高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例設(shè)計(jì)匯編

（下部）

19、正弦定理（2）

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)必修5》（人教A版）

第一章，正弦定理第一課時(shí)，是在高二學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識(shí)之后，顯然是對(duì)

三角知識(shí)的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)初中解直角三角形

內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。

根據(jù)實(shí)際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一層次教師

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶

著疑問(wèn)，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過(guò)“作高法”、“等積法”、“外

接圓法”、“向量法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，并得到三

角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。學(xué)生

通過(guò)對(duì)任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察——實(shí)驗(yàn)——

猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇

于求真的精神。

二、學(xué)情分析

對(duì)普高高二的學(xué)生來(lái)說(shuō)，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量

等知識(shí)，有一定觀察分析、解決問(wèn)題的能力，但對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、

應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，

提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問(wèn)題、

解決問(wèn)題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅。

三、設(shè)計(jì)思想：

本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過(guò)程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，

以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定

理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、

討論問(wèn)題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，

在知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程中展開(kāi)思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解

決問(wèn)題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。

四、教學(xué)目標(biāo)：

1.讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā)，通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，共

同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，實(shí)驗(yàn)，猜想,

驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方

法，理解三角形面積公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問(wèn)

題。

2.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解

決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)

創(chuàng)造性思維的能力。

3.通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇

于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)的興趣。

4.培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)平面幾何、三角

形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系

與辯證統(tǒng)一。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過(guò)程。

教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計(jì)算器，直尺，量角器。

六、教學(xué)過(guò)程：

（一）結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)

有測(cè)得CA距離，如果船上有測(cè)角儀我們能否計(jì)算出A、B的距離？

學(xué)生：思考提出測(cè)量角A,C

教師：若已知測(cè)得N64C=75。，=45°,要計(jì)算A、B兩

地距離，你（圖1）

有辦法解決嗎？

學(xué)生：思考交流，畫一個(gè)三角形使得"C為6cm,ZBWC=75。，

ZA'CB'=45°,量得A?距離約為4.9cm,利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為

490mo

老師：對(duì)，很好，在初中，我們學(xué)過(guò)相似三角形，也學(xué)過(guò)解直角三角形，

大家還記得嗎？

師生：共同回憶解直角三角形，①直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊

及兩個(gè)角。②直角三角形中，已知一邊和一角，可以求另兩邊及第三個(gè)角。

o教師：引導(dǎo)，AA6C是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計(jì)算AB呢？

學(xué)生：思考，交流，得出過(guò)A作于。如圖2,把AABC分為兩個(gè)直角

三角形，解題過(guò)程，學(xué)生闡述，教師板書。

解：過(guò)A作于。

在心AACZ）中，sinZACfi=—

AC

AD=AC?sinZACB=600x—=30。萬(wàn)

2

ZACB=45°,ABAC=75°

ZABC=180-ZACB-ZACB=60

在&MB。中，sinZABC=—

AB

AD30072

...AB200

sinZABCG

T

教師:表示對(duì)學(xué)生贅賞，那么剛才解決問(wèn)題的過(guò)程中，若AC=人，AB=c,

能否用3、b、C表示c呢？

教師：引導(dǎo)學(xué)生再觀察剛才解題過(guò)程。

學(xué)生:發(fā)現(xiàn)sinC=^^,sinB-

bc

AD-Z?sinC=csinB

bsinC

sinB

教師:引導(dǎo)，在剛才的推理過(guò)程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？

發(fā)現(xiàn)即然有c=變見(jiàn)C,那么也有c=^0,OsinA

學(xué)生:Cl—o

sinBsinAsinB

九曰bsinCasinC

教師：5I干c=--------,c=--------a=變見(jiàn)4我們習(xí)慣寫成對(duì)稱形式

sinBsinAsin8

cbcaab

―9—,一,因此我們可以發(fā)現(xiàn)=是

sinCsinBsinCsinAsinAsinBsinAsinBsinC

否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開(kāi)頭，那就意味著成功

的一半。因此，我通過(guò)從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問(wèn)題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激

發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，在解決問(wèn)題后，對(duì)特

殊問(wèn)題一般化，得出一個(gè)猜測(cè)性的結(jié)論——猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想

