專題5.1認識一元一次方程【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1方程的概念辨析】 1【題型2列方程】 2【題型3一元一次方程的概念辨析】 3【題型4根據(jù)方程的解求值】 3【題型5利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤】 4【題型6利用等式的性質(zhì)解方程】 4【題型7利用等式的性質(zhì)比較大小】 5【題型8等式的性質(zhì)在天平中的運用】 5【題型9利用等式的性質(zhì)檢驗方程的解】 6【題型10方程的解的規(guī)律問題】 7【知識點1方程的定義】方程是含有未知數(shù)的等式，在這一概念中要抓住方程定義的兩個要點①等式；②含有未知數(shù)．【題型1方程的概念辨析】【例1】（2023春·湖南衡陽·七年級衡陽市實驗中學(xué)?？计谀┫铝懈魇街校孩?x-1=5；②4+8=12；③5y+8；④2x+3y=0；⑤2a+1=1；⑥2x2-5x-1，是方程的是（）A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【變式1-1】（2023秋·湖南常德·七年級統(tǒng)考期末）宋元時期，中國數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了“天元術(shù)”，用“天元”表示未知數(shù)，解題先要“立天元為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某”．“天元術(shù)”是中國數(shù)學(xué)史上的一項杰出創(chuàng)造，它指的是我們所學(xué)的（

）A．絕對值 B．有理數(shù) C．代數(shù)式 D．方程【變式1-2】（2023秋·山東德州·七年級校考期中）下列各式中不是方程的是（）A．2x+3y=1 B．3π+4≠5C．﹣x+y=4 D．x=8【變式1-3】（2023秋·江西贛州·七年級統(tǒng)考期末）對于等式：x-1+2=3，下列說法正確的是（

A．不是方程 B．是方程，其解只有2C．是方程，其解只有0 D．是方程，其解有0和2【題型2列方程】【例2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）七年級學(xué)生人數(shù)為x，其中男生占52%，女生有150人，下列正確的是（

）A．1-52%x=150 B．x=150-52%xC．(1+52%)x=150 D．(1-52%)x=150【變式2-1】（2023秋·山西陽泉·七年級統(tǒng)考期末）根據(jù)下面所給條件，能列出方程的是（

）A．一個數(shù)的13是6 B．x與1的差的C．甲數(shù)的2倍與乙數(shù)的13 D．a(chǎn)與b的和的【變式2-2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）列等式表示“比a的3倍大5的數(shù)等于a的4倍”為．【變式2-3】（2023春·河南南陽·七年級校聯(lián)考期末）根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是（

）A．π×(82C．π×82x=π×【知識點2一元一次方程的定義】只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b為常數(shù)，且a≠0）．一元一次方程屬于整式方程，即方程兩邊都是整式．一元指方程僅含有一個未知數(shù)，一次指未知數(shù)的次數(shù)為1，且未知數(shù)的系數(shù)不為0．我們將ax+b=0（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且a≠0）叫一元一次方程的標(biāo)準形式．這里a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x的次數(shù)必須是1．【題型3一元一次方程的概念辨析】【例3】（2023春·福建泉州·七年級?？计谥校┰诜匠?x-y=6，x+1x-3=0，12x=A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3-1】（2023春·上?！ち昙壭？计谥校┓匠?-3x2=1中，一次項是【變式3-2】（2023秋·全國·七年級統(tǒng)考期末）下列各式中：2x-1=0，3x=-2；10x2-7x+2；5+(-3)=2；x-5y=1；x2-2x=1；ax+1=0（a≠0且a為常數(shù)），若方程個數(shù)記為【變式3-3】（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）若方程□-x=1是一元一次方程，則□不可以是（

）A．0 B．14x C．y D【知識點3方程的解】解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解．【題型4根據(jù)方程的解求值】【例4】（2023秋·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的方程2ax+b=12的解為x=1，則6a+3b=【變式4-1】（2023秋·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）若x=4是方程mx-3=5的解，則m=．【變式4-2】（2023秋·云南紅河·七年級統(tǒng)考期末）小剛同學(xué)在做作業(yè)時，不小心將方程3x-3-■=x+1中的一個常數(shù)涂黑了，在詢問老師后，老師告訴她方程的解是x=7，請問這個被涂黑的常數(shù)■是（A．6 B．5 C．4 D．1【變式4-3】（2023秋·江蘇南京·七年級校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的一元一次方程12023x-1=b的解為x=3，則關(guān)于x的一元一次方程12023x+1【知識點4等式的性質(zhì)】性質(zhì)1：等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．【題型5利用等式的性質(zhì)判斷變形正誤】【例5】（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）下列利用等式的基本性質(zhì)變形錯誤的是（

）A．如果x-5=12，則x=12+5 B．如果-4x=8，則x=-2C．如果13x=9，則x=3 D．如果4x+1=9【變式5-1】（2023秋·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期末）已知3a=2b，則下列選項中的等式成立的是（

