傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)*光學(xué)信息處理*1.1二維傅里葉分析1.1.1定義及存在條件復(fù)變函數(shù)器g(x,y)的傅里葉變換可表為

G(u,v)

=F{g(x,y)}=

∞-∞g(x,y)exp[-i2

(ux+vy)]dxdy(1)稱g(x,y)為原函數(shù)，G(u,v)為變換函數(shù)或像函數(shù)。(1)式的逆變換為

g(x,y)

=F-1{G(u,v)

}=

∞-∞G(u,v)exp[i2

(ux+vy)]dudv

(2)*光學(xué)信息處理*傅里葉-貝塞爾變換

設(shè)函數(shù)g(r,

)=g(r)具有圓對(duì)稱，傅里葉-貝塞爾變換為

G(

)

=B{g(r)}=2

∞org(r)Jo(2

r)dr其中Jo為第一類零階貝塞爾函數(shù)傅里葉-貝塞爾逆變換為

g(r)

=B-1

{G(

)}=2

∞o

G()Jo(2

r)d

*光學(xué)信息處理*

變換存在的條件為

(1)g(x,y)在全平面絕對(duì)可積；

(2)g(x,y)在全平面只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，在任何有限的區(qū)域內(nèi)只有有限個(gè)極值；

(3)g(x,y)沒(méi)有無(wú)窮大型間斷點(diǎn)。以上條件并非必要，實(shí)際上，“物理的真實(shí)”就是變換存在的充分條件。以下我們常用g(x,y)

G(u,v)表示變換對(duì)．對(duì)于光學(xué)傅里葉變換，x，y是空間變量，u，v

則是空間頻率變量。在一維情況下，有時(shí)也用希臘字母v

表示頻率變量。*光學(xué)信息處理*1.1.2δ函數(shù)的傅里葉變換由δ函數(shù)的定義容易得到

δ(x-xo,y-yo)

exp[-i2

(uxo+vyo)](3)當(dāng)xo=0，yo=0時(shí)得到δ(x,y)

1

(4)上式的物理意義表示點(diǎn)源函數(shù)具有權(quán)重為l的最豐富的頻譜分量．因此光學(xué)中常用點(diǎn)光源來(lái)檢測(cè)系統(tǒng)的響應(yīng)特性，即脈沖響應(yīng)．(3)式還可表為,δ(x-xo,y-yo)=

∞-∞exp{-i2[u(x-xo)+v(y-yo)]}dudv它正是δ函數(shù)的積分表達(dá)式．根據(jù)δ函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的定義

∞-∞δ(n)(x)g(x)dx=(-1)ng(n)(0)(6)得到δ(k,l)(x,y)的傅里葉變換

δ(k,l)(x,y)=

k+lδ(x,y)/xkyl

)

(i2

u)k(i2

v)l

(7)*光學(xué)信息處理*1.1.3傅里葉變換的基本性質(zhì)(1)線性

(linearity)Ag(x,y)+Bh(x,y)

AG(u,v)+BH(u,v)(8)(2)縮放及反演(scalingandinversion)g(ax,by)

G(u/a,v/b)/|ab|(9)上式表明空域信號(hào)的展寬將引起頻域信號(hào)的壓縮.特別是當(dāng)a=b=-1時(shí)，得到反演的變換性質(zhì)：

g(-x,-y)

G(-u,-v)(10)(3)位移(shift)g(x+xo,y+yo)

exp[i2

(uxo+vyo)]G(u,v)(11)上式表示原函數(shù)的位移引起變換函數(shù)的相移.(4)共扼(conjugation)g*(x,y)

G*(-u,-v)(12)*光學(xué)信息處理*(5)卷積

(convo1ution)g(x,y)和h(x,y)的卷積定義：g(x,y)

h(x,y)=

∞-∞g(

,

)h(x-,y-)dd易證明:g(x,y)

h(x,y)

G(u,v)H(u,v)

δ函數(shù)的卷積有特殊的性質(zhì)：

g(x)

δ(x-xo)=g(x-xo)(15)g(x,y)

δ(k,l)(x,y)=g(k,l)(x,y)(16)(6)導(dǎo)數(shù)的變換公式可由(7)式導(dǎo)出

g(k,l)(x,y)

(i2

u)k(i2

v)l

G(u,v)(17)*光學(xué)信息處理*(7)相關(guān)(correlation)函數(shù)g(x,y)和h(x,y)的相關(guān)定義為

g(x,y)

h(x,y)=

∞-∞g(

,

)h(x+,y+)dd

當(dāng)g=h時(shí)成為自相關(guān)，有

g(x,y)

g(x,y)=

∞-∞g(

,

)g(x+,y+)dd

相關(guān)的變換可以利用卷積的變換公式導(dǎo)出：

g(x,y)

h(x,y)=g*(-x,-y)

h(x,y)

G*(u,v)H(u,v)g(x,y)

g(x,y)

∣G(u,v)∣2(21)

自相關(guān)與功率譜構(gòu)成傅里葉變換*光學(xué)信息處理*(8)矩

(moment)g(x,y)的(k,l)階矩定義為

Mk,l=

∞-∞g(x,y)xkyldxdy(22)

將逆變換表達(dá)式(2)代入上式，得到Mk,l=

∞-∞G(u,v)dudv

∞-∞xkylexp[i2

(ux+vy)]dxdy

由δ函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變換表達(dá)式(7)，上式內(nèi)部的積分

∞-∞xkylexp[i2

(ux+vy)]dxdy=(i2)-k-lδ(k,l)(u,v)矩的表達(dá)式

Mk,l=(-i2)-k-lG(k,l)(0,0)*光學(xué)信息處理*(9)Parseval定理

g(x,y)

h(x,y)

G*(u,v)H(u,v)式可用逆變換表達(dá)式改寫為

∞-∞g(

,

)h(x+,y+)dd

=

∞-∞G*(u,v)H(u,v)exp[i2

(ux+vy)]dudv

令x=y=0，上式為

∞-∞g(

,

)h(,)dd=

∞-∞G*(u,v)H(u,v)dudv

這一關(guān)系式稱為Parseval定理．當(dāng)h=g時(shí)，上式化為

∞-∞

g(

,

)

2dd=

∞-∞

G(u,v)

2dudv該式又稱完備關(guān)系式，實(shí)際上是能量守恒定律在空域和頻域中表達(dá)式一致性的表現(xiàn)．*光學(xué)信息處理*1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換1、rect(x)，

(x)及sinc(x)函數(shù)定義(1)rect(x)函數(shù)

rect(x)=1，|x|

?rect(x)=0，其他(2)

(x)函數(shù)

(x)=1-|x|，|x|1

(x)=0，其他(3)sinc(x)函數(shù)

sinc(x)=(sinx)/x*光學(xué)信息處理*?-?11-11.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換rect(x)，

(x)及sinc(x)函數(shù)傅里葉變換：傅里葉變換分別為

rect(x)

sinc(u)

sinc(x)

rect(u)

(x)

sinc2(u)*光學(xué)信息處理*1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換2、符號(hào)函數(shù)sgn(x)和階躍函數(shù)step(x)符號(hào)函數(shù)sgn(x)定義

sgn(x)=1，x>0sgn(x)=0，x=0sgn(x)=-1，x<0階躍函數(shù)step(x)定義

step(x)=1，x>0step(x)=0，x<0*光學(xué)信息處理*oo1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換sgn(x)函數(shù)和step(x)函數(shù)傅里葉變換傅里葉變換為

sgn(x)