意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想

教師：給學(xué)生指明一個(gè)方向，我們先通過(guò)特殊例子檢驗(yàn)，二=_竺=，是

sinAsinBsinC

否成立，舉出特例。

（1）在△ABC中，NA,ZB,NC分別為60。，60°,60°,對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a:b:

c為1:1:1,對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為立，立，縣,引導(dǎo)學(xué)生考察上,

222sinAsinB

，的關(guān)系。（學(xué)生回答它們相等）

sinC

（2）、在aABC中，NA,ZB,NC分別為45。，45°,90°,對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)

a:b:c為1:1:41,對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為在，—,1;（學(xué)生回答它們相

22

等）

（3）、在△ABC中，ZA,NB,NC分別為30。，60°,90°,對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)

a:b:c為I:73:2,對(duì)應(yīng)角的正弦值分別嗎，乎，10（學(xué)生回答它們相等）

（圖3）

（圖3）

教師：對(duì)于R/AA5C呢？

學(xué)生：思考交流得出，如圖4,在ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

貝寸有sin/=色，sinB=—,又sinC=l=2,

CC

則，一=上=，

sinAsinBsinC

從而在直角三角形ABC中，金力—

教師：那么任意三角形是否有，=上=，-呢？學(xué)生按事先安排分

sinAsinBsinC

組，出示實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，讓學(xué)生閱讀實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，質(zhì)疑提問(wèn)：有什么不明白的地

方或者有什么問(wèn)題嗎？（如果學(xué)生沒(méi)有問(wèn)題，教師讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，附實(shí)驗(yàn)報(bào)

告單。）

學(xué)生：分組互動(dòng)，每組畫一個(gè)三角形，度量出三邊和三個(gè)角度數(shù)值，通過(guò)實(shí)

驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，比較二二、一絲、，的近似值。

sinAsinBsinC

教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，，一、一也、一J值仍然保持

sinAsinBsinC

相等。

我們猜想：，二上二-^

sinAsinBsinC

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自

己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。

（三）證明猜想，得出定理

師生活動(dòng):

教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對(duì)任意的三角形，如何

用數(shù)學(xué)的思想方法證明‘一="一=—J呢？前面探索過(guò)程對(duì)我們有沒(méi)有啟

sinAsinBsinC

發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié)。（以下證明過(guò)程，根據(jù)學(xué)生回答情況

進(jìn)行敘述）

學(xué)生：思考得出

①在R/ZVWC中，成立，如前面檢驗(yàn)。

②在銳角三角形中，如圖5設(shè)BC=a,CA=b,AB=c

作：AD±BC,垂足為。

在心AABD中，sinB=—

AB

/.AD=AB?sin3=sin3

在MAADC中，sinC=—

AC

AD=AC?sinC=〃?sinC

.\csinB=Z?sinC

.c_b

sinCsinB

同理，在AABC中，，—=—J

sinAsinC

.a_b_c

sinAsinBsinC

③在鈍角三角形中，如圖6設(shè)NC為鈍角，BC=a,CA=b,AB=c

作AD_L6C交8c的延長(zhǎng)線于。

在R/AAD6中，sin8=理

AB

AD=AB?sin8=c?sin8

在RfAADC中，sinZAC￡）=—

AC

:.AD=AC*sinZACD=8?sinZACB

.\c^smB=h^sinZACB

?____c________b_（圖6）

sinZACBsinB

同銳角三角形證明可知，一=」一

sinAsinC

ab?____________c____________________________

sinAsinBsinZACB

教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理:在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的

