2024屆江蘇省常州市教育學(xué)會(huì)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，若，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．已知，，，則實(shí)數(shù)、、的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．4．已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（）A． B． C． D．5．在直角中，，線段上有一點(diǎn)，線段上有一點(diǎn)，且，若，則（）A．1 B． C． D．6．若、、為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度8．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．9．如果直線a平行于平面，則（）A．平面內(nèi)有且只有一直線與a平行B．平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與a平行C．平面內(nèi)不存在與a平行的直線D．平面內(nèi)的任意直線與直線a都平行10．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P,則△PBC的面積大于的概率是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下運(yùn)算和結(jié)論：①；②數(shù)列，，，，…是等比數(shù)列；③數(shù)列，，，，…的前項(xiàng)和為；④若存在正整數(shù)，使，，則．其中正確的結(jié)論是_____．（將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上）12．已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)．則___________.13．已知，，且，則__________．14．若數(shù)列滿足（）,且，，__.15．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則___________.16．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．若x，y為正實(shí)數(shù)，求證：，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件.18．已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別是240，160，160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)。（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？（2）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作，求事件M“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”發(fā)生的概率。19．已知為第三象限角，．(1)化簡(jiǎn)(2)若，求的值20．已知函數(shù)()，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.(1)若，求的值；(2)若對(duì)任意的恒成立，試求的最大值.21．在相同條件下對(duì)自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員甲?乙兩人進(jìn)行了6次測(cè)試，測(cè)得他們的最大速度（單位:）的數(shù)據(jù)如下:甲273830373531乙332938342836試判斷選誰(shuí)參加某項(xiàng)重大比賽更合適.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

由,得，,故選A.2、B【解題分析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得出，由偶函數(shù)的性質(zhì)得出，比較出、、的大小關(guān)系，再利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【題目詳解】，則函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在該函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，，由換底公式得，由函數(shù)的性質(zhì)可得，對(duì)數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，則，指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，即，，因此，.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，同時(shí)也考查了利用中間值法比較指數(shù)式和代數(shù)式的大小關(guān)系，涉及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.3、B【解題分析】

將bc化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)形式，再利用單調(diào)性比較大小。【題目詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增所以【題目點(diǎn)撥】本題考查利用的單調(diào)性判斷大小，屬于基礎(chǔ)題。4、D【解題分析】

由已知中直線和互相平行，求出的值，再根據(jù)兩條平行線間的距離公式求得它們之間的距離．【題目詳解】∵直線和互相平行，則，將直線的方程化為，則兩條平行直線之間的距離，＝＝＝.故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩條直線平行的性質(zhì)，兩條平行線間的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．5、D【解題分析】

依照題意采用解析法，建系求出目標(biāo)向量坐標(biāo)，用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出結(jié)果．【題目詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，AC，AB所在直線分別為軸建系，依題設(shè)A(0,0),B(0,2),C(3,0),M(1,0),，由得，，解得，，所以，，，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用，意在考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．6、B【解題分析】

利用等式的性質(zhì)或特殊值法來(lái)判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，故A不成立；對(duì)于B選項(xiàng)，，在不等式同時(shí)乘以，得，另一方面在不等式兩邊同時(shí)乘以，得，，故B成立；對(duì)于選項(xiàng)C，在兩邊同時(shí)除以，可得，所以C不成立；對(duì)于選項(xiàng)D，令，，則有，，，所以D不成立.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式正誤的判斷，常用的判斷方法有：不等式的基本性質(zhì)、特殊值法以及比較法，在實(shí)際操作中，可結(jié)合不等式結(jié)構(gòu)合理選擇相應(yīng)的方法進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式,的圖象變換規(guī)律,得出結(jié)論.【題目詳解】為了得到函數(shù)的圖象,

只需將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,

故選C.8、A【解題分析】

由原式，明顯考查斜率的幾何意義，故上下同除以得，再畫(huà)圖分析求得的取值范圍，再用基本不等式求解即可．【題目詳解】所求式，上下同除以得，又的幾何意義為圓上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的斜率，由圖可得，當(dāng)過(guò)的直線與圓相切時(shí)取得臨界條件．當(dāng)過(guò)坐標(biāo)為時(shí)相切為一個(gè)臨界條件，另一臨界條件設(shè)，化成一般式得，因?yàn)閳A與直線相切，故圓心到直線的距離，所以，，解得，故．設(shè)，則，又，故，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查斜率的幾何意義，基本不等式的用法等．注意求斜率時(shí)需要設(shè)點(diǎn)斜式，利用圓心到直線的距離等于半徑列式求得斜率，在用基本不等式時(shí)要注意取等號(hào)的條件．9、B【解題分析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)解答本題．【題目詳解】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，已知直線平面.