1/iustep(x)=sgn(x)/2+1/2

1/i2u+(u)/2

利用step(x)的變換式及卷積定理，可求出積分

x-∞g(

)d

的變換：

x-∞g(

)d=∞-∞g(

)step(x-

)d

=g(x)

step(x)

G(u)[1/i2u+(u)/2]*光學(xué)信息處理*1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換3、周期函數(shù)設(shè)函數(shù)g(x)可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)

g(x)=

∞-∞Cnexp(i2n

fox)(38)式中Cn=(1/X)

X/2-X/2g(x)exp(-i2n

fox)dx周期X=1/fo．對(duì)(38)式兩邊取傅氏變換得

G(u)=

∞-∞Cn

(u-nfo)(40)推導(dǎo)中用到積分變換式：

(u-nfo)

exp(i2

nfox)

．*光學(xué)信息處理*1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換g(x)=

∞-∞Cnexp(i2n

fox)

G(u)=

∞-∞Cn

(u-nfo)(40)4、函數(shù)comb(x)

comb(x)=

∞-∞(x-n)

=

∞-∞exp(i2n

x)(42)系數(shù)Cn=1．因此由(40)式可得

comb(x)

comb(u)(43)*光學(xué)信息處理*1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換4、函數(shù)comb(x)

設(shè)X為實(shí)數(shù)常數(shù)，則有(1/X)g(x)

comb(x/X)=(1/X)

∞-∞g(

)comb[(x-)/X]d

=(1/X)

∞-∞g(

)

∞-∞[(x-)/X-

n]d

=

∞-∞

∞-∞g[X(/X)][x/X-

/X-n]d(

/X)=

∞-∞g[X(x/X-n]=

∞-∞g(x

-nX)(44)結(jié)果得到了以nX(n=0，±1，±2，…)為中心的一系列重復(fù)出現(xiàn)的波形g(x

-nX)，這一現(xiàn)象稱為“復(fù)現(xiàn)”．

*光學(xué)信息處理*1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換4、函數(shù)comb(x)gs(x)=g(x)comb(x/X)

=g(x)

∞-∞(x/X-n)

=

∞-∞g(nX)(x-nX)gs稱g的抽樣函數(shù)，X為抽樣間隙，xn=nX稱樣點(diǎn)，g(xn)稱樣值．所以g(x)的抽樣函數(shù)gs(x)是以樣值為權(quán)重的

函數(shù)序列．*光學(xué)信息處理*1.1.5功率譜與空間自相關(guān)函數(shù)由Parseval定理

∞-∞

g(x,y)

2dxdy=

∞-∞

G(u,v)

2dudv

g(x,y)為光場(chǎng)的復(fù)振幅分布，

g(x,y)

2代表光強(qiáng)分布，

G(u,v)

2則表示單位頻率間隔的光能量，稱為功率譜，用s(u,v)表示為s(u,v)=

G(u,v)

2(46)

根據(jù)變換定理，我們得到g(x,y)

g(x,y)

∣G(u,v)∣2=

s(u,v)(47)*光學(xué)信息處理*1.1.5功率譜與空間自相關(guān)函數(shù)g(x,y)

g(x,y)

∣G(u,v)∣2=

s(u,v)(47)g

g

在光學(xué)上稱為空間自相關(guān)函數(shù)．上式表示功率譜是空間自相關(guān)函數(shù)的傅氏變換．

空間自相關(guān)函數(shù)表征空間相距為(x,y)的兩點(diǎn)之間場(chǎng)的相似性或關(guān)聯(lián)性，它是場(chǎng)的空間相干性的度量。場(chǎng)的相干性較高時(shí)，功率譜的彌散就較小，表示光功率在頻域內(nèi)集中在很小的區(qū)域中(可稱為準(zhǔn)單色光)；反之當(dāng)場(chǎng)的相干性較差時(shí)，功率譜的彌散就較大，表示光功率在頻域中分布在較大的區(qū)域內(nèi)，包含較寬的波段。*光學(xué)信息處理*1.2空間帶寬積和測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式1.2.1空間帶寬積與自由度如果信號(hào)g在頻域內(nèi)不為零的分量限制在某一區(qū)域內(nèi)，則稱為“帶限函數(shù)”。1、Whittaker-Shannon抽樣定律：帶限函數(shù)g(x,y)被它的抽樣值的無(wú)窮集合{gmn=g(m/

u,n/v)}完全確定，式中

u

，

v

是頻帶的寬度，m,n=0,±l,±2,…。*光學(xué)信息處理*1.2.1空間帶寬積與自由度2、空間帶寬積與自由度傅氏變換及解析函數(shù)的一般理論告訴我們：

頻域內(nèi)的帶限函數(shù)，在空域內(nèi)必然擴(kuò)展到全平面，因?yàn)閹藓瘮?shù)的傅里葉變換是一個(gè)解析函數(shù)，它不可能在一個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)處處為零，否則通過(guò)解析開(kāi)拓就可以證明這個(gè)函數(shù)在全平面內(nèi)處處為零．*光學(xué)信息處理*1.2.1空間帶寬積與自由度2、自由度實(shí)際信號(hào)測(cè)量系統(tǒng)的輸入平面總是有限制的，設(shè)信號(hào)被限制在r[-x/2,

x/2,-y/2,

y/2]矩形區(qū)域內(nèi)，又設(shè)系統(tǒng)的帶寬

u，

v

與抽樣間隙X，Y滿足倒數(shù)的關(guān)系，則在r

內(nèi)共有抽樣點(diǎn)N個(gè)，

N

=xy/XY=xyu

v=SW(1)式中S=xy,W=

u

v

。SW稱空間帶寬積，是評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的重要參數(shù)，(1)式指出通過(guò)系統(tǒng)的樣點(diǎn)數(shù)等于空間帶寬積．*光學(xué)信息處理*

因?yàn)橐粋€(gè)在頻域中非無(wú)限擴(kuò)展的信號(hào)(帶限信號(hào))，在空域中必然是無(wú)限擴(kuò)展的，若用一個(gè)具有有限大小的輸入端面的系統(tǒng)對(duì)該信號(hào)進(jìn)行測(cè)量，必然造成信息量的損失，使測(cè)量結(jié)果失真。

例如信號(hào)分布在矩形r

內(nèi)，那么這個(gè)信號(hào)就被它的N個(gè)樣值基本上確定了。我們稱這個(gè)信號(hào)有N個(gè)自由度，顯然自由度數(shù)等于空間帶寬積．*光學(xué)信息處理*

如果系統(tǒng)的輸入端面的尺寸小于r，則自由度數(shù)將小于N．所以空間帶寬積與其說(shuō)是信號(hào)的特征，還不如說(shuō)是系統(tǒng)的特征，因?yàn)橄到y(tǒng)有限的空域和頻域尺寸限制了通過(guò)它的信息量．

例如對(duì)于一個(gè)成像系統(tǒng)，限制空域尺寸的是視場(chǎng)光闌的大小，限制頻域尺寸的是孔徑光闌的大小。顯然視場(chǎng)越大、孔徑越大的系統(tǒng)能傳遞更多的信息．*光學(xué)信息處理*1.2.2系統(tǒng)的分辨率

