專題63動態(tài)幾何類問題（1）【規(guī)律總結(jié)】動態(tài)幾何問題的解題技巧解這類問題的基本策略是：1.動中覓靜：這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系，動中覓靜就是在運動變化中探索問題中的不變性??????2.動靜互化：“靜”只是“動"的瞬間，是運動的一種特殊形式，動靜互化就是抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動”與“靜"的關(guān)系.?3.以動制動：以動制動就是建立圖形中兩個變量的函數(shù)關(guān)系，通過研究運動函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀點來研究變動元素的關(guān)系??總之，解決動態(tài)兒何問題的關(guān)鍵是要善于運用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形,?把握圖形運動與變化的全過程，抓住變化中的不變，以不變應(yīng)萬變。這類問題與函數(shù)相結(jié)合時，注意使用分類討論的思想，運用方程的思想.數(shù)形結(jié)合思想.轉(zhuǎn)化的思想等?！镜淅治觥坷?．（2020·南通市躍龍中學(xué)九年級月考）如圖，在中，，，．線段的兩個端點都在上，且，從點出發(fā)，沿方向運動，當(dāng)?shù)竭_點時，停止運動，在整個運動過程中，空白部分面積的大小變化的情況是（）A．一直減小 B．一直增大C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】C【分析】設(shè)PD=x，AB邊上的高為h，求出h，并運用相似三角形的性質(zhì)求出AD，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】在中，，，，，設(shè)，則，邊上的高為，，，，，，，，∵，∴時，隨x的增大而增大，時，隨x的增大而減小，故選：C．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，動點問題的函數(shù)圖象，三角形面積，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)，學(xué)會利用二次函數(shù)的增減性解決問題．例2．（2021·揚州市江都區(qū)育才中學(xué)九年級期末）如圖，半徑為4cm，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上有一運動的點P，從點P向半徑OA引垂線PH交OA于點H．設(shè)的內(nèi)心為I，當(dāng)點P在弧AB上從點A運動到點B時，內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為_________．【答案】【分析】如圖，連OI，PI，AI，由△OPH的內(nèi)心為I，可得到∠PIO=-∠IPO-∠IOP=-（∠HOP+∠OPH）=，并且易證△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=，所以點I在以O(shè)A為弦，并且所對的圓周角為的一段劣弧上；過A、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′A，O′O，在優(yōu)弧AO上取點P，連PA，PO，可得∠APO=-=，得∠AO=，OA=×4=2，然后利用弧長公式計算弧OA的長．【詳解】如圖，連OI，PI，AI，∵△OPH的內(nèi)心為I，∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，∴∠PIO=-∠IPO-∠IOP=-（∠HOP+∠OPH），而PH⊥OA，即∠PHO=，∴∠PIO=-（∠HOP+∠OPH）=-（-）=，又∵OP=OA，OI公共，而∠IOP=∠IOA，∴△OPI≌△OAI，∴∠AIO=∠PIO=，所以點I在以O(shè)A為弦，并且所對的圓周角為的一段劣弧上；過A、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′A，O′O，在優(yōu)弧AO上取點P，連PA，PO，∵∠AIO=，

∴∠APO=-=，∴∠AO=，而OA=4cm，∴∠AO=，∴O′O=OA=×4=2，∴弧OA的長=（cm），所以內(nèi)心I所經(jīng)過的路徑長為cm．故答案為：cm．．【點睛】此題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，弧長的計算公式，三角形的內(nèi)心的定義，圓周角定理，三點共圓，證明以點I在以O(shè)A為弦，并且所對的圓周角為的一段劣弧上是解題的關(guān)鍵．例3．（2021·黑龍江大慶市·九年級期末）如圖，在中，，、的長恰好為方程的兩根，且．（1）求的值．（2）動點從點出發(fā)，沿的路線向點運動（不包括端點）；點從點出發(fā)，沿的路線向點C運動（不包括端點）．若點、同時出發(fā)，速度都為每秒個單位．當(dāng)其中有一點到達終點時整個運動隨之結(jié)束．設(shè)運動時間為秒，在整個運動過程中，設(shè)的面積為，試求與之間的函數(shù)關(guān)系式；并指出自變量的取值范圍和的范圍．【答案】（1）a=48；（2）S=，當(dāng)時，【分析】(1)由根與系數(shù)關(guān)系，得AC+BC=14，結(jié)合已知AC-BC=2，可求AC、BC的值，由AC·BC=a，求a的值；(2)由勾股定理得AB=10，過點P作PH⊥BC，可得△BHP∽△BCA，再根據(jù)對應(yīng)邊成比例，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：（1）、的長為方程的兩根，又，，，（2）作，垂足為，，．由得，，，即，解得，當(dāng)時，【點睛】本題考查了根與系數(shù)關(guān)系、勾股定理、平行線分線段成比例定理的運用．解題關(guān)鍵是根據(jù)比例表示△PCQ的高，寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．【好題演練】一、單選題1．（2019·浙江臺州市·八年級期末）如圖，已知，在的平分線上有一點，將一個60°角的頂點與點重合，它的兩條邊分別與直線，相交于點，．下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），，則；其中正確的有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】過點作于點，于點，根據(jù)的平分線上有一點，得，，從而得，，；當(dāng)，在射線，上時，通過證明，得；當(dāng)，在直線，射線上時，通過，得；當(dāng)，在直線、上時，得，即可完成求解．【詳解】過點作于點，于點∵平分又∵∴，，∴∴，，①當(dāng)，在射線，上時∴∵，∴∴，∴．②如圖，當(dāng)，在直線，射線上時∴；③如圖，當(dāng)，在直線、上時∴綜上：②③④錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了角平分線、全等三角形、直角三角形兩銳角互余的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解.2．（2020·宜興市樹人中學(xué)九年級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，點D是BC上的一點，BD=1，點P是AC上的一個動點，連接DP，將線段DP繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DQ，連接BQ，則線段BQ長的最小值是（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】過點D作DT⊥BC交AC于點T，在DC上取一點G，使得DG=DT，連接TG、GQ，過點B作BR⊥QG于R。首先證明點Q在射線GQ上運動，∠DGQ是定值，求出BR，根據(jù)垂線段最短，即可解決問題【詳解】過點D作DT⊥BC交AC于點T，在DC上取一點G，使得DG=DT，連接TG、GQ，過點B作BR⊥QG于R。

