北京工大附中2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若點(diǎn)（m，n）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，其中m＜0，則m+3n的最大值等于（）A．2 B．2 C．﹣2 D．﹣22．已知直角三角形ABC，斜邊，D為AB邊上的一點(diǎn)，，，則CD的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．33．某中學(xué)舉行英語(yǔ)演講比賽，如圖是七位評(píng)委為某位學(xué)生打出分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為（）A．84，85 B．85，84 C．84，85.2 D．86，854．下列四個(gè)函數(shù)中，與函數(shù)完全相同的是（）A． B．C． D．5．若平面∥平面，直線∥平面,則直線與平面的關(guān)系為()A．∥ B． C．∥或 D．6．已知函數(shù)的值域?yàn)?，且圖象在同一周期內(nèi)過(guò)兩點(diǎn)，則的值分別為（）A． B．C． D．7．已知正方形的邊長(zhǎng)為，若將正方形沿對(duì)角線折疊為三棱錐，則在折疊過(guò)程中，不能出現(xiàn)（）A． B．平面平面 C． D．8．下列函數(shù)中最小值為4的是()A． B．C． D．9．已知集合，，則（）A． B． C． D．10．設(shè)為等比數(shù)列，給出四個(gè)數(shù)列：①，②，③，④.其中一定為等比數(shù)列的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．①②二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中角所對(duì)的邊分別為，若則___________12．若關(guān)于x的不等式的解集是，則_________.13．關(guān)于函數(shù)，下列命題：①若存在，有時(shí)，成立；②在區(qū)間上是單調(diào)遞增；③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖象；④將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后將與的圖象重合．其中正確的命題序號(hào)__________14．已知角滿足，則_____15．設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則__________．16．如圖，海岸線上有相距海里的兩座燈塔A，B，燈塔B位于燈塔A的正南方向．海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西，與A相距海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西方向，與B相距海里的C處，此時(shí)乙船與燈塔A之間的距離為海里，兩艘輪船之間的距離為海里．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．△ABC中，a＝7，c＝3，且＝．（1）求b；（2）求∠A．18．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推廣線下分店，計(jì)劃在S市的A區(qū)開(kāi)設(shè)分店，為了確定在該區(qū)開(kāi)設(shè)分店的個(gè)數(shù)，該公司對(duì)該市已開(kāi)設(shè)分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區(qū)開(kāi)設(shè)分店的個(gè)數(shù)，y表示這個(gè)x個(gè)分店的年收入之和.(1)該公司已經(jīng)過(guò)初步判斷，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程(2)假設(shè)該公司在A區(qū)獲得的總年利潤(rùn)z(單位:百萬(wàn)元)與x，y之間的關(guān)系為，請(qǐng)結(jié)合(1)中的線性回歸方程，估算該公司應(yīng)在A區(qū)開(kāi)設(shè)多少個(gè)分店時(shí)，才能使A區(qū)平均每個(gè)分店的年利潤(rùn)最大?(參考公式:，其中，)19．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，與交于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求證：平面.20．某制造商3月生產(chǎn)了一批乒乓球，從中隨機(jī)抽樣133個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)球的直徑（單位：mm），將數(shù)據(jù)分組如下：分組

頻數(shù)

頻率

[1．95,1．97）

13

[1．97,1．99）

23

[1．99,2．31）

53

[2．31,2．33]

23

合計(jì)

133

（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)谏媳碇醒a(bǔ)充完成頻率分布表（結(jié)果保留兩位小數(shù)），并在圖中畫出頻率分布直方圖；（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為2．33mm，試求這批球的直徑誤差不超過(guò)3．33mm的概率；（Ⅲ）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)經(jīng)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值（例如區(qū)間[1．99,2．31）的中點(diǎn)值是2．33作為代表．據(jù)此估計(jì)這批乒乓球直徑的平均值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）．21．如圖在四棱錐中，底面是矩形，點(diǎn)、分別是棱和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，且平面平面，證明平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)題意可得出，再根據(jù)可得，將添上兩個(gè)負(fù)號(hào)運(yùn)用基本不等式，即可求解．【題目詳解】由題意，可得，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

設(shè)，利用勾股定理求出的值即得解.【題目詳解】如圖，由于，所以設(shè)，所以所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查解直角三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

