第2章對稱圖形一圓

單元測試

精選練習

基礎篇

一、單選題

1.若四邊形ABCD是。0的內接四邊形，ZA：ZC=1：2,則NC=()

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】A

【分析】③。的內接四邊形性質對角和180。，加上已知條件ZC=1：2,即可求得NC.

【詳解】解：?..四邊形A8CD是。。的內接四邊形

/.ZA+ZC=180°

又；NA：ZC=1：2

/.ZC=120°

故選：A.

【點睛】此題考查了OO的內接四邊形性質，解題的關鍵結合已知條件求解.

2.如圖，已知AB為。。的直徑，點C在。。上，乙4=15。，則NBOC的度數為()

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】根據圓周角定理解答.

【詳解】解：ZBOC=2ZBAC=2x15°=30°,

故選：B.

【點睛】本題考查了圓周角定理，要知道，同弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半.

3.如圖，在。。中，AB是弦，半徑于點。，若。C=10,AB=\6,則C。的長為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】連接0A,如圖，利用垂徑定理得到再利用勾股定理計算出0D,然后計算OC-OD

即可.

【詳解】解：連接0A,如圖，

OCA-AB,

：.AD=BD=^AB^8

在Rt4OAD中，0D=yjACf-AD1=>/102-82=6

慶0000=10-6=4.

故選C.

【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

4.下列命題是真命題的是（）

A.相等的圓心角所對的弧，所對的弦相等

B.兩邊及其一邊的對角對應相等的兩個三角形全等

C.線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等

D.菱形的對角線互相平分且相等

【答案】c

【分析】判斷一個命題的真假，需要分析題設能否推出結論.

【詳解】解：A、相等的圓心角所對的弧，所對的弦相等的前提條件是在同一個圓或者半徑相等的圓中，故

A選項不正確；

B、兩邊及其一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等，故B選項不正確；

C、線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，這是線段垂直平分線的性質，故C選項正確；

D、菱形的對角線互相平分但不一定相等，例如一個角為60。的菱形的對角線就不相等，故D選項不正確.

故選：C.

【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假

的關鍵在于對學過的性質定理的掌握程度.

5.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上.點A,8的讀數分別為86。，30。，

則NACB的度數是（）

A.28°B.30°C.36°D.56°

【答案】A

【分析】設半圓圓心為O,連。4,則乙4。8=86。-30。=56。，根據圓周角定理得NACB=gN4OB,

即可得到NACB的大小.

【詳解】設半圓圓心為。，連OA,OB,如圖，

ZAOfi=86°-30o=56°,

ZACB=|ZAOB=1x56°=28°.

故選A.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所

對的圓心角的一半.

6.如圖，是由邊長為1的正六邊形和六角星鑲嵌而成的圖案，則圖中陰影部分的面積是（）

C.246D.485/3

【分析】計算出1個正六邊形的面積，利用矩形的面積減去圖中未涂色部分的面積即可.

【詳解】解：如圖所示,

?.?正六邊形的中心角為60。,

.??每個邊長為1的正六邊形由六個全等的等邊三角形組成，

，A0=03=AB=l,A￡>=1,OD=>JAO2-AD2=—,

因此每個正六邊形的面積為：6x-ABOD=6x-xlx^=^H,

2222

圖中未涂色部分面積等于16個正六邊形的面積：16x里=24百.

2

整個圖形是一個矩形，長為12,寬為46,

矩形的面積為：12x46=486,

因此圖中陰影部分的面積是：48石-246=24班，

故選C.

【點睛】本題考查等邊三角形相關計算，利用等邊三角形計算出每個正六邊形的面積是解題的關鍵.

