河北省承德一中2024屆數(shù)學高一第二學期期末質量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知在中，兩直角邊，，是內一點，且，設，則（）A． B． C．3 D．2．如圖，有一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，汽車在點測得公路北側山頂?shù)难鼋菫?0°，汽車行駛后到達點測得山頂在北偏西30°方向上，且仰角為45°，則山的高度為（）A． B． C． D．3．正方體中，異面直線與BC所成角的大小為（）A． B． C． D．4．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結論正確的是()A．若，，則B．若，，則C．若，，則是異面直線D．若，，，則5．已知函數(shù)，若存在滿足，且，則n的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．66．設向量，滿足，，則（）A．1 B．2 C．3 D．57．在平面直角坐標系xOy中，點P（2，–1）到直線l：4x–3y+4=0的距離為（）A．3 B． C．1 D．38．某個算法程序框圖如圖所示，如果最后輸出的的值是25，那么圖中空白處應填的是（）A． B． C． D．9．若直線：與直線：平行，則的值為()A．-1 B．0 C．1 D．-1或110．已知角α終邊上一點P(-2,3)，則cos(A．32 B．-32 C．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知的三邊分別是，且面積，則角__________.12．據(jù)監(jiān)測，在海濱某城市附近的海面有一臺風，臺風中心位于城市的南偏東30°方向，距離城市的海面處，并以的速度向北偏西60°方向移動（如圖示）.如果臺風侵襲范圍為圓形區(qū)域，半徑，臺風移動的方向與速度不變，那么該城市受臺風侵襲的時長為_______小時.13．在空間直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標為______．14．已知實數(shù)，滿足不等式組，則的最大值為_______.15．如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是_____.16．設為三條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列四個判斷:①若則；②若是在內的射影，，則；③底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④若球的表面積擴大為原來的16倍，則球的體積擴大為原來的32倍；其中正確的為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量，的夾角為120°，且||＝2，||＝3，設32，2．（Ⅰ）若⊥，求實數(shù)k的值；（Ⅱ）當k＝0時，求與的夾角θ的大小．18．中，角所對的邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值.19．不等式的解集為______.20．已知函數(shù).（1）求的最小正周期，并求其單調遞減區(qū)間；（2）的內角，，所對的邊分別為，，，若，且為鈍角，，求面積的最大值.21．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】分析：建立平面直角坐標系，分別寫出B、C點坐標，由于∠DAB=60°，設D點坐標為（m，），由平面向量坐標表示，可求出λ和μ．詳解：如圖以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，則B點坐標為（1，0），C點坐標為（0，2），因為∠DAB=60°，設D點坐標為（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，則．故選A．點睛：本題主要考察平面向量的坐標表示，根據(jù)條件建立平面直角坐標系，分別寫出各點坐標，屬于中檔題．2、D【解題分析】

通過題意可知：，設山的高度，分別在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【題目詳解】由題意可知：.在中，.在中，.在中，由余弦定理可得：（舍去），故本題選D.【題目點撥】本題考查了余弦定理的應用，弄清題目中各個角的含義是解題的關鍵.3、D【解題分析】

利用異面直線與BC所成角的的定義，平移直線，即可得答案．【題目詳解】在正方體中，易得．異面直線與垂直，即所成的角為.故選：D．【題目點撥】本題考查異面直線所成角的定義，考查對基本概念的理解，屬于基礎題.4、A【解題分析】

利用線面垂直的判定，線面平行的判定，線線的位置關系及面面平行的性質逐一判斷即可.【題目詳解】對于A，垂直于同一個平面的兩條直線互相平行，故A正確.對于B，若，，則或，故B錯誤.對于C，若，，則位置關系為平行或相交或異面，故C錯誤.對于D，若，，，則位置關系為平行或異面，故D錯誤.故選：A【題目點撥】本題主要考查了線面垂直的性質，線面平行的判定和面面平行的性質，屬于簡單題.5、D【解題分析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質，對任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，因此要使得滿足條件的n最小，則盡量讓更多的取值對應的點是最值點，然后再對應圖象取值.【題目詳解】，因為正弦函數(shù)對任意（i，j=1，2，3，…，n），都有，要使n取得最小值，盡可能多讓（i=1，2，3，…，n）取得最高點，因為，所以要使得滿足條件的n最小，如圖所示則需取，，，，，，即取，，，，，，即．故選：D【題目點撥】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，還考查了數(shù)形結合的思想方法，屬于中檔題.6、A【解題分析】

將等式進行平方，相加即可得到結論．【題目詳解】∵||，||，∴分別平方得2?10，2?6，兩式相減得4?10﹣6＝4，即?1，故選A．【題目點撥】本題主要考查向量的基本運算，利用平方進行相加是解決本題的關鍵，比較基礎．7、A【解題分析】

由點到直線距離公式計算．【題目詳解】．故選：A．【題目點撥】本題考查點到直線的距離公式，掌握距離公式是解題基礎．點到直線的距離為．8、B【解題分析】

分別依次寫出每次循環(huán)所得答案，再與輸出結果比較，得到答案.【題目詳解】由程序框圖可知，第一次循環(huán)后，，，；第二次循環(huán)后，，，；第三次循環(huán)后，，，；第四次循環(huán)后，，，；第五次循環(huán)后，，，此時，則圖中空白處應填的是【題目點撥】本題主要考查循環(huán)結構由輸出結果計算判斷條件，難度不大.9、C【解題分析】