剩余數(shù)據(jù)為：84.84,86,84,87，計(jì)算中位數(shù)和平均數(shù).【題目詳解】剩余數(shù)據(jù)為：84.84,86,84,87則中位數(shù)為：84平均數(shù)為：故答案為A【題目點(diǎn)撥】本題考查了中位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.4、C【解題分析】

先判斷函數(shù)的定義域是否相同，再通過(guò)化簡(jiǎn)判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，從而判斷出與相同的函數(shù).【題目詳解】的定義域?yàn)?，A.，因?yàn)?，所以，定義域?yàn)榛?，與定義域不相同；B.，因?yàn)?，所以，所以定義域?yàn)?，與定義域不相同；C.，因?yàn)?，所以定義域?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以與相同；D.，因?yàn)?，所以，定義域?yàn)?，與定義域不相同.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的相同函數(shù)的判斷，難度一般.判斷相同函數(shù)時(shí)，首先判斷定義域是否相同，定義域相同時(shí)再去判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同（函數(shù)化簡(jiǎn)），結(jié)合定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系即可判斷出是否是相同函數(shù).5、C【解題分析】

利用空間幾何體，發(fā)揮直觀想象，易得直線與平面的位置關(guān)系.【題目詳解】設(shè)平面為長(zhǎng)方體的上底面，平面為長(zhǎng)方體的下底面，因?yàn)橹本€∥平面，所以直線通過(guò)平移后，可能與平面平行，也可能平移到平面內(nèi)，所以∥或.【題目點(diǎn)撥】空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系問(wèn)題，?？梢越柚L(zhǎng)方體進(jìn)行研究，考查直觀想象能力.6、C【解題分析】

根據(jù)值域先求，再代入數(shù)據(jù)得到最大值和最小值對(duì)應(yīng)相差得到答案.【題目詳解】函數(shù)的值域?yàn)榧?，圖象在同一周期內(nèi)過(guò)兩點(diǎn)故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的最大值最小值，周期，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)公式和性質(zhì)的靈活運(yùn)用和計(jì)算能力.7、D【解題分析】對(duì)于A：取BD中點(diǎn)O，因?yàn)?，AO所以面AOC，所以，故A對(duì)；對(duì)于B：當(dāng)沿對(duì)角線折疊成直二面角時(shí)，有面平面平面，故B對(duì)；對(duì)于C：當(dāng)折疊所成的二面角時(shí)，頂點(diǎn)A到底面BCD的距離為，此時(shí)，故C對(duì)；對(duì)于D：若，因?yàn)?，面ABC，所以，而，即直角邊長(zhǎng)與斜邊長(zhǎng)相等，顯然不對(duì)；故D錯(cuò)；故選D點(diǎn)睛：本題考查了立體幾何中折疊問(wèn)題，要分析清楚折疊前后的變化量與不變量以及線線與線面的位置關(guān)系，屬于中檔題.8、C【解題分析】

對(duì)于A和D選項(xiàng)不能保證基本不等式中的“正數(shù)”要求，對(duì)于B選項(xiàng)不能保證基本不等式中的“相等”要求，即可選出答案.【題目詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.但無(wú)解，故B錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，故D錯(cuò)誤.對(duì)于C，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，故C正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式，熟練掌握基本不等式的步驟為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9、A【解題分析】

首先求得集合，根據(jù)交集定義求得結(jié)果.【題目詳解】本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

設(shè)，再利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)逐一分析判斷每一個(gè)選項(xiàng)得解.【題目詳解】設(shè)，①,,所以數(shù)列是等比數(shù)列；②，，所以數(shù)列是等比數(shù)列；③，不是一個(gè)常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列；④，不是一個(gè)常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的判定，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】,；由正弦定理，得，解得.考點(diǎn)：正弦定理.12、－14【解題分析】

由不等式的解集求出對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，從而可得結(jié)果.【題目詳解】不等式的解集是，所以對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根為和，且，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次不等式的解集與一元二次不等式的根之間的關(guān)系，以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.13、①③【解題分析】

根據(jù)題意，由于，根據(jù)函數(shù)周期為,可知①、若存在，有時(shí)，成立；正確，對(duì)于②、在區(qū)間上是單調(diào)遞減；因此錯(cuò)誤，對(duì)于③、，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖象，成立．對(duì)于④、將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到，與的圖象重合錯(cuò)誤，故答案為①③考點(diǎn)：命題的真假點(diǎn)評(píng)：主要是考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式以及兩角和與差的三角公式，化簡(jiǎn)求解即可．【題目詳解】解：角滿足，可得