7.工人師傅為檢測該廠生產的一種鐵球的大小是否符合要求，設計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩

個底角均為90。，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的

大小就符合要求.圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知。。的直徑就是鐵球的直徑，AB

是。。的弦,CO切。。于點，4口18、8。，（7。,若。。=165,/^=81>4加，則這種鐵球的直徑為（）

圖⑴圖（2）

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

【答案】c

【分析】連接。A，OE,設OE與AB交于點P,根據AC=BD,ACLCD,BD_LC力得四邊形ABDC是矩

形，根據CD與切于點E,OE為。的半徑得OELCD,OEA.AB,即=PE=AC,根據邊之

間的關系得B4=8cm,AC=BD=PE=4cm,在放△Q4P,由勾股定理得，PA^OP^OA2,進行計算可

得。4=10,即可得這種鐵球的直徑.

【詳解】解：如圖所示，連接04,OE,設0E與AB交于點尸,

VAC=BD,ACLCD,BDLCD,

.??四邊形A8OC是矩形,

：C￡>與O切于點E,0E為廣。的半徑，

/.OE1CD,OELAB,

：.PA=PB,PE=AC,

VAB=CZ>16cm,

PA=8cm,

AC=BD=PE=4cm,

在此△Q4P,由勾股定理得，

PA'+OP^OA2

82+(04-4產=。/

解得，Q4=10,

則這種鐵球的直徑=204=2x10=20?！?，

故選C.

【點睛】本題考查了切線的性質，垂徑定理，勾股定理，解題的關鍵是掌握這些知識點.

8.如圖，點A,8的坐標分別為A(2,0),B(0,2),點C為坐標平面內一點，BC=1,點M為線段AC

的中點，連接OM,則線段OM的最大值為()

A.y/2B.2夜C.2立+1D.&+g

【答案】D

【分析】根據同圓的半徑相等可知：點C在半徑為1的圓8上，通過畫圖可知，C在80與圓5的交點時,

最小，在的延長線上時，最大，根據三角形的中位線定理可得結論.

【詳解】

?.?點C為坐標平面內一點，BC=1,

；.C在圓8上，且半徑為1,

取。。=。4=2,連接C。，

AM=CM,OD=OA,

:.OM是/\ACD的中位線，

\OM=-CD,

2

當OM最大時，即最大，而。，B,C三點共線時，當C在DB的延長線上時，0M最大，

OB=OD=2,ZBOD=90。,

B。=2夜，

:.CD=2y/2+\，

.-.OM=1cD=x/2+1,即OM的最大值為&+

故選：D.

【點睛】本題考查了坐標和圖形的性質，三角形的中位線定理及圓的相關知識等，確定OM為最大值時點C

的位置，并熟練掌握知識點是解題的關鍵.

9.如圖，四邊形A8CO為矩形，AB=3,BC=4.點尸是線段BC上一動點，點M為線段4P上一

點.ZADM=NBAP，則的最小值為（)

C.V13--D.V13-2

2

【答案】D

【分析】證明44"。=90°，得出點M在。點為圓心，以40為半徑的園上，從而計算出答案.

【詳解】設4。的中點為。，以。點為圓心，AO為半徑畫圓

;四邊形ABCD為矩形

/?NBAP+NMAD=90°

ZADM=ZBAP

ZMAD+AADM=9()

NAMD=90°

二點例在。點為圓心，以A。為半徑的園上

連接。B交圓。與點N

?點B為圓。外一點

，當直線8M過圓心。時，8M最短

,:BO1=AB-+AO1，A0=；AD=2

?*.BO2=9+4=13

，8。=/

BN=BO-AO=4Y?>-2

故選:D.

【點睛】本題考查直角三角形、圓的性質，解題的關鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關知識.

10.如圖，點E是A8C的內心，AE的延長線和;ABC的外接圓相交于點。，與3C相交于點G,則下列

結論：?ZBAD=ZCAD；②若ZB4c=60。，則NBEC=120。；③若點G為3c的中點，則ZBG￡>=90。；④

BD=DE.其中一定正確的個數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據點E是a4?C的內心，可得NBA￡>=NC4￡>,故①正確；連接BE,CE,可得/43C+NAC8=2

(ZCBE+NBCE),從而得到NC8E+/8CE=60。，進而得到N8EC=12()。，故②正確；ZBAD=ZCAD,得

出8D=CD，再由點G為8C的中點，則/BG￡>=90°成立，故③正確；根據點E是ABC的內心和三角形

的外角的性質，可得N8E￡>=；(ZR4C+NA8C),再由圓周角定理可得NOBE=；(/8AC+ZA8C),從而得

到NDBE=NBED,故④正確；即可求解.