兩直線平行表示兩直線斜率相等，寫出斜率即可算出答案．【題目詳解】顯然，，．所以，解得，又時兩直線重合，所以．故選C【題目點撥】此題考查直線平行表示直線斜率相等，屬于簡單題．10、A【解題分析】角α終邊上一點P(-2,3)，所以cos(二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】試題分析：由，可得，整理得，即，所以.考點：余弦定理；三角形的面積公式.12、1【解題分析】

設臺風移動M處的時間為th，則|PM|＝20t，利用余弦定理求得AM，而該城市受臺風侵襲等價于AM≤60，解此不等式可得．【題目詳解】如圖：設臺風移動M處的時間為th，則|PM|＝20t，依題意可得，在三角形APM中，由余弦定理可得：依題意該城市受臺風侵襲等價于AM≤60，即AM2≤602，化簡得：，所以該城市受臺風侵襲的時間為6﹣1＝1小時．故答案為：1．【題目點撥】本題考查了余弦定理的應用，考查了數(shù)學運算能力.13、【解題分析】

利用空間直角坐標系中，關于原點對稱的點的坐標特征解答即可.【題目詳解】在空間直角坐標系中，關于原點對稱的點的坐標對應互為相反數(shù)，所以點關于原點的對稱點的坐標為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查空間直角坐標系中對稱點的特點，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.14、2【解題分析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，結合圖象，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，又由，即表示平面區(qū)域內任一點與點之間連線的斜率，顯然直線的斜率最大，又由，解得，則，所以的最大值為2.【題目點撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．15、10.【解題分析】

由題意結合幾何體的特征和所給幾何體的性質可得三棱錐的體積.【題目詳解】因為長方體的體積為120，所以，因為為的中點，所以，由長方體的性質知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.【題目點撥】本題蘊含“整體和局部”的對立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關系，靈活利用“割”與“補”的方法解題.16、①②【解題分析】

對四個命題分別進行判斷即可得到結論【題目詳解】①若，垂足為，與確定平面，，則，，則，，則，故，故正確②若，是在內的射影，，根據(jù)三垂線定理，可得，故正確③底面是等邊三角形，側面都是有公共頂點的等腰三角形的三棱錐是正三棱錐，故不正確④若球的表面積擴大為原來的倍，則半徑擴大為原來的倍，則球的體積擴大為原來的倍，故不正確其中正確的為①②【題目點撥】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關系、球的體積等知識點，數(shù)量掌握各知識點然后對其進行判斷，較為基礎。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用⊥，結合向量的數(shù)量積的運算公式，得到關于的方程，即可求解；（Ⅱ）當時，利用向量的數(shù)量積的運算公式，以及向量的夾角公式，即可求解.【題目詳解】（Ⅰ）由題意，向量，的夾角為120°，且||＝2，||＝3，所以，，，又由.若⊥，可得，解得k．（Ⅱ）當k＝0時，，則．因為，由向量的夾角公式，可得，又因為0≤θ≤π，∴，所以與的夾角θ的大小為．【題目點撥】本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算，以及向量的夾角公式的應用，其中解答中熟記向量的運算公式，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.18、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由正弦定理化邊為角，再由同角間的三角函數(shù)關系化簡可求得；（2）利用余弦定理得出的等式，由基本不等式求得的最大值，可得面積最大值．【題目詳解】（1）∵，∴，又，∴，即，∴；（2）由（1），∴，當且僅當時等號成立．∴，，最大值為．【題目點撥】本題考查正弦定理和余弦定理，考查同角間的三角函數(shù)關系，考查基本不等式求最值．本題主要是考查的公式較多，掌握所有公式才能正確解題．本題屬于中檔題．19、【解題分析】

根據(jù)一元二次不等式的解法直接求解即可.【題目詳解】因為方程的根為：，，所以不等式的解集為.故答案為：.【題目點撥】本題考查一元二次不等式的解法，考查對基礎知識和基本技能的掌握，屬于基礎題.20、（1）最小正周期；單調遞減區(qū)間為；（2）【解題分析】

（1）利用二倍角和輔助角公式可化簡函數(shù)為；利用可求得最小正周期；令解出的范圍即可得到單調遞減區(qū)間；（2）由可得，根據(jù)的范圍可求出的取值；利用余弦定理和基本不等式可求出的最大值，代入三角形面積公式求得結果.【題目詳解】（1）最小正周期：令得：的單調遞減區(qū)間為：單調遞減區(qū)間.（2）由得：，解得：由余弦定理得：（當且僅當時取等號）即面積的最大值為：【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)最小正周期和單調區(qū)間的求解、解三角形中三角形面積最值的求解問題；涉及到二倍角公式和輔助角公式的應用、余弦定理和三角形面積公式的應用等知識；求解正弦型函數(shù)單調區(qū)間的常用解法為整體代入的方式，通過與正弦函數(shù)圖象的對應關系來進行求解.21、（1）