8.1多變量系統(tǒng)控制理論分為經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論。狀態(tài)空間分析是針對(duì)多變量系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型分析方法，是建立在狀態(tài)方程基礎(chǔ)之上的。第八章狀態(tài)空間分析8.1.1緒論主要以傳遞函數(shù)為工具和基礎(chǔ)，研究單變量控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。經(jīng)典控制理論：以狀態(tài)空間方法為基礎(chǔ)，研究多變量控制系統(tǒng)和復(fù)雜系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。現(xiàn)代控制理論：主要包括四個(gè)方面：1、線性多變量系統(tǒng)理論是最成熟的一部分。研究系統(tǒng)極點(diǎn)配置、觀測器設(shè)計(jì)等。2、最優(yōu)控制理論在被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型已知的情況下，尋找一個(gè)最優(yōu)的控制規(guī)律。3、最優(yōu)估計(jì)理論在數(shù)學(xué)模型已知的情況下，如何從被噪聲污染的觀測數(shù)據(jù)中，確定系統(tǒng)的狀態(tài)，并使這種估計(jì)最優(yōu)。4、系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì)不知被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型，基于對(duì)象的輸入，輸出數(shù)據(jù)，建立與對(duì)象等階的數(shù)學(xué)模型。例：ΔP壓差變化量，ΔPr給定壓差變化量，Δh水位變化量，Δhr給定水位變化量。兩個(gè)輸出ΔP

、Δh與兩個(gè)輸入ΔPr

、Δhr存在函數(shù)關(guān)系。8.1.2傳遞函數(shù)矩陣設(shè)：上式的矩陣稱為傳遞函數(shù)矩陣，矩陣的項(xiàng)為傳遞函數(shù)形式。寫成矩陣形式：一般形式:拉氏變換式：由各傳遞函數(shù)組成的矩陣定義為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。零初始狀態(tài)下，多變量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：上式可記為：方法：有多種，一般采用前饋補(bǔ)償法，即在原系統(tǒng)中串入一個(gè)補(bǔ)償裝置器。對(duì)于多輸入輸出系統(tǒng)而言，為了控制輸出方便，希望每個(gè)輸出只跟一個(gè)輸入量有關(guān)系，與其它輸入量無關(guān)，此時(shí)，傳遞函數(shù)矩陣為對(duì)角陣（要求輸入量個(gè)數(shù)與輸出量個(gè)數(shù)相等，傳遞函數(shù)矩陣為方陣），這稱為傳遞函數(shù)矩陣的解耦。8.1.3傳遞函數(shù)矩陣的解耦補(bǔ)償后總的傳遞函數(shù)矩陣。由于是矩陣，位置不能顛倒。設(shè)伴隨矩陣則行列式可知，在已知原矩陣和目標(biāo)矩陣的前提下，可以求出補(bǔ)償裝置器。目標(biāo)矩陣作為控制系統(tǒng)的指標(biāo)給出。求補(bǔ)償裝置。例：已知解：1、由微分方程求狀態(tài)方程；2、由結(jié)構(gòu)圖求狀態(tài)方程；3、由傳遞函數(shù)求狀態(tài)方程。狀態(tài)方程的三種求法8.2狀態(tài)方程8.2.1基本概念—建立狀態(tài)方程1、由微分方程求狀態(tài)方程—單輸入單輸出系統(tǒng)例1：知解：設(shè)則輸出可寫為：寫成矩陣形式：解：變型為例2.微分方程為：設(shè)則

輸出可寫為：寫成矩陣形式：稱為狀態(tài)向量。一般系統(tǒng)可表示為：其中：稱為狀態(tài)變量。稱為輸入向量。稱為輸出向量。（1）、狀態(tài)：系統(tǒng)在時(shí)間域中運(yùn)動(dòng)信息的集合。（2）、狀態(tài)變量：確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨(dú)立變量。A：系統(tǒng)矩陣或系數(shù)矩陣，為方陣。B：輸入矩陣或控制矩陣。C：輸出矩陣。D：影響矩陣。（3）、狀態(tài)方程：狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為狀態(tài)方程。（4）、輸出方程：輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為輸出方程。（5）、動(dòng)態(tài)方程：狀態(tài)方程與輸出方程合在一起稱為動(dòng)態(tài)方程，也簡稱狀態(tài)方程。（6）、狀態(tài)空間：狀態(tài)變量所有可能值的集合稱為狀態(tài)空間。注意：同一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程可以有多個(gè)，維數(shù)可以不同，即使維數(shù)相同，動(dòng)態(tài)方程也可以有多個(gè)。說明：狀態(tài)方程不僅描述了系統(tǒng)輸入與輸出變化情況，也描述出了系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的變化情況，所以它是系統(tǒng)內(nèi)部的描述，而傳遞函數(shù)只是系統(tǒng)外部的描述。注意：對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，一般n階微分方程的最小實(shí)現(xiàn)也是n維的，即n階微分方程對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程的維數(shù)最小為n