【詳解】解：???點E是ABC的內心，

AZBAD=ZCAD,故①正確；

如圖，連接BE,CE,

A

:點E是LABC的內心,

:.NABC=2NCBE,NACB=2NBCE,

：.ZABC+ZACB=2(NCBE+NBCE),

'：ZBAC=60°,

：.ZABC+ZACB=]20°,

：.NCBE+NBCE=60°,

：.ZBEC=\20°,故②正確;

?點E是0BC的內心,

ZBAD=ZCAD,

BD=CD，

?.?點G為8c的中點,

線段AD經過圓心O,

ZBGO=90°成立，故③正確;

:點E是二A6C的內心，

2BAD=NCAD=；NBAC,NABE=NCBE=|ZABC,

NBED^/BAD+NABE,

ZBED=^(ZBAC+ZABC)

'：NCBKNCAD,

：.ZDBE=ZCBE+ZCBD=ZCBE+ACAD,

ZDB￡1=1(ZBAC+ZABC),

ZDBE=ZBED,

/.BD=DE,故④正確;

.??正確的有4個.

故選：D

【點睛】本題主要考查了三角形的內心問題，圓周角定理，三角形的內角和等知識，熟練掌握三角形的內

心問題，圓周角定理，三角形的內角和等知識是解題的關鍵.

二、填空題

II.已知圓錐的側面積是8萬，底面半徑是2,則圓錐的母線長是.

【答案】4

【分析】設母線長為R,可得底面周長為4乃，再由圓錐的側面積是8萬，可得Jx4;rxR=8萬，即可求解.

【詳解】解：設母線長為七

?底面半徑是2,

底面周長=2x27r=4;r,

???圓錐的側面積是8不，

/.—x4^rx/?=8^,解得：R=4.

2

故答案為：4

【點睛】本題主要考查了求圓錐的母線長，熟記圓錐的側面積公式是解答本題的關鍵，難度不大.

12.如圖，四邊形ABC。內接于。。,45為。。的直徑，NA￡)C=130。,連接AC,則N84C的度數為

【答案】40°##40度

【分析】首先利用圓內接四邊形的性質和/4DC的度數求得/5的度數，然后利用直徑所對的圓周角是直

角確定NACB=9()。，然后利用直角三角形的兩個銳角互余求得答案即可.

【詳解】解：：四邊形ABC。內接與。。，ZADC=130°,

,ZB=180°-ZADC=180°-130°=50°,

?.?A8為直徑，

二ZACB=W°,

，NCA8=90°-/2=90°-50°=40°,

故答案為:40°.

【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質及圓周角定理的知識，解題的關鍵是了解圓內接四邊形的對角互

補.

13.如圖.在矩形ABC。中，AB=6,BC=4,以點B為圓心，的長度為半徑畫孤，交4B于點E；以點

A為圓心，AE的長度為半徑畫弧，交4。于點尸.則圖中陰影部分的面積為.（結果保留1）

【答案】24—5乃##-5乃+24

【分析】利用分割法求解即可.

【詳解】解：在矩形ABC。中AB=6,BC=4,

:.BE=BC=4,

：.AE=AB-BE=6-4=2,

?*-Sfff=S矩影ABCD-Sg/^AEF-S晶影BEC

=6x4-史7rxz-史乃巡：

360360

=24-5;r,

故答案為：24-5人

【點睛】本題考查扇形的面積，矩形的面積，明確S疥5比彩4BCQ-S匆修AEF-S扇/BEC是解題的關鍵.