正弦的比相等，即

bc

sinAsinBsinC

還有其它證明方法嗎？

學(xué)生：思考得出，分析圖形（圖7）,對(duì)于任意△ABC,由初中所學(xué)過(guò)的面積公式

可以得出：sMBC,

而由圖中可以看出：sinZBAC=—,sinZACfi=—,sinZABC=—

ABACBC

BD=AB-sinABAC,AE=AC?sinZACB,CF=BC?sinZABC

S,.=-AC?BD=-CB?AE^-BA?CF

MAliIC!r222

=-AC?AB*sinN8AC='C8?CA?sinNAC8=，8A?6。?sinZABC

222

=—/??c?sin?BAC=—??Z?*sinZACH='c?a?sinNABC

222

等式—Z??c*sinABAC=—a?b9sinZACB--c?a?sinZABC中均除以—abc后可得

2222

sinABACsinZABCsinZACB

----------------------------------------------二-----------------------,

abc

即a=b=c。

sinZBACsinZABCsinZACB

教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時(shí)板書證明過(guò)程。

ADC

（圖7）

在剛才的證明過(guò)程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高AE=c?sinZABC=a?sinZABC,三角

形的面積：S^BC=J?a*AE,能否得到新面積公式

學(xué)生：S=-b?c?sinZBAC=-a?b?sinZACB=-c?a?sinZABC

MBRCr222

得到三角形面積公式Sw--absinC=—casinB=—Z?csinA

222

教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：,、一絲、」二都等于同一個(gè)

sinAsinBsinC

比值%,那么它們也相等，這個(gè)人到底有沒(méi)有什么特殊幾何意義呢？

學(xué)生：在前面的檢驗(yàn)中，Rt^ABC中，

abc

c恰為外接接圓的直徑,即

sinAsinBsinC

c=k=2R,所以作AABC的外接圓。，。為圓心,連接8。

并延長(zhǎng)交圓。于9，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。

證明：連續(xù)80并延長(zhǎng)交圓于9

（圖8）

ZB'AB=90°,NB'=/C

在Rtm'AB中,

ABAB

B'B=2R

sinB'sinC

即—=2R

sinC

同理可證：工=2R,上-=2R

sinAsinB

sinAsinBsinC

ab

教師：從剛才的證明過(guò)程中,=2R,顯示正弦定理的比值等

sinAsinBsinC

于三角形外接圓的直徑2H,我們通過(guò)“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平

面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識(shí)來(lái)證明正弦定理？比如，在向量

中，我也學(xué)過(guò)￡?B=|@?W?cose,這與邊的長(zhǎng)度和三角函數(shù)值有較為密切的聯(lián)系,

是否能夠利用向量積來(lái)證明正弦定理呢？

學(xué)生：思考（聯(lián)系作高的思想）得出:

在銳角三角形AA5C中，AB+BC=AC,作單位向量j垂直于4C,

AC?j=AB?J+BC?J

4C

即0=c?cos(90。一A)+a?cos(90°-C)

cesinA-cz>sinC=O

?__c______a_

sinCsinAjJ

同理：...上=，_

sinBsinA

?__a___b____c_

sinAsinBsinC

對(duì)于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡(jiǎn)單交代。

教師：由于時(shí)間有限，對(duì)正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)回家再探

索。

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷證明猜想的過(guò)程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)

論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程。

（四）利用定理，解決引例

師生活動(dòng)：

教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問(wèn)題。

學(xué)生：馬上得出

在AABC中，NB=180—NA—NC=60=-

sinCsinB

..c=^￡=6OO?sin45°=2oo鬲

sinBsin60°

（五）了解解三角形概念

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識(shí)的完整性

教師：一般地，把三角形的三個(gè)角A、6、C和它們的對(duì)邊a、h.c叫做三角形

的元素，已知，三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。

設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會(huì)用新的知識(shí)，新的定

理，解決問(wèn)題更方便，更簡(jiǎn)單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識(shí)的欲望。

（六）運(yùn)用定理，解決例題

師生活動(dòng)：

教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問(wèn)題。

學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問(wèn)題類型：

①如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，

如。=如口

sin8

②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩角，如

sin/=gsin6。

b

師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要

是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟。

例1:在AABC中，已知A=30。，6=45。，a=6cm,解三角形。

分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和

為180P求出第三個(gè)角NC,再由正弦定理求其他兩邊。

例2:在AABC中，已知a=2&,b=2y/3,A=45°,解三角形。

例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解

題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流

學(xué)生：反饋練習(xí)（教科書第5頁(yè)的練習(xí)）

用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。

設(shè)計(jì)意圖：自己解決問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力，使學(xué)生體驗(yàn)到成

