高綱0871江蘇省高等教育自學考試大綱02012實變與泛函分析初步江蘇教育學院編江蘇省高等教育自學考試委員會辦公室一課程性質及其設置目的與要求（一）課程性質與特點實變函數(shù)論是19世紀末20世紀初形成的一個數(shù)學分支，它的基本內容已成為分析數(shù)學各個分支的普遍基礎.實變函數(shù)主要指自變量取實數(shù)值的函數(shù)，而實變函數(shù)論就是研究一般實變函數(shù)的理論，如果說微積分所討論的函數(shù)都是性質“良好”的函數(shù)，那么實變函數(shù)就是討論一般的函數(shù)，包括從微積分學來看性質“不好”的函數(shù)，實變函數(shù)論是微積分深入與發(fā)展，函數(shù)的可積性是實變函數(shù)論中的主要內容.總之，實變函數(shù)論和古典數(shù)學分析不同，它是一種比較高深精細的理論，是數(shù)學的一個重要分支，它的應用廣泛，它在數(shù)學各個分支的應用是現(xiàn)代數(shù)學的特征.（二）設置目的與要求課程內容包括：本課程內容包括集合及其運算，對等與基數(shù)，可數(shù)集合，不可數(shù)集合；度量空間、n維歐氏空間，聚點、內點、界點，開集、閉集、完備集，直線上開集、閉集和完備集的構造；外測度，可測集及其性質；可測函數(shù)的定義及其性質，葉果洛夫定理，可測函數(shù)構造，依測度收斂；勒貝格積分（L積分）的定義及性質，一般可積函數(shù)，積分的極限定理。本課程設置目的是使學生掌握勒貝格測度與勒貝格積分的基礎理論，了解一般度量空間上的測度理論，培養(yǎng)學生的分析學知識，加深學生對微積分和函數(shù)的認識。二課程內容與考核目標第一章集合（一）課程內容集合的概念及運算，對等與基數(shù)，可數(shù)集與不可數(shù)集。（二）學習與考核要求1、掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等運算的定義和性質（包括無窮多個集的運算）.2、掌握集列的上極限與下極限集的概念及它們用集列的交和并所表示的式子，能夠正確寫出具體集列的上、下極限集或極限.3、理解一一映照的概念，能夠正確寫出兩個集之間的一一映照.4、掌握對等和基數(shù)的定義及性質，掌握基數(shù)大小的定義.掌握證明集合對等的兩個定理（兩個不交集列對等定理和伯恩斯坦定理），能夠應用它們來證明集合對等.5、掌握可數(shù)集的概念及可數(shù)基數(shù)a概念.掌握可數(shù)基數(shù)a的最小性，掌握可數(shù)集運算后的基數(shù)定理及各種可數(shù)集的實例.6、掌握實數(shù)集的不可數(shù)性及連續(xù)基數(shù)c，掌握各種具有連續(xù)基數(shù)的集.了解沒有最大基數(shù)的定理并能夠正確地證明之.第二章點集（一）課程內容度量空間與n維歐氏空間，外點、界點、聚點，開集、閉集、完備集，直上開集、閉集、完備集的構造.（二）學習與考核要求1、理解n維歐氏空間的概念，掌握鄰域概念及鄰域的性質.掌握點列收斂的描述（用距離d及用鄰域u來描述），掌握兩集之距離，一集之直徑及n維區(qū)間等概念.2、掌握內點、外點、界點、聚點、孤立點等概念（包括等價命題）.掌握開核、邊界、導集、閉包等概念，能夠正確寫出具體點集的開核、邊界、導集及閉包.3、掌握開集、閉集、自密集、完備集等概念（包括等價命題和關系式）并能夠對具體集合進行判別.4、掌握開閉集的對偶性定理及保持開閉性的交并運算定理.能夠應用于判別具體實例.5、掌握直線上開集、閉集、完備集的構造.6、掌握康托點集的構造及性質（包括非空性、完備性、無處稠密性、無內點、基數(shù)為c、測度為零等）.第三章測度論（一）課程內容外測度，可測集，可測集類。（二）學習與考核要求1、掌握勒貝格外測度的定義（m*E）及其基本性質（包括非負性，空集外測度規(guī)定、單調性和可次可加性等）.能夠根據(jù)勒貝格外測度的定義來證明性質和驗證零測度集.2、了解勒貝格內測度（m*E）概念、勒貝格可測集的第一定義（），理解對于區(qū)間I有及的結論.了解不可測集的存在性.3、掌握勒貝格可測集的第二定義：對任意點集T:成立.能夠用第二定義證明某些集的可測性.了解可測集的第一、第二、定義的等價性.4、掌握可測集的兩個充要條件定理.5、掌握兩可測集之并為可測集定理，可列個可測集之并為可測集定理，并能夠正確地證明它們.6、掌握兩可測集之交為可測集定理，可列個可測集之交為可測集定理.7、掌握遞增可測集列之極限可測定理及遞減可測集列之極限可測定理.并能夠正確證明它們,還要能夠用反例說明后一個定理中的重要性.8、掌握波雷耳集,型集、型集等概念.能夠根據(jù)概念正確判別具體集合是型集,還是型集.9、掌握可測集與開集及閉集的關系;可測集與型集、型集的關系.