則．

故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和與差的三角公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】分析：首先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，利用分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，將項(xiàng)的比值轉(zhuǎn)化為和的比值，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，所以答案是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的性質(zhì)的問(wèn)題，將兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)的比值可以轉(zhuǎn)化為其和的比值，結(jié)論為，從而求得結(jié)果.16、5,【解題分析】

為等邊三角形，所以算出，,再在中根據(jù)余弦定理易得CD的長(zhǎng)．【題目詳解】因?yàn)闉榈冗吶切?，所以．在中根?jù)余弦定理解得．【題目點(diǎn)撥】此題考查余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵點(diǎn)通過(guò)已知條件轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型再通過(guò)余弦定理求解即可，屬于較易題目．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）∠A＝120°.【解題分析】

由正弦定理求得b，由余弦定理求得cos∠A，進(jìn)而求出∠A的值．【題目詳解】（1）由正弦定理得＝可得，＝＝，所以b＝＝1．（2）由余弦定理得cosA＝＝＝，又因?yàn)?，所以∠A＝120°．【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，根據(jù)正弦定理求出b的值，是解題的關(guān)鍵．18、(1);(2)該公司應(yīng)開(kāi)設(shè)4個(gè)分店時(shí)，在該區(qū)的每個(gè)分店的平均利潤(rùn)最大【解題分析】

（1）由表中數(shù)據(jù)先求得.再結(jié)合公式分別求得,即可得y關(guān)于x的線性回歸方程.（2）將（1）中所得結(jié)果代入中,進(jìn)而表示出每個(gè)分店的平均利潤(rùn),結(jié)合基本不等式即可求得最值及取最值時(shí)自變量的值.【題目詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得:,,因而可得,,再代入公式計(jì)算可知,∴,∴.（2）由題意,可知總收入的預(yù)報(bào)值與x之間的關(guān)系為:,設(shè)該區(qū)每個(gè)分店的平均利潤(rùn)為t,則,故t的預(yù)報(bào)值與x之間的關(guān)系為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即或（舍）則當(dāng)時(shí),取到最大值,故該公司應(yīng)開(kāi)設(shè)4個(gè)分店時(shí),在該區(qū)的每個(gè)分店的平均利潤(rùn)最大.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程的求法,基本不等式求函數(shù)的最值及等號(hào)成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）見(jiàn)解析（Ⅲ）見(jiàn)解析【解題分析】

（I）通過(guò)證明平面來(lái)證得平面平面.（II）取中點(diǎn)，連接，通過(guò)證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得∥平面.（III）通過(guò)證明平面證得，通過(guò)計(jì)算證明證得，由此證得平面.【題目詳解】證明：（Ⅰ）因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)所以，且.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，底面為正方形，所以，且.所以，且.所以四邊形為平行四邊形.所以.因?yàn)槠矫媲移矫妫云矫?（Ⅲ）在正方形中，，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所以平?所以.在△中，設(shè)交于.因?yàn)?，且分別為的中點(diǎn)，所以.所以.設(shè)，由已知，所以.所以.所以.所以，且為公共角，所以△∽△.所以.所以.因?yàn)?，所以平?【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查線面垂直、面面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）3．9；（Ⅲ）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)公式：頻率=頻數(shù)÷樣本容量可補(bǔ)充完成頻率分布表，然后作出頻率分布直方圖；（Ⅱ）直徑誤差不超過(guò)3．33mm的頻率有3．53,3．53,3．53，所以這批球的直徑誤差不超過(guò)3．33mm的概率3．53+3．53+3．53=3．9；（Ⅲ）由平均值公式可求得試題解析：（Ⅰ）分組

頻數(shù)

頻率

[4．95,4．97）

43

3．43

[4．97,4．99）

53

3．53

[4．99,5．34）

53

3．53

[5．34,5．33]

53

3．53

合計(jì)

433

4

（Ⅱ）設(shè)誤差不超過(guò)3．33的事件為，則．（Ⅲ）考點(diǎn)：4．頻率分布直方圖；5．求數(shù)值的平均值21、(1)見(jiàn)證明；(