14.如圖，一塊直角三角板的30。角的頂點A落在；。上，其兩條邊分別交。于8,C兩點，連接BC,OB,

OC.若弦8C=3,貝ho的半徑為

5

【答案】3

【分析】根據圓周角等于同弧所對圓心角的一半得到/BOC=60。，推出A80C是等邊三角形，即可求出

0B=BC=3.

【詳解】解：???/?BAC=30。，

，/BOC=60。，

；OB=OC,

...△BOC是等邊三角形，

.,.OB=BC=3,即。的半徑為3,

故答案為：3.

【點睛】此題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定及性質，正確理解同弧所對的圓心角等于圓周角的二

倍是解題的關鍵.

15.如圖，在中，4=90。，。。過點A、C,與交于點。，與BC相切于點C,若NA=32。，則

ZADO=__________

?

C

【答案】64。##64度

【分析】根據同弧對應的圓心角是圓周角的2倍計算出ZDOC,再根據A8〃OC,內錯角ZADO=NDOC得

到答案.

【詳解】如下圖所示，連接OC

B

從圖中可以看出，ND4c是圓弧QC對應的圓周角，/OOC是圓弧DC對應的圓心角

得ZDOC=2ZDAC=64".

是圓0的切線

，OC±BC

；4=90。

，ABLBC

：.AB//OC

ZADO=ZDOC=64

故答案為：64°.

【點睛】本題考查圓的切線的性質，圓周角定理、平行線的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握圓和平行

線的相關知識.

16.在R_ABC中，ZACfi=30°,BC=4,以點B為圓心，適當長度為半徑作弧，分別交54,8c于點M,

N；再分別以點M,N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點。，作射線80,交AC于點E,點

P為射線BE上一動點.若存在△APC是以AC為斜邊的直角三角形，則BP的長為.

［答案］36+而或3也一拒

2"2

【分析】以AC的中點。為圓心，以AO為半徑作圓，射線8E交圓。于點片，P2,連接A《，CPy,AP2,

CP2,過點［作片尸，8C,過點<作邛G_L4B交48于點G,即可得

RB=ZPtFC=ZPtGA=ZPfiB=ZAPtC=AAP2C=90。，根據三角形內角和定理和角平分線得

ZABE=ZCBE=30°,在尺心鹿勺中，設G^=x,貝U即=2x,根據勾股定理得BG=Gr,根據A4s即可證

明得尸［=G￡=x,BF=BG=y/3x,則AG=2-。，CF=4-顯,在RtZ\AG《中，

根據勾股定理得盟=(2-內尸+/，在RSCF6中，根據勾股定理得%=(4-6尸+丁，在R2A［C中,

根據勾股定理得A^+C[2=AC),進行計算即可得.

【詳解】解：如圖所示，以AC的中點。為圓心，以A。為半徑作圓，射線BE交圓。于點R,P2,連接A[,

行，AP2,CP2,過點q作片FL8C,過點[作《GLAB交A8于點G,

則NRFB=ZPtFC=N[GA=N：GB=ZAf^C=ZAP2C=90°,

在RtAABC中，ZACB=3O°,BC=4,

：.ZABC=60°,

由題意得，BE是NA8c得角平分線，

Z.ZABE=NCBE=-ZABC=30°,

2

在MBG＜中,設G4=x,則貼=2x,

根據勾股定理得，BG=y/BR-GR=7(2X)2-X2=瓜,

在ABG/＞和中,

Z.GBPt=ZFBPt

"NBGR=NBF￡

BR=BR

，ZkBG眸△B"；(AAS),

二咐=G＜=x,BF=BG=?,

二AG=AB-BG=2-?,

CF=CB-CF=4-6x,

在Rtz^AGA中，根據勾股定理得，

M=AG2+GFf=(2-揚2+x2,

在RtZSCg中，根據勾股定理得，

CJP2=CF2+哨=(4-A/3)2+x2,

在RtaARC中，根據勾股定理得，

AP；+CP；=AC2,

(2-73)2+X2+(4->^)2+X2=12

8/-12后+8=0

2/—3后+2=0

解得，=3#±J(3百『-4x2x2=3限而,

，X-2^2―4

?,〃3V3±Vn3石土而

BPD=2x=2x-------=--------,

42

故答案為：述MI或撞二叵

22

【點睛】本題考查了直角三角形的性質，勾股定理，角平分線，圓與三角形，圓周角推論，解題的關鍵是

掌握這些知識點.

