2024屆北京市第四中學(xué)順義分校數(shù)學(xué)高一下期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列說法正確的是（）A．命題“若，則.”的否命題是“若，則.”B．是函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增的充分不必要條件C．D．若命題，則2．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為A． B． C． D．3．設(shè)滿足約束條件，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．104．設(shè)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若最大值為5，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．已知，則點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．長方體共頂點(diǎn)的三個相鄰面面積分別為，這個長方體的頂點(diǎn)在同一個球面上，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．7．經(jīng)過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面垂直的平面有()A．1個 B．2個 C．無數(shù)個 D．1個或無數(shù)個8．在等差數(shù)列中，為其前n項和，若，則（）A．60 B．75 C．90 D．1059．已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是，接下來的兩項是，再接下來的三項是，依此類推，記此數(shù)列為，則()A．1 B．2 C．4 D．810．設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為，若,則角=（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在△中，三個內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，則________12．已知，，，則的最小值為________．13．已知數(shù)列的首項，，.若對任意，都有恒成立，則的取值范圍是_____14．若直線y＝x＋m與曲線x＝恰有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.15．在等差數(shù)列中，公差不為零，且、、恰好為某等比數(shù)列的前三項，那么該等比數(shù)列公比的值等于____________．16．方程的解集是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)集合，，求.18．已知四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：PC∥平面EBD；(Ⅱ)求證：平面PBC⊥平面PCD．19．已知為銳角三角形，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．（1）求C；（2）若，且的面積為，求的周長．20．在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且，，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.21．設(shè)向量，，其中.（1）若，求的值；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】“若p則q”的否命題是“若則”，所以A錯。在定義上并不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以B錯。不存在，C錯。全稱性命題的否定是特稱性命題，D對，選D.2、D【解題分析】

將變成，可得，展開后利用基本不等式求解即可．【題目詳解】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.3、B【解題分析】

結(jié)合題意畫出可行域，然后運(yùn)用線性規(guī)劃知識來求解【題目詳解】如圖由題意得到可行域，改寫目標(biāo)函數(shù)得，當(dāng)取到點(diǎn)時得到最小值，即故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了運(yùn)用線性規(guī)劃求解最值問題，一般步驟：畫出可行域，改寫目標(biāo)函數(shù)，求出最值，需要掌握解題方法4、A【解題分析】

，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)軸時，最小，此時，計算得到答案.【題目詳解】，最大值為5，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)軸時，最小，此時，即又因?yàn)?，可得，?故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、B【解題分析】∵，∴，，，∴，∴點(diǎn)在第二象限，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了由三角函數(shù)值的符號判斷角的終邊位置，屬于基礎(chǔ)題；三角函數(shù)值符號記憶口訣記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（為正）．即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正.6、A【解題分析】

設(shè)長方體的棱長為，球的半徑為，根據(jù)題意有，再根據(jù)球的直徑是長方體的體對角線求解.【題目詳解】設(shè)長方體的棱長為，球的半徑為，根據(jù)題意，，解得，所以，所以外接球的表面積，故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了球的組合體問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

討論平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)連線，與平面垂直和不垂直兩種情況.【題目詳解】（1）設(shè)平面為平面，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，此時，直線垂直底面，過直線的平面有無數(shù)多個與底面垂直；（2）設(shè)平面為平面，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，此時，直線與底面不垂直，過直線的平面，只有平面垂直底面.綜上，過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)與平面垂直的平面有1個或無數(shù)個，故選D.【題目點(diǎn)撥】借助長方體研究空間中線、面位置關(guān)系問題，能使問題直觀化，降低問題的抽象性.8、B【解題分析】

由條件，利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】，即，而，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力與推理能力，屬于中檔題.9、C【解題分析】

將數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，根據(jù)，進(jìn)而得到數(shù)列的2017項為，數(shù)列的第2018項為，數(shù)列的第2019項為，即可求解.【題目詳解】將所給的數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，則數(shù)列的前n組共有項，又由，所以數(shù)列的前63組共有2016項，所以數(shù)列的2017項為，數(shù)列的第2018項為，數(shù)列的第2019項為，所以故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)所給數(shù)列合理分組，結(jié)合等差數(shù)列的前n項和求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.10、B【解題分析】

試題分析：，由正弦定理可得即；因?yàn)?，所以，所以，而，所以，故選B.考點(diǎn)：1.正弦定理；2.余弦定理.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用正弦定理求解角,再利用面積公式求解即可.【題目詳解】由,因?yàn)?故,.故.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解三角形的運(yùn)用,根據(jù)題中所給的邊角關(guān)系選擇正弦定理與面積公式等.屬于基礎(chǔ)題型.12、1【解題分析】

