專題十五專題十五橢圓、雙曲線、拋物線XXXXXXXXX1．橢圓、雙曲線、拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1．已知，為橢圓（）的兩個焦點，過作橢圓的弦AB，若的周長為8，橢圓的離心率，則橢圓的方程是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由橢圓的定義知，所以，又因為，所以，，所以橢圓的方程為，故選D．2．已知橢圓，點與C的焦點不重合，若關(guān)于的焦點的對稱點分別為，線段的中點在上，則．【答案】12【解析】如圖，，，．3．已知點，，若曲線上存在點P滿足，則下列正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】點，，且，故點P在雙曲線的下支上．設(shè)雙曲線，其中，即，，則，所以雙曲線的方程為，其漸近線方程為，又點P在曲線上，即點P在曲線上，即曲線與雙曲線相交，，即，故選D．4．已知橢圓的左?右焦點分別為，，M為C上一點，且的內(nèi)心為，若的面積為4b，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，的內(nèi)心到軸的距離就是內(nèi)切圓的半徑．又點在橢圓上，由橢圓的定義，得，，即．又，所以，因為，所以，即，所以，解得或（舍去），所以，故選B．5．已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為C上一點，若，則點F到直線PO的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，解得，代入拋物線方程得，則，直線的方程式，即，點到直線的距離，故選D．6．已知拋物線，過焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，則弦的中點到準(zhǔn)線的距離為__________．【答案】【解析】由題意，拋物線，可得焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以弦的中點的橫坐標(biāo)為，則弦的中點到準(zhǔn)線的距離為，故答案為．7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點A在雙曲線上且，若的內(nèi)切圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由點A在雙曲線上，由雙曲線定義知，又，，，，即，，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，由的等面積法知，，即的內(nèi)切圓的半徑為，故選A．8．點在拋物線上，則到直線的距離與到直線的距離之和的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由拋物線定義到直線的距離等于到拋物線焦點距離，所以到直線的距離與到直線的距離之和的最小值，即焦點到直線的距離，故選B．9．已知雙曲線的左焦點為，M為C右支上任意一點，D的坐標(biāo)為，則的最大值為（）A．3 B．1 C． D．【答案】D【解析】雙曲線的實半軸長為，右焦點為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)M，，D三點共線時取等號，故選D．10．已知點是橢圓的一個焦點，點為橢圓上任意一點，點，則取最大值時，直線的斜率為_______．【答案】1【解析】如圖所示，設(shè)橢圓的右焦點為，由題意可得，，．由橢圓的定義可得，連接并延長交橢圓于點，則，（當(dāng)且僅當(dāng)三點，，共線時，即運動到圖中點取等號），故答案為1．11．已知動點到定點與定直線的距離的差為1，則動點的軌跡方程為________．【答案】，（注：也算對）【解析】由題意，若時，問題等價于，則，化簡得，若，也滿足題意．所以動點的軌跡方程為，．或者根據(jù)題意有，則，化簡整理得，所以動點的軌跡方程為．故答案為，（注：也算對）．12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的兩點．若的周長的最大值為8，且的周長最大時，，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________．【答案】或【解析】設(shè)，，如圖，∵的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)AB過時，取等號，∴，即，此時，所以，故，又，，∴，，，又，∴，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為．13．已知雙曲線的一條漸近線過點，是的左焦點，且，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，點在一條漸近線上，如圖所示：所以，則，且兩條漸近線的傾斜角分別為60°，120°，則，又，（為坐標(biāo)原點），所以為等邊三角形，從而，由，，解得，，所以雙曲線的方程為，故選A．14．（多選）下圖為陜西博物館收藏的國寶——唐金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與直線，，圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底外直徑為，雙曲線C與坐標(biāo)軸交于D，E，則（）A．雙曲線C的方程為B．雙曲線與雙曲線C共漸近線C．存在一點，使過該點的任意直線與雙曲線C有兩個交點D．存在無數(shù)個點，使它與D，E兩點的連線的斜率之積為3【答案】ABD【解析】依題意可知，，將、的坐標(biāo)分別代入，得，解得，，所以雙曲線C的方程為，其漸近線為，故A正確；對于B，由，可知其漸近線為，故B正確；對于C，由雙曲線的性質(zhì)可知，漸近線與雙曲線沒有交點，與漸近線平行的直線與雙曲線有一個交點，故不存在點，使過該點的任意直線與雙曲線C有兩個交點，故C錯誤；對于D，設(shè)雙曲線上一點，則，即，由題可知，，則，，，即存在無數(shù)個點，使它與D，E兩點的連線的斜率之積為3，故D正確，故選ABD．2．圓錐曲線的幾何性質(zhì)1．已知為橢圓的左焦點，P為橢圓上一點，則的取值范圍為_________．【答案】【解析】由題意，，設(shè)，則，所以，因為，所以的范圍是．故答案為．2．已知雙曲線的兩個焦點為，，為雙曲線上一點，，的內(nèi)切圓的圓心為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為雙曲線的兩個焦點為，，為雙曲線上一點，，所以，，，因為，所以，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，即，解得，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與邊相切于點，則，，所以，所以，故選A．3．已知橢圓的焦點為，，第一象限點在C上，且，則的內(nèi)切圓半徑為（）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由已知條件得，，，則，，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，，，即①，∵第一象限點在C上，∴則，即②，聯(lián)立解得，由橢圓的定義得，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，又∵，∴，即，故選A．