17.如圖，P是正方形ABCD邊BC上一個動點,線段AE與AD關于直線AP對稱，連接￡?并延長交直線AP

于點尸，連接CF.

(1)如圖1,ZBAP=20P,直接寫出NAFE=____；

(2)如圖2,連接CE,G是CE的中點，AB=\,若點尸從點B運動到點C,直接寫出點G的運動路徑長

為_____.

。寸>，色,

DaDA

圖1圖2

7T

【答案】4507

【分析】⑴由軸對稱的性質可得NZMP=ZE4P=70°,AD=AE,由等腰三角形的性質和三角形內角和定

理可求解;

(2)先確定點G在以。為圓心，3為半徑的圓上運動，再用弧長公式可求解.

【詳解】解：(1)ZBAP=20°,

.?.ZZMP=70°,

線段AE與關于直線AP對稱，

:.ZDAP=^EAP=10Q,AD=AE.

.\ZBAE=50°,AB=AE,

二ZE=ZABE=65。,

.?.ZAFE=180o-70°-65o=45o；

(2)如圖，連接AC,BD交于點0,連接OG,

.四邊形A8C0是正方形，

AO=CO,

又?.G是CE中點，

:.OG=-AE=-AD=-,

222

.??點G在以。為圓心，g為半徑的圓上運動，

?1?點P從點B運動到點C,點G的運動路徑長=—x*=￡,

18004

故答案為：45。，

4

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，軸對稱的性質，三角形中位線定理，求弧長等知識，

靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵.

18.如圖，已知AB=6,以點A為圓心，2為半徑作A,點C為A上一點，以BC為邊作等邊△BCD,

則AD的最大值為.

D

【答案】8

【分析】以圓的半徑AC為邊，作等邊三角形ACE交于圓上一點￡連接他，根據等邊三角形的性質和三

角形全等的判定條件，可得，QC4g.BCE(SAS),進而得至ijAD=E8；在/.A陽中利用三角形三邊關系(三

角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊)可得E8的取值范圍，從而得到AD的最大值.

【詳解】：如圖，以圓的半徑AC為邊，作等邊三角形ACE交于圓上一點E,連接上艮

二ACE和aBCD均為等邊三角形

：.AC=CE=AE=2,DC=BC

ZDCB=ZACE=60°

：.NDCB+NBCA=NACE+NBCA

JZDCA=ZBCE

在A￡)C4和..8CE■中，

AC=CE

<ZDCA=ZBCE

DC=BC

：.ADCA..BCE(SAS)

：.AD=EB

在八ABE中，

AB-AE<EB<AB+AE

AE=AC=2

.\4<EB<8

.\4<AD<8

.?.AZ）的最大值為8.

故答案為：8.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質，圓的性質，全等三角形的判定和性質，三角形三邊關系，解題的關

鍵是構造等邊三角形，合理添加輔助線.

三、解答題

19.如圖，AD,是O的弦，AD1BD,且3短=2AD=8,點C是3。的延長線上的一點，CD=2,求

證：4c是.。的切線.

【答案】證明見解析.

【分析】先由勾股定理的逆定理證明垂直，再由切線的判斷進行解答即可.

【詳解】證明：連接A8,

AD1BD,且80=249=8

：.AB為直徑，A*=82+42=80,

：CD=2,AO=4

AC2=22+42=20

\"CD=2,BD=8,

AB^lO^lOO

AC2+AB2=CB2,

，ZBAC=90°

...AC是。的切線.

【點睛】本題考查切線的判定，圓周角定理的推論，勾股定理的逆定理，解題關鍵是作出輔助線構造直角

三角形.