考慮一個(gè)低通濾波性能的系統(tǒng)的分辨率，即輸入平面上能被系統(tǒng)分辨開(kāi)來(lái)的兩個(gè)點(diǎn)的最小間距(最小分辨長(zhǎng)度)的倒數(shù)。由抽樣定理可知，對(duì)任意輸入信號(hào)g(x,y)來(lái)講，由于系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的限制，其效果都是帶限的，因此可以用抽樣函數(shù)gs(x,y)來(lái)代替它。只要抽樣點(diǎn)充分稠密，即條件

X≤1/

u，Y≤1/

v

(4)滿足時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)輸出端而言，gs和g等價(jià)，在輸出端并不能覺(jué)察出gs的周期結(jié)構(gòu)，或者說(shuō)gs包含的脈沖是不可分辨的。*光學(xué)信息處理*1.2.2系統(tǒng)的分辨率

當(dāng)條件(4)不滿足時(shí)，gs和g對(duì)于輸出端不再等價(jià)，從而在輸出端就能覺(jué)察出gs的周期結(jié)構(gòu)，或者講gs中兩個(gè)相鄰脈沖能夠被系統(tǒng)分辨開(kāi)來(lái)。這樣，系統(tǒng)的最小分辨長(zhǎng)度x和y應(yīng)當(dāng)與(4)式表示的X，Y同數(shù)量級(jí)，從而與帶寬成反比：

x1/

u，

y

1/

v(5)最小分辨長(zhǎng)度與空間帶寬積的關(guān)系為

xy

x

y/SW(6)可見(jiàn)在給定輸入端面尺寸x，y后，SW越大，最小分辨長(zhǎng)度就越小，系統(tǒng)的分辨率就越高，測(cè)量過(guò)程的失真越小。*光學(xué)信息處理*1.2.3等效帶寬和測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系僅考慮一維情況

G(u)=

∞-∞g(x)exp(-i2

ux)dx(7)

g(x)=

∞-∞G(u)exp(i2

ux)du

(8)

由以上兩式可得

G(0)=

∞-∞g(x)dx(9)

g(0)=

∞-∞G(u)du(10)

設(shè)信號(hào)在空域和頻域中不顯著為0的分量都集中在原點(diǎn)近旁有限區(qū)域內(nèi)，則可用近似度量g(x)和G(u)的彌散或展寬的程度．引入和：*光學(xué)信息處理*(11)(12)

意義：

如一個(gè)矩形高度等于G(0)，面積與曲線G(u)下的面積相同，則它的寬度為，又稱為“等效帶寬”。*光學(xué)信息處理*等效帶寬

Goodman提出了等效帶寬的概念，它是頻譜曲線展寬程度的某種度量，G(u)越寬，越大，因而常用來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能。G(u)

將(11)、(12)交叉相除得到(13)由于可表征信號(hào)在空域的展寬或彌散，上式意味著信號(hào)在空域和頻域中的展寬是互相制約的．假設(shè)要對(duì)信號(hào)進(jìn)行長(zhǎng)度或位置測(cè)量，測(cè)量系統(tǒng)可看成是對(duì)被測(cè)對(duì)象的一個(gè)變換，在位置測(cè)量時(shí)必須使系統(tǒng)首先“對(duì)準(zhǔn)”空間的一個(gè)定點(diǎn)或長(zhǎng)度的一個(gè)端點(diǎn)，該點(diǎn)可以用

函數(shù)表示，它就是系統(tǒng)的輸入，而輸出恰恰就是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)h。必須指出，通過(guò)測(cè)量我們只能獲得h所包含的信息，我們永遠(yuǎn)無(wú)法直接得到被測(cè)點(diǎn)本身．*光學(xué)信息處理*所有測(cè)量系統(tǒng)的等效帶寬都是有限的，從而

函數(shù)的脈沖響應(yīng)h就有一定的彌散，它表征了對(duì)準(zhǔn)誤差，因而也就是系統(tǒng)空間分辨率大小的度量．注意到取決于整個(gè)頻譜函數(shù)G(u)，因此兩個(gè)系統(tǒng)即使有等同的截止頻率，由于G(u)不相同，也會(huì)得到不同的等效帶寬，因而也不一致．一般來(lái)講，越大，頻響特性就越好，脈沖響應(yīng)的彌散就越?。捎?∞的系統(tǒng)不存在，所以永遠(yuǎn)不等于0．在這個(gè)意義上講，測(cè)量永遠(yuǎn)都不是絕對(duì)準(zhǔn)確的，(13)式稱為光學(xué)系統(tǒng)的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，它與量子力學(xué)中的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系實(shí)質(zhì)上一致．*光學(xué)信息處理*1.2.4廣義測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系(

x)2(u)2≥1/162或

x

u≥1/4(18)*光學(xué)信息處理*1.3平面波的角譜和角譜的衍射

從變換光學(xué)入手來(lái)討論衍射效應(yīng)．1.3.1角譜設(shè)單色光波沿z方向傳播，照射到xy平面上，在xy平面上的光場(chǎng)復(fù)振幅分布用函數(shù)

(x,y,0)=

(x,y)=

∞-∞A(u,v)exp[i2

(ux+vy)]dudv

(1)一個(gè)波矢量為k的平面波

o(x,y,z)=A(u,v,z)exp(ik·r)=A(u,v,z)exp[i2

(

x+

y+z)/

]其中

,

和

是k的方向余弦．*光學(xué)信息處理*1.3平面波的角譜和角譜的衍射1.3.1角譜

(x,y,0)=

∞-∞A(u,v)exp[i2

(ux+vy)]dudv(1)引入矢量a=(

,

),則在z=0的平面上

o(x,y,0)=A(u,v)exp(i2

a·r/

)=A(u,v)exp[i2

(

x+

y)/

](4)將(4)式和(1)式作比較，得u=

/,v=/

(5)則(1)式可用a表示為

(x,y)=

∞-∞A(

/

,

/

)exp[i2

(

x+

y)/

]d(

/)d(/)

(6)上式表示：z=0平面上的場(chǎng)，即透過(guò)xy平面向+z方向傳播的波，可用不同方向的平面波展開(kāi)．*光學(xué)信息處理*1.3平面波的角譜和角譜的衍射u=

/,v=/

(5)

(x,y)=

∞-∞A(

/

,

/

)exp[i2

(

x+

y)/

]d(

/)d(/)

(6)(5)式表示空間頻率正比于

/

或

/

，在

(x,y)中的低頻分量對(duì)應(yīng)于與軸夾角不大的平面波分量。而高頻分量則對(duì)應(yīng)于與z軸夾角較大的平面波分量。不同方向的平面波的權(quán)函數(shù)A(

/

,

/

)

稱為

(x,y)的角譜，和空間頻譜的實(shí)質(zhì)是相同的。

A(

/

,

/

)與

(x,y)

的關(guān)系就是傅里葉變換：

A(

/

,

/

)=

∞-∞

(x,y)exp[-i2

(

x+

y)/

]dxdy(7)(6)和(7)兩式構(gòu)成傅里葉變換對(duì)。*光學(xué)信息處理*1.3.2角譜的傳播首先A(

/

,

/;z)與A(

/

,

/

)的關(guān)系為:A(

/

,

/;z)=

∞-∞

(x,y,z)exp[-i2

(

x+

y)/

]dxdy

(x,y,z)=

∞-∞A(

/

,

/;z)exp[i2

(

x+

y)/

]d(

/)d(/)以

(x,y,z)