）A．9a=4b B．a(chǎn)3=b2 C．【變式5-2】（2023秋·安徽阜陽·七年級校考期末）若a=b≠0，則下列式子中正確的是（填序號）．①a-2=b-2，②13a=12b，③【變式5-3】（2023春·上海黃浦·六年級統(tǒng)考期中）解方程x0.7-1.7-2xA．10x7-17-20xC．10x7-17-2x【題型6利用等式的性質(zhì)解方程】【例6】（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期中）用等式的性質(zhì)解下列方程：(1)4x-2=2；解：方程兩邊同時加上，得：；方程兩邊同時，得：．(2)12【變式6-1】（2023秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級校聯(lián)考期中）利用等式性質(zhì)解方程（1）2x-5=x-5（2）-【變式6-2】（2023秋·北京·七年級?？计谥校├玫仁叫再|(zhì)補全下列解方程過程：3-解：根據(jù)等式性質(zhì)1，兩邊同時，可得3-13于是-13根據(jù)____________兩邊同時乘以-3，可得x=_______．【變式6-3】（2023秋·湖北咸寧·七年級校考期中）利用等式的性質(zhì)解方程(1)4x-4=3(x+1)(2)2y+1【題型7利用等式的性質(zhì)比較大小】【例7】（2023秋·云南昆明·七年級統(tǒng)考期末）已知2m﹣1＝2n，利用等式的性質(zhì)比較m，n的大小是(

)A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．無法確定【變式7-1】（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）已知5a-3b-1=5b-3a，利用等式的基本性質(zhì)比較a，b的大小.【變式7-2】（2023秋·江蘇泰州·七年級?？计谀┮阎?m+2n﹣5=m+5n，利用等式的性質(zhì)比較m與n的大小關(guān)系：mn（填“＞”，“＜”或“=”）．【變式7-3】（2023·甘肅武威·七年級統(tǒng)考期中）已知34m﹣1=34n，試用等式的性質(zhì)比較m與【題型8等式的性質(zhì)在天平中的運用】【例8】（2023春·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）“○”“口”“△”分別表示三種不同的物體，用天平比較它們的大小，兩次情況如圖．那么，每個“○”“口”“△”按質(zhì)量大小的順序排列為（）A．〇△□ B．〇□△ C．□〇△ D．△□〇【變式8-1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？奸_學(xué)考試）有15盒餅干，其中的14盒質(zhì)量相同另有一盒少了幾塊，如果能用天平稱，至少()次保證可以找出這盒餅干．【變式8-2】（2023秋·廣東江門·七年級?？茧A段練習(xí)）設(shè)■，●，▲分別表示三種不同的物體，如圖所示，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右邊不能放的是（

）

A．▲▲▲▲ B．▲▲▲▲▲ C．●●▲ D．●▲▲▲【變式8-3】（2023秋·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）我們知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性質(zhì)．【提出問題】能否借助一架天平和一個10克的砝碼測量出一個乒乓球和一個一次性紙杯的質(zhì)量？【實驗探究】準備若干相同的乒乓球和若干相同的一次性紙杯（每個乒乓球的質(zhì)量相同，每個紙杯的質(zhì)量也相同），設(shè)一個乒乓球的質(zhì)量是x克，經(jīng)過試驗，將有關(guān)信息記錄在下表中：記錄天平左邊天平右邊天平狀態(tài)乒乓球總質(zhì)量一次性紙杯的總質(zhì)量記錄一5個乒乓球，1個10克的砝碼15個一次性紙杯平衡5x______記錄二3個乒乓球1個一次性紙杯1個10克的砝碼平衡3x______【解決問題】（1）將表格中兩個空白部分用含x的代數(shù)式表示；（2）分別求出一個乒乓球的質(zhì)量和一個一次性紙杯的質(zhì)量．【及時遷移】（3）借助以上相關(guān)數(shù)據(jù)以及實驗經(jīng)驗，你能設(shè)計一種方案，使實驗中選取的乒乓球的個數(shù)是紙杯的個數(shù)的3倍嗎？請補全下面橫線上內(nèi)容，完善方案，并說明方案設(shè)計的合理性．方案：將天平左邊放置______，天平右邊放置______，使得天平平衡．理由：【題型9利用等式的性質(zhì)檢驗方程的解】【例9】（2023秋·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期末）整式mx-n的值隨x取值的變化而變化，下表是當(dāng)x取不同值時對應(yīng)的整式的值：x-5-4-3-2-11mx-n9630-3-9則關(guān)于x的方程-mx+n=9的解為（

）A．x=-5 B．x=-4 C．x=-2 D．x=1【變式9-1】（2023秋·甘肅白銀·七年級統(tǒng)考期末）下列方程中，其解為x=-2的是（

）A．3x-4=2 B．3x+1-3=0 C．2x=-1 D【變式9-2】（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）檢驗下列方程后面小括號內(nèi)的數(shù)是否為相應(yīng)方程的解．(1)2x+5=10x-3,x=1(2)0.52x-1-0.52【變式9-3】（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）x=2是方程ax﹣4=0的解，檢驗x=3是不是方程2ax﹣5=3x﹣4a的解．【題型10方程的解的規(guī)律問題】【例10】（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）一列方程如下排列：x4+x-12＝1的解是x6+x-22＝1的解是x8+x-32＝1的解是…根據(jù)觀察得到的規(guī)律，寫出其中解是x＝20的方程：．【變式10-1】（2023秋·廣東揭陽·七年級惠來縣第一中學(xué)校考期末）有一系列方程，第1個方程是x+x2=3，解為x=2；第2個方程是x2+x3=5，解為x=6；第3個方程是x3+x4=7，解為x=12；…根據(jù)規(guī)律第10個方程是x10【變式10-2】（2023秋·七年級