功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，“我要研究”的主動(dòng)學(xué)習(xí)。

（七）嘗試小結(jié):

教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。

學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。

師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時(shí)補(bǔ)充，要體現(xiàn)：

(1)正弦定理的內(nèi)容(，二=_竺=上=2/?)及其證明思想方法。

sinAsinBsinC

(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知

三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其他元素。

(3)分類討論的數(shù)學(xué)思想。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。

(八)作業(yè)設(shè)計(jì)

作業(yè)：第10頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第1、2題。

思考題：例2:在AABC中，已知a=2正，〃=26，4=45。，解三角形。例2中8=2百

分別改為b=2指，8=火并解三角形，觀察解的情況并解釋出現(xiàn)一解，兩解，無(wú)

解的原因。

課外鏈接：課后通過(guò)查閱相關(guān)書籍，上網(wǎng)搜索，了解關(guān)于正弦定理的發(fā)展及

應(yīng)用(相關(guān)網(wǎng)址：www.fayz.com)

七、設(shè)計(jì)思路：

本節(jié)課，學(xué)生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)的思

路中，學(xué)生積極主動(dòng)參與一個(gè)個(gè)相關(guān)聯(lián)的探究活動(dòng)過(guò)程，通過(guò)“觀察——實(shí)驗(yàn)

——?dú)w納——猜想——證明”的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)并證明定理，讓學(xué)生經(jīng)歷了

知識(shí)形成的過(guò)程，感受到創(chuàng)新的快樂(lè)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。其次，以問(wèn)

題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，促使學(xué)生去思考問(wèn)題，去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，讓學(xué)生在“活動(dòng)”

中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。

1、結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)

數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問(wèn)題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，

引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識(shí)解決新的問(wèn)題，方法一通過(guò)相似三角形相似比相

等進(jìn)行計(jì)算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學(xué)在解決問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，提出

猜想，使學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理等活動(dòng)中，逐步形成創(chuàng)新意識(shí)。

2、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想

通過(guò)特例檢驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，提高了學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作、分析思考和抽象概

括的能，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲望，體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的

兩個(gè)側(cè)面。

3、證明猜想，得出定理

引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生從角度進(jìn)行證明定理，展示自己的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的

能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣，愛(ài)好，在知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程中展開(kāi)思維，培養(yǎng)推

理的意識(shí)。

附一：

實(shí)驗(yàn)報(bào)告單

組長(zhǎng)：組員：

研究三角形中各邊和它對(duì)角的正弦值的比（，一,上，,）

試驗(yàn)?zāi)康?/p>

sinAsinBsinC

是否相等。

實(shí)驗(yàn)器材計(jì)算器，直尺，量角器，硬紙板（由老師統(tǒng)一發(fā)）

實(shí)驗(yàn)方法畫一個(gè)任意三角形，量取三邊和三個(gè)角的值，并計(jì)算。

三邊：a=__________b=__________c=______________

實(shí)驗(yàn)內(nèi)容三角：A二_________B二_________C二____________

計(jì)算：，-二_________工二____________工;________________

sinAsinBsinC

（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）

結(jié)論:

點(diǎn)評(píng)：

本節(jié)定理教學(xué)課，教師把重點(diǎn)放在定理的發(fā)現(xiàn)與證明上，符合新課標(biāo)重視

過(guò)程與方法的理念，克服了傳統(tǒng)教學(xué)只注重結(jié)論的傾向。首先，利用解決一個(gè)

可測(cè)量?jī)山且粚?duì)邊，求另一對(duì)邊的實(shí)際問(wèn)題引入，在解決實(shí)際問(wèn)題中，引導(dǎo)學(xué)

生發(fā)現(xiàn)“三角形三邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦值的比相等”的規(guī)律；通過(guò)對(duì)特殊三角

形的驗(yàn)證，大膽猜想對(duì)任意三角形成立；接著證明了這個(gè)定理。在課堂上展示

了定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，使學(xué)生感受到創(chuàng)新的快樂(lè)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同

時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)了“觀察一實(shí)驗(yàn)一歸納一猜想一證明”的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷了

