/合作探究探究點(diǎn)1用因式分解法解一元二次方程情景激疑直接開平方法解方程比擬簡單,配方法、公式法非常麻煩,運(yùn)算量較大,有沒有簡單的解一元二次方程的方法呢?知識(shí)講解(1)因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,這種方法簡便易用,是解一元二次方程最常用的方法。因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式,那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程,這兩個(gè)一元一次程的解,都是原一元二次方程的解,這樣也就把原方程進(jìn)行了次,把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想)。(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng),使方程的右邊為零;②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積;③令每個(gè)因式分別為零,得到兩個(gè)一元一次方程;④解這兩個(gè)一元一次方程,它們的解就都是原方程的解。注意運(yùn)用因式分解法解一元二次方程時(shí),方程的左邊化為兩個(gè)一次因式的乘積的形式,右邊一定要化為0,否那么求得的解是錯(cuò)誤的。如:把方程化為(x+3)(x-2)=5,那么x+3=0,或x-2=0得原方程的解為是錯(cuò)誤的。典例剖析例1用因式分解法解方程:(1)4x=11x；(2)(x-2)=2x-4.解析(1)移項(xiàng)提取公因式x；(2)等號(hào)右側(cè)移項(xiàng)到左側(cè)得-2x+4,提取因式-2,即—2(x-2),再提取公因式x-2,便可到達(dá)分解因式的目的,一邊為兩個(gè)一次式的乘積,另一邊為0的形式。答案(1)移項(xiàng),得4x-11x=0.因式分解,得x(4x-11)=0于是,得x=0,或4x-11=0,(2)移項(xiàng),得(x-2)-2x+4=0,(x-2)-2(x-2)=0因式分解,得(x-2)(x-2-2)=0.整理,得(x-2)(x-4)=0于是,得x-2=0,或x-4=0,規(guī)律總結(jié)用因式分解法解一元二次方程的一般步驟:一移(方程的右邊為0);二分(將方程左邊進(jìn)行因式分解);三化(將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程);四寫(寫出原方程的解)。類題突破1用因式分解法解一元二次方程:3x(2x+1)=4x+2.答案移項(xiàng),得3x(2x+1)-(4x+2)=0.因式分解,得(2x+1)(3x-2)=0.

于是,得2x+1=0,或3x-2=0

所以

點(diǎn)撥先把右邊的代數(shù)式移到左邊,使右邊為0,再把左邊進(jìn)行因式分解。

例2用因式分解法解方程:

(1)(3x+1)-5=0；(2)4x-4x+1=0.

解析(1)可以用平方差公式；(2)可用完全平方公式。

答案(1)原方程可化為

=0

∴3x+1+=0,或3x+1-=0.

∴

(2)原方程可化為(2x-1)=0.

所以2x-1=0,x=

所以

規(guī)律總結(jié)

用因式分解法解一元二次方程,常用的方法有提取公因式法、平方差公式、完全平方公式。

類題突破2用因式分解法解方程:x(2x+3)-2x-3=0.

答案原方程可化為x(2x+3)-(2x+3)=0

因式分解,得(2x+3)(x-1)=0.

∴2x+3=0,或x-1=0.

所以.

點(diǎn)撥先變形得到x(2x+3)-(2x+3)=0,然后利用因式分解法解方程。

探究點(diǎn)2選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?/p>

情景激疑

一元二次方程的解法有四種:直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。那么對于一元二次方程,采用哪種方法較為簡便呢?

知識(shí)講解

解一元二次方程常用四種方法,即開平方法、配方法、公式法、因式分解法,其中開平方法是配方法的根底,配方法是公式法的來源,公式法是通法,因式分解法是最快捷的方法,使用時(shí)需根據(jù)方程的具體特點(diǎn),首先考慮開平方法和因式分解法,再考慮公式法,最后考慮配方法。

典例剖析

例3用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?/p>

(1)3x+15=-2x-10x；(2)2x-12x+9=0.

解析配方法要先配方,再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘,另一邊為0,再分別使每一個(gè)一次因式等于0,配方法、公式法適用于所有

一元二次方程,因式分解法適用于某些一元二次方程,解方程時(shí)應(yīng)觀察方程特點(diǎn),靈活選擇方法,方程(1)可用因式分解法,方程。

(2)可用公式法。答案(1)移項(xiàng),得3x+15+(2x+10x)=0.

因式分解,得3(x+5)+2x(x+5)=0,

即(x+5)(3+2x)=0.