20.如圖，AB是。。的直徑，CB是弦，OOLCB于E,交BC于。,連接AC.

⑴請寫出三個不同等型的正確結論;

⑵若C8=8,EZ>2,求。。的半徑.

【答案】(1)結論見解析

(2)5

【分析】(1)根據垂徑定理即可證明出BE=CE,BD=8，ZB￡D=90°；

(2)設圓的半徑等于/?,利用垂經定理和勾股定理列方程可求出圓的半徑.

(1)不同類型的正確結論有：①8E=CE：②BD=Cr>；③N8E690。.證明如下：是弦，0DJ_C8

于￡,：.BE=CE,BD=CD-ZBED=90°.

(2)?.?0￡)，CB，8E=CE=gcB=4設半徑等于/?,則OE=。。-2在4△OEB中，由勾股定理得,

OE2+BE2=OB2即(R-2)2+42=/?2解得R=5：.。。的半徑為5.

【點睛】本題主要考查「垂徑定理，求圓的弦，半徑，弦心距的問題可以轉化為解直角三角形的問題，解

題的關鍵是熟練掌握垂徑定理.

21.如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系內，AAB。的三個

頂點坐標分別為A(-l,3),B(-4,3),0(0,0).

(1)畫出△AB。繞點。順時針旋轉90。后得到的4A1B1O-.

(2)在(1)的條件下，求點A旋轉到點4/所經過的路徑長(結果保留力).

【答案】(1)作圖見解析

(2)—

【分析】(1)先畫出A點和B點繞點。順時針旋轉90。的對應點，再連接A/B/、BIO、A/O即可；

(2)點A旋轉到點A/所經過的路徑是一段弧，圓弧對應的半徑0A=J6,圓心角乙404=90。，根據圓弧

的計算公式即可得出答案.

(1)如圖，△A/B/O即為所求

叵兀

(2)依題意：NAOA/=90。，OA=Jii.?.點A旋轉到4所經過的路徑長為:"x2“M=

36002

【點睛】本題考查了旋轉作圖，熟練掌握性質是本題的關鍵.

22.如圖，在AABC中，AB=BC,以AB為直徑的。。交AC于點￡>,過點。作切線。E交AB的延長線于

點E,交BC于點F.

(1)求證：BC1DE；

(2)若48=4,NA=30。，填空:

①線段AQ的長為；②線段BF的長為.

【答案】(1)見解析

⑵①2石，②1

【分析】(1)證明。。是△A3。的中位線，再根據切線的性質即可證明BCJ_￡>E；

(2)利用含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理即可求解.

(1)

證明：連接BC、OD,

TAB為。O的直徑，

.?.408=90。，AO=OB,

'：AB=BC,

：.AD=DC,

二。。是的中位線，

J.OD//BC,

：力￡是。。的切線，

J.ODA.DE,

J.BCYDE-,

E

B

(2)

解：①；48=4,ZA=30°,ZADB=90°,

：.DB=^AB=2,AD=y]42-22=2^.

②；NA=30°,

?\ZBOD=60°,

.?.△OB。是等邊三角形，

ZODB=60°,

,：ODLDE,

：.ZBDF=30°,

YBCLDE,

：.ZDFB=90°,

：.BF=-BD=i,

2

故答案為：①26,②L

【點睛】本題考查了切線的性質，三角形中位線定理，含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理，解答

本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

23.已知AB是一。直徑，PC,P8分別切(。于點C,B.

(1)如圖①，若NA=58。，求NP的度數；

(2)如圖②，延長OB到點。，使BD=OB,連接PO,若NDPC=81。,求N￡＞的度數.

【答案】⑴64°

(2)63°

【分析】（1）連接0C,根據切線的性質得到NPCO=NP8O=90。，根據等腰三角形的性質得到NA=/ACO=58。,

根據三角形外角的性質和四邊形的內角和定理即可得到結論；

（2）連接0P,根據切線的性質得到NC尸。=N8P0,NP8O90。，證明PB是。。的垂直平分線，可得

ZOPB=ZDPB=ZCPO,進而可以解決問題.