知識(shí)形成的過(guò)程，符合新課標(biāo)重視過(guò)程與方法的理念。其次，在解決引例中的

測(cè)量問(wèn)題時(shí)利用用初中相似三角形知識(shí)、正弦定理的不同證法（轉(zhuǎn)化為直角三

角形、輔助以三角形外接圓、向量）等，都體現(xiàn)了“在已有知識(shí)體系的基礎(chǔ)上

去建構(gòu)新的知識(shí)體系”的理念，加強(qiáng)了知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活

性。定理證明的方法一、方法二，參透了分類、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。但是，本節(jié)

課的教學(xué)內(nèi)容還是偏多，在時(shí)間分配上要有規(guī)劃，突出重點(diǎn)，刪繁就簡(jiǎn)；引入

的例題要注意條件更加明確直接，以免產(chǎn)生歧義，沖淡主體，浪費(fèi)時(shí)間。

總之，本節(jié)課有效地采用了探究式教學(xué)，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)

立自主和合作交流為前提，以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)

和證明”為基本探究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題

的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，感受“觀

察——實(shí)驗(yàn)——猜想——證明——應(yīng)用”等環(huán)節(jié)，教學(xué)過(guò)程流暢，在知識(shí)的形

成、發(fā)展過(guò)程中展開(kāi)思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能

力和創(chuàng)造性思維的能力。

20、正弦定理（3）

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“正弦定理”是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書?數(shù)學(xué)（必修5）》（人教版）

第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也

是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量等知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為

三角形計(jì)算問(wèn)題的其它數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具，因此具有

廣泛的應(yīng)用價(jià)值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方

法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒(méi)有回答，而確實(shí)又是學(xué)生

所關(guān)心的問(wèn)題。

本節(jié)課是“正弦定理”教學(xué)的第一課時(shí)，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定

理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)

習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而

且通過(guò)對(duì)定理的探究，能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生

提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角

函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對(duì)解直角三角形、三角函數(shù)、平面向

量已形成初步的知識(shí)框架，這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)又是突破

定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定

理之一，《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過(guò)程，并能運(yùn)用它解決一

些實(shí)際問(wèn)題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。

三、設(shè)計(jì)思想

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提，是高中新

課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為：“知

識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的。”這個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理

解就是：知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有

的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動(dòng)建

構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教

師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循

這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。

四、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形的邊與其對(duì)角的關(guān)系的探索，掌握正弦

定理的內(nèi)容及其證明方法。

2、過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā)，共同探究在任意三角形中，邊

與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到

正弦定理等方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：在平等的教學(xué)氛圍中，通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的

交流、合作和評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)

難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)

六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）設(shè)置情境

利用投影展示：如圖1,一條河的兩岸平行，河寬

d=Tkm。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來(lái)之前,8急需將碼

頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運(yùn)到正對(duì)

-O------------

岸的碼頭B處或其下游1碗的碼頭C處，請(qǐng)你確A圖1定轉(zhuǎn)運(yùn)方

案。已知船在靜水中的速度匕=5%初〃，水流速度匕=3癡/〃。

【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)起源于生活，運(yùn)用于生活”的思想意識(shí)，同

時(shí)情境問(wèn)題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。

（二）提出問(wèn)題

師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)身處地地考慮有關(guān)的問(wèn)題，將各自的

問(wèn)題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。

待各小組將問(wèn)題交給老師后，老師篩選了幾個(gè)問(wèn)題通過(guò)投影向全班展示，

經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個(gè)問(wèn)題：

1、船應(yīng)開(kāi)往B處還是C處？

2、船從A開(kāi)到B、C分別需要多少時(shí)間？

3、船從A到B、C的距離分別是多少？

4、船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？

5、船應(yīng)向什么方向開(kāi)，才能保證沿直線到達(dá)B、C?