于是,得x+5=0,或3+2x=0.

∴

(2)a=2,b=-12,c=9,b-4ac=(-12)-4×2×9=72.

∴x=

∴

規(guī)律總結(jié)

根據(jù)方程的特點(diǎn),靈活選擇解方程的方法,一般能用因式分解法的要用因式分解法,難以用因式分解法的用公式法。

類題突破3用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖韵路匠?

(1)9(2x+3)-4(2x-5)=0;

(2)(2x-1)+3(2x-1)+2=0;

(3)x-x+x-=0.

答案(1)∵9(2x+3)=4(2x-5),

∴3(2x+3)=±2(2x-5).

∴6x+9=4x-10x=-,

6x+9=-4x+10x=.

(2)∵(2x-1)+3(2x-1)+2=0.

∴(2x-1+2)(2x-1+1)=0.

∴2x=-1,2x=0.∴

(3)解法一:∵x-x+x-=0,

∴x-(-)x-=0.

∴(x-)(x+)=0.

∴x-=0,或x+=0

∴x=,x=-

解法二:方程變形為

〔x-x〕+(x-)=0,

∴x(x-)+(x-)=0.

∴(x-)(x+)=0.∴x=,x=-.

點(diǎn)撥(1)此題符合用直接開平方的方法解,將一4(2x-5)移到方程的右邊;(2)用因式分解法解,將(2x-1)看成一個(gè)整體;(3)用因式分解法解較簡單。

