七年級上冊數(shù)學(xué)全冊單元試卷測試卷（含答案解析）

一、初一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷解答題壓軸題精選（難）

（2）如圖2,若NE=90。且AB與CD的位置關(guān)系保持不變，當(dāng)直角頂點E移動時，寫出

NBAE與NECD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3,P為線段AC上一定點，點Q為直線CD上一動點，且AB與CD的位置關(guān)系

保持不變，當(dāng)點Q在射線CD上運(yùn)動時（不與點C重合），ZPQD,ZAPQ與NBAC有何數(shù)量

關(guān)系？寫出結(jié)論，并說明理由.

【答案】（1），仿〃°,理由如下：

VCE平分/MR，AE平分ZR#，ZE4r+/ME=90"

^BAC=2㈤CZACD=2NICE

.?1/BAC+ZACD=2^EAC+24CE=2(^EAC+ZACE}=2X90'=180”

（2）XR-AE+XECn=90"，理由如下：

如圖，延長AE交CD于點F,則X4EC=90r

"ABijCD

XRAE=/AFC

由三角形的外角性質(zhì)得：+z^rrn=XAF,f=°

XRAE4XF.Ci)=90"；

KA

"F

(3)/PQD+44PQ+/BAC=360°，理由如下:

"ABijCD

4-XACD=180*>即/ACD=180"-XRAC

由三角形的外角性質(zhì)得：^APQ=^PQC+ZACD=^PQC+180,-^BAC

又*RQC+^PQD=180'，即ZPQC=l&0°-"QD

^^APQ=ZP（?C+1805-ZBAC=180s-GQD+180"-ZBAC

即/PQD+N4PQ+石AC=360°-

【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義、平行線的判定即可得；（2）根據(jù)平行線的

性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）、三角形的外角性質(zhì)即可得；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)

（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）、三角形的外角性質(zhì)、鄰補(bǔ)角的定義即可得.

（1）在圖①中作出射線OD滿足NCOD=50°,并直接寫出NAOD的度數(shù)是；

（2）在圖②中作出射線OD、OE,使得OD平分NAOC,OE平分NBOD,并求NCOE的度

數(shù)；

（3）如圖③，若射線OD從OA出發(fā)以每秒10。的速度繞點0順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時射線

OE從OC出發(fā)以每秒5。的速度繞點。順時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過程

中，當(dāng)OB第一次恰好平分NDOE時，求出t的值，并作出此時OD、OE的大概位置.

【答案】（1）20。或80°

ZAOB=120°ZAOC=120°-90°=30°；OD平分NAOCZCOD=EZAOC=15"

1

：.ZBOD=900+15°=105°,OE是NBOD的平分線ZE0D=2ZBOD=52.5°ZCOE=52.5°-

15°=37.5°.

AC

（3）解：如圖，根據(jù)題意有:30°+5t+(900-5t)x2=10t

解得：t=14.

【解析】【解答］解：（1）有兩種情況分別是:

/CO±BO

ZCOB=90°

ZAOB=120°

ZAOC=120°-90°=30°

ZCOD=50°,

..ZAOD=50°+30°=80°;

?/CO±BO

/.ZCOB=90°

,/ZAOB=120°

/.ZAOC=120°-90°=30°

ZCOD=50°,

ZAOD=50°-30°=20°

【分析】(1)有兩種情況分別是：①當(dāng)0D在NAOB內(nèi)部時，,根據(jù)垂直的定義及

角的和差，由NAOC=ZAOB-ZBOC即可算出NAOC度數(shù)，最后根據(jù)

NAOD=NAOC+NCOD即可算出答案；②當(dāng)OD在NAOB外部時，如圖，根據(jù)垂直的定義及

角的和差，由ZAOC=ZAOB-ZBOC即可算出NAOC的度數(shù)，最后根據(jù)ZAOD=ZCOD-

ZCOA即可算出答案；

(2)根據(jù)垂直的定義及角的和差，由NAOC=NAOB-NBOC即可算出NAOC的度數(shù)，根據(jù)