。（7）、最小實(shí)現(xiàn)：描述同一個(gè)輸入輸出關(guān)系的動(dòng)態(tài)方程中，維數(shù)最小的一類動(dòng)態(tài)方程稱為其最小實(shí)現(xiàn)。（8）、狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)：狀態(tài)變量要能完整地確定系統(tǒng)的狀態(tài)，即系統(tǒng)的所有運(yùn)動(dòng)情況都能表示出來。例3：例2的系統(tǒng)也可表示為：其中x4是一個(gè)獨(dú)立變量，與其它變量沒有聯(lián)系，對(duì)原系統(tǒng)無影響。例4求結(jié)構(gòu)圖所示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。2、由結(jié)構(gòu)圖求動(dòng)態(tài)方程同理得：解：得：又整理得：狀態(tài)方程為：設(shè)狀態(tài)變量：矩陣形式：輸出方程：例2的狀態(tài)變量圖8.2.2狀態(tài)變量圖注意：狀態(tài)變量圖與結(jié)構(gòu)圖不同，框中只有積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)，都是正反饋（也可以是負(fù)反饋）。積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)與狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)相同。例4的狀態(tài)變量圖8.2.4狀態(tài)變換設(shè)動(dòng)態(tài)方程為非奇異變換為即p-1

稱為p

的逆矩陣。設(shè)

p是非奇異（滿秩）方陣，稱為變換矩陣。8.2.3非線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程只有p非奇異（滿秩），變換才是可逆的，x和x?

構(gòu)成的兩個(gè)狀態(tài)空間才有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。于是原方程變?yōu)榧瓷鲜鲎儞Q并未改變系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系。由于p只須滿足非奇異條件，所以狀態(tài)變換可有多種，于是表示相同輸入輸出關(guān)系的動(dòng)態(tài)方程及狀態(tài)變量有無窮多個(gè)。非奇異線性變換的性質(zhì)：1.不改變系統(tǒng)的特征值

特征方程的根叫特征值（特征根）2.不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣3.不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性只有最小實(shí)現(xiàn)才能進(jìn)行狀態(tài)變換，也才有相同的特征值，不是最小實(shí)現(xiàn)之間的狀態(tài)方程特征值不一定相同，也不能進(jìn)行狀態(tài)變換。8.2.5

化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型定義：系統(tǒng)矩陣為對(duì)角陣的狀態(tài)方程稱為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。對(duì)角元是該方陣A的特征值。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，如果矩陣A

有n

個(gè)相異的特征值，必存在n

個(gè)

對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，可以通過相似變換化為對(duì)角陣?；蛏鲜綖樘卣飨蛄颗c特征值的關(guān)系，pi

為特征向量，p由特征向量組成。由線性代數(shù)知，特征值是唯一的，特征向量不唯一。由于pi

相互獨(dú)立，所以p滿秩。其中，

若矩陣A的n個(gè)特征值中有重特征值時(shí)，可分為兩種情況：一種情況是，雖有重特征值，但矩陣A仍有n個(gè)獨(dú)立的特征向量，這時(shí)仍可將A化為對(duì)角陣；另一種情況是，A的獨(dú)立特征向量的個(gè)數(shù)小于n，這時(shí)就不能將A化為對(duì)角陣，而只能化為約當(dāng)陣（變換矩陣p仍為非奇異矩陣）。例5動(dòng)態(tài)方程：用相似變換化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。(1)求特征值特征方程解得：（此例有重根）其中I為單位陣。(2)

求特征向量對(duì)于s1=2有：（零列向量）p11=任意數(shù)，p12=p13=0取特征向量對(duì)于s2=1有：得p22=任意值,p23=任意值取也可以取其它兩個(gè)元素為任意值，而求另外一個(gè)元素的確定值，因?yàn)閷?duì)于一個(gè)特征根，特征向量不唯一、則p不唯一。同理取上述兩個(gè)特征向量要滿足線性無關(guān)的條件。應(yīng)有：(3)當(dāng)變換矩陣取時(shí)其中adj

p表示p的伴隨矩陣。(4)求

p-1(5)(6)(7)動(dòng)態(tài)方程：由線性代數(shù)知道，特征值是唯一的，而特征向量不是唯一的，所以變換矩陣

p不唯一。也稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形矩陣特例：如果A為友矩陣時(shí)，對(duì)角元上的斜行全為1，除此之外，最后一行有數(shù)值，其余全為0。則p-1Ap為對(duì)角陣，且對(duì)角元為特征值。且其特征值為互異，則變換矩陣p可?。航猓河商卣鞣匠糖筇卣髦道?化為對(duì)角型矩陣。則必有,,取8.2.6約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型上節(jié)我們討論的對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型是在特征值互異情況下得出的，如果特征值有相重的情況時(shí)，經(jīng)相似變換可化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。（最簡耦合形式）設(shè)n維矩陣的特征值為，如果其中有些是相重的特征值，則存在非奇異變換矩陣p，使變換后的矩陣p-1Ap為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，形如：其中空白處全為0，矩陣中的子矩陣稱為約當(dāng)塊，其特點(diǎn)為對(duì)角元相等，對(duì)角線相鄰的一斜行全為1，其余全為0，維數(shù)是特征值的重?cái)?shù)。與化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型不同在于變換矩陣p并不是全由特征向量組成，一個(gè)約當(dāng)塊只對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量，其它的由廣義特征向量組成。但仍滿秩，即組成變換矩陣p的向量仍然線性無關(guān)。一個(gè)重特征值對(duì)應(yīng)幾個(gè)約當(dāng)塊，取決于這個(gè)重特征值對(duì)應(yīng)幾個(gè)獨(dú)立的特征向量，比如m重特征值只對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量，則m