2023-2024學(xué)年遼寧省撫順市新賓縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．（a2）3＝a6 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．6a6﹣2a3＝3a33．（3分）下列式子是分式的是（）A． B． C． D．1+x4．（3分）隨著北斗系統(tǒng)全球組網(wǎng)的步伐，北斗芯片的研發(fā)生產(chǎn)技術(shù)也在逐步成熟，國產(chǎn)北斗芯片可支持接收多系統(tǒng)的導(dǎo)航信號，應(yīng)用于自動駕駛、無人機、機器人等高精度定位需求領(lǐng)域，將為中國北斗導(dǎo)航產(chǎn)業(yè)發(fā)展提供有力支持．目前，該芯片工藝已達22納米（即0.000000022米）．則數(shù)據(jù)0.000000022用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.22×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．22×10﹣9 D．22×10﹣105．（3分）信息課上，小文同學(xué)利用計算機軟件繪制了美麗的蝴蝶，如圖，在繪圖過程中，小文建立平面直角坐標系，先畫出一半圖形，利用對稱性畫出另一半．若圖中點A的坐標為（﹣3，2），則其關(guān)于y軸對稱的點B的坐標為（）A．（3，2） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）6．（3分）如圖，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，則CE等于（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．47．（3分）2022年北京冬奧會開幕式為世界奉獻了一場精彩、簡約、唯美、浪漫的中國文化盛宴，其中主火炬臺的雪花狀創(chuàng)意令人驚嘆．如圖是一個正六邊形雪花狀飾品，則它的每一個內(nèi)角是（）A．60° B．105° C．120° D．135°8．（3分）小王準備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，把△ABC沿EF翻折，疊合后的圖形如圖，若∠A＝60°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．35°10．（3分）如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）分解因式：m3﹣16m＝．12．（3分）若使分式有意義的取值范圍是．13．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是（﹣3，0），（0，2），△OA'B'≌△AOB，若點A'在x軸的正半軸上，則位于第四象限的點B'的坐標是．14．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°，則∠DAE的度數(shù)為．15．（3分）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝45°，在腰AB上取一點D，DE⊥BC，垂足為E，另一腰AC上的高BF交DE于點G，垂足為F，若BE＝3，則DG的長為．三、解答題（共75分）16．（8分）解方程．（1）＝．（2）+2＝．17．（8分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中x＝3．18．（9分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位，△ABC的三個頂點都在格點上．（1）在網(wǎng)格中畫出△ABC向下平移3個單位得到的△A1B1C1；（2）在網(wǎng)格中畫出△ABC關(guān)于直線m對稱的△A2B2C2；（3）在直線m上畫一點P，使得C1P+C2P的值最?。?9．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分線，求證：△BCD是等腰三角形．20．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．（1）求證：△ADC≌△CEB．（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的長度．21．（8分）某班級組織同學(xué)們乘坐大巴車前往距學(xué)校50千米的博物院開展“研學(xué)之旅”．大巴車從學(xué)校出發(fā)，其中一位老師因有事耽誤，沒有趕上大巴車，因此比大巴車晚小時從學(xué)校自駕小汽車出發(fā)，并以大巴車1.5倍的速度走同樣的路線趕往博物院，結(jié)果與大巴車同時到達．求大巴車和小汽車的平均速度．22．（12分）綜合與實踐：【問題情境】如圖，池塘的兩端有A，B兩點，現(xiàn)需要測量該池塘的兩端A，B之間的距離，需要如何進行呢？【方案解決】同學(xué)們想出了如下的兩種方案：方案①：如圖1，先在平地上取一個可直接到達A，B的點C，再連接AC，BC，并分別延長AC至點D，BC至點E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距離就是AB的距離；方案②：如圖2，過點B作AB的垂線BF，在BF上取C，D兩點，使BC＝CD．接著過點D作BD的垂線DE，在垂線上選一點E，使A，C，E三點在一條直線上，則測出DE的長即是AB的距離．問：（1）方案①是否可行？請說明理由；（2）方案②是否可行？請說明理由；（3）李明同學(xué)提出，在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要就可以了，請把李明所說的條件補上．23．（12分）綜合與探究小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：如圖1，∠MON＝90°，點A，B分別在OM，ON上運動（不與點O重合）．探究與發(fā)現(xiàn)：若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠BAO的平分線交于點D．（1）①若∠BAO＝70°，則∠D＝°；②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的運動而發(fā)生變化？并說明理由；（2）拓展延伸：如圖2，若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度數(shù)．