PAGEPAGE187第十章全同粒子10.1兩個自旋為的全同粒子組成一個體系，問體系對稱的自旋波函數(shù)有幾個？反對稱的自旋波函數(shù)有幾個？解，，體系的可能值為，，，…，于是當(dāng)給定時，可取個值，故時，取7個值時，取5個值時，取3個值時，取1個值0于是，總共應(yīng)有16個狀態(tài)。對每個粒子而言，因，其在方向投影可取個值，即，，故每個粒子可能有4個態(tài)，即對第一個粒子有，，，對第二個粒子亦有，，，由它們可組成16個彼此獨(dú)立的可能組合：=，==，=第一、二組是對稱態(tài)共10個，第三組是反對稱態(tài)共6個，在這些態(tài)中，的本征值列表如下：本征值本征值33210-1-2-3320--2-32210-1-220--2110-10-000010.2一個體系由三個全同的玻色子組成，玻色子間無相互作用，玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)，問體系的可能狀態(tài)有幾個？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？解設(shè)兩個單粒子態(tài)為，列表如下狀態(tài)Ⅰ(1)(2)(3)Ⅱ(1)(2)(1)(3)(2)(3)(3)(2)(1)Ⅲ(1)(2)(3)(2)(3)(3)(1)(1)(2)Ⅳ(1)(2)(3)波函數(shù)為10.3兩個質(zhì)量為的粒子以頻率分別作一維諧振動，二粒子間以引力相互作用，其中為一常數(shù)，求粒子的能級和波函數(shù)。解設(shè)兩粒子的坐標(biāo)分別為和，則此二粒子體系的薛定諤方程為（1）引進(jìn)，（2）即，（3）又令，，（4）則薛定諤方程變成（5）式中（6）則（7）用分離變數(shù)法解方程（5），令（8）代入（5）式后用除全式得因而有將（4）、（6）式代入（9）、（10）、（11）式可將（9）、（10）、（11）式化成現(xiàn)（）、（）兩式都是一維諧振子的方程，其能量分別為代入（11）式得二粒子體系的總能量（14）波函數(shù)分別為（15）（16）代入（8）式得二粒子體系的總波函數(shù)（17）10.4兩個自旋為的粒子間有磁相互作用，設(shè)它們的質(zhì)量很大，動能可以忽略，，求這個體系的所有能量本征值、簡并度及本征函數(shù)。解體系的哈密頓算答為其中故體系的本征態(tài)即的本征態(tài)，其本征值為當(dāng)時，體系3度簡并，本征函數(shù)分別是，，本征值當(dāng)時，不簡并，本征函數(shù)為本征值10.5有兩個質(zhì)量都是，自旋都是的全同粒子，處于寬度為的一維無限深勢阱中，忽略兩個粒子間的相互作用，求描寫這兩個粒子體系的能量本征值和本征函數(shù)。并寫出基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)波的具體形式，指出它們的簡并度。解由于不考慮兩粒子的相互作用，故體系的總能量為，體系的波函數(shù)為對于全同費(fèi)米子體系，波函數(shù)應(yīng)是反對稱的，即，是單態(tài)或，是三重態(tài)，基態(tài)，第一激發(fā)態(tài)，是三重態(tài)第十一章宏觀量子效應(yīng)11.1證明速度算符滿足以下對易關(guān)系：證根據(jù)定義因?yàn)槭侨我獾?，故得同理可得其余二式?1.2證明在（40-16）和（40-17）式的規(guī)范變換下，薛定諤方程形式不變（即證明（40-18）式）。證作如下規(guī)范變換（1）則舉電粒子在電磁場中的哈密頓量(2)變成(3)若再作規(guī)范變換（4）則方程（5）將變?yōu)椋?）兩題具有相同的形式，現(xiàn)證明如下：注意到（7）（8）(9)及（3）式的展開式（10）將（7）~（10）式代入（6）式得=整理后得(5)這就證明了（6）式和（5）式具有相同的形式，即在規(guī)范變換下方程具有不變性。11.3證明概率密度和概率流密度滿足規(guī)范不變性。證①的規(guī)范不變性②11.4用（55-10）式的波函數(shù)計(jì)算粒子的概率流密度和。解：已知又11.5證明引起A-B效應(yīng)的相因子是一種Berry相因子，即由（50-18）式可得到（50-10）式。證：設(shè)想電子被禁閉于一個盒子中，盒子繞磁通作閉合運(yùn)動。系統(tǒng)的哈密頓量為（1）式中為盒子的哈密頓量，是盒子質(zhì)心的坐標(biāo)，和是電子的動量和坐標(biāo)，中包含電子的動能和禁閉勢能。設(shè)無勢時，電子定態(tài)的Born-Oppenheimer絕熱波函數(shù)為，可看作為電子運(yùn)動的外參數(shù)，是標(biāo)志不同定態(tài)的量子數(shù)。在無場有勢時，由規(guī)范變換可得波函數(shù)為（2）其中為電磁勢。于是矢量勢(3)由此可見，在-效應(yīng)中與電磁勢成正比，而則與磁感應(yīng)強(qiáng)度成正比。將（3）式代入Berry相因子（4）（4）式表明由Berry相因子可得到-效應(yīng)的相因子，式中為-磁通。11.6自旋為的粒子在一個大小不變僅方向改變的變化磁場中運(yùn)動，其中為常數(shù)，為的函數(shù)，則其Hamiltonian其中為Pauli矩陣，相應(yīng)于本征值的本征矢分別為和試計(jì)算Berry相因子解（1）（2）（3）首先求：在球坐標(biāo)系中故于是(4)即（）這是位于處的磁荷為的磁單極的矢量勢。其次求：在球坐標(biāo)系中，一個矢量的旋度為故這是位于處的磁荷為的磁單極所產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度。最后求：將（5）式代入（1）式得其中為曲線對=0點(diǎn)所張的立體角，號取決于渲化路線的方向。11.7證明速度算符滿足：=（），與經(jīng)典力學(xué)比較，說明其物理意義。提示：利用[，]=（）。證利用算符公式（1）及11.題結(jié)果（2）則有=（3）同理可證（4）（5）合并（3），（4）（5）式得（6）注意到海森伯運(yùn)動方程