代入亥姆霍茲方程，交換積分與微分的次序，可知A(

/

,

/;z)

也滿足亥姆霍茲方程：(d2/dz2+kz2)A(

/

,

/,z)=0(10)式中

(11)(10)式的一個(gè)解是(12)*光學(xué)信息處理*1.3.2角譜的傳播

當(dāng)

2+

2<1時(shí)，光波沿+z方向傳播的效果，在頻域內(nèi)表現(xiàn)為乘以一個(gè)沿z軸的相位延遲因子

.在第二章，我們將看到這一效應(yīng)等價(jià)于空間濾波．當(dāng)

2+

2>1時(shí)，取正數(shù)，則角譜為

A(

/

,

/;z)=A(

/

,

/

)exp(-i2

z/

)表示一個(gè)隨z的增大迅速衰減的波，稱隱失波，它只存在于很接近于xy平面的一個(gè)薄層內(nèi)，這是近場(chǎng)光學(xué)要討論的問(wèn)題．*光學(xué)信息處理*1.3.3菲涅耳衍射將(12)式中相因子內(nèi)的根號(hào)作泰勒展開(kāi)：(14)在上式中只保留二級(jí)小量，則

A(

/

,

/;z)=A(u,v)exp[i2

z(1-

2

2/2)/

]=A(u,v)exp(i2

z/)exp(-i

z

2)=A(u,v)exp(i2

z/)exp[-i

z(u2+v2)]由于A(u,v)

(x,y)exp[-i

z(u2+v2)]

exp[-i

(x2+y2)/

z]/iz

(x,y,z)

A(

/

,

/;z)*光學(xué)信息處理*A(

/

,

/;z)=A(u,v)exp(i2

z/)exp[-i

z(u2+v2)]A(u,v)

(x,y)exp[-i

z(u2+v2)]

exp[-i

(x2+y2)/

z]/iz

(x,y,z)

A(

/

,

/;z)卷積的性質(zhì):g(x,y)

h(x,y)

G(u,v)H(u,v)相應(yīng)的空域信號(hào)為

(x,y,z)=exp(i2

z/)(x,y)

exp{i[(x2+y2)]/

z}/iz(16)=exp(i2

z/)/iz∞-∞

(

,

)exp{i[(x-

)2+(y-)2]/

z}dd上式即為菲涅耳衍射的公式，積分在z=0的平面進(jìn)行，式中

(x,y)表示z=0的光場(chǎng)復(fù)振幅分布。*光學(xué)信息處理*1.3.4夫瑯和費(fèi)衍射若

z>>

(

2+

2)/

(17)則菲涅耳衍射的公式化為

(x,y,z)=exp(i2

z/)/izexp[i

(x2+y2)/

z]×∞-∞

(

,

)exp[-i2

(

x+y)/

z]dd(18)(18)就化為遠(yuǎn)場(chǎng)衍射即夫瑯和費(fèi)衍射的情況。(18)式還可表為

(x,y,z)=(A/z)

(x/z,y/z)(19)上式表示除了與積分變量無(wú)關(guān)的相位因子A以外，

為

的傅里葉變換，頻域宗量為x/z

及y/z

．*光學(xué)信息處理*1.3.5角譜的衍射

設(shè)在xy平面上有一不透光的屏，屏上帶一透光的孔，孔的復(fù)數(shù)透過(guò)率用光瞳函數(shù)p(x,y)來(lái)表示，p(x,y)可以是復(fù)數(shù)．這樣，屏后面的透射場(chǎng)

t可用入射波的場(chǎng)

i表為

t(x,y)

=i(x,y)

p(x,y)

(20)在頻域中，上式變?yōu)?/p>

At(

/

,

/)=Ai(

/

,

/)

P(

/

,

/)(21)式中P為p的角譜．(21)式說(shuō)明透射波角譜為入射波角譜與光瞳函數(shù)角譜的卷積．引入光闌后，一般來(lái)講信號(hào)的空間分布受到壓縮．*光學(xué)信息處理*

根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，信號(hào)在頻域中的分布必然展寬.(21)式所示的卷積運(yùn)算的結(jié)果，總是使入射波的角譜變得更加平滑，換言之，有更多的能量擴(kuò)散到高頻段中去．

(12)式為角譜在自由空間中的衍射公式.如果考慮到xy平面上光瞳函數(shù)的作用，(12)式改寫為

(22)(12)式或(22)式原則上可以解決任何光波的傳播及衍射問(wèn)題．*光學(xué)信息處理*1.4透鏡系統(tǒng)的傅里葉變換性質(zhì)遠(yuǎn)場(chǎng)衍射即夫瑯和費(fèi)衍射

(x,y,z)=exp(i2

z/)/izexp[i

(x2+y2)/

z]×∞-∞

(

,

)exp[-i2

(

x+y)/

z]dd(18)

(18)式表明，遠(yuǎn)場(chǎng)衍射具有傅里葉變換的特性．由于薄透鏡或透鏡組的后焦面等價(jià)于∞，因而可以想像凡是具有正焦距的光學(xué)系統(tǒng)都應(yīng)當(dāng)具有傅里葉變換的功能．*光學(xué)信息處理*

設(shè)用振幅為l的單色平面波照射一個(gè)在xy平面上，且振幅透過(guò)率為g(x,y)的物體，則物體后面的場(chǎng)為g(x,y)．光場(chǎng)展開(kāi)成為平面波角譜：g(x,y)=

∞-∞G(

/

,

/

)exp[i2

(

x+

y)/

]d(

/)d(/)*光學(xué)信息處理*

由于透鏡組具有聚焦的特性，所有方向相同，即具有同樣的方向余弦

,

的入射波都將會(huì)聚到透鏡組后焦面的一點(diǎn)Q(u,v)上。當(dāng)透鏡組焦距f>>(u2+v2)1/2時(shí)，即Q點(diǎn)很接近于原點(diǎn)時(shí)，有下面的近似等式

u≈

f,v≈

f

(2)

g(x,y)的角譜中所有方向余弦為

,

的角譜分量都對(duì)Q點(diǎn)有貢獻(xiàn)，Q點(diǎn)的的復(fù)振幅自然就等于G(

/

,

/

)，因而后焦面上的復(fù)振幅分布為

G(

/

,

/

)=G(u/f,v/f)

(3)*光學(xué)信息處理*

這樣，透鏡組的后焦面就成為信號(hào)的頻域，透鏡組起了傅里葉變換的作用。大部分具有聚焦性能的器件，例如反光鏡、自聚焦透鏡等，都具有傅里葉變換的功能。薄透鏡的傅里葉變換功能可以直接計(jì)算出來(lái)，但它只是光學(xué)傅里葉變換器件的一個(gè)特例．我們用u，v來(lái)表示頻域的坐標(biāo)，也可以表示空間頻率變量。在一維的情形下也用v來(lái)表示空間頻率變量。*光學(xué)信息處理*注意u

≈

f,v

≈

f(2)只是近軸近似．嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，

u

=ftg=f

/(1-2)1/2

(4)

式中

是波矢量k與z軸的夾角。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)k位于xz平面內(nèi)．(4)式又稱正切條件，只是在

