3.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)

卜課前自主預(yù)習(xí)

H基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)

1.函數(shù).穴X)在閉區(qū)間［。，們上的最值

如果在區(qū)間［。，句上函數(shù)y=/U)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則該函數(shù)在

［a,加上一定能夠取得到最大值和皿最小值,并且函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)

間端點取得.

2.求函數(shù)y=/(x)在［a,切上的最值的步驟

(1)求函數(shù)丫=＜幻在(a,內(nèi)的因極值;

(2)將函數(shù)y=券)的回各極值與因端點處的函數(shù)值*0,.大切比較，其中最大

的一個是最大值，最小的一個是最小值.

O知識拓展

函數(shù)“X)在區(qū)間(a,勿上的最值

在區(qū)間(a,切上函數(shù)./U)的圖象是一條連續(xù)的曲線時，次x)在(a,加內(nèi)不一定有

最值.常見的有以下幾種情況：

如圖，圖①中的函數(shù)y=/(x)在3，。)上有最大值而無最小值；

圖②中的函數(shù)y=/(x)在(a,/?)上有最小值而無最大值；

圖③中的函數(shù)y=/(x)在(a,與上既無最大值也無最小值；

圖④中的函數(shù)y=/U)在(。，份上既有最大值又有最小值.

免自診小測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

(1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值.()

(2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.()

(3)函數(shù)"r)在區(qū)間出，句上的最大值和最小值一定在兩個端點處取得.()

答案(1)X(2)7(3)義

2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)

(1)設(shè)函數(shù)危戶e'+3x(xeR),則加)(填“有”或“無”)最值.

(2)已知函數(shù)y=3—x2—x,該函數(shù)在區(qū)間［0,3］上的最大值是.

答案⑴無⑵15

卜課堂互動探究

探究1求已知函數(shù)的最值

例1已知。是實數(shù)，函數(shù)I/(x)=d(x—a).

(1)若/(1)=3,求。的值及曲線y=/(x)在點(1,負1))處的切線方程；

⑵求兀x)在區(qū)間［0,2］上的最大值.

［解］(1)/(x)=3?-2ax.

因為/(1)=3—2a=3,所以。=0.

又當(dāng)a=0時，川)=1,f(1)=3.

所以曲線y=/U)在點(1,7(1))處的切線方程為3x—y—2=0.

(2)令/'(x)=0,解得X1=O,x2=y.

當(dāng)當(dāng)W0,即a<0時，火X)在［0,2］上單調(diào)遞增，從而式x)max=A2)=8-4a

當(dāng)件22,即。23時，式X)在［0,2］上單調(diào)遞減，從而犬尤)max=AO)=O.

當(dāng)0岑：2,即0<a<3時，危)在0,y上單調(diào)遞減，在半，2上單調(diào)遞增,

8-4”(0<aW2),

從而/U)max='

9(2<a<3).

8—4a(aW2),

綜上所述，_/U)max

、0伍>2).

［條件探究］將例1(2)中區(qū)間［0,2］改為結(jié)果如何?

2

解令/(x)=0,解得為=0,冗2=乎.

?

當(dāng)即。20時，?r)在［—1,0］上單調(diào)遞增，從而7U)max=A0)=0；

當(dāng)!忘一1,即忘一飄，火龍)在上單調(diào)遞減，從而/Wmax=/Ll)=

-1-a；

77「21「2

當(dāng)一1<乎<0,即一5<4<0時，於)在一1,30上單調(diào)遞增；在2a,0上單調(diào)

遞減，則/（X）max=/（|a）=一六

3

—1—a,aW-/；

綜上所述：.*X）max=＜43

一斤r3，_n

10,心0.

拓展提升

（1）當(dāng)/U）的圖象連續(xù)不斷且在［a,切上單調(diào)時，其最大值、最小值在端點處

取得.