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組交流，提供一定的研究學(xué)習(xí)與情感交流的時(shí)空，培養(yǎng)

學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；問(wèn)題源于學(xué)生，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)

習(xí)的興趣；問(wèn)題通過(guò)老師的篩選，確定研究的方向，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。

師：誰(shuí)能幫大家講解，應(yīng)該怎樣解決上述問(wèn)題？

大家經(jīng)過(guò)討論達(dá)成如下共識(shí)：要回答問(wèn)題1,需要解決問(wèn)題2,要解決問(wèn)題

2,需要先解決問(wèn)題3和4,問(wèn)題3用直角三角形知識(shí)可解，所以重點(diǎn)是解決問(wèn)

題4,問(wèn)題4與問(wèn)題5是兩個(gè)相關(guān)問(wèn)題。因此，解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是解決問(wèn)題

4和5。

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問(wèn)題對(duì)應(yīng)的示意

圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生1:船從A開(kāi)往B的情況如圖2,根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，可求得船在河水

中的速度大小M及匕與嶺的夾角。：

3=如|2_|2|2=,52—32=4,

sine=lAl=3,用計(jì)算器可求得?！?7。

\v215

船從A開(kāi)往C的情況如圖3,IADIHV,h5,

\DE\=\AF|=|V2|=3,易求得NA￡D=NE4F=45。，

及u,我還不知道怎樣解這兩個(gè)問(wèn)題。

師：請(qǐng)大家思考，這兩個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)

部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和

第三邊。

【設(shè)計(jì)意圖】將問(wèn)題數(shù)學(xué)化，有助于加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)

生的數(shù)學(xué)意識(shí)。

師：請(qǐng)大家討論一下，如何解決這兩個(gè)問(wèn)題？

生3：不知道。

師：圖2的情形大家都會(huì)解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有

何異同點(diǎn)？

生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一

邊的對(duì)角和第三邊。但圖2中AADE是直角三角形，而圖3中AADE不是直角三

角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關(guān)系求解。

師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來(lái)解呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師的問(wèn)題引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的

化歸思想，同時(shí)為下一步用特例作為突破口來(lái)

定理以及用作高的方法來(lái)證明正弦定理做好

生5:能，過(guò)點(diǎn)D作。于點(diǎn)G(如

DG|=|v)|sinZDAG=\DE\sinZAED

IAG|=|v||cosND4G,|EG|=|DE\cosZAED

.|DE|sinZAED3sin45°372

二sinNDAG=-------------------=-----------=------

|v,|510

Iv|=|AG\+\GE\=---

師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個(gè)直角三角形求解。但

在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個(gè)三角形都劃分為直角三角形

求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關(guān)系求解呢？三角形中，

任意兩邊與其對(duì)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師對(duì)學(xué)生的肯定評(píng)價(jià)，創(chuàng)造一個(gè)教與學(xué)的和諧環(huán)境，既

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使緊接著的問(wèn)題能更好地得到學(xué)生的認(rèn)同，又有利于學(xué)

生和教師的共同成長(zhǎng)。

(三)解決問(wèn)題

1、正弦定理的引入

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí)，是怎樣處理的？

眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法?？梢砸灾苯侨切螢?/p>

特例，先在直角三角形中試探一下。

師：如果一般三角形具有某種邊角關(guān)系，對(duì)于特殊的三角形——直角三角

形也是成立的，因此我們先研究特例，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)直角三角形進(jìn)行研究，尋找

一般三角形的各邊及其對(duì)角之間有何關(guān)系？同學(xué)們可以參與小組共同研究。

(1)學(xué)生以小組為單位進(jìn)行研究；教師觀察學(xué)生的研究進(jìn)展情況或參與學(xué)

生的研究。

(2)展示學(xué)生研究的結(jié)果。

【設(shè)計(jì)意圖】教師參與學(xué)生之間的研究，增進(jìn)師生之間的思維與情感的交

流，并通過(guò)教師的指導(dǎo)與觀察，及時(shí)掌握學(xué)生研究的情況，為展示學(xué)生的研究

結(jié)論做準(zhǔn)備；同時(shí)通過(guò)展示研究結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，增進(jìn)學(xué)生的成功

感及學(xué)習(xí)的信心。

師：請(qǐng)說(shuō)出你研究的結(jié)論？

生7：工=上=上

sinAsinBsinC

師：你是怎樣想出來(lái)的？

生7：因?yàn)樵谥苯侨切沃校鼈兊谋戎刀嫉扔谛边叀恪?/p>

師：有沒(méi)有其它的研究結(jié)論？(根據(jù)實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析判斷結(jié)