很小時(shí)，才滿足(2)式。當(dāng)

較大時(shí)，傅里葉平面(后焦面)上的線度u與空間頻率/

并不滿足正比關(guān)系。*光學(xué)信息處理*

從幾何光學(xué)知道，一個(gè)像差校正得很好的透鏡必須滿足正弦條件，而正弦條件與正切條件是難以同時(shí)滿足的，所以，性能完善的傅里葉變換透鏡是很難設(shè)計(jì)的。

不過(guò)在大多數(shù)情況下，光學(xué)變換是作為近似的模擬變換而加以應(yīng)用的，再說(shuō)推導(dǎo)薄透鏡的相位變換公式時(shí)已經(jīng)引入了近軸近似。在大多數(shù)應(yīng)用中，無(wú)論是薄透鏡或是透鏡組仍然是最方便、廉價(jià)的光學(xué)傅里葉變換器件。*光學(xué)信息處理*透鏡系統(tǒng)的相位變換公式

由于透鏡系統(tǒng)能將平面波轉(zhuǎn)換成球面波，所以它的相位變換效應(yīng)可以表為

tl=exp(ik)exp(–ikr)/r(5)

式中

為透鏡組的等效厚度。r=OP，O是會(huì)聚球面波的中心，也是透鏡系統(tǒng)的焦點(diǎn)，OQ=OM=f，f為焦距，在近軸近似下，PQ≈MN=h，*光學(xué)信息處理*tl=exp(ik)exp(–ikr)/rr=f+PQ≈f+h。因?yàn)?/p>

2+2

+f2=r2≈

(f+h)2

→

2+2

≈(f+h)2-f2≈2fh→h≈(

2+2)/2f所以r≈f+h=f+(

2+2)/2f(6)

式中(,)是P點(diǎn)坐標(biāo)，代入(5)式，取分母上的r≈f,得透鏡系統(tǒng)的相位變換公式

tl=exp[ik(-f)]exp[–ik(

2+2)/2f]/f(7)*光學(xué)信息處理*透鏡系統(tǒng)對(duì)圖像的變換公式

設(shè)光波在dl和d2范圍內(nèi)的傳播滿足菲涅耳近似條件，則由1.3節(jié)(16)式透鏡前表面的場(chǎng)

l可表為

l(

,

)=eikd1/id1

×∞-∞

o(x,y)exp{ik[(

-x)2+(-y)2]/2d1}dxdy(8)透鏡L的相位變換效應(yīng)可表為

l’(

,

)=tl

l=(e-ikf/f)exp[-ik(

2+2)/2f]

l(

,

)(9)其中略去了常數(shù)相位項(xiàng)exp(ik

)．*光學(xué)信息處理*

設(shè)輸入平面的透過(guò)率為

o(x,y)，它位于透鏡L前dl處．輸出平面uv位于L后d2處。物體用振幅為1的單色光波照明。利用菲涅耳變換公式，得到輸出平面(u,v)上的場(chǎng)

l(u,v)=exp(ikd2)/id2×∞-∞

l’(

,

)exp{ik[(u-

)2+(v-)2]/2d2}dd(10)將(8)，(9)代入(10)式，得

l(u,v)=-exp(ik(d1+d2-f)exp[ik(u2+v2)/2d2]/

2d1d2f×∞-∞

o(x,y)exp[ik(x2+y2)/2d1]I(x,y)dxdy

(11)其中I(x,y)=

∞-∞exp{ik/2[(1/d1+1/d2-1/f)(2+

2)]-2(x/d1+u/d2)-2(y/d1+v/d2)}dd

=I1(x,y)I2(x,y)(12)Ij=

∞-∞exp[i(k2/2-kj)]d(j=1,2)(13)=1/d1+1/d2-1/f,1=

x/d1+u/d2,2=

y/d1+v/d2*光學(xué)信息處理*

討論：以(15),(16)式代入(12)式，再代入(11)式，經(jīng)整理，得到*光學(xué)信息處理*(a)

≠0(15)(16)(18)

當(dāng)d2=f，即以后焦面作為輸出平面，則(18)式化作

(19)此時(shí)

是

o的傅里葉變換(相位因子除外，在探測(cè)光強(qiáng)時(shí)相位因子不起作用)，宗量是(u/f,v/f)．*光學(xué)信息處理*

當(dāng)d2=f,d1=f

時(shí)，相位因子消去，

(20)

是

o的傅里葉變換在一般情況下，d1和d2與f并不相等．在這種情況下，有可能實(shí)現(xiàn)廣義傅里葉變換(分?jǐn)?shù)階傅里葉變換)。我們將在第五章中詳細(xì)討論這一課題。*光學(xué)信息處理*(b)

=1/d1+1/d2-1/f=0，即輸入輸出平面關(guān)于透鏡組滿足成像關(guān)系，此時(shí)I1=d1(x-u/)(21)I2=d2(y-v/)(22)式中

=-d2/d1

為系統(tǒng)的橫向放大率．以(21)、(22)式代入(12)、(11)式得

(23)在輸出平面上得到放大

倍的像，回到幾何光學(xué)的結(jié)果．這個(gè)結(jié)論只是近似成立的，因?yàn)槲覀兺耆豢紤]光瞳函數(shù)的影響，也忽略了透鏡的像差．*光學(xué)信息處理*

經(jīng)典光學(xué)信息處理*光學(xué)信息處理*2.1引言信息：客觀事物的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的表征和描述。能量從能量源傳遞到探測(cè)器，在能量傳遞過(guò)程中伴隨著信息的傳遞，就形成信號(hào)。探測(cè)到的能量中所包含的不需要的信息則稱為噪聲。光學(xué)信息：指光的強(qiáng)度(或振幅)、相位、顏色(波長(zhǎng))和偏振態(tài)等。本課程光學(xué)信息特指光強(qiáng)分布所形成的圖像，它可以是日常生活中自然圖像，也可以是人造的或人工模擬的圖像。光學(xué)信息處理：指的是光學(xué)圖像的產(chǎn)生、傳遞、探測(cè)和處理。所需要的圖像稱為信號(hào)，在處理過(guò)程中伴生的不需要的圖像稱噪聲。本章介紹經(jīng)典的光學(xué)信息處理，被處理的圖形是真實(shí)物體的像．*光學(xué)信息處理*1873年，德國(guó)科學(xué)家阿貝(Abbe)創(chuàng)建了二次成像理論，為光學(xué)信息處理打下了一定的理論基礎(chǔ)1935年，物理學(xué)家策尼克(Zernike)發(fā)明了相襯顯微鏡，將相位分布轉(zhuǎn)化為強(qiáng)度分布，成功地直接觀察到微小的相位物體——細(xì)菌。1963年，范德拉格特(A.VanderLugt)提出了復(fù)數(shù)空間濾波的概念，使光學(xué)信息處理進(jìn)入了一個(gè)廣泛應(yīng)用的新階段。20世紀(jì)80年代以后，隨著關(guān)鍵器件——空間調(diào)制器的日益完善，光學(xué)信息處理以其速度快、抗干擾能力強(qiáng)、并行處理等特點(diǎn)逐漸顯示其獨(dú)特的優(yōu)越性，成為當(dāng)今最熱門學(xué)科方向。*光學(xué)信息處理*2.2早期發(fā)展1、阿貝(Abbe)二次衍射成像理論認(rèn)為相干照明下顯微鏡成像過(guò)程可分做兩步：物面上發(fā)出的光波經(jīng)物鏡，在其后焦面上產(chǎn)生夫瑯禾費(fèi)衍射，得到第一次衍射像；衍射像作為新的相干波源，由它發(fā)出的次波在像面上干涉而構(gòu)成物體的像，稱為第二次衍射像。*光學(xué)信息處理*阿貝研究結(jié)論：

