專題02二輪復(fù)習(xí)之新定義型問題一、中考專題詮釋二、解題策略與解法精講“新定義型專題”關(guān)鍵要把握兩點：一是掌握問題原型的特點及問題解決的思想方法，二是根據(jù)問題情景的變化，通過認(rèn)真思考，合理進(jìn)行思想方法的遷移三、中考典例剖析考點一：規(guī)律題型中的新定義例1 ．閱讀下面的材料，先完成閱讀填空，再按要求答題：sin30°＝，cos30°＝，則sin230°+cos230°＝；①sin45°＝，cos45°＝，則sin245°+cos245°＝；②sin60°＝，cos60°＝，則sin260°+cos260°＝．③…觀察上述等式，猜想：對任意銳角A，都有sin2A+cos2A＝．④（1）如圖，在銳角三角形ABC中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對∠A證明你的猜想；（2）已知：∠A為銳角（cosA＞0）且sinA＝，求cosA．對應(yīng)訓(xùn)練1.我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質(zhì)，如關(guān)于線段比．面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題．請你利用重心的概念完成如下問題：（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連接AO并延長交BC于D，證明：；（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG，S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值．考點二：運(yùn)算題型中的新定義例2定義新運(yùn)算：對于任意實數(shù)，a、b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運(yùn)算，比如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5（1）求x⊕（﹣4）＝6，求x的值；（2）若3⊕a的值小于10，請判斷方程：2x2﹣bx﹣a＝0的根的情況．對應(yīng)訓(xùn)練2．定義：對于實數(shù)a，符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣2，那么a的取值范圍是．（2）如果[]＝3，求滿足條件的所有正整數(shù)x．考點三：探索題型中的新定義例3定義：直線l1與l2相交于點O，對于平面內(nèi)任意一點M，點M到直線l1、l2的距離分別為p、q，則稱有序?qū)崝?shù)對（p，q）是點M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5對應(yīng)訓(xùn)練3．如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”．（1）請用直尺和圓規(guī)畫一個“好玩三角形”；（2）如圖在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求證：△ABC是“好玩三角形”；（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝2β，點P，Q從點A同時出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點C運(yùn)動，記點P經(jīng)過的路程為s．①當(dāng)β＝45°時，若△APQ是“好玩三角形”，試求的值；②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點P，Q在運(yùn)動過程中，有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”．請直接寫出tanβ的取值范圍．（4）（本小題為選做題）依據(jù)（3）的條件，提出一個關(guān)于“在點P，Q的運(yùn)動過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個數(shù)限定不能為1）考點四：開放題型中的新定義例4若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝120°，∠C＝75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；（2）如圖2，在12×16的網(wǎng)格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點A．B．C均在格點上，請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找一個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形；（3）四邊形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD＝90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)．對應(yīng)訓(xùn)練4．用水平線和豎起線將平面分成若干個邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點稱為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形．設(shè)格點多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數(shù)為a，內(nèi)部的格點個數(shù)為b，則S＝a+（b﹣1）．對于正三角形網(wǎng)格中的類似問題也有對應(yīng)結(jié)論：正三角形網(wǎng)格中每個小正三角形面積為1，小正三角形的頂點為格點，以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形，如圖是該正三角形格點中的兩個多邊形（設(shè)格點多邊形的面積為S，該多邊形各邊上的格點個數(shù)為m，內(nèi)部的格點個數(shù)為n）：（1）根據(jù)圖中提供的信息填表：mn﹣1s多邊形111315多邊形28110…………（2）則S與m、m﹣1之間的關(guān)系為（用含m、n的代數(shù)式表示）．考點五：閱讀材料題型中的新定義例5 對于點A（x1，y1），B（x2，y2），定義一種運(yùn)算：A⊕B＝（x1+x2）+（y1+y2）．例如，A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B＝（﹣5+2）+（4﹣3）＝﹣2，若互不重合的四點C．D，E，F(xiàn)，滿足C⊕D＝D⊕E＝E⊕F＝F⊕D．則C，D，E，F(xiàn)四點都在直線上．對應(yīng)訓(xùn)練5.閱讀理解：一張矩形紙片，剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形．如圖1，矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝9，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形．（1）判斷與操作：如圖2，矩形ABCD長為7，寬為3，它是奇異矩形嗎？如果是，請寫出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫出裁剪線；如果不是，請說明理由．（2）探究與計算：已知矩形ABCD的一邊長為20，另一邊長為a（a＜20），且它是3階奇異矩形，請畫出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫出a的值．四、中考真題演練一．選擇題（共5小題）1．在平面直角坐標(biāo)系中，下列函數(shù)圖象經(jīng)過原點的是（）A．y＝﹣2x+3 B．y＝ C．y＝x（x﹣2） D．y＝x﹣12．若圓錐的軸截圖為等邊三角形，則稱此圓錐為正圓錐，則正圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是（）A．90° B．120° C．150° D．180°3．對于實數(shù)x，我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[]＝5，則x的取值可以是（）A．51 B．45 C．40 D．564．對平面上任意一點（a，b），定義f，g兩種變換：f（a，b）＝（a，﹣b）．如f（1，2）＝（1，﹣2）；g（a，b）＝（b，a）．如g（1，2）＝（2，1）．據(jù)此得g（f（﹣3，﹣7））＝（）A．（﹣3，﹣7） B．（7，3） C．（7，﹣3） D．（﹣7，﹣3）5．連接一個幾何圖形上任意兩點間的線段中，最長的線段稱為這個幾何圖形的直徑，根據(jù)此定義，圖（扇形、菱形、直角梯形、紅十字圖標(biāo)）中“直徑”最小的是（）A． B． C． D．二．填空題（共3小題）6．定義：當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的一個內(nèi)角為30°，那么這個“特征角”α的度數(shù)為．7．在△ABC中，P是AB上的動點（P異于A，B），過點P的一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線．如圖，∠A＝36°，AB＝AC，當(dāng)點P在AC的垂直平分線上時，過點P的△ABC的相似線最多有條．8．對非負(fù)實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為（x）．即當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時，若n﹣≤x＜n+，則（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．給出下列關(guān)于（x）的結(jié)論：（1）（1.493）＝1；（2）（2x）＝2（x）；（3）（x﹣1）＝4，則實數(shù)x的取值范圍是9≤x＜11；（4）當(dāng)x≥0，m為非負(fù)整數(shù)時，有（m+2015x）＝m+（2015x）；（5）（x+y）＝（x）+（y）；其中，正確的結(jié)論是（填寫所有正確的序號）．三．解答題（共4小題）9．定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC2＝BC?AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點．如圖2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于點D．（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；（2）求出線段AD的長．10．對于鈍角α，定義它的三角函數(shù)值如下：sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一個三角形的三個內(nèi)角的比是1：1：4，A、B是這個三角形的兩個頂點，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的兩個不相等的實數(shù)根，求m的值及∠A和∠B的大?。?1．我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”．如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”．其中∠B＝∠C．（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）；（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，∠B＝∠C．E為邊BC上一點，若AB∥DE，AE∥DC，求證：＝；（3）如圖3，在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E．若EB＝EC，則四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”？請說明理由．12．對于平面直角坐標(biāo)