（1）

解：如圖，連接0C,

,:PC,P8分別切。。于點C,B,A8是直徑,

NPCO=/P8O=90。，

OC=OA,

:.NA=NACO=58。，

二ZBOC=ZA+ZACO=\\f>°,

：.ZP=360o-90°-90°-l16°=64°；

(2)

解：如圖，連接OP,

,：PC,PB分別切。。于點C,B,A8是直徑,

/.ZCPO=ZBPO,ZPBO=W°,

,:BD=OB,

...P8是。。的垂直平分線,

：.PO=PD,

：.NOPB=NDPB,

：.ZOPB=ZDPB=ZCPO,

ZDPC=SI°,

：.ZOPB=ZDPB=ZCP0=2T,

/.ZD=90o-27o=63°.

【點睛】本題考查/切線的性質，等腰三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

3

24.如圖，P為正比例函數>圖象上的一個動點，OP的半徑為3,設點P的坐標為（x、y）.

（1）求。尸與直線尸2相切時點P的坐標.

（2）請直接寫出。P與直線戶2相交、相離時x的取值范圍.

153

【答案】（1）點P的坐標為（5,彳）或（-1,--）；或x>5

22

【分析】（1）根據直線和圓相切應滿足圓心到直線的距離等于半徑，首先求得點P的橫坐標，再根據直線

的解析式求得點P的縱坐標.

（2）根據（1）的結論，即可分析出相離和相交時x的取值范圍.

【詳解】解：（1）過P作直線k2的垂線，垂足為4

當點P在直線x=2右側時，AP=x-2=3,得x=5；

當點P在直線x=2左側時，PA=2-x=3，得x=-1,

153

...當。P與直線m2相切時,點尸的坐標為(5,y)或(-1，--)；

(2)由(1)可知當-l<x<5時，。尸與直線戶2相交

當x<-l或x>5時，0P與直線x=2相離.

【點睛】本題考查了直線和圓的不同位置關系，根據數量關系正確求解是解決本題的關鍵.

提升篇

1.如圖，。。是△ABC的外接圓，A3為直徑，過點。作OZ）〃BC,交AC于點￡>.

（1）求NAOO的度數；

（2）延長。。交。。于點E,過E作。。的切線，交CB延長線于點F,連接。F交。8于點G.

①試判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；

②若BG=2,AD=3,求四邊形CDEF的面積.

27

【答案】（1）90°；（2）①四邊形C0EF為矩形，理由見解析；②彳

【分析】（1）由圓周角和平行線的性質求出結論.

（2）根據矩形的判定定理得出結論.

（3）根據全等三角形和勾股定理得到方程，聯立方程組求出OA的長度，即可求出矩形的面積.

【詳解】（1）TAB為直徑，

,ZC=90°.

'JOD//BC,

.,.ZAD6>=ZC=90°.

（2）①四邊形CDEF為矩形，理由如下：

：NC=90。，OD//BC,

二NODC=180°—90°=90°.

與。。相切于點E,

ZOEF=90°.

*：NC=NODC=NOEF=90°,

二四邊形CQEF為矩形.

②如圖，連接4E,OC,

9

：OA=OC9OD±ACf

：.AD=DC=3.

由①知四邊形CDEF為矩形,

:?DE=CF.

又,:NAOE二尸二90。，

AAADE^ADCF(SAS).

：?NOEA=NCFD.

■:DE〃CF,

：?/CFD=NODG.

：./ODG=/OEA.

：.DG//AEf

：.ZOGD=ZOAE.

又由OA=OE知/OAE=NOEA,

???/ODG=/OGD,

：.OD=OG.

設OA=x,則OB=OE=x.

?：BG=2,

OG=x-2

/.OD=OG=x-2.

XVAD=3,

13

???在R3ADO中，32+(x-2)2=/,解得工=—

4

.135

.?OE=x=—,OD=x-2=—,

44

9

：?DE=OD+OE=-.