顯微鏡的相對(duì)孔徑越大，系統(tǒng)的通頻帶越寬，物體中所包含的高頻信息在成像過(guò)程中的損失就越少，像的質(zhì)量就越高。相對(duì)孔徑越小，在傳遞過(guò)程中高頻信息的損失就越大，像的失真或畸變就越嚴(yán)重，清晰度或分辨率越低。*光學(xué)信息處理*2、阿貝—波特系列實(shí)驗(yàn)

阿貝于1873年、波特于1906年分別做了實(shí)驗(yàn)。部分實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及結(jié)果:*光學(xué)信息處理**光學(xué)信息處理*部分實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及結(jié)果:

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果歸納出幾點(diǎn)結(jié)論如下：1.實(shí)驗(yàn)充分證明了阿貝成像理論的正確性：像的結(jié)構(gòu)直接依賴于頻譜的結(jié)構(gòu)，只要改變頻譜的組分，便能夠改變像的結(jié)構(gòu)；2.實(shí)驗(yàn)充分證明了傅里葉分析的正確性：(1)頻譜面上的橫向分布是物的縱向結(jié)構(gòu)的信息(圖B)；頻譜面上的縱向分布是物的橫向結(jié)構(gòu)的信息(圖C)；(2)零頻分量是一個(gè)直流分量，它只代表像的本底(圖D)；*光學(xué)信息處理*

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果歸納出幾點(diǎn)結(jié)論如下：(3)阻擋零頻分量，在一定條件下可使像發(fā)生襯度反轉(zhuǎn)(圖E)；(4)僅允許低頻分量通過(guò)時(shí)，像的邊緣銳度降低；僅允許高頻分量通過(guò)時(shí)，像的邊緣效應(yīng)增強(qiáng)；(5)采用選擇型濾波器，可望完全改變像的性質(zhì)(圖F)。*光學(xué)信息處理*2.3傅里葉處理器

1960年，Cutrona等明確提出用透鏡進(jìn)行傅里葉變換的方案。*光學(xué)信息處理*略去相位因子

前焦面輸入復(fù)振幅函數(shù)f(x,y)，后焦面的復(fù)振幅函數(shù)就是f(x,y)的傅里葉變換，記為F(u，v)。4f光學(xué)信息處理系統(tǒng)輸入平面：輸入信號(hào)函數(shù)f(x,y)；譜平面(兩個(gè)透鏡的共同焦面)：傅里葉譜F(u,v)；輸出平面：輸出信號(hào)函數(shù)f(,)。信號(hào)的頻譜從抽象的數(shù)學(xué)概念變成了物理現(xiàn)實(shí)。注意所有的探測(cè)器，包括眼睛，都只能探測(cè)到光強(qiáng)，即振幅的模的平方。*光學(xué)信息處理*用兩個(gè)透鏡L1和L2構(gòu)成著名的4f系統(tǒng)。4f光學(xué)信息處理系統(tǒng)

借助于符號(hào)F，可以把(1)及(2)式表為

F(u,v)=F

{f(x,y)}(3)f(x’,y’)=F{F(u,v)}(4)這里(x’,y’)是輸出平面上的坐標(biāo)，坐標(biāo)軸方向與(z，y)相同，它可以用傅里葉逆變換表示如下：f(-x’,-y’)=F-1

{F(u,v)}(5)由圖2.5，有

=

-x’及

=-y’，從而得到f(

,

)=F-1

{F(u,v)}(6)這樣，順序進(jìn)行的兩次變換可以用圖2.6表示.*光學(xué)信息處理*圖2.6包含傅里葉變換及逆變換的傅里葉處理系統(tǒng)F{f}F-1{F}f(x,y)F(u,v)f(

,

)2.4線性系統(tǒng)與卷積線性系統(tǒng)的定義：設(shè)g1(

,

)＝L

{f1(x,y)}(1)g2(

,

)＝L

{f2(x,y)}(2)則有αg1(

,

)+βg2(

,

)

=L

{αf1(x,y)}+L

{βf2(x,y)}式中α，β

為常數(shù)。卷積的定義：f

(x,y)*h(x,y)=g(x,y)=

∞-∞f(

,

)h(x-,y-)dd引入:g1(x,y)=

∞-∞f1(

,

)h(x-,y-)ddg2(x,y)=

∞-∞f2(

,

)h(x-,y-)dd可得:αg1(

,

)+βg2(

,

)

=

∞-∞[αf1(x,y)

+β

f2(

,

)]h(x-,y-)dd

這樣就證明了卷積是線性運(yùn)算.*光學(xué)信息處理*

如果輸入函數(shù)是

(x,y)，則輸出g(x,y)=h(x,y)

h(x,y)稱為系統(tǒng)對(duì)脈沖的響應(yīng)(簡(jiǎn)稱脈沖響應(yīng))．當(dāng)輸入是一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)脈沖時(shí)，其振幅是

(x,y)，輸出振幅函數(shù)即h(x,y)，觀察到的光強(qiáng)函數(shù)則為|h(x,y)|2，它表示一個(gè)物點(diǎn)所形成的像的彌散，稱點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)．成像過(guò)程可以看成是線性變換．物點(diǎn)

→透鏡

→彌散像原始的物體看成是大量點(diǎn)的集合，則該物體通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)形成的像將是同樣數(shù)量的彌散的光斑的集合.對(duì)于非相干情況，f(x,y)，h(x,y)和g(x,y)均為光強(qiáng)，h(x,y)直接表示點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，不需求平方。*光學(xué)信息處理*2.5空間濾波f

(x,y)*h(x,y)=g(x,y)=

∞-∞f(

,

)h(x-,y-)dd

設(shè)f，h

和g

的傅里葉變換分別為F，H和G，則根據(jù)卷積的變換定理，我們得到G(u,v)＝F(u,v)H(u,v)傳遞函數(shù):脈沖響應(yīng)h(x,y)的傅里葉變換H(u,v)它表征系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的傳遞性能，使輸入信號(hào)轉(zhuǎn)換成輸出信號(hào)。一般來(lái)講，可把線性系統(tǒng)的成像，等價(jià)為圖2.6所示的兩步過(guò)程來(lái)模擬。或者用4f光學(xué)系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。進(jìn)一步，一個(gè)畸變像可以借助于4f光學(xué)系統(tǒng)來(lái)校正。空間濾波：改變頻譜成分的操作。*光學(xué)信息處理*1、空間濾波的傅里葉分析下面僅討論一維情況，并利用4f系統(tǒng)進(jìn)行濾波。設(shè)物為朗奇(Ronchi)光柵，其透過(guò)率函數(shù)為：

t(x)=|(1/d)rect(x/a)*comb(x/d)|rect(x/B)式中d為縫間距，a為縫寬，B為光柵總寬度。*光學(xué)信息處理*

將物置于4f系統(tǒng)輸入面上，頻譜為T(u)=F{t(x)}=(aB/d){sinc(Bu)+sinc(a/d)·sinc[B(u–1/d)]+sinc(a/d)·sinc[B(u+1/d)]+…}

