衡水五校2021屆高考模擬聯(lián)考（五）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.設(shè)全集為實數(shù)集花集合P=+集合。={1,2,3,4},則圖中陰影部分表示的集合

C.{2,3,4}D.{1,2,3,4)

【答案】B

【解析】圖中的陰影部分表示集合。中不滿足集合〃的元素，所以陰影部分所表示的集合為{3,4},

故選：B.

【點睛】本題考查了韋恩圖研究集合，圖中的陰影部分表示集合。中不滿足集合。的元素，由此可得選項,

屬于基礎(chǔ)題.

2.已知i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)。+從=},其中a,0eR,則a+匕的值為（）

2+/

7_7

A.-B.

5-5

1

C.—D.

5-5

【答案】D

2-1(2-1)23-4/341

【解析】1=?%”—所以。=三,6一u+b=—.故選:D

2+z(2+z)(2-z)5555

【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算以及復(fù)數(shù)相等,屬于基礎(chǔ)題.

3.已知f(x)是定義在火上的偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)，設(shè)a=f(-6)，b

<4)

c=/-，則a,b,c的大小關(guān)系是()

t3/

A.a<c<bB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】C

【解析】由于/(x)是偶函數(shù)，故a=/(—6)=/(6)

由于“X)在(0,+?))是增函數(shù)，所以“l(fā)og,2)國，即6<c<a.故選:C

【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，考查了比較大小,屬于基礎(chǔ)題.

4.中醫(yī)是中國傳統(tǒng)文化的瑰寶.中醫(yī)方劑不是藥物的任意組合，而是根據(jù)中藥配伍原則，總結(jié)臨床經(jīng)驗，用

若干藥物配制組成的藥方，以達(dá)到取長補(bǔ)短、辨證論治的目的.中醫(yī)傳統(tǒng)名方“八珍湯”是由補(bǔ)氣名方“四

君子湯”(由人參、白術(shù)、茯苓、炙甘草四味藥組成)和補(bǔ)血名方“四物湯”(由熟地黃、白芍、當(dāng)歸、

川號四味藥組成)兩個方共八味藥組合而成的主治氣血兩虛證方劑.現(xiàn)從“八珍湯”的八味藥中任取四味，

取到的四味藥剛好組成“四君子湯”或“四物湯”的概率是()

【答案】A

【解析】記取到的四味藥剛好組成“四君子湯”或“四物湯”為事件

/、21

依題意得P(M)=E=毛.故選:A

【點睛】本題考查了依據(jù)古典概型的概念以及組合的知識簡單計算可得結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.

5.某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是()

A.〃x)=(ey)COSXB./(x)=)|cosx|

c./(x)=(/+-')COSXD.=+/*卜inx

【答案】A

【解析】對手選項A,"x)=(/-ef)cosx,則

e')cos(-x)=一(e"_)cosx=-/(x),

所以/(x)=(/—/x)cosx是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，滿足題中圖象；又當(dāng)0<x<5

時，ex-e~x>0?由/(%)>?？傻胏osx>0,解得0<x<g或°萬vxv5；由〃x)<?？傻胏osxv。，

22

解得滿足題中圖象，故該函數(shù)的解析式可能是〃x)=e—ef)cosx；故A正確；

對于選項B,當(dāng)0cx<5時，ex-e~x>Q>|cosx|>(),所以/(x)—-')|以然乂NO,不滿足題意；

故B錯誤；

對于選項C,由/(x)=(/+e7)cosx得/(0)=2cos()=2,即〃x)=(e'+e-')cosx不過原點，不滿

足題意；故C錯誤；

對于選項D,因為5萬<5<2萬，所以sin5<0,則/(5)=,5+e-卜山5<0,不滿足題意，故D錯誤；

故選：A.

【點睛】本題考查了通過研究函數(shù)的性質(zhì)以及取特殊值來識別的函數(shù)圖象,屬于基礎(chǔ)題.