1

角平分線的定義得出ZCOD=tNAOC算出NCOD的度數(shù)，根據(jù)角的和差，由

1

ZBOD=ZCOD+ZBOC算出NBOD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義得出NEOD=工NBOD得

出NEOD的度數(shù)，最后根據(jù)NCOE=ZEOD-ZCOD算出答案；

(3)根據(jù)題意NAOD=10t,ZCOE=5t,根據(jù)角的和差得出NBOD=ZAOD-ZAOB=10t-

120°,ZBOE=ZCOB-ZCOE=90°-5t,然后根據(jù)角平分線的定義得出ZBOD=ZBOE,從而列出

方程，求解即可。

3.探究題：如圖①，已知線段AB=14cm,點C為AB上的一個動點，點D、E分別是AC

和BC的中點.

②

(1)若點C恰好是AB中點，則DE=cm；

(2)若AC=4cm,求DE的長；

(3)試?yán)?字母代替數(shù)"的方法，設(shè)AC=acm請說明不論a取何值(a不超過14cm),

DE的長不變；

(4)知識遷移：如圖②，已知NAOB=120。，過角的內(nèi)部任一點C畫射線0C,若OD、0E

分別平分NAOC和NBOC,試說明NDOE=60。與射線0C的位置無關(guān).

【答案】(1)7

(2)解：,/AC=4cmBC=AB-AC=10cm又丫D為AC中點，E為BC中點

CD=2cm/CE=5cm/.DE=CD+CE=7cm.

a

(3)解：,/AC=acm/.BC=AB-AC=(14-a)cm又CD為AC中點,E為BC中點CD=2

14-aa14-aa+14-a

-------------------------------------Ten

cm,CE=2cmDE=CD+CE=2+--，無論a取何值(不超

過14)DE的長不變。

a

(4)解:設(shè)NAOC=a,ZBOC=120-a；OD平分NAOC,OE平分NBOCZCOD=2,

12(f-aaI2(f-aa+12(f-a

ZCOE=2ZDOE=ZCOD+ZCOE=2+2=2=60"

ZDOE=60。與OC位置無關(guān).

【解析】【解答】解：⑴I，AB=12cm,點D、E分別是AC和BC的中點，C點為AB的

中點，

AC=BC=7cm,

CD=CE=3.5cm,

DE=7cm,.

111

【分析】(1)根據(jù)中點的定義AC=BC±AB,DC=J\C,CE=CB,^?DE=DC+CE

答案；

11

(2)首先根據(jù)BC=AB-AC算出BC,根據(jù)中點的定義D(SAC,CE=CB,然后根據(jù)DE=DC+CE

即可算出答案；

11

(3)首先根據(jù)BC=AB-AC表示出BC,根據(jù)中點的定義DC=-,AC,CE=±CB,然后根據(jù)

1111

DE=DC+CE=AC+68=(AC+CB)=AB?即可算出答案；

11

(4)根據(jù)角平分線的定義ZCOD=1ZAOC,ZCOE=2ZBOC,然后根據(jù)

1111

ZDOE=ZCOD+ZCOE?ZCOD±NCOE=1(NCOD+ZCOE)=/AOB即可得出答案。

如圖①，點0為直線AB上一點，過點0作射線0C,將一直角三角板如圖擺放

(ZMON=90).

(1)將圖①中的三角板繞點0旋轉(zhuǎn)一定的角度得圖②，使邊0M恰好平分NBOC,問：

ON是否平分NAOC?請說明理由；

(2)將圖①中的三角板繞點0旋轉(zhuǎn)一定的角度得圖③，使邊ON在NBOC的內(nèi)部，如果

ZBOC=60:則ZBOM與NNOC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

【答案】(1)解：ON平分NAOC.理由如下：0M平分NBOC,

ZBOM=ZMOC.ZMON=90°,ZBOM+ZAON=90".又,:ZMOC+ZNOC=90°

ZAON=ZNOC,即ON平分NAOC

(2)解:ZBOM=ZNOC+30°.理由如下:「NBOC=60。，即：ZNOC+ZNOB=60%又因

為NBOM+ZNOB=90°,所以：ZBOM=90°-ZNOB=90°-(60°-ZNOC)=ZNOC+300,

ZBOM與NNOC之間存在的數(shù)量關(guān)系是：ZBOM=ZNOC+300.