∵∠TDC=∠PDQ=90°∴∠PDT=∠GDQ在△PDT和△QDG中，∴△PDT≌△QDG∴∠DTP=∠DGQ∴Q在射線GQ上運動，∠DGQ是定值∵∠TDC=∠B=90°∴DT∥AB∴，∠DTC=∠A∴，∠DGQ=∠A∴DT=DG=∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4∴∴sin∠DGR=sin∠A∴∴∴BR=根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)BQ與BR重合時，BQ的值最小，最小值為故選D【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形和垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．二、填空題3．（2020·上海楊浦區(qū)·九年級一模）如圖，已知在中，，，將繞點A旋轉(zhuǎn)，點B、C分別落在點、處，如果，連接結(jié)交邊于點D，那么的值為______．【答案】【分析】過點D作DE⊥，如圖所示，由題意易得，，，進而可證，則有，設(shè)，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：由題意可作如圖所示：過點D作DE⊥，∵∠C=60°，∠B=45°，∴∠CAB=75°，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴，故答案為．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角函數(shù)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．4．（2020·河北邢臺市·金華中學(xué)八年級期中）如圖，，，點P在線段AB上以1cm/s的速度由點B向點A運動，同時點Q在射線BD上以xcm/s的速度由點B沿射線BD的方向運動，它們運動的時間為t（s）

（1）如圖①，若，，當(dāng)，________；________．（2）如圖②，，當(dāng)與全等，________；【答案】290°2或【分析】（1）根據(jù)全等找出對應(yīng)邊，利用BP邊求得時間，再在BQ邊上求速度，再運用全等三角形的性質(zhì)，即可證明角度；（2）結(jié)合條件，對與全等時的情況進行分析，分類討論即可．【詳解】（1）當(dāng)時，，，，，又，，，；（2）①當(dāng)時，，，此時，，；②當(dāng)時，，，此時，，；綜上：當(dāng)與全等，或．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)及判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題5．（2021·湖北宜昌市·九年級期末）已知：是的外接圓，且為上一動點．（1）如圖1，若點是的中點，求的度數(shù)．（2）過點作直線的垂線，垂足為點．①如圖2，若點在上．求證．②若點在上，當(dāng)它從點向點運動且滿足時，求的最大值．【答案】（1）；（2）①見解析；②當(dāng)點運動到點時取得最大值，此時．【分析】（1）先利用等弧所對的圓周角相等得到，再根據(jù)點是的中點得到再利用同弧所對的圓周角相等即可得到答案．（2）①過作于點，證明，再證即可得到；②先連接并延長交于點，根據(jù)D點由向點運動且滿足，則可以得到點的運動范圍在上，根據(jù)證明①的方法證明②條件下依然成立，再根據(jù)垂徑定理即可得出答案．【詳解】，是的中點過作于點則又于點又又四邊形是的內(nèi)接四邊形又又連接并延長交于點，則點的運動范圍在上理由如下：如圖：過作于點則又于點又四邊形是的內(nèi)接四邊形又又是直徑，垂直平分，當(dāng)點運動到點時取得最大值，此時．當(dāng)點D在上移動時，∵>，∴AD>CD，又∵，不滿足，∴此種情況不存在．綜上所述當(dāng)點運動到點時取得最大值，此時．【點睛】本題主要考查了圓周角的性質(zhì)，垂徑定理以及圓的動點問題，本題難度較大，綜合性較強，解決本題的關(guān)鍵是正確做出輔助線和運用轉(zhuǎn)化思想．6．（2021·廣東廣州市·九年級期末）拋物線與軸交于點，與軸交于點．線段上有一動點(不與重合)，過點作軸的平行線交直線于點，交拋物線于點（1）求直線的解析式；（2）點為線段下方拋物線上一動點，點是線段上一動點；①若四邊形是平行四邊形，證明：點橫坐標之和為定值；②在點運動過程中，平行四邊形的周長是否存在最大值？若存在，求出此時點的坐標，若不存在，說明理由【答案】（1）；（2）①證明見解析；②存在；點的坐標為．【分析】（1）分別在拋物線解析式中令x=0，y=0，可以得到B和A的坐標，然后應(yīng)用待定系數(shù)法可以得到直線AB的解析式；（2）①分別設(shè)點M、N的橫坐標為m、n，則由平行四邊形的性質(zhì)可以證得m+n=4,即m、n的和為定值；②作DE⊥PM，結(jié)合①可以求得平行四邊形CMND的周長是關(guān)于m的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的知識可以求得平行四邊形CMND的周長取最大值時m的