7T

6.將函數(shù)f(x)=sin2『cos2x的圖象向左平移一個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)()

8

7TTT

A.在區(qū)間［0,一］上單調(diào)遞增B.最小正周期為一

22

TTIT

C.圖象關(guān)于》=一對稱D.圖象關(guān)于(一，0)對稱

44

【答案】C

【解析】/(x)=sin2x-cos2x=^sin(2x-7),其圖象向左平移工個單位長度，

可得g(x)=0sin［2(x+：一？=^2sin2x,

當(dāng)xe0,g時，2xe［0,句，所以函數(shù)g(x)=&sin2x在區(qū)間［0,土］上不單調(diào)，故A不正確；

最小正周期為7=生=%，故B不正確；

2

當(dāng)％=工時，2x=%,即=故C正確、I)不正確；故選：C

42

【點睛】本題考查了根據(jù)輔助角公式可得/(x)=J^sin(2x-?),再由三角函數(shù)圖象的平移變換可得

g(x)=、5sin2x,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可,屬于基礎(chǔ)題.

7.大數(shù)據(jù)時代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開使得家庭中有兩個小孩的現(xiàn)象普遍存在，某城市關(guān)系

要好的4B,C,〃四個家庭各有兩個小孩共8人，準(zhǔn)備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩,

每車限坐4名(乘同一輛車的4名小孩不考慮位置)，其中力戶家庭的攣生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲

車的4名小孩恰有2名來自于同一個家庭的乘坐方式共有()

A.18種B.24種C.36種D.48種

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：

①、1戶家庭的李生姐妹在甲車上，甲車上剩下兩個要來自不同的家庭，

可以在剩下的三個家庭中任選2個，再從每個家庭的2個小孩中任選一個，來乘坐甲車，

有以義&'><以=12種乘坐方式；

②、4戶家庭的學(xué)生姐妹不在甲車上，

需要在剩下的三個家庭中任選1個，讓其2個小孩都在甲車上，

對于剩余的2個家庭，從每個家庭的2個小孩中任選一個，來乘坐甲車，

有0%以義心=12種乘坐方式；

則共有12+12=24種乘坐方式；故選：B.

【點睛】本題考查了組合的實際應(yīng)用問題,注意分類計數(shù)原理的運用,屬于基礎(chǔ)題.

8.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲布

勞威爾(L.E.Brouwer)簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點瓦，使得/(毛)=/，

那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，而稱不為該函數(shù)的一個不動點，依據(jù)不動點理論，下列說法不正確

的是()

A.函數(shù)/(x)=sinx有3個不動點

B.函數(shù)/⑴=^^+云+^^^^^至多有兩個不動點

C.若定義在A上的奇函數(shù)/(x),其圖像上存在有限個不動點，則不動點個數(shù)是奇數(shù)

D.若函數(shù)/(x)=+%—q在區(qū)間［0,1］上存在不動點,則實數(shù)a滿足/WaWe(e為自然對數(shù)的底數(shù))

【答案】A

【解析】令g(x)=x-sinx,g'(x)=l-cosx20,因此g(x)夕上單調(diào)遞增，而g(0)=0.

所以g(x)在斤有且僅有一個零點，即f(x)有且僅有一個“不動點”，A錯誤;

?.?a。。，,?.辦2+bx+c—x=0至多有兩個實數(shù)根，所以/(幻至多有兩個“不動點”，B正確；

f(x)為定義在兄上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,函數(shù)y=/(x)-x為定義在"上的奇函數(shù)，

顯然元=0是/(幻的一個“不動點”，其它的“不動點”都關(guān)于原點對稱，個數(shù)和為偶數(shù)，

因此/(X)一定有奇數(shù)個“不動點”，C正確；

因為/(x)在［0,1］存在“不動點”，則/(x)=x在［0,1］有解，

即^ex+x-a=x=。=e*+x-*2在［0,1］有解，令〃z(x)=e*+x-X：,

m'(x)=eA+l-2x,令n'(x)=ex+1-2x>"'(尤)=e*-2=0,x=In2,

〃(x)在(0,In2)單調(diào)遞減，在(In2,1)單調(diào)遞增，，〃。)?m=n(ln2)=2+l-21n2=3-21n2>0,

m(X)>0在［0」］恒成立，二優(yōu)(X)在［0,1］單調(diào)遞增，機(jī)(無)=機(jī)(°)=1-加(初的=皿D=，

：.l<a<e,D正確，故選：BCD

【點睛】本題考查了新定義題型，其特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型

來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，

實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的

性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.屬于中檔題

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.已知函數(shù)/(幻是定義在(HO,0)U(0,"。)上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(幻=》2-2X+3,則下列結(jié)論正

確的是()