由題意整體代入可得，由基本不等式可得．【題目詳解】由，，，則．當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝3且b＝時，取得最小值1．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式求最值，整體法并湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

代入求得，利用遞推關(guān)系式可得，從而可證得和均為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式可求得通項；根據(jù)恒成立不等式可得到不等式組：，解不等式組求得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時，，解得：由得：是以為首項，為公差的等差數(shù)列；是以為首項，為公差的等差數(shù)列，恒成立，解得：即的取值范圍為：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式得到奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，從而分別求得通項公式，進(jìn)而根據(jù)所需的單調(diào)性得到不等關(guān)系.14、{m|－1＜m≤1或m＝－}【解題分析】

由x=，化簡得x2+y2=1，注意到x≥0，所以這個曲線應(yīng)該是半徑為1，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在一、四象限．畫出圖象，這樣因?yàn)橹本€與其只有一個交點(diǎn)，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【題目詳解】由x=，化簡得x2+y2=1，注意到x≥0，所以這個曲線應(yīng)該是半徑為1，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在一、四象限．畫出圖象，這樣因?yàn)橹本€與其只有一個交點(diǎn)，從圖上看出其三個極端情況分別是：①直線在第四象限與曲線相切，②交曲線于（0，﹣1）和另一個點(diǎn)，③與曲線交于點(diǎn)（0，1）．直線在第四象限與曲線相切時解得m=﹣，當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)（0，1）時，m=1．當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）時，m=﹣1，所以此時﹣1＜m≤1．綜上滿足只有一個公共點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是：﹣1＜m≤1或m=﹣．故答案為：{m|－1＜m≤1或m＝－}．【題目點(diǎn)撥】本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．15、4【解題分析】

由題意將表示為的方程組求解得，即可得等比數(shù)列的前三項分別為﹑、，則公比可求【題目詳解】由題意可知，，又因?yàn)?，，代入上式可得，所以該等比?shù)列的前三項分別為﹑、，所以.故答案為：4【題目點(diǎn)撥】本題考查等差等比數(shù)列的基本量計算，考查計算能力，是基礎(chǔ)題16、或【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可【題目詳解】，如圖所示：則故答案為：或【題目點(diǎn)撥】本題考查由三角函數(shù)值求解對應(yīng)自變量取值范圍，結(jié)合圖形求解能夠避免錯解，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】

首先求出集合，，再根據(jù)集合的運(yùn)算求出即可.【題目詳解】因?yàn)榈慕鉃椋ㄉ崛ィ?所以，又因?yàn)榈慕鉃椋?，所?【題目點(diǎn)撥】本題考查了集合的運(yùn)算，對數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.18、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析【解題分析】試題分析：（1）連，與交于，利用三角形的中位線，可得線線平行，從而可得線面平行；

（2）證明，即可證得平面平面．試題解析：(Ⅰ)連接AC交BD與O，連接EO,∵E、O分別為PA、AC的中點(diǎn)，∴EO∥PC，∵PC?平面EBD，EO?平面EBD∴PC∥平面EBD(Ⅱ)∵PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，∵ABCD為正方形，∴BC⊥CD，∵PD∩CD＝D,PD、CD?平面PCD∴BC⊥平面PCD，又∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行，考查面面平行，掌握線面平行，面面平行的判定方法是關(guān)鍵．19、（1）；（2）．【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理可求，利用特殊角三角函數(shù)可求C；（2）由和的面積公式，可求，再根據(jù)余弦定理求得解出a，b即可求的周長．【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，又所以，又為銳角三角形，所以．（2）因?yàn)?，所以由面積公式得，．又因?yàn)?，所以由余弦定理得，，所以，或，，故的周長為．【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析（2）【解題分析】

(1)取中點(diǎn)，連接，，構(gòu)造平行四邊形，由線線平行得到線面平行；（2）根據(jù)線面角的定義作出線面角，在直角三角形中求出數(shù)值.【題目詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，∵為中點(diǎn)，∴，且，又為中點(diǎn)，底面為平行四邊形，∴，，∴，，即為平行四邊形，∴，又平面，且平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴平面平面，過作，則平面，連結(jié)，則為直線與平面所成的夾角，由，，，得，由，得，在中，，得，在中，，∴，即直線與平面所成角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】這個題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系．求線