第四章可測函數(shù)（一）課程內容可測函數(shù)及性質，葉果洛夫定理，可測函數(shù)的構造，依測度收斂。（二）學習與考核要求1、掌握全體有限實數(shù)R上、下確界+∞、-∞的概念，掌握R∪{±∞}內的四則運算的意義及法則.2、掌握可測函數(shù)的定義及其等價性定理.3、掌握定義在任意點集E上連續(xù)函數(shù)的概念及連續(xù)函數(shù)可測性定理.掌握簡單函數(shù)的概念及其可測性敘述.4、掌握可測函數(shù)的性質（包括可測子集上的可測性，并集上的可測性，函數(shù)四則運算及取絕對值的可測性，可測函數(shù)列的上、下確界函數(shù)的可測性、上、下極限函數(shù)可測性、極限函數(shù)可測性等）5、掌握可測函數(shù)與簡單函數(shù)關系定理.6、掌握葉果洛夫定理的引理.7、掌握葉果洛夫定理和魯津定理，能夠對應地寫出與某些可測函數(shù)的“基本上”相等的連續(xù)函數(shù).8、掌握依測度收斂的概念，能夠用實例說明依測度收斂與收斂概念的不同性.9、掌握黎斯定理及勒貝格測度收斂定理.掌握依測度收斂在幾乎處處意義下的唯一性定理.能夠應用相關定理證明一些簡單命題.第五章積分論（一）課程內容黎曼積分，勒貝格積分定義及性質，一般可積函數(shù)，積分極限定理，富比尼定理。（二）學習與考核要求1、掌握可測分劃D，關于D的Darboux大和及Darboux小和、有界函數(shù)F{x}在E上的上、下積分、在E上的（L）積分概念.掌握有界函數(shù)（L）可積的兩個充分條件定理.2、掌握有界函數(shù)F(x)在[a.b]上（R）可積時（L）積分與（R）積分相等的定理并且能夠正確地證明之.3、掌握有界函數(shù)的（L）積分的性質（包括和、差、積、商、取絕對值的可積性、可測子集上函數(shù)可積性、線性、不等號性質、絕對值放大性質，被積函數(shù)幾乎處處為零的充分條件及絕對連續(xù)性.）4、掌握一般非負函數(shù)（L）積分概念，一般函數(shù)（L）積分概念.掌握一般函數(shù)積分確定時或可積時的全部性質.能夠證明積分絕對連續(xù)性.5、掌握（L）可積函數(shù)是具有絕對可積性的結論，能夠用函數(shù)是否（R）絕對可積來判別其是否（L）可積的.6、掌握積分的極限定理（包括L-控制收斂定理和推論，列維定理，L-逐項積分定理，積分可數(shù)可加性定理，法都引理、積分號下求偏導定理）并能應用這些定理證明題目.7、理解直積、截面和下方圖形等概念及性質.理解截面定理、直積測度定理、非負可測函數(shù)積分的幾何意義定理及其推論.8、掌握富比尼定理,能夠用富比尼定理來檢驗函數(shù)的不可積性.三有關說明（一）教材：自學教材：程其襄等編《實變函數(shù)與泛函分析基礎》,高等教育出版社,2003年。（二）補充資料自學和命題以考試大綱為主要依據(jù)，但考慮到本課程的定理證明較難，故對本課程參考課本中的主要定理證明不作要求，但定理結論的和定理結論本身的內容必須掌握，并能利用定理來計算和判斷一些命題。故須補充一些定理應用的例子和習題。具體內容可以參考下列教材：趙靜輝主編：《實變函數(shù)簡明教程》，華中理工大學出版社，1996版。煙臺師范學院等九院校編著：《實變函數(shù)論簡明教程》，山東科學技術出版社，1985版。（三）自學方法的指導本課程作為一門專業(yè)課程，邏輯性強，自學者在自學過程中應該注意以下幾點：1、學習前，應仔細閱讀課程大綱的第一部分，了解課程的性質、地位和任務，熟悉課程的基本要求，使以后的學習緊緊圍繞課程的基本要求。2、所配教材只是一個參考，自學中應結合本課程大綱、補充習題、多做練習，熟練掌握基本概念，能利用基本概念定理計算判斷，從而切實提高自身的數(shù)學分析問題能力和解決問題能力。（四）對社會助學的要求1、應熟知考試大綱對課程所提出的總的要求和各章的知識點。2、對應考者進行輔導時，除了以指定的教材為基礎外，應以考試大綱為依據(jù)，注意補充練習，注重提高學生應用概念定理分析問題、解決問題能力的發(fā)展。（五）關于命題和考試的若干規(guī)定1、本大綱各章所提到的考核要求中，各條細目都是考試的內容，試題覆蓋到章，適當突出重點章節(jié)，加大重點內容的覆蓋密度。2、試題難度結構要合理，記憶、理解、綜合性試題比例大致為3：5：2。3、本課程考試試卷可能采用的題型有：單項選擇題、填空題、簡答題、計算題、證明題等題型（見附錄題型示例）。4、考試方式為閉卷筆試，考試時間為150分鐘，評分采用百分制，60分為及格。附錄：題型舉例選擇題1．設是有理數(shù)，則下列正確的是（B）A．；Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．以上