A.l/(x)|>2

B.當(dāng)x<0時，f(x)=-x2-2x-3

C.尤=1是/(x)圖象的一條對稱軸

D./(X)在(-8,-1)上單調(diào)遞增

【答案】ABD

【解析】當(dāng)x<0時，—x>0,所以/(—x)=(—xy+2x+3=—/(x),所以/(耳=—/—2x—3,

所以〃X)=X；2X+3,X>0,作出/(x)圖象如下圖所示：

——2x—3,尤<0

y

由圖象可知：/(x)w(fo,—2］U［2,+oo),所以故A正確；當(dāng)x<0時，〃￡)=一/一2x-3,

故B正確；由圖象可知x=l顯然不是/(x)的對稱軸，故C錯誤：由圖象可知“X)在(一?,-1)上單調(diào)遞

增，故D正確；故選:ABD

【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.

10.為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，

設(shè)企業(yè)的污水排放量”與時間力的關(guān)系為W=/?)，用-/°)］")的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)

b-a

污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.

給出下列四個結(jié)論正確的是()

A.在，1出］這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);

B.在右時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);

C.在與時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

D.甲企業(yè)在［0<］,匕4］，也⑷這三段時間中，在［0,4］的污水治理能力最強(qiáng).

【答案】ABC

【解析】一子三型表示區(qū)間端點連線斜率的負(fù)數(shù)，在［彳冉］這段時間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲

的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);故A正確；甲企業(yè)在［O"J，L，。也,八］

這三段時間中，甲企業(yè)在［冉］這段時間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在［?。莸奈鬯卫砟芰ψ?/p>

強(qiáng).故D錯誤；在弓時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水

治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；故B正確；在g時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以

都已達(dá)標(biāo)；故C正確：故選:ABC

【點睛】本題考查了觀察圖形通過斜率以及切線知識判別選項,屬于基礎(chǔ)題.

11.如圖，在棱長為1的正方體ABC。-44GA中，點P是棱CG上一動點（與C.G不重合），點E為點

C在平面上的正投影，點P在平面A4G。上的正投影為點Q，點Q在直線CD上的正投影為點F,

下列結(jié)論中正確的是（）

B.CE與BD所成角為30。

C.線段PE長度的取值范圍是D.存在點P使得尸尸//平面A4C。

【答案】ACD

【解析】如圖所示:

對于選項A,由題意，點E為的中點，過點P作直線垂直于G。，則垂足為Q,過Q作直線垂直于CD,

則垂足為F,故平面PQR即平面CG2。，又平面CGA。，即平面PQF.故正確.

對于選項B,CE//A.B,乙4,6。為所求，又口48。為等邊三角形，故CE與BD所成角為60°,故錯誤.

對于選項C,當(dāng)用1時，線段PE最短為;CO=；；當(dāng)點P與C、G重:合時，PE為半，又點P與c、G

不重合，故線段PE長度的取值范圍是［g,等］,故正確.

對于選項D,若PP//平面ABC。，又平面AgCQn平面CCQQ=CQ，PEu平面CCQQ,則

PF〃CP，設(shè)C/=x,PQ//CE,Q在線段CQ上.，器=器="?饋=翳=|

DQ=C1D-￡Q,DFDQ_CtP」一2

-=1-萬，又，任，，1-=X=§,.?.點p為棱CG

QD-QD-1…DC~CtD~CtC,2T

上靠近C的三等分點，故正確.故選：ACD

【點睛】本題考查了空間線面、面面位置關(guān)系以及線線成角，考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.

12.下列不等式中正確的是()

A.In3<^ln2B.lnn<［C.2a<15D.3eln2>8

【答案】AC

【解析】構(gòu)造函數(shù)/(力=/，則/'(為=上詈，當(dāng)0<x<e時，/'(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>e時，/,(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減；所以當(dāng)x=e時，/(x)取得最大值

對于選項A,In3<gln2o21n逐<61n2o史哭<生2,由Q<2<e可得/(6)</(2),故

。32

A正確；

對于選項B,In萬<^由五<J7<e，可得/(五)</(6)，故B錯誤；

"/八，/、In16In1541n2lnl5,、In15

對于選項C,由/(16)</(15)可推導(dǎo)出漏〈芯，即二一<而，即1112<右，則

V151n2<lnl5.即hi2后<In15，所以2厲<15，故C正確；

對于選項D,因為/(X)、=/?)=—1>/(12)=2上一,所以］n2<2<3=?，所以3eln2<8,故D錯

誤,故選:AC

【點睛】本題考查了構(gòu)造函數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

/\4

13.（X2-X-2）的展開式中，/的系數(shù)為.（用數(shù)字填寫答案）

【答案】-40

【解析】（公一犬一2『=［X2-（X+2）］4展開后只有（x+2?與—C）2（》+2）3中含v項其系數(shù)和為

C>23-C>C>22=-40,故答案為：-40.