（3）在圖1的基礎(chǔ)上，如果∠MON＝α，其余條件不變，隨著點A、B的運動（如圖3），∠D＝（用含α的代數(shù)式表示）2023-2024學(xué)年遼寧省撫順市新賓縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A，B，C選項中的圖案都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；D選項中的圖案能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．（a2）3＝a6 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．6a6﹣2a3＝3a3【分析】利用合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法的法則，冪的乘方的法則對各項進行運算即可．【解答】解：A、a2與a3不屬于同類項，不能合并，故A不符合題意；B、（a2）3＝a6，故B符合題意；C、a2?a3＝a5，故C不符合題意；D、6a6與2a3不屬于同類項，不能合并，故D不符合題意；故選：B．【點評】本題主要考查合并同類項，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．3．（3分）下列式子是分式的是（）A． B． C． D．1+x【分析】根據(jù)分式的定義作答．【解答】解：A、是多項式，故本選項不符合題意；B、是多項式，故本選項不符合題意；C、分母中含有字母x，是分式，故本選項符合題意；D、是多項式，故本選項不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查的是分式的定義，熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．4．（3分）隨著北斗系統(tǒng)全球組網(wǎng)的步伐，北斗芯片的研發(fā)生產(chǎn)技術(shù)也在逐步成熟，國產(chǎn)北斗芯片可支持接收多系統(tǒng)的導(dǎo)航信號，應(yīng)用于自動駕駛、無人機、機器人等高精度定位需求領(lǐng)域，將為中國北斗導(dǎo)航產(chǎn)業(yè)發(fā)展提供有力支持．目前，該芯片工藝已達22納米（即0.000000022米）．則數(shù)據(jù)0.000000022用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.22×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．22×10﹣9 D．22×10﹣10【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8．故選：B．【點評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要確定a的值以及n的值．5．（3分）信息課上，小文同學(xué)利用計算機軟件繪制了美麗的蝴蝶，如圖，在繪圖過程中，小文建立平面直角坐標系，先畫出一半圖形，利用對稱性畫出另一半．若圖中點A的坐標為（﹣3，2），則其關(guān)于y軸對稱的點B的坐標為（）A．（3，2） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2）【分析】直接利用關(guān)于關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)（橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變）得出答案．【解答】解：若圖中點A的坐標為（﹣3，2），則其關(guān)于y軸對稱的點B的坐標為（3，2）．故選：A．【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標的符號是解題關(guān)鍵．6．（3分）如圖，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，則CE等于（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝AC＝5，BC＝DE＝2，結(jié)合圖形計算即可．【解答】解：∵△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，∴BE＝AC＝5，BC＝DE＝2，∴CE＝BE﹣BC＝5﹣2＝3，故選：B．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．7．（3分）2022年北京冬奧會開幕式為世界奉獻了一場精彩、簡約、唯美、浪漫的中國文化盛宴，其中主火炬臺的雪花狀創(chuàng)意令人驚嘆．如圖是一個正六邊形雪花狀飾品，則它的每一個內(nèi)角是（）A．60° B．105° C．120° D．135°【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式：多邊形的內(nèi)角和＝180°×（n﹣2），再利用內(nèi)角和÷6即可得出每個內(nèi)角的度數(shù)．【解答】解：180°×（6﹣2）＝180°×4＝720°，720°÷6＝120°，答：一個六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是120°．故選：C．【點評】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式．8．（3分）小王準備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（）A． B． C． D．【分析】本題利用軸對稱的性質(zhì)，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點之間，線段最短問題，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系解題即可．【解答】解：如圖：作點A關(guān)于街道的對稱點A′，連接A′B交街道所在直線于點C，∴A′C＝AC，∴AC+BC＝A′B，在街道上任取除點C以外的一點C′，連接A′C′，BC′，AC′，∴AC′+BC′＝A′C′+BC′，在△A′C′B中，兩邊之和大于第三邊，∴A′C′+BC′＞A′B，∴AC′+BC′＞AC+BC，∴點C到兩小區(qū)送奶站距離之和最?。蔬x：C．【點評】本題考查軸對稱﹣最短路線的問題，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點之間，線段最短問題．會作對稱點是解此類問題的基礎(chǔ)，要求學(xué)生能熟練掌握，并熟練應(yīng)用．另外本題的解決還應(yīng)用了三角形的三邊關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊．本題還會有變式：請你找出點C的位置．9．（3分）如圖，把△ABC沿EF翻折，疊合后的圖形如圖，若∠A＝60°，∠1＝95°，則∠2的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．