論正確與否，或留課后進(jìn)一步深入研究。)

師：，—=_L=_J對(duì)一般三角形是否成立呢？

sinAsinBsinC

眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)，若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論：

若都成立，則說(shuō)明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

師：這是個(gè)好主意。那么，一=上=上-對(duì)等邊三角形是否成立呢？

sinAsinBsinC

生9：成立。

師：對(duì)任意三角形'=—竺=—J是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于《幾何畫

sinAsinBsinC

板》做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，....

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步形成“情境思考”——“提出問(wèn)題”一

—“研究特例”——“歸納猜想”——“實(shí)驗(yàn)探究”——“理論探究”——“解

決問(wèn)題”的思維方式，進(jìn)而形成解決問(wèn)題的能力。

2、正弦定理的探究

(1)實(shí)驗(yàn)探究正弦定理

師：借助于電腦與多媒體，利用《幾何畫板》軟件，演示正弦定理教學(xué)課

件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個(gè)比值的變化情況。

結(jié)論：，=上=，二對(duì)于任意三角形都成立。

sinAsinBsinC

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)《幾何畫板》軟件的演示，使學(xué)生對(duì)結(jié)論的認(rèn)識(shí)從感性

逐步上升到理性。

師：利用上述結(jié)論解決情境問(wèn)題中圖3的情形，并檢驗(yàn)與生5的計(jì)算結(jié)果

是否一致。

生10:(通過(guò)計(jì)算)與生5的結(jié)果相同。

師：如果上述結(jié)論成立，則在三角形中利用該結(jié)論解決“已知兩邊和其中

一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。”的問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。

【設(shè)計(jì)意圖】與情境設(shè)置中的問(wèn)題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)

用，并強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。

(2)點(diǎn)明課題：正弦定理

(3)正弦定理的理論探究

師：既然是定理，則需要證明，請(qǐng)同學(xué)們與小組共同探究正弦定理的證明。

探究方案：

直角三角形——已驗(yàn)證；

銳角三角形——課堂探究;

鈍角三角形——課后證明0

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)分析，確定探究方案。課堂只讓學(xué)生探究銳角三角形的

情形，有助于在不影響探究進(jìn)程的同時(shí)，為探究銳角三角形的情形騰出更多的

時(shí)間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學(xué)生鞏固課堂的成果。

師：請(qǐng)你(生11)到講臺(tái)上，講講你的證明思

路？

生11:(走上講臺(tái))，設(shè)法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三

角形中的問(wèn)題進(jìn)行解決。通過(guò)作三角形的高，與生

5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD,則

AD=csinB=bsinC,所以

上=—匚，同理可得」一=—絲

sinBsinCsinAsinB

師：因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)從銳角三角形的條件出發(fā)，構(gòu)造等

量關(guān)系從而達(dá)到證明的目的。注意：csinB=bsinC表示的幾何意義是三角形同

一邊上的高不變。這是一個(gè)簡(jiǎn)捷的證明方法！

【設(shè)計(jì)意圖】點(diǎn)明此證法的實(shí)質(zhì)是找到一個(gè)可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系,

為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時(shí)適時(shí)對(duì)學(xué)生作出合情的評(píng)價(jià)0