【解析】【分析】(1)ON平分NAOC.理由如下：根據(jù)角平分線的定義得出

ZBOM=ZMOC,根據(jù)平角的定義得出ZBOM+ZAON=90°.又/MOC+ZNOC=90°,根據(jù)

等角的余角相等即可得出NAON=NNOC,即ON平分NAOC;

(2)ZBOM=ZNOC+30°.理由如下：根據(jù)角的和差得出ZNOC+ZNOB=60°,又因為

ZBOM+ZNOB=90。，利用整體替換得出ZBOM=90°-ZNOB=90°-(60°-ZNOC)

=ZNOC+30°。

5.科學(xué)實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和反射出的光線與平面

鏡所夾的角相等.

(1)如圖，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b鏡反射出去，

若b鏡反射出的光線n平行于m,且N1=30,則N2=,Z3=；

(2)在(1)中，若N1=70,則N3=：若Nl=a)則N3=；

(3)由(1)(2)請你猜想：當(dāng)N3=時，任何射到平面鏡a上的光線m經(jīng)過平

面鏡a和b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n總是平行的？請說明理由.

(提示：三角形的內(nèi)角和等于180)

【答案】(1)60。；90。

(2)90°；90°

(3)90°

【解析】【解答】⑴

???入射角與反射角相等,即N1=24,Z5=Z2,

根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得N6-N7-12。’，

根據(jù)miln,所以-180"Z6~60".

所以=/2=(180°-60a)+2=60“*

根據(jù)三角形內(nèi)角和為/的"，所以/5-90'：

故答案為：60°,90°.

(2)9。°,90".

由⑴可得N3的度數(shù)都是90°.

⑶9?！?

理由：因為N3=兆°,

所以+/5=90：

又由題意知N1=Z4,Z5=Z2,

所以

N6+N7=180°-（N5+N2）*180°-（Zl+N4）=360°-2N4-2N5

=360°-2（44+N5）=180°.由

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可知：miln.

【分析】（1）由入射角等于反射角可得N1=N4,N5=N2;由鄰補(bǔ)角的定義可求得N6的

度數(shù)；于是由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得N6+N7=/出'，則N7的度數(shù)可求解，由圖

知N5+N7+N2=/初二所以N5和N2的度數(shù)可求解；再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于⑻",

可求得N3的度數(shù)；

（2）由（1）可知N3=城

（3）由（1）和（2）可得N3=9?！?

6.如果兩個角的差的絕對值等于9。。，就稱這兩個角互為反余角，其中一個角叫做另一個

角的反余角，例如，*1=120。，-2=30。，|N1-N2|=9O。，則力和上？互為反

余角，其中j是〃的反余角，〃也是J的反余角.

（1）如圖/為直線AB上一點，acLAR于點。，OE,OD于點°,則nACE的反余

角是，4CE的反余角是；

2

（2）若一個角的反余角等于它的補(bǔ)角的3求這個角.

（3）如圖2,。為直線AB上一點，NACC=30?，將40C繞著點。以每秒「角的速

度逆時針旋轉(zhuǎn)得,同時射線0P從射線0A的位置出發(fā)繞點。以每秒4。角的速度逆

時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線0P與射線0B重合時旋轉(zhuǎn)同時停止，若設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，求當(dāng)t為何

值時，與互為反余角圖中所指的角均為小于平角的角?）

【答案】（1）NBOD、ZCOE

（2）解：設(shè)這個角為「，則補(bǔ)角為（180-0°，反余角為卜+90）?；蛘撸ㄓ忠?0）。

①:當(dāng)反余角為G+90）。時

*x，+90=：（180一籃）

解得：y=18°

②：當(dāng)反余角為Q-90）。時

.--x-90=|（180-x）

解得：y=126°

答：這個角為18?；蛘?26。

（3）解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為t時，與4cH互為反余角.

■.射線OP從射線OA的位置出發(fā)繞點0以每秒4。角的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OP與射線

OB重合時旋轉(zhuǎn)同時停止，

180

,,t—45s

此時：4

??tV45?