方法提示

(1)用直接開平方法求解時(shí),一定要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì),即正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù);(2)將多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的積,每個(gè)因式分別等于零,將方程降為兩個(gè)一元一次方程求解。重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)1用因式分解法解一元二次方程(1)用因式分解法解一元二次方程,方程的右邊必須化為0,左邊能夠分解成兩個(gè)一次因式的積,那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程。這兩個(gè)一元一次方程的解,都是原一元二次方程的解。這樣也就把原方程進(jìn)行了降次,把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想)。否那么不能用因式分解法,這也恰恰是它的局限性。(2)常用的因式分解法①用提取公因式法解一元二次方程假設(shè)一元二次方程化為一般形式后,常數(shù)項(xiàng)為0,即可化為=0〔a≠0)的形式,那么可用提公因式法將方程變形為,進(jìn)一步方程得x=0,或或ax+b=0,所以=0〔a≠0)的解.假設(shè)方程的右邊化為0后,方程的左邊可化為兩個(gè)一次因式,且其中有個(gè)因式相同時(shí),也可用提取公因式法求解。例如,可化為)=0,即(x-1)(x-3)=0,得x-1=0,或x-3=0.所以.②用公式法解一元二次方程常用的公式有：平方差公式,完全平方公式。運(yùn)用這兩個(gè)公式把一元二次方程化為形如)=0或=0的形式,就能求得方程的解了。例1用因式分解法解方程〔1〕x-2=x(x-2)；〔2〕(y-3)(3y-4)=12解析〔1〕可用提公因式法,(2)應(yīng)先化為一般形式。答案〔1〕原方程可化為x-2-x(x-2)=0.因式分解,得(x-2)(1-x)=0.于是得x-2=0,或1-x=0所以.(2)原方程可化為=0,即y(3y-13)=0所以.類題突破1用因式分解法解方程:(1+x)(x-7)=-16答案原方程可化為∴x-3=0點(diǎn)撥應(yīng)先化為一般形式,再用完全平方公式。類題突破2用因式分解法解方程:=0答案原方程可化為=0∴(3x-1+20)(3x1-20)=0∴3x+19=0,或3x-21=0.點(diǎn)拔觀察方程的特點(diǎn),靈活應(yīng)用平方差公式、完全平方公式。類題突破3,是關(guān)于x的方程(x-2)(x-m)=(p-2)(p-m)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。(1)求,的值；(2)假設(shè),是某直角三角形的兩直角邊的長,問當(dāng)實(shí)數(shù)m,p滿足什么條件時(shí),此直角三角形的面積最大？?并求出其最大值。答案(1)原方程變形為x.∴=0,(x-p)(x+p)-(m+2)(x-p)=0,即(x-p)(x+p-m-2)=0.∴,=m+2-p(2)∵直角三角形的面積為=p(m+2-p)∴當(dāng)且m>-2時(shí),所以,為兩直角邊長的直角三角形的面積最大,最大面積為重難點(diǎn)2用多種方法解一元二次方程解一元二次方程有四種方法:直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。對于一元二次方程的方法的選擇要根據(jù)實(shí)際方程來確定,公式法和配方法適用于所有的一元二次方程。例2一元二次方程,可以用幾種方法來解這個(gè)方程?解析要考慮所有的一元二次方程的解法。答案解法一：方程兩邊直接開平方,得x-2=(2x+5),即x-2=2x+5,或x-2=-(2x+5),∴原方程的解是,=-1.解法二：移項(xiàng),得=0.左邊因式分解,得[(x-2)-(2x+5)][(x-2)+(2x+5)]=0即〔-x-7)(3x+3)=0∴-x-7=0,或3x+3=0∴原方程的解是,=-1.解法三：將原方程變形為=0.這里a=1,b=8,c=7.=36.∴原方程的解是,=-1.解法四：將原方程變形為=0移項(xiàng),得=-7.配方,得=-7-+4,即(x+4)=9.開平方,得x+4=±3.∴原方程的解是,=-7.規(guī)律總結(jié)解法一使用的是開平方法,假設(shè)方程能寫成A=B的形式,就可用直接開平方法求解,開平方時(shí)要注意一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè),且互為相反數(shù),防止出現(xiàn)A=B的錯(cuò)誤；解法二使用的是因式分解法,假設(shè)方程的一邊為零,另一邊能分解成兩個(gè)一次因式的積,就可用因式分解法來解；解法三和解法四是先把方程整理為一元二次方程的一般形式,再選用適當(dāng)方法來解,這是解一元二次方程的常規(guī)方法,解一元二次方程時(shí)要同時(shí)掌握這些方法,以便靈活運(yùn)用。類題突破4用配方法和公式法分別解一元二次方程：x2-2x-1=0.答案解法一：∵x-2x-1=1∴x-2x+1=1+1,即(x-1)=2.∴x-1=解法二：∵△=(-2)-4×1×(-1)=8,點(diǎn)撥配方法：先移項(xiàng)得到x-2x=1,再把方程兩邊都加上1得到x-2x+1=1+1,即(x-1)=2,然后利用直接開平方法求解；公式法：先計(jì)算出△=(-2)-4×1×〔-1)=8,然后代入一元二次方程的求根公式進(jìn)行計(jì)算即可得到方程的解。類題突破5用適宜的方法解方程:(1)3x(x+5)=5(x+5)；(2)3x=4x+1；(3)5x=4x-1.答案(1)原方程可變形為3x(x+5)-5(x+5)=0,即(x+5)(3x-5)=0.∴x+5=0,或3x-5=0.(2)將方程化為一般形式,得3x-4x-1=0這里a=3,b=-4,c=-1.∴b-4ac=(-4)-4×3×(-1)=28∴x=(3)將方程化為一般形式,得5x-4x+1=0.這里a=5,b=-4,c=1.∴b-4ac=(-4)-4×5×1=-4<0.∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)不能開平方,∴方程無實(shí)數(shù)根。點(diǎn)撥方程(1)移項(xiàng)后,一邊為零另一邊易進(jìn)行因式分解,故用因式分解法求解,方程(2)(3)化為一般形式后用求根公式求解。規(guī)律總結(jié)一個(gè)一元二次方程可能有多種解法。解方程時(shí),假設(shè)沒有具體的要求,應(yīng)盡量選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ?能用因式分解法或直接開平方法的選用因式分解法或直接開平方法；假設(shè)不能用上述方法,可用公式法求解。在用公式法時(shí),要計(jì)算b-4ac的值,假設(shè)b-4ac<0,那么判斷原方程無實(shí)數(shù)根,如本例中的(3),否那么會(huì)走彎路。易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1不能正確運(yùn)用分式因解法解方程例1解方程:.錯(cuò)因分析此題忽略了因式分解法的一個(gè)使用條件:方程錯(cuò)解方程兩邊同時(shí)除以(x-4),得x-4=3,∴x=7,即方程的解是x=7.錯(cuò)因分析錯(cuò)解是因?yàn)樵诘仁絻蛇呁瑫r(shí)除以(x-4),忽略了x-4=0的情況,從而導(dǎo)致漏解。正解移項(xiàng),得=0.∴∴x-4=0,或x-7=0,∴=4,=7.糾錯(cuò)心得方程的兩邊同時(shí)除以一個(gè)不為零的整式,方程的解不變,而對于這種類型的方程,含