35°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，再根據(jù)鄰補角的定義運用合理的推理，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．【解答】解：∵△ABC沿EF翻折，∴∠BEF＝∠B'EF，∠CFE＝∠C'FE，∴180°﹣∠AEF＝∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE，∵∠1＝95°，∴∠AEF＝（180°﹣95°）＝42.5°，∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝180°﹣60°﹣42.5°＝77.5°，∴180°﹣77.5°＝∠2+77.5°，∴∠2＝25°，故選：C．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于根據(jù)軸對稱變化關(guān)系找到對應(yīng)邊，對應(yīng)角．10．（3分）如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】過點P作PD⊥AC于D，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明Rt△PAM≌Rt△PAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠APM＝∠APD，判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【解答】解：①過點P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PN＝PD，∵PN⊥BF，PD⊥AC，∴點P在∠ACF的角平分線上，故①正確；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正確；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③正確；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正確，故選：D．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）分解因式：m3﹣16m＝m（m+4）（m﹣4）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．【解答】解：m3﹣16m＝m（m2﹣16）＝m（m+4）（m﹣4）．故答案為：m（m+4）（m﹣4）．【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．12．（3分）若使分式有意義的取值范圍是x≠3．【分析】直接利用分式有意義則其分母不為零，進而得出答案．【解答】解：∵分式有意義，∴x的取值范圍是：x﹣3≠0，解得：x≠3．故答案為：x≠3．【點評】此題主要考查了分式有意義的條件，正確把握分式的定義是解題關(guān)鍵．13．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別是（﹣3，0），（0，2），△OA'B'≌△AOB，若點A'在x軸的正半軸上，則位于第四象限的點B'的坐標是（3，﹣2）．【分析】根據(jù)點A、B的坐標求出OA＝3，OB＝2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OA′＝OA＝3，A′B′＝OB＝2，再求出點B′的坐標即可．【解答】解：∵點A，B的坐標分別是（﹣3，0），（0，2），∴OA＝3，OB＝2，∠AOB＝90°，∵△OA'B'≌△AOB，∴OA′＝OA＝3，A′B′＝OB＝2，∠B′A′O＝90°，∵點B′在第四象限，∴點B′的坐標是（3，﹣2），故答案為：（3，﹣2）．【點評】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，能熟記全等三角形的對應(yīng)邊相等是解此題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°，則∠DAE的度數(shù)為25°．【分析】根據(jù)作圖痕跡判斷可以求出∠BAD，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC即可求出∠CAD解決問題．【解答】解：觀察尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線DF是線段AB的垂直平分線，射線AE是∠DAC的角平分線．∵DF垂直平分線段AB，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝40°，∵∠B＝40°，∠C＝50°，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝50°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE＝∠CAD＝25°．故答案為：25°．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題．15．（3分）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝45°，在腰AB上取一點D，DE⊥BC，垂足為E，另一腰AC上的高BF交DE于點G，垂足為F，若BE＝3，則DG的長為6．【分析】過點G作MG⊥BF交BD于點M，過點M作NM⊥ED，根據(jù)等腰三角形各角之間的關(guān)系得出∠FBC＝∠BDE，再由垂直及等量代換得出∠MGD＝∠BDG，利用等角對等邊確定MG＝MD＝BG，DG＝2DN，再由全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【解答】解：過點G作MG⊥BF交BD于點M，過點M作NM⊥ED于N，如圖所示：∵AB＝AC，∠A＝45°，DE⊥BC，∴∠ABC＝∠C＝67.5°，∠BDE＝22.5°，∠ABF＝∠A＝45°，∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝22.5°，∠BGE＝67.5°，∴∠FBC＝∠BDE，∵MG⊥BF，NM⊥ED，∴∠BGM＝∠MND＝90°，∠ABF＝∠BMG＝45°，∴∠MGD＝180°﹣∠BGE﹣∠BGM＝22.5°，MG＝BG，∴∠MGD＝∠BDG，∴MG＝MD＝BG，DG＝2DN，在△DNM與△BEG中，，∴△DNM≌△BEG（AAS）∴DN＝BE＝3，∴DG＝2DN＝6，故答案為：6．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，熟練運用等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題（共75分）16．（8分）解方程．