對(duì)于A，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，只要過(guò)直線a的平面與平面相交得到的交線，都與直線a平行；所以平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與a平行；故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，只要過(guò)直線a的平面與平面相交得到的交線，都與直線a平行；所以平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與a平行；故B正確；

對(duì)于C，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，過(guò)直線a的平面與平面相交得到的交線，則直線，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，過(guò)直線a的平面與平面相交得到的交線，則直線，則在平面內(nèi)與直線相交的直線與a不平行，所以D錯(cuò)誤；

故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面平行的性質(zhì)定理；如果直線與平面平行，那么過(guò)直線的平面與已知平面相交，直線與交線平行．10、C【解題分析】

記事件,基本事件是線段的長(zhǎng)度，如下圖所示，作于，作于，根據(jù)三角形的面積關(guān)系得，再由三角形的相似性得，可得事件的幾何度量為線段的長(zhǎng)度，可求得其概率.【題目詳解】記事件,基本事件是線段的長(zhǎng)度，如下圖所示，作于，作于，因?yàn)?，則有；化簡(jiǎn)得：，因?yàn)?，則由三角形的相似性得，所以，事件的幾何度量為線段的長(zhǎng)度，因?yàn)椋缘拿娣e大于的概率．故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型，屬于基礎(chǔ)題.常有以下一些方面需考慮幾何概型，求解時(shí)需注意一些要點(diǎn).(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解.(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域。(3)幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn):一是無(wú)限性，二是等可能性.基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無(wú)限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用"比例解法求解幾何概型的概率.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①③④【解題分析】

根據(jù)題中所給的條件，將數(shù)列的項(xiàng)逐個(gè)寫(xiě)出，可以求得，將數(shù)列的各項(xiàng)求出，可以發(fā)現(xiàn)其為等差數(shù)列，故不是等比數(shù)列，利用求和公式求得結(jié)果，結(jié)合條件，去挖掘條件，最后得到正確的結(jié)果.【題目詳解】對(duì)于①，前24項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列是，所以，故①正確；對(duì)于②，數(shù)列是，可知其為等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，故②不正確；對(duì)于③，由上邊結(jié)論可知是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以有，故③正確；對(duì)于④，由③知，即，解得，且，故④正確；故答案是①③④.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的性質(zhì)以及對(duì)應(yīng)量的運(yùn)算，解題的思想是觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，理解項(xiàng)與和的關(guān)系，認(rèn)真分析，仔細(xì)求解，從而求得結(jié)果.12、【解題分析】

直接利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義求解.【題目詳解】由題得.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可求得；代入兩角和差正切公式即可求得結(jié)果.【題目詳解】本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和差正切公式的應(yīng)用，涉及到向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解題分析】

由數(shù)列滿足，即，得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的極限的求法，即可求解．【題目詳解】由題意，數(shù)列滿足，即，又由，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得．所以．故答案為：1.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及無(wú)窮等比數(shù)列的極限的計(jì)算，其中解答中得出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、3【解題分析】

直接根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求解，再利用兩角和的正切展開(kāi)代入求解即可【題目詳解】由任意角三角函數(shù)的定義可得：．則故答案為3【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了任意角三角函數(shù)的定義和兩角和的正切計(jì)算，熟記公式準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

利用三角函數(shù)的定義可求.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的定義，注意根據(jù)正弦的定義構(gòu)建關(guān)于的方程，本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，證明見(jiàn)解析【解題分析】

由題意，.【題目詳解】由題意，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，聯(lián)立解得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式的運(yùn)用，考查了不等式的證明，屬于中檔題.18、(1)應(yīng)分別從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)分別抽取3人，2人，2人(2)P【解題分析】

（1）由分層抽樣的性質(zhì)可得甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3：2：2，可得抽取7名同學(xué)，應(yīng)分別從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)分別抽取3人，2人，2人；(2)從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名的所有可能結(jié)果為21種，其中2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為5種，可得答案.【題目詳解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3：2：2因?yàn)椴扇》謱映闃拥姆椒ǔ槿?名同學(xué)，所以應(yīng)分別從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)分別抽取3人，2人，2人（2）從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名的所有可能結(jié)果為：ABACADAEAFAGBCBDBEBFBGCDCECF共21種CGDEDFDGEFEGFG不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來(lái)自甲年級(jí)的是A，B，C，來(lái)自乙年級(jí)的是D，E，來(lái)自丙年級(jí)的是F，G，則2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為：AB，AC，BC，DE，F(xiàn)G共5種P【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分層抽樣及利用列舉法求時(shí)間發(fā)生的概率，相對(duì)簡(jiǎn)單.19、(1)見(jiàn)解析;(2).【解題分析】利用指數(shù)運(yùn)算、指對(duì)互化、對(duì)數(shù)運(yùn)算求解試題分析：（1）（2）由，得．又已知為第三象限角，所以，所以，所以=………………10分考點(diǎn)：本題主要考查了誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及三角函數(shù)符號(hào)的判定．點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及三角函數(shù)符好的判定方法．誘導(dǎo)公式的記憶應(yīng)結(jié)合圖形記憶較好，難度一般．20、(1)；(2)【解題分析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性得在區(qū)間，單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，從得而得；（2）①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則，利用不等式的放縮法求得；②當(dāng)時(shí)，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，求得；從而求得k的最大值為.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖像可知，在區(qū)間，單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增..(2)①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則，而，，，∴.②當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)，則，又，（?。┊?dāng)時(shí)，有，，則，