4．（多選）已知橢圓的左?右焦點為?，點為橢圓上的點不在軸上），則下列選項中正確的是（）A．橢圓的長軸長為 B．橢圓的離心率C．的周長為 D．的取值范圍為【答案】ACD【解析】橢圓，，橢圓的長軸長為，故A正確；橢圓的離心率，故B錯誤；的周長為，故C正確；設(shè)，則，且，故，，又，則，故，，，，故的取值范圍是，故D正確，故選ACD．5．（多選）已知橢圓的左?右焦點分別為，，過點的直線l交橢圓于A，B兩點，若的最大值為5，則下列說法正確的是（）A．橢圓的短軸長為 B．當(dāng)最大時，C．橢圓離心率為 D．面積最大值為【答案】BC【解析】由題意：，根據(jù)橢圓的定義可知，，則的最大值為5，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知：當(dāng)軸時，最小，此時最大，如圖：將代入橢圓方程得，則，所以短軸長為，A錯誤；此時，B正確；，C正確；對D，設(shè)，，代入橢圓方程得，則，所以，記，于是，由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知：函數(shù)在上是增函數(shù)，則函數(shù)在上是減函數(shù)，于是，當(dāng)u=1，即t=0時，面積最大值為，故D錯誤，故選BC．6．（多選）已知橢圓的焦點為、，點在橢圓的內(nèi)部，點在橢圓上，則（）A．B．橢圓的離心率的取值范圍為C．存在點使得D．【答案】ACD【解析】對于A選項，由已知可得，可得，則，A對；對于B選項，橢圓的離心率為，B錯；對于C選項，設(shè)、分別為橢圓的左、右焦點，則、，記，設(shè)點，，，因為，則，所以，點在圓上，聯(lián)立可得，即圓與橢圓有公共點，C對；對于D選項，，D對，故選ACD．7．（多選）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線C右支上，若，的面積為，則下列選項正確的是（）A．若，則B．若，則C．若為銳角三角形，則D．若的重心為G，隨著點P的運動，點G的軌跡方程為【答案】ACD【解析】由，得，則，焦點三角形的面積公式，將代入可知，故A正確；當(dāng)S＝4時，，由，可得，故B錯誤；當(dāng)時，S＝4，當(dāng)時，，因為為銳角三角形，所以，故C正確；設(shè)，則，由題設(shè)知，則，所以，故D正確，故選ACD．8．橢圓的左、右頂點分別為，，左焦點為，為坐標(biāo)原點，若，，成等比數(shù)列，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，，根據(jù)題意，可得，整理得且，解得，故選D．9．已知雙曲線，過左焦點F作一條漸近線的垂線，記垂足為P，點Q在雙曲線上，且滿，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】設(shè)在漸近線上，直線的方程為，由，得，即，由，得，因為在雙曲線上，所以，化簡得，，故選B．10．已知是橢圓的左焦點，是橢圓上一點，軸，(為原點，為右頂點，為上頂點)，則該橢圓的離心率為__________．【答案】【解析】令橢圓半焦距為c，因軸，則由，得，即，因(為原點，為右頂點，為上頂點)，則，即有，因此，，整理得，則，所以橢圓的離心率為．故答案為．11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，曲線上存在一點使得為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由雙曲線的對稱性不妨令點P在第一象限，其半焦距為c，因為等腰直角三角形，則，，，由雙曲線定義得，即，于是得，所以雙曲線的離心率為，故選D．12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與在軸上方的交點為．若，則的離心率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，，又，在中，由余弦定理可得，∴，∴，∴，故選A．13．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若，為坐標(biāo)原點，則雙曲線的離心率為______．【答案】2【解析】因為，一條漸近線方程為，則，，在中，，又因為，在中，，所以，即，因此，即，所以，故答案為2．14．已知雙曲線的右焦點為，坐標(biāo)原點為，左?右頂點分別為，雙曲線上一點且軸．連接交軸于，連接交直線于，，則雙曲線的離心率為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由，與相似，與相似，，，即，．當(dāng)時，，解得，設(shè)點在軸上方，如圖則，設(shè)，則，，，由，可得，即，所以，即，，所以，故選B．15．如圖，已知橢圓，雙曲線，若以橢圓的長軸為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于A，B兩點，且橢圓與該漸近線的兩交點將線段AB三等分，則雙曲線的離心率為（）A．9 B．5 C． D．3【答案】D【解析】如圖，漸近線與橢圓交點為C，則由題意得，即，聯(lián)立與，解得，聯(lián)立與圓，解得，從而，解得，故雙曲線離心率為，故選D．16．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過的直線與的右支交于兩點．若，，則雙曲線的離心率（）A． B． C．2 D．3【答案】C【解析】由，得，由，得，所以，，，，由題，在中，，在中，，由，得，化簡得，即，故選C．17．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線l交雙曲線C的漸近線于A，B兩點，若，（表示的面積），則雙曲線C的離心率的值為（）A． B． C． D．或【答案】D【解析】若直線斜率不存在，不妨設(shè)點，則，所以，則離心率；若直線斜率存在，設(shè)，中點，不妨設(shè)M在x軸上方，由，得，故點M在圓上，由，得，則，所以．由，得，即．當(dāng)時，，得；當(dāng)時，，矛盾，舍去，綜上所述，或，故選D．18．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)方程的兩根為，因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則滿足，解得，又由，解得，所以的取值范圍是，故選D．19．雙曲線C過點，且與雙曲線有共同的漸近線，則雙曲線C的方程為_________．【答案】【解析】因為雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，所以設(shè)雙曲線C的方程為，又因為雙曲線C過點，所以，解得，所以，所以雙曲線C的方程為．故答案為．20．已知雙曲線的離心率，過焦點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，直線交另一條漸近線于，則等于（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由雙曲線的離心率，得，即，所以，漸近線方程為，如圖，，，則，，所以，所以，所以，故選B．21．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作圓的切線，交雙曲線右支于點M，若，則雙曲線的漸近線方程為（