【點睛】本題考查了利用二項展開式定理求特定項的系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.

22

14.已知拋物線y2=2Px（p>0）上一點到其焦點的距離為5,雙曲線六=1（。>0/>0）的

左頂點為4且離心率為或，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則雙曲線的方程為

2

【答案】x2-4y2=l

t解析】因為M（L⑹到其焦點的距離為5,故1+曰=5,故p=8,故拋物線的方程為y2=I6x,故

m=±4.

因為離心率為李，故JI%）=岑，故3=；,根據(jù)拋物線和雙曲線的對稱性，不妨設(shè)M在第一象限,

無4-01

則M（l,4）,則AM與漸近線y=一萬垂直，故［_（_“）=2,故。=1,故b=5,故雙曲線方程為：

尤2-4/=1.故答案為：f-4/=1

【點睛】本題考查了拋物線與雙曲線的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.

15.我國探月工程嫦娥五號探測器于2020年12月1日23時11分降落在月球表面預(yù)選著陸區(qū)，在順利完成

月面自動采樣之后，成功將攜帶樣品的上升器送入到預(yù)定環(huán)月軌道，這是我國首次實現(xiàn)月球無人采樣和地

外天體起飛，對我國航天事業(yè)具有重大而深遠(yuǎn)的影響，為進(jìn)一步培養(yǎng)中學(xué)生對航空航天的興趣愛好，某學(xué)

校航空航天社團(tuán)在本校高一年級進(jìn)行了納新工作，前五天的報名情況為：第1天3人，第2天6人，第3

天10人，第4天13人，第5天18人，通過數(shù)據(jù)分析已知，報名人數(shù)與報名時間具有線性相關(guān)關(guān)系.已知

第X天的報名人數(shù)為則>關(guān)于x的線性回歸方程為,該社團(tuán)為了解中學(xué)生對航空航天的興

趣愛好和性別是否有關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，并得到如下2x2列聯(lián)表:

有興趣無興趣合計

男生45550

女生302050

合計7525100

請根據(jù)上面的列聯(lián)表，在概率不超過0.001的條件下認(rèn)為“中學(xué)生對航空航天的興趣愛好和性別

（填“有"或“無"）關(guān)系

參考公式及數(shù)據(jù)：回歸方程y=a+bx中斜率的最小二乘估計公式為：

Z（為一可（乂一方?戊一而亍

----------=-^--------a=y-bx；

可一才尤；_而2

1=11=1

n^ad-hey

K2，其中〃=a+Z?+c+d.

(a+/?)(c+d)(a+c)(O+d)

P(K2>k)0.100.050.0100.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）y=3.7x-l.l；（2）有

（解析】時間的平均數(shù)為x=1+2+3+4+5=3,

5

3+6+10+13+18,

報名人數(shù)的平均數(shù)為9=--------------------------=10,

5

7

所以A2"一"187-5x3x1037

所以八.弋2-2”=55-5x9=記=3?7,

7-nx

/=1

&二歹—宸=10—3.7X3=—L1，

所以線性回歸方程為》=3.7X-L1,由列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得K2=10°（45X20—5X30）-

75x25x50x50

因為12>10.828，

所以，在犯錯誤的概率不超過0.001的條件下認(rèn)為“中學(xué)生對航空航天的興趣愛好和性別有關(guān)系”.

故答案為：（1）》=3.71一1.1；⑵有

【點睛】本題考查了列聯(lián)表、線性回歸方程以及計算K?的值，屬于基礎(chǔ)題

16.試寫出實數(shù)a的取值范圍使函數(shù)/（幻=sm:一“有極值.

e

【答案】（-虎,應(yīng)）（答案不唯一）

“年..入、sinx-tz—a,、cosx-sinx+67

【解析】由/（?=--—可得：f\x）=--------------，

ee

...函數(shù)/（幻=半二處有極值，

e

，r*）=cosx-sinx+a有可變零點,

e

,cosx—sinx+a=O,即a=sin龍一cosx=&sin；x--,

I4J

五,五）故答案只要為（-立,0）的子集都可以.