其中u=x/f。式中第1項(xiàng)為零級(jí)譜，第2、3項(xiàng)分別為+1

、-1

級(jí)譜，后面依次為高級(jí)頻譜，頻譜的強(qiáng)度分布實(shí)際上是柵狀物的夫瑯禾費(fèi)衍射。*光學(xué)信息處理*

在未進(jìn)行空間濾波前，輸出面上得到的是T(u)的傅里葉逆變換F-1{T(u)}，它應(yīng)是原物的像t(x)。

濾波器采用狹縫或開(kāi)孔式二進(jìn)制(0，1)光闌，置于頻譜面上。現(xiàn)分四種情況討論：(1)濾波器是一個(gè)通光孔，只允許0級(jí)通過(guò)，其透過(guò)率函數(shù)為

F(u)=1|u|<1/BF(u)=0|u|

為其它值在濾波器后，僅有T(u)中的零級(jí)譜通過(guò)，其余項(xiàng)均被擋住，因而頻譜面后的光振幅為

T(u)F(u)=(aB/d)sinc(Bu)

輸出面上得到上式的傅里葉逆變換

t’(

)=F-1{T(u)F(u)}=F-1{(aB/d)sinc(Bu))}=(a/d)rect(/B)這與Porter實(shí)驗(yàn)D

結(jié)果相符。*光學(xué)信息處理**光學(xué)信息處理*t’(

)

(2)濾波器是一個(gè)狹縫，使0級(jí)和+1、-1級(jí)頻譜通過(guò)。濾波后的光場(chǎng)復(fù)振幅為T(u)F(u)=(aB/d){sinc(Bu)+sinc(a/d)·sinc[B(u–1/d)]+sinc(a/d)·sinc[B(u+1/d)]}

輸出面得到它的傅里葉逆變換t’(

)=F-1{T(u)F(u)}=(a/d)[rect(/B)+sinc(a/d)rect(/B)exp(i2/d

)+sinc(a/d)rect(/B)exp(-i2/d

)=(a/d)rect(/B)[1+2sinc(a/d)cos(2/d

)]

可知，像與物的周期相同，但由于失去高頻信息而造成邊緣銳度消失。*光學(xué)信息處理**光學(xué)信息處理*F(u)T(u)F(u)t’(

)

uu

(3)濾波器為雙狹縫，只允許+2、-2級(jí)頻譜通過(guò)。濾波后的光場(chǎng)復(fù)振幅為

T(u)F(u)=(aB/d){sinc(2a/d)·sinc[B(u–2/d)]+sinc(2a/d)·sinc[B(u+2/d)]}輸出振幅為

t’(

)=F-1{T(u)F(u)}=(2a/d)sinc(2a/d)rect(/B)cos(4/d

)

可見(jiàn)像振幅的周期是物周期的1/2，實(shí)驗(yàn)中觀察到的輸出一般表現(xiàn)為強(qiáng)度分布，因而本例的像強(qiáng)度分布周期應(yīng)是物周期的1/4。*光學(xué)信息處理**光學(xué)信息處理*F(u)T(u)F(u)t’(

)uu

(4)濾波器為一光屏，只阻擋零級(jí)，允許其他頻譜通過(guò)。經(jīng)過(guò)傅里葉變換后．像的分布有兩種可能的情況：*光學(xué)信息處理*當(dāng)a=d/2時(shí)，即柵狀物的縫寬等于縫間隙時(shí)，像的振幅分布具有周期性，其周期與物周期相同，但強(qiáng)度是均勻的.t(x)F(u)t’(

)xu

I(

)

當(dāng)a>d/2時(shí)，像的振幅分布向下錯(cuò)位，強(qiáng)度分布出現(xiàn)襯度反轉(zhuǎn)，原來(lái)的亮區(qū)變?yōu)榘祬^(qū)，原來(lái)的暗區(qū)變?yōu)榱羺^(qū)。*光學(xué)信息處理*t(x)F(u)t’(

)xu

I(

)

2、濾波器的種類及應(yīng)用舉例

濾波器分為振幅型和相位型兩類，可根據(jù)需要選擇不同的濾波器。(1)振幅型濾波器振幅型濾波器只改變傅里葉頻譜的振幅分布，不改變它的相位分布，通常用F(u,v)表示。它是一個(gè)振幅分布函數(shù)，其值可在0～1的范圍內(nèi)變化。如濾波器的透過(guò)率函數(shù)表達(dá)為

F(u,v)=1孔內(nèi)

F(u,v)=0孔外則稱其為二元振幅型濾波器。根據(jù)不同的濾波頻段又可分為低通、高通和帶通三類，其功能及應(yīng)用舉例如下：*光學(xué)信息處理*低通濾波器

低通濾波器主要用于消除圖像中的高頻噪聲。例如，電視圖像照片、新聞傳真照片等往往含有密度較高的網(wǎng)點(diǎn)，由于周期短、頻率高，它們的頻譜分布展寬。*光學(xué)信息處理*低通濾波的例子(a)輸入圖像(b)用針孔濾掉高頻的輸出圖像

圖2.8低通濾波：高頻成分被阻攔，輸出圖像不再帶有高頻成分，照片上就不出現(xiàn)光柵結(jié)構(gòu).*光學(xué)信息處理*高通濾波器

高通濾波器用于濾除頻譜中的低頻部分，以增強(qiáng)像的邊緣，或?qū)崿F(xiàn)襯度反轉(zhuǎn)。其大體結(jié)構(gòu)如左圖所示，中央光屏的尺寸由物體低頻分布的寬度而定。

高通濾波器主要用于增強(qiáng)模糊圖像的邊緣，以提高對(duì)圖像的識(shí)別能力。由于能量損失較大，所以輸出結(jié)果一般較暗。*光學(xué)信息處理*高通濾波器結(jié)構(gòu)帶通濾波器

帶通濾波器用于選擇某些頻譜分量通過(guò)，阻擋另一些分量。帶通濾波器形式很多，這里僅舉幾例。例1:正交光柵上污點(diǎn)的清除設(shè)正交光柵的透過(guò)率為to(x,y)，其上的污點(diǎn)為g(x,y)，邊框?yàn)?/p>

(x,y).輸入面光振幅為t

(x,y)=tog

設(shè)To、G、

分別是to、g、

的頻譜，則頻譜面得到T=To*G*

。由于to是正交光柵，因而它的頻譜To為sinc函數(shù)構(gòu)成的二維陣列，G、

分別為一階貝塞爾函數(shù)。由于g的寬度小于

的寬度，所以G的尺寸大于

。*光學(xué)信息處理*采用帶通濾波器：在每一個(gè)陣列點(diǎn)位置開(kāi)一個(gè)通光小孔，其孔徑應(yīng)選擇恰好使

通過(guò)，而使G的第一個(gè)暗點(diǎn)被阻擋。濾波后可在像面上得到去除了污點(diǎn)的正交光柵。*光學(xué)信息處理*帶有污點(diǎn)的正交光柵零級(jí)頻譜函數(shù)的一維剖面示意圖例2：縮短光柵的周期