（2）當(dāng)圖象連續(xù)不斷的函數(shù)7U）在（a,坊內(nèi)只有一個極大（或極小）值，則可以斷

定在該點處取到最大（或最小）值，這里（a,。）也可以是無窮區(qū)間.

【跟蹤訓(xùn)練1］（1）求函數(shù)y（x）=x3一&2一緘+5在區(qū)間［-2,2］上的最大值與

最小值；

（2）求函數(shù)+siar在區(qū)間［0,2兀］上的最大值與最小值.

解(1)因為氏￥)=1—//―2X+5,所以/l'(x)=3f—X—2.令/'(X)=0,得

X\~—Q,%2==1?

（1577

因為人_引=方■，加）=5,又為-2）=—1,卜2）=7,所以函數(shù)於）在［—2,2］

上的最大值是7,最小值是一1.

12兀47r

（2?‘（x）=/+cosx,令/'（x）=0,解得％=?或%=了.

因為/0）=0,7（yJ=y-25犬2無）=兀,

所以函數(shù)/U）在［0,2兀］上的最大值是兀，最小值是0.

探究2由函數(shù)的最值確定參數(shù)的值

例2已知函數(shù)y（x）=（4x2+4ar+a2）5，其中。＜（）.

（1）當(dāng)a=-4時，求?x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若?r）在區(qū)間［1,4］上的最小值為8,求a的值.

I,..,2(5%—2)(九一2)$2q.

［解］(1)當(dāng)<7=—4時，由f(x)=------r-----=0何x=5或x=2,由

/（x）＞0得/（0,|）或舊2,+8）,故函數(shù)於）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,|卜口（2,

+°°).

(10x+a)(2:r+a)

（2）r（X）=a<0,

2y[x

由，（x）=0得％=一?；騲=—?

當(dāng)xe（0,一%）時，犬尤）單調(diào)遞增；

當(dāng)*e（一器，時，義外單調(diào)遞減；

當(dāng)xG（一冬+8）時，於）單調(diào)遞增.

易知?r）=（2x+a尸也20,且（一習(xí)=0.

①當(dāng)一時，即一2〈a<0時，凡X）在［1,4］上的最小值為11）,由式1）=4+

4。+。2=8,得。=±2也一2,均不符合題意.

②當(dāng)1<一94時，即一8Wa<-2時，此時$一胎盤，段）在［1,4］上的最小

值為（一?=（）,不符合題意.

③當(dāng)一方>4時，即a<—8時，y（x）在［1,4］上的最小值可能在x=l或x=4處取

得，而11）W8,由?4）=2（64+16。+。2）=8得a=—10或a=—6（舍去），當(dāng)a=

一■時,7U）在（1,4）上單調(diào)遞減，段）在［1,4］上的最小值為阿4）=8,符合題意.

綜上有，4=—10.

拓展提升

含參數(shù)的函數(shù)最值問題的兩類情況

（1）能根據(jù)條件確定出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)函數(shù)的最值問題.

（2）對于不能求出參數(shù)值的問題，則要對參數(shù)進行討論，其實質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)

大于0,等于0,小于0三種情況.若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0,則函數(shù)在已知區(qū)間上是

單調(diào)函數(shù)，最值在端點處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0,則求出極值點后求極值，

再與端點值比較后確定最值.

【跟蹤訓(xùn)練2】已知函數(shù)y（x）=-/+3/+/+4.

（1）求?r）的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若人處在區(qū)間［-2,2］上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.

解（1?'（x）=—3*+6X+9.

令/'（x）<0，解得x<—1或x>3,

二函數(shù)式X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,—I),(3,+℃>).

(2)：大-2)=2+〃，八2)=22+”，

二旭)次一2).

?.?在(一1,3)上1尤)單調(diào)遞增，

加)在［-2,-1］上單調(diào)遞減，

2)=“+2,火2)=22+“，.?小2)為最大值.