（1）＝．（2）+2＝．【分析】（1）根據(jù)解分式方程的過程即可求解；（2）根據(jù)解分式方程的過程即可求解．【解答】解：（1）去分母，得5（2x+1）＝x﹣1，去括號，得10x+5＝x﹣1，移項，合并同類項，得9x＝﹣6，系數(shù)化為1，得x＝﹣，檢驗：把x＝﹣代入（x﹣1）（2x+1）≠0，所以x＝﹣是原方程的解；（2）去分母，得1+2（x﹣2）＝x﹣1，去括號，得1+2x﹣4＝x﹣1，移項，合并同類項，得x＝2，檢驗：把x＝2代入x﹣2＝0，所以此方程無解．【點評】本題考查了解分式方程，解決本題的關(guān)鍵是解分式方程時要驗根．17．（8分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中x＝3．【分析】先算括號里面的，再算除法，最后把x＝3代入進行計算即可．【解答】解：原式＝[﹣]?＝[﹣]?＝?＝，當(dāng)x＝3時，原式＝＝2．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，此類題型的特點是：利用方程解的定義找到相等關(guān)系，再把所求的代數(shù)式化簡后整理出所找到的相等關(guān)系的形式，再把此相等關(guān)系整體代入所求代數(shù)式，即可求出代數(shù)式的值．18．（9分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位，△ABC的三個頂點都在格點上．（1）在網(wǎng)格中畫出△ABC向下平移3個單位得到的△A1B1C1；（2）在網(wǎng)格中畫出△ABC關(guān)于直線m對稱的△A2B2C2；（3）在直線m上畫一點P，使得C1P+C2P的值最?。痉治觥浚?）根據(jù)圖形平移的性質(zhì)畫出△A1B1C1即可；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出△ABC關(guān)于直線m對稱的△A2B2C2即可；（3）連接C1C2交直線m于點P，則點P即為所求點．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求；（3）連接C1C2交直線m于點P，則點P即為所求點．【點評】本題考查的是作圖﹣軸對稱變換，熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．19．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AC的垂直平分線，求證：△BCD是等腰三角形．【分析】先由AB＝AC，∠A＝36°，可求∠B＝∠ACB＝72°，然后由DE是AC的垂直平分線，可得AD＝DC，進而可得∠ACD＝∠A＝36°，然后根據(jù)外角的性質(zhì)可求：∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，根據(jù)等角對等邊可得：CD＝CB，進而可證△BCD是等腰三角形．【解答】證明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，∵DE是AC的垂直平分線，∴AD＝DC，∴∠ACD＝∠A＝36°，∵∠CDB是△ADC的外角，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝72°，∴∠B＝∠CDB，∴CB＝CD，∴△BCD是等腰三角形．【點評】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．20．（10分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．（1）求證：△ADC≌△CEB．（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的長度．【分析】（1）結(jié)合條件利用直角三角形的性質(zhì)可得∠BCE＝∠CAD，利用AAS和證得全等；（2）由全等三角形的性質(zhì)可求得CD＝BE，利用線段的和差可求得BE的長度．【解答】（1）證明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），在△ADC與△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，則AD＝CE＝5cm，CD＝BE．∵CD＝CE﹣DE，∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），即BE的長度是2cm．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．21．（8分）某班級組織同學(xué)們乘坐大巴車前往距學(xué)校50千米的博物院開展“研學(xué)之旅”．大巴車從學(xué)校出發(fā)，其中一位老師因有事耽誤，沒有趕上大巴車，因此比大巴車晚小時從學(xué)校自駕小汽車出發(fā)，并以大巴車1.5倍的速度走同樣的路線趕往博物院，結(jié)果與大巴車同時到達．求大巴車和小汽車的平均速度．【分析】設(shè)大巴車的平均速度為xkm/h，則小汽車的平均速度為1.5xkm/h，利用時間＝路程÷速度，結(jié)合小汽車比大巴車少用20min，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出大巴車的平均速度，再將其代入1.5x中，可求出小汽車的平均速度．【解答】解：設(shè)大巴車的平均速度為xkm/h，則小汽車的平均速度為1.5xkm/h，根據(jù)題意得：﹣＝，解得：x＝50，經(jīng)檢驗，x＝50是所列方程的解，且符合題意，∴1.5x＝1.5×50＝75．答：大巴車的平均速度為50km/h，小汽車的平均速度為75km/h．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．22．（12分）綜合與實踐：【問題情境】如圖，池塘的兩端有A，B兩點，現(xiàn)需要測量該池塘的兩端A，B之間的距離，需要如何進行呢？【方案解決】同學(xué)們想出了如下的兩種方案：方案①：如圖1，先在平地上取一個可直接到達A，B的點C，再連接AC，BC，并分別延長AC至點D，BC至點E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距離就是AB的距離；方案②：如圖2，過點B作AB的垂線BF，在BF上取C，D兩點，使BC＝CD．接著過點D作BD的垂線DE，在垂線上選一點E，使A，C，E三點在一條直線上，則測出DE的長即是AB的距離．問：（1）方案①是否可行？請說明理由；（2）方案②是否可行？請說明理由；（3）李明同學(xué)提出，在方案②中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，只需要AB∥DE就可以了，請把李明所說的條件補上．【分析】（1）利用SAS定理證明△ABC≌△DEC可得AB＝DE；（2）利用A