2

927

???矩形COE/的面積為：DCDE=3x-=—.

R

【點睛】本題考查了切線的性質，矩形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質,

找準全等三角形是解題的關鍵.

2.已知：如圖(I),在。0中，直徑A8=4,8=2,直線相交于點E.

(2)如圖(2),AB與C。交于點尸，請補全圖形并求/E的度數；

(3)如圖(3),弦AB與弦CD不相交，求NAEC的度數.

【答案】(1)60°；(2)見解析，60°；(3)60°

【分析】(1)連結OD,OC,BD,根據已知得到ADOC為等邊三角形，根據直徑所對的圓周角是直角，求

出NE的度數；

(2)同理解答(2)(3).

【詳解】(1)如圖(1),連接OROCBO..O￡>=OC=CZ)=2,1OOC為等邊三角形，

..NOOC=60,..NOBC=30°.QAB為直彳仝，..N">B=9O",..N8QE=9O0,.?.NE=90°-30°=60°.故答案

為60。.

(2)如圖(2),直線A2CB交于點E,連接O2OCAC.

OO=OC=C￡>=2".=DOC為等邊三角形，,NZ)OC=60°,.，.ND4C=30".QAB為直徑，

ZACB=NADB=90°,，NCBD=360°-90°-90°-30°=150°,/.NEBD=30°,ZE=90°-30°=60°,

(3)如圖(3),連接O2OC..OD=OC=CD=2,,?.△OOC為等邊三角形，60°,，NC8D=30°,

QAB為直徑，ZADB=90ABED=60",ZAEC=60°.

【點睛】本題考查的是圓周角定理及其推論、等邊三角形的性質，解題的關鍵是正確作出輔助線，構造直

角三角形，利用直徑所對的圓周角是直角進行解答.

3.已知：如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，RsABC的內切圓。0,切點分別為點力、E、F,

(1)若AC=3,BC=4,求AABC的內切圓半徑；

(2)當A￡>=5,BO=7時，求A48C的面積；

(3)當AD=/n,8。=〃時，直接寫出求AABC的面積(用含力，〃的式子表示)為.

【答案】(1)1;(2)35；(3)mn

【分析】(1)連接0E、0F,如圖，設。。的半徑為r,利用勾股定理計算出48=5,利用切線的性質

和切線長定理得到。E_LAC,0F1BC,CE=CF,AE=AD,8尸=8力，則四邊形CU0E為正方形，所以CE

—CF=OE—r,從而得3-r+4-r=5,然后求出r即可；

(2)設③。的半徑為r,利用(1)中的結論得到AE=AC=5,BF=BD=1,AC=5+r,BC=7+r,再利用

勾股定理得到(5+r)2+(7+r)2=(5+7)2,求出『得到AC="[-1,8。=歷+1,然后根據三角形面

積公式求解；

(3)設。。的半徑為r,與(2)一樣得到AE=AO=〃?，BF=BD=n,AC=m+r,BC=n+r,利用勾股定理

得到(m+r)2+(〃+廠)、(〃,+〃)2,解得+J療+/+6〃，〃或,=+(舍

22

去)，所以AC=1c"--+J，"2+〃2+6刃〃)),BC—~(-/n+n+yjm2+n2+6mn),然后利用勾股定理計算?:角

22

形的面積即可.

【詳解】解：(1)連接O。、OE、OF,如圖，設。。的半徑為〃

在RtZSABC中，A8=,3,+42=5,

???RSABC的內切圓。。，切點分別為點。、E、F,

：.OE±AC,OFLBC,CE=CF,AE=AD,BF=BD,

易得四邊形CR9E為正方形，

:.CE=CF=OE=r,

.9.AD=AE=3-r,BD=BF=4-r,

/.3-r+4-r=5,解得r—\,

即△ABC的內切圓半徑為1：

(2)設。。的半徑為小

由(1)得AE=4O=5,BF=BD=7,

/.AC=5+r,BC=7+r,

在RtAABC中，(5+r)2+(7+r)2=(5+7)