【點睛】本題屬于開放題,考查了函數(shù)存在極值的條件以及三角函數(shù)的值域問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔

題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①//+8。=.+占②J&cosB=bsinA,⑨i/"§sinB+cosB=2,這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問

題中，并解決該問題.

Kr-

己知的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,,A=—,b=版.

4

（1）求角8；

（2）求的面積.

【答案】（1）』■兀；（2）蟲ya

36

2.2,2-I1

【解析】（1）若選①由余弦定理可得，cos8=W——c~b,故少=會冗，

2ac23

若選②A/5，COS3=bsinJ,由正弦定理可得,J*in4cos8=bsix\BinA,

因為sin力#0,所以sin夕=J^cos8,即tan4=J§,

因為6為三角形的內(nèi)角，故?兀，

③由J§sinacos8=2可得2sin（班■卷）=2,所以sin（以1-）=1,

因為。為三角形的內(nèi)角，故力巖兀；

ha料Xqr-

（2）由正弦定理可得，1三一丁，所以a=一產(chǎn)工_=￡髻，

sinBsinAy3_3

所以^|=1x攣又如走魯吟

/absinC2o4b

【點睛】本題考查了正余弦定理的運用以及三角形面積公式,屬于基礎(chǔ)題.

18.已知數(shù)列｛《,｝的前〃項和S“=4等數(shù)列｛"｝滿足4=4,且〃川=32一2.

（1）求證數(shù)列｛2-1｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛2｝的通項公式；

a?3

（2）設(shè)%=丁，求證：q+G+???+。〃<一.

2~4

【答案】（1）證明見解析，2=3”+1；（2）證明見解析.

【解析】（1）因為包+1=32-2,所以十=-1——=3,

。,一1

所以數(shù)列｛2-1｝為首項偽-1=3,公比為3的等比數(shù)列，

所以2一1=（乙一1）X3"T=3",所以2=3"+l.

（2）因為數(shù)列｛4,｝的前八項和S,=妁羅，所以4=岳=1,

當(dāng).2時，a“=S?-S,i="（7）-"（7）=〃，

annn

〃=1時，也適合?！?〃，綜上，an=n.:.cn=—=,

bn3+1J

,12n12n

G+c,+L+c<-l——+LTH>設(shè)M——l——+TLH,

?，n3323"3323"

1,12,n

:.-M=—+—+L+—:.二M=

332333'用3

MC|+<72+L+c“<-.

【點睛】本題考查了“錯位相減法”求數(shù)列的和，這種求和方法需注意：①掌握運用“錯位相減法”求數(shù)

列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；②相減時注意最后一項的符號；③求和時注意項數(shù)

別出錯；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以屬于基礎(chǔ)題.

19.如圖，在四棱錐P—ABCZ）中，已知PC_L底面A3CD,ABVAD,AB//CD,AB=2，AD=CD=i,

E是PB上一點.

E

BA

（1）求證:平面E4C，平面P8C；

（2）若E是PB的中點，且二面角P—AC-E的余弦值是逅，求直線E4與平面E4c所成角的正弦值.

3

【答案】（1）證明見解析（2）也

3

【解析】（1）PC_L平面ABC。，ACu平面ABCO,得AC_LPC.

又AD=CZ）=1,在用AAZ5C中，得AC=0，

設(shè)AB中點為G,連接CG,

則四邊形ADCG為邊長為1的正方形，所以CGJ_A5,亢BC=&

因為AC2+BC2=AB2,所以ACL3C，

又因為BCcPC=C，所以ACJ?平面PBC,

又ACu平面E4C,所以平面￡4。，平面P8C.

（2）以C為坐標(biāo)原點，分別以射線8、射線CP為＞軸和z軸的正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

E

則C（0,0,0）,A（l,l,o）,8（1,TO）.

又設(shè)P（O,O,a）（a>O），則CX=（LL°），CP=（O,O,a）,CE=（；,-;

蘇=(1,1,—a),由BC_LAC且3cLpc知，詬=而=(1,—1,0)為平面PAC的一個法向量.

設(shè)7=(x,y,z)為平面EAC的一個法向量，則/mC后=0，

%+,=0_/、I/--\|\m'n\aV6

即｛八，取x=a,y=-a,則“=（a,-a,_2）,有卜05（俏,〃）|=L㈠=廠；----，=丁,得

x-y+az=O1'71\m\-\n\+23

a=2,從而3=（2,-2,-2）,R4=（l,l,-2）.