，12)和犬一1)分別是/(九)在區(qū)間［—2,2］上的最大值和最小值，于是有22+。

=20,解得。=一2,

=—d+3/+9x—2,

:.艮-1)=-7,即函數(shù)“V)在區(qū)間［—2,2］上的最小值為-7.

探究3與函數(shù)最值有關(guān)的綜合問題

例3設(shè)函數(shù)段)=td+2*x+Ll(xGR,/>()).

(1)求函數(shù)兀x)的最小值/?(/)；

(2)在(1)的條件下，若。⑺<一2/+〃?對P(0,2)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

解⑴,.,九%)=?+。2—A+LIOCWR,t>0),

當(dāng)x=-r時，./(x)的最小值為犬-t)=一尸+f—1,

即/?⑺=一戶+t—1.

⑵令g(f)=九⑺一(一2。=一尸+3/—1.

由g'?)=—3*+3=0及，>0,得t=1,

當(dāng)/變化時，g'⑺，g(f)的變化情況如下表：

t(0,1)1(1-2)

g'(0+0—

g(t)極大值

由上表可知當(dāng)r=l時，g⑺有極大值g(l)=l.

又在定義域(0,2)內(nèi)，g⑺有唯一的極值點，

函數(shù)g⑺的極大值也就是g⑺在定義域(0,2)內(nèi)的最大值，即g(f)max=L

/i(t)<-2t+m在(0,2)內(nèi)恒成立，

即g(t)<m在(0,2)內(nèi)恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)g⑺max=lV"?，即機>1時上式成立，

,實數(shù)機的取值范圍是(1,+°°).

拓展提升

1.涉及到不等式恒成立、不等式能成立的問題時，一般需轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來

解決.若不等式中含參數(shù)，則可考慮分離參數(shù)，以求避免分類討論.

2.不等式恒成立、能成立常見的轉(zhuǎn)化策略

(l)a>/(x)恒成立0a>7(x)max，。PU)恒成立0aV_/U)min；

(2)/U)>g(X)+Z恒成立OZV[/U)—g(X)]min；

(3)?x)>g(x)恒成立臺伏㈤一g(x)]min>o；

(4)a>.*x)能成立Oa>A^)min，aV?x)能成立臺a<j(x)maK.

【跟蹤訓(xùn)練3】已知函數(shù)1X)=O?-6"2+A問是否存在實數(shù)小bj使人外

在[-1,2]上取得最大值3,最小值一29,若存在，求出a,。的值；若不存在，請

說明理由.

解顯然aWO,f(x)=3ax1—l2ax=3ax(x—4),

令/'(無)=0，解得沏=0,尬=4(舍去).

①當(dāng)a>0時，當(dāng)無變化時，/'(x),./U)的變化情況如下表：

X[-1,0)0(0,2]

—

fW+0

於)極大值

所以當(dāng)x=0時，/U)取得最大值，所以6=3.

又犬2)=—16a+3,A-l)=-7a+3,1)42).

所以當(dāng)x=2時，火x)取得最小值，-16a+3=—29,即a=2.

②當(dāng)a<0時，當(dāng)光變化時，/'(龍)，火幻的變化情況如下表：

X[-1,0)0(0,2]

fU)—0+

於)極小值

所以當(dāng)x=0時，兀0取得最小值，所以匕=-29.

又/2)=—16。-29,.八-1)=一7。-29,.*2)次—1),

所以當(dāng)x=2時，兀0取得最大值，即一16a—29=3,即a=-2.

綜上所述a=2,8=3或a=—2,/?=—29.

I盤堂撰21

1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需比較極值和端點處的函數(shù)值即可；函數(shù)在

一個開區(qū)間內(nèi)只有一個極值，這個極值就是最值.

2.求含參數(shù)的函數(shù)最值，可分類討論求解.

3.“恒成立”問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.