采用帶通濾波狹縫，可有選擇地允許光柵的某些頻譜分量通過(guò)，以改變光柵的周期。如允許正、負(fù)一級(jí)通過(guò)，光柵的周期縮短一倍；如允許正、負(fù)二級(jí)和零級(jí)通過(guò)，光柵的周期也縮短一倍。例3：抑制周期性信號(hào)中的噪聲如蛋白質(zhì)結(jié)晶的高倍率電子顯微鏡照片中的噪聲是隨機(jī)分布的，而結(jié)晶本身卻有著嚴(yán)格的周期性，因而噪聲的頻譜是隨機(jī)的，結(jié)晶的頻譜是有規(guī)律的點(diǎn)陣列。用適當(dāng)?shù)尼樋钻嚵凶鳛闉V波器，把噪聲的頻譜擋住，只允許結(jié)晶的頻譜通過(guò)，可有效地改善照片的信噪比。*光學(xué)信息處理*方向?yàn)V波器例1：印刷電路中掩模疵點(diǎn)的檢查

印刷電路掩模的構(gòu)成是橫向或縱向的線條[見(jiàn)圖(a)]，它的頻譜較多分布在x、y軸附近。而疵點(diǎn)的形狀往往是不規(guī)則的，線度也較小，所以其頻譜必定較寬，在離軸一定距離處都有分布。可用圖(b)所示的十字形濾波器將軸線附近的信息阻擋，提取出疵點(diǎn)信息，輸出面上僅顯示出疵點(diǎn)的圖像，如圖(c)所示。*光學(xué)信息處理*

例2：組合照片上接縫的去除

航空攝影得到的組合照片往往留有接縫，如圖(a)所示。接縫的頻譜分布在與之垂直的軸上，利用如圖(b)所示的條形濾波器，將該頻譜阻擋，可在像面上得到理想的照片，如圖(c)所示。*光學(xué)信息處理*

例3：地震記錄中強(qiáng)信號(hào)的提取

由地震檢測(cè)記錄特點(diǎn)可知，弱信號(hào)起伏很小，總體分布是橫向線條，如圖(a)所示，因此其頻譜主要分布在縱向上。采用圖(b)所示的濾波器，可將強(qiáng)信號(hào)提取出來(lái)，[見(jiàn)圖(c)]，以便分析震情。*光學(xué)信息處理*2、相位型濾波器——相襯顯微鏡相位物體：物體本身只存在折射率的分布不均或表面高度的分布不均。相位型濾波器：只改變傅里葉頻譜的相位分布，不改變它的振幅分布，其主要功能是用于觀察相位物體。當(dāng)用相干光照明時(shí)，相位物體各部分都是透明的，其透過(guò)率只包含相位分布函數(shù)

to(x,y)=exp[i

(x,y)]

用普通顯微鏡將無(wú)法觀察這種相位物體。只有將相位信息變換為振幅信息，才有可能用肉眼直接觀察到物體。1935年策尼克(Zernike)發(fā)明了相襯顯微鏡，解決了相位到振幅的變換，因此而獲得諾貝爾獎(jiǎng)。*光學(xué)信息處理*

已知當(dāng)相位的改變量

小于1弧度時(shí)，其透過(guò)率函數(shù)可做如下近似：to(x,y)=exp[i

(x,y)]≈1+i

(x,y)未經(jīng)濾波時(shí)，像的強(qiáng)度分布為I=toto*=(1+i

)(1-i

)≈1

根本無(wú)法觀察到物體的圖像，像面上只是一片均勻的光場(chǎng)。當(dāng)在濾波面上放置一個(gè)相位濾波器，僅使物的零級(jí)譜的相位增加

/2(或3

/2)，則可使像的強(qiáng)度分布與物的相位分布成線性關(guān)系。由此可得物的頻譜

T(u,v)=F{to(x,y)

}=F{1+i

(x,y)

}=

(u,v)+i

(u,v)

式中第一項(xiàng)為零頻，第二項(xiàng)為衍射項(xiàng)。*光學(xué)信息處理*頻譜面放置相位濾波器，其后的光場(chǎng)分布為

T’(u,v)=

(u,v)exp(±i

/2)+i

(u,v)=i[±

(u,v)+

(u,v)]

像面復(fù)振幅分布:t’=F–1{T’(u,v)}=i[±1+

(

,

)]像的強(qiáng)度分布為

Ii

=|t’|2=|±1+

(

,

)}|2=1±2

(

,

)可見(jiàn)，像強(qiáng)度Ii與相位

呈線性關(guān)系，也就是說(shuō)像強(qiáng)度隨物的相位分布線性地分布，這就實(shí)現(xiàn)了相位到振幅(強(qiáng)度)的變換。式中的±號(hào)代表正相位反襯和負(fù)相位反襯，前者表示相位越大像強(qiáng)度越大，后者則相反。例如，用相襯顯微鏡觀察透明生物切片；利用相位濾波系統(tǒng)檢查透明光學(xué)元件內(nèi)部折射率是否均勻，或檢查拋光表面的質(zhì)量，等等。*光學(xué)信息處理*相襯法圖2.2相襯法使相位物體變?yōu)榭梢?jiàn)

P為相位物體，I為透鏡，PF為相位片，

AI為振幅圖像，P用相干光照明．*光學(xué)信息處理*Schlieren方法

早在1864年在阿貝理論以前，Toepler就發(fā)明了相襯法，這一技術(shù)稱為Schlieren方法，早先用來(lái)探測(cè)透鏡的疵病。與相襯顯微鏡類似，在這一方法中，只是簡(jiǎn)單地把衍射圖形擋去一半多一點(diǎn)，透鏡中的疵病等相位物體就可以看見(jiàn)。*光學(xué)信息處理*HS是光闌，P仍用相干光照明．圖2.3Schlieren方法使相位物體變?yōu)榭梢?jiàn)3、多重像的產(chǎn)生

方法：利用正交光柵調(diào)制輸入圖像設(shè)輸入圖像為g(x,y)置于P1平面；P2平面放置一正交朗奇光柵，其振幅透過(guò)率為

式中d為光柵常數(shù)。上式也可寫成卷積形式，*光學(xué)信息處理*uv

在P2平面后的光場(chǎng):u2’=F|g(x,y)|F(u,v)P3平面得到的輸出光場(chǎng):式中后兩項(xiàng)的卷積形成了一個(gè)sinc函數(shù)的陣列，事實(shí)上它可近似看成是

函數(shù)陣列，物函數(shù)與之卷積的結(jié)果是在P3平面上構(gòu)成輸入圖形的多重像。說(shuō)明:

上面的推導(dǎo)過(guò)程中忽略了光柵孔徑和透鏡孔徑的影響，但這無(wú)礙于對(duì)多重像產(chǎn)生過(guò)程的物理概念的理解。*光學(xué)信息處理**光學(xué)信息處理*多重像的產(chǎn)生uv

4、圖像相減朗奇光柵編碼

將d=2a朗奇光柵貼放在照相底片上，對(duì)像進(jìn)行編碼，如圖所示。第1次曝光時(shí)，記錄下乘以光柵透射因子t(x)的像A。t(x)可傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為：*光學(xué)信息處理*(1)空域編碼頻域解碼相減方法H∝IA[(1+R)/2]+IB[(1-R)/2]=(IA+IB)/2+(IA–IB)R/2

上式的物理意義:

在圖像A和圖像B相同的部分得到一張普