師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的

等量關(guān)系呢？

學(xué)生七嘴八舌地說(shuō)出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后

確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有

利用價(jià)值：①三角形的面積不變；②三角形外接圓

直徑不變。在教師的建議下，學(xué)生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下

兩種證法：

證法二：如圖6,設(shè)AD、BE、CF分別是AABC的三條高。則有

AD=bsinZACB,

BE=csinZBAC,

CF=a-sinZA8C。

S^BC=ga/.sinN4cB=^Z?c-sinZBAC—c-a-sinZABC

2

abc

"sinABAC~sinAABC~sinZACB

證法三：如圖7,設(shè)3。=2/是AA6C外

徑,則/BAD=90°,ZACB=ZADB

cC

?==BD=2r

'sinZACBsinZADB

同理可證：---=---=2「圖7三角形外接圓

sinNBACsinZABC

abc

"sinABAC~sinZASC-sinZACB

【設(shè)計(jì)意圖】在證明正弦定理的同時(shí)，將兩邊及其夾角的三角形面積公式

及q=±='=2「一并牽出，使知識(shí)的產(chǎn)生自然合理。

sinAsinBsinC

師：前面我們學(xué)習(xí)了平面向量，能否運(yùn)用向量的方法證明呢？

師：任意AABC中，三個(gè)向量A豆、灰、刀間有什么關(guān)系？

生12:AB+BC+CA^6

師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關(guān)系，由通+碇+癰=0轉(zhuǎn)化

成數(shù)量關(guān)系？

生13：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。

師：在存+就+南兩邊同乘以向量了，有（礪+苑+5）.]=0,這里的向量]可

否任意？又如何選擇向量??？

生14：因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0,可考慮讓向量]與三個(gè)向量中的一

個(gè)向量（如向量BC）垂直，而且使三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。

師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請(qǐng)大家具體試一下，看

還有什么問(wèn)題？

教師參與學(xué)生的小組研究，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意兩個(gè)向量的夾角，最后讓學(xué)

A

生通過(guò)小組代表作完成了如下證明。八

證法四：如圖8,設(shè)非零向量/與向量8。垂直。c/

因?yàn)辂?方心+m=6,B』____\c

圖8向量

所以（通+元+函j=0

^AB-]+CA-j=O

|AB||；|-cos<ABJ>+|C4|-|；|cos<C4j>=0

c-|；|-cos（90°+B）+M；|-cos（90°-C）=0

c-\j\-（-sinB）+/??IJI-sinC=0

所以上=，，同理可得，—=_L

sinBsinCsinAsinB

師：能否簡(jiǎn)化證法四的過(guò)程？（留有一定的時(shí)間給學(xué)生思考）

師：通j+而j=0有什么幾何意義？

生15:把麗?，+而.1=0移項(xiàng)可得而；=麗.亍，由向量數(shù)量積的幾何意義可

知畫與麗在7方向上的投影相等。

生16：我還有一種證法

師：請(qǐng)你到講臺(tái)來(lái)給大家講一講。（學(xué)生16上臺(tái)板書自己的證明方法。）

證法五：如圖9,作ADJ_8C,則通與恁

方向上的投影相等，即麗.擊=恁.加

圖9向量

.?.I麗.|砌?cos（90。-B）=|^4C||AD|-cos（90°-C），c.sin6=b?sinC

故」一=」，同理可得上=上

sinBsinCsinAsinB

師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡(jiǎn)捷

明了！

【設(shè)計(jì)意圖】利用向量法來(lái)證明幾何問(wèn)題，學(xué)生相對(duì)比較生疏，不容易馬上

想出來(lái)，教師通過(guò)設(shè)計(jì)一些遞進(jìn)式的問(wèn)題給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的

方法合理分解，有利于學(xué)生理解接受。

（四）小結(jié)

師：本節(jié)課我們是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)猜想、實(shí)驗(yàn)，歸納等思維方法，

最后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節(jié)課，我們研究問(wèn)題的突

出特點(diǎn)是從特殊到一般，利用了幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。我們不僅收獲著結(jié)論，

而且整個(gè)探索過(guò)程我們也掌握了研究問(wèn)題的一般方法。

（五）作業(yè)

1、回顧本節(jié)課的整個(gè)研究過(guò)程，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程;

2、思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？

3、思考：能否借助向量的坐標(biāo)的方法證明正弦定理？

4、當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，證明正弦定理。

【設(shè)計(jì)意圖】為保證學(xué)生有充足的時(shí)間來(lái)完成觀察、歸納、猜想、探究和證

明，小結(jié)的時(shí)間花得少且比較簡(jiǎn)單，這將在下一節(jié)課進(jìn)行完善，因此作業(yè)的布

置也為下節(jié)課做一些必要的準(zhǔn)備。

七、教學(xué)反思

為了使學(xué)生真正成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”

和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程。

我想到了“情境——