卜隨堂達標自測

1.設(shè)在區(qū)間出，口上函數(shù)y=/a)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間出，

句上存在導(dǎo)數(shù)，有下列三個命題：

①若凡V)在口，句上有最大值，則這個最大值必是M，切上的極大值；

②若凡r)在他，例上有最小值，則這個最小值必是口，切上的極小值；

③若/(x)在［a,切上有最值，則最值必在x=a或x=Z?處取得.

其中正確的命題個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

答案A

解析由于函數(shù)的最值可能在區(qū)間［a,切的端點處取得，也可能在區(qū)間［a,

們內(nèi)取得，而當(dāng)最值在區(qū)間端點處取得時，其最值必不是極值，故①與②是假命

題；由于最值可以在區(qū)間的內(nèi)部取得，故命題③是假命題.綜上所述，三個命題

均是假命題.故選A.

2.函數(shù)y=2?—3f—12x+5在上的最大值、最小值分別是()

A.12,-8B.1,-8C.12,-15D.5,-16

答案A

解析y'=6x2—6x—12,由y'=0=>x=—1或x=2(舍去).當(dāng)x=-2時y

=1,當(dāng)x=-1時y=12,當(dāng)x=l時>=-8.所以ymax=12,加2=一8.故選A.

3.函數(shù)_/U)=12x—儲在區(qū)間［—3,3］上的最小值是.

答案T6

解析由f(X)=12-3X2=0,得x=2或無=—2,又|一2)=—16,人一3)

=-9,12)=16,爪3)=9.故最小值為一16.

4.當(dāng)x=時，函數(shù)次x)=x-e'取得最小值.

答案一1

解析由(幻=叭1+尤)=0,得》=-1,當(dāng)了<—1時，f'(x)<0；當(dāng)工>一1

時，f'(x)>0,所以當(dāng)x=—1時，?x)取得最小值人一1).

5.已知/U)=d—d—x+3,xe［—l,2］,/U)一加<0恒成立，求實數(shù)機的取

值范圍.

解由式X)一機＜0,即初次X)恒成立，知機＞y(X)max,

f(X)=3%2-2X-1,令f(x)=0,

解得尤=一/或x=l.

因為《一；)=If，-*D=2,人-1)=2,犬2)=5.

所以人犬)的最大值為5,

故"2的取值范圍為(5,+°°).

卜課后課時精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.函數(shù)_/0)=/一12%+1在閉區(qū)間［―3,0］上的最大值、最小值分別是()

A.1,-1B.1,-17C.17,1D.9,-19

答案C

解析令，(x)=3d—12=0,得尤=±2,八一2)=17,人-3)=10,X0)=1,

所以最大值為17,最小值為1.故選C.

2.若函數(shù)/0)=/—3/—%:+%在區(qū)間［—4,4］上的最大值為10,則其最小值

為()

A.-10B.-71C.-15D.-22

答案B

解析f(x)=37-6x-9=3(x-3)(x+l).

由/'(x)=0,得x=3或x=-1.

又穴—4)=左一76,八3)=%—27,

?-1)=%+5,大4)=上一20.

由/U)max=&+5=10,得％=5,

，於)min=『76=-71.

3.函數(shù)寅x)=*+2℃+l在［0,1］上的最小值為負1),則。的取值范圍為()

A.(—8,—1)B.(-8,—1］

C.(-1,+8)D.［-1,+~)

答案B

解析/'(x)=2x+2a,兀0在［0,1］上的最小值為7U),說明＞U)在［0,1］上單

調(diào)遞減，所以xW［0,l］時，/'(x)W0恒成立，“W-x,所以aW-l.故選B.

