，x1＞0，

證明{xn}收斂，并求

正確答案：

本題解析：

46.若f″（x）不變號(hào)，且曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，1）上的曲率圓為x2＋y2＝2，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)（）。

A.有極值點(diǎn)，無零點(diǎn)

B.無極值點(diǎn)，有零點(diǎn)

C.有極值點(diǎn)，有零點(diǎn)

D.無極值點(diǎn)，無零點(diǎn)

正確答案：B

本題解析：

由題意可知，f（x）是一個(gè)凸函數(shù)，即f″（x）＜0，且在點(diǎn)（1，1）處的曲率

而f′（1）＝－1，由此可得，f″（1）＝－2。在[1，2]上，f′（x）≤f′（1）＝－1＜0，即f（x）單調(diào)減少，沒有極值點(diǎn)。對于f（2）－f（1）＝f′（ξ）＜－1，ξ∈（1，2）（拉格朗日中值定理）。

又因?yàn)閒（1）＝1＞0，且f（2）－f（1）＜－1，所以f（2）＜0，由零點(diǎn)定理知，在[1，2]上，f（x）有零點(diǎn)。故應(yīng)選B項(xiàng)。

47.設(shè)y1，y2是一階線性非齊次微分方