設(shè)直線R4與平面E4C所成的角為。，則sin。

利卜網(wǎng)―#xg_3'

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為

3

【點睛】本題考查了勾股定理、線面垂直的性質(zhì)、空間面面垂直的判定定理以及求線面角的正弦值，最常

見的求線面角的方法是分別求出所涉及平面的一個法向量，然后通過直線的方向向量與平面的法向量的夾

角得到線面角的正弦值的大小，考查了學(xué)生的空間想象能力及計算能力,屬于中檔題.

20.某市為創(chuàng)建全國文明城市，市文明辦舉辦了一次文明知識網(wǎng)絡(luò)競賽，全市市民均有且只有一次參賽機(jī)會,

滿分為100分，得分大于等于80分的為優(yōu)秀.競賽結(jié)束后，隨機(jī)抽取了參賽中100人的得分為樣本，統(tǒng)計

得到樣本平均數(shù)為71,方差為81.假設(shè)該市有10萬人參加了該競賽活動，得分Z服從正態(tài)分布N(71,81).

(1)估計該市這次競賽活動得分優(yōu)秀者的人數(shù)是多少萬人？

(2)該市文明辦為調(diào)動市民參加競賽的積極性，制定了如下獎勵方案：所有參加競賽活動者，均可參加''抽

獎贏電話費”活動，競賽得分優(yōu)秀者可抽獎兩次，其余參加者抽獎一次.抽獎?wù)唿c擊抽獎按鈕，即隨機(jī)產(chǎn)

生一個兩位數(shù)(10,11,…，99),若產(chǎn)生的兩位數(shù)的數(shù)字相同，則可獎勵40元電話費，否則獎勵10元電

話費.假設(shè)參加競賽活動的所有人均參加了抽獎活動，估計這次活動獎勵的電話費總額為多少萬元？

參考數(shù)據(jù)：若Z~N(〃，o-2),則P(〃-b<Z<〃+b)：=?0.68.

【答案】(1)1.6(2)150.8

【解析】(1)因得分/M71,81),所以標(biāo)準(zhǔn)差b=9,所以優(yōu)秀者得分分〃+.

由尸(//—o<Z<〃+o)^O.68得，/=0.16.

因此，估計這次參加競賽活動得分優(yōu)秀者的人數(shù)為10X0.16=1.6(萬人).

(2)方法一

設(shè)抽獎?次獲得的話費為￥元，

919

則。(才=40)=麗=m，2(1=10)=而，

19

所以抽獎一次獲得電話費的期望值為E5=訖乂40+歷X10=13.

又由于10萬人均參加抽獎，且優(yōu)秀者參加兩次，

所以抽獎總次數(shù)為10+10X0.16=11.6萬次，

因此，估計這次活動所需電話費為11.6X13=150.8萬元.

方法二

設(shè)每位參加活動者獲得的電話費為1元，則I的值為10,20,40,50,80.

81756

且P(4=10)=(1—0.16)X90=100Q,

811296

產(chǎn)(1=20)=0.16X(90)"=10000'

984

?(1=40)=(1-0.16)又麗='麗，

819288

?(1=50)=0.16X(go)X(go)X2=10000,

916

P(X=80)=0.16X(90)2=10000?

75612968428816

所以￡(a=10X1ooo+20義10000+40X1000+50X1oooo+80X10000=15.08.

因此，估計這次活動所需電話費為10X15.08=150.8(萬元).

【點睛】本題考查了正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望以及事件概率,其中離散型隨機(jī)變量

的分布列及其數(shù)學(xué)期望解題步驟如下：(1)根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；(2)求出隨機(jī)變量

所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；(3)根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望(在計算

時，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布等，可結(jié)合其對應(yīng)的概率計算公式及

期里計算公式，簡化計算).屬于中檔題

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）設(shè)橢圓的上、下頂點分別為A,8,點尸是橢圓上異于A3的任意一點，PQJ_＞軸，。為垂足,

M為線段PQ中點，直線AM交直線/：y=-l于點C,N為線段8C的中點，若四邊形MOBN的面積

為2,求直線40的方程.

21

【答案】（I）二r+丁=1；（H）y=±-x+1.

42

￡.也

。一2年=2

13r2

【解析】（I）由題意■—+—T=L解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+丁=1

a班4