TT

4.函數(shù)y=x+2cosx在0,］上取最大值時，x的值為()

兀兀兀

A.0B.T632CQD.7

答案B

解析f(x)=l-2sinx,令f(x)=0解得尸,貝0)=2,怎)=今,圈=上+

2X坐=小+》顯然局次0),故危)在區(qū)間［(),小取最大值時，x的值為專

5.已知函數(shù)yOOn/'—Zxi+B"?,xdR,若70)+920恒成立，則相的取值

范圍是()

33

A.m^2B?m>2

「一3r3

C./77^2D.m<^

答案A

解析f(A)=2JC3—6x2,令/'(x)=0得x=0或x=3,驗證可知x=3是函數(shù)

27

兀r)的最小值點，故?r)min=/(3)=3〃z—受，由?r)+920恒成立得人x)2—9恒成

立，即3機一2號72—39,所以加%

6.若函數(shù)>%)=y_；+/〃的定義域為R，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.m>—1B.根2—1

C.m<—1D.mW—1

答案A

解析因為人龍)=._：+〃,的定義域為R,

所以e“一x+〃?WO恒成立.

令g(x)=ex—x,則g'(x)=e*—1,

所以g(x)在(一8,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

所以g(X)min=g(O)=e°—0=1.

因為VxGR,g(x)21恒成立，即g(x)-120恒成立，

所以m>—1.

二、填空題

7.若函數(shù)_/(》)=尤3—3%—。在區(qū)間［0,3］上的最大值、最小值分別為M,N,則

M—N的值為.

答案20

解析/(x)=3f—3,令/(x)=0,得x=l(x=—l舍去).因為次0)=—a,

大1)=—2—a,式3)=18—a,所以M=18—a,N=—2—a,所以A/—N=20.

8.函數(shù).*》)=擊+4工6［1,3］)的值域為.

-

g口上木「悖3T13_

解析/a)=-G訴+1=行f，所以在"J］上/'a)>o恒成立，即/X)

133

在［1,3］上單調(diào)遞增，所以/)的最大值是13)=手，最小值是川)=］故函數(shù)阿

的值域為存「3y131.

9.已知函數(shù)外)=21nx+?(a〉0).若當(dāng)xG(0,+8)時，段)22恒成立，則

實數(shù)a的取值范圍是.

答案e+°°)

解析火幻22即tz^2x2—2x2lnx.

令g(x)=2x?—2x2lnx,x>0,

11

22

則/(x)=2x(l-21nx).由g'(x)=0得冗=e,且Oave時，g'(x)>0；

1

2

當(dāng)x>e時，gf(x)<0,

1］_

2.2

.,.x=e時，g(x)取最大值g(e)=e,

三、解答題

10.設(shè)w<a<l,函數(shù)7(尤)=/一產(chǎn)2+人在區(qū)間上的最大值為1,最小值

為一半，求函數(shù)./U)的解析式.

解f(x)=3x2-3ax,令/'(x)=0,

得x=0或x=ci.

當(dāng)X變化時，f(x),?x)的變化情況如表：

X-1(-1,0)0(0,a)am,Di

fW+0—0+

131,1-%+

網(wǎng)T-2。b-2+b

+hb

從上表可知，

當(dāng)x=Q時，7U)取得極大值b,而/0)次。)，

川)次一1),故需比較的)與式1)的大小.

3

因為犬o)—/U)=呼一1>0,

所以/U)的最大值為10)=乩所以6=1.

1,

又大一1)-/(。)=5(。+1)2(。-2)<0,

33

所以於)的最小值為—1)=-1—^ci+h=一于，

所以一|a=—坐，所以a=坐.

故所求函數(shù)的解析式是7U)=/—將+1.

B級：能力提升練

1.已知函數(shù)兀0=尤3+0?+笈+5,曲線y=/(x)在點P(l,式1))處的切線方程

為y=3x+l.

(1)求a,。的值；

(2)求y=/(x)在上的最大值.

解(1)依題意可知點P(l,.*1))為切點，代入切線方程y=3x+l可得，.*1)

=3X14-1=4,

所以火1)=1+a+b+5=4,即a+Z?=-2,

又由凡+得/'(A:)=3J?+2ax+b,

而由切線方程y=3九+1的斜率可知/'(1)=3,

所以3+2。+匕=3,即2a+b=0,

a+b=-2,a=2,

解得彳，