/pen=30—f+4,=%+30

4OE=180-4t+t=18。-3t

|3t+30-（180-3t）|=90

解得：l〃或者t16

答：當(dāng)t為40或者10時，4OD與/POE互為反余角.

【解析】【解答】解：（1）4°E的反余角是AOD'的反余角是/ROD、

ZCOE；

【分析】（1）由NAOD-NAOE=90。，可得NAOE的反余角；由NBOE-NCOE=90。，根據(jù)同角

的余角相等可得NCOE=ZBOD,據(jù)此可得NBOE的反余角是NBOD、ZCOE;

（2）設(shè)這個角為1，則補(bǔ)角為（180-Q。,反余角為G+90）?；蛘?-90）。，所

以分兩種情況①當(dāng)反余角為G+90）。時②當(dāng)反余角為G-90）。時，分別列出方程,求

出x值即可.

（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為t時14cr＞與4。工互為反余角，先求出此時t=45s,當(dāng)仁45時，可

得NPOD=3t+30,zPOE=180-3t,根據(jù)互為反余角列出方程，求出t值即可.

7.如圖1,已知數(shù)軸上有三點A、B、C,它們對應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c,且c—b=b—a；點C

對應(yīng)的數(shù)是10.

/BC

圖1

(1)若BC=15,

求a、b的值；

(2)如圖2,在(1)的條件下，0為原點，動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P向左

運(yùn)動，運(yùn)動速度為2個單位長度/秒，點Q向右運(yùn)動，運(yùn)動速度為1個單位長度/秒，N為

0P的中點，M為BQ的中點.

圖2

①用含t代數(shù)式表示PQ、MN；

②在P、Q的運(yùn)動過程中，PQ與MN存在一個確定的等量關(guān)系，請指出他們之間的關(guān)系，

并說明理由.

【答案】(1)BC=15,點C對應(yīng)的數(shù)是10,

c-b=15,

b=-5,

?「c-b=b-a=15,

a=-20;

(2)①rOQ=10+t,OP=20+2t,

PQ=(10+t)+(20+2t)=30+3t;

OB=5,OQ=10+t,

BQ=15+t,

■,M為BQ的中點，

BM=7.5+0.5t,

OM=7.5+0.5t-5=2.5+0.5t.

OP=20+2t,N為OP的中點,

ON=10+t,

MN=OM+ON=12.5+1.5t；

@PQ-2MN=5.

PQ=30+3t,MN=12.5+1.5t,

PQ-2MN=(30+3t)-2(12.5+1.5t)=5.

【解析】【分析】(1)利用數(shù)軸上所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大及數(shù)軸上任意兩點間

的距離等于這兩點所表示數(shù)的差的絕對值，由BC=15,點C對應(yīng)的數(shù)是10,即可算出點B

所表示的數(shù)，即b的值，進(jìn)而根據(jù)c—b=b—a即可算出點A所表示的數(shù)a的值；

(2)①根據(jù)路程等于速度乘以時間，得出PA=2t,CQ=t,所以

OQ=OC+CQ=10+t,OP==OA+PA=20+2t,進(jìn)而根據(jù)PQ=OQ+OP,根據(jù)整式加減法法則算出PQ的長；

根據(jù)BQ=OB+OQ得出BQ=15+t,genuine線段中點的定義得出BM=7.5+0.5t,ON=10+t,根據(jù)

MN=OM+ON,由整式加減法法則即可算出答案；②PQ-2MN=5,理由如下：由PQ=30+3t,

MN=12.5+1.5t,故利用整式家家愛你法法則即可算出PQ-2MN=5。

8.如圖1,點。為直線AB上一點，過。點作射線0C,使人(}(\4，將一

直角三角板的直角頂點放在點0處，一邊ON在射線0A上，另一邊0M在直線AB的下

（1）將圖1中的三角板繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線0B

上，此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為________度；

（2）在（1）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時，使得0M在NBOC的內(nèi)部，ON落在直

線AB下方，試探究NCOM與NBON之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）180

（2）解：ZAOC:ZBOC=1:3,

3

：.ZBOC=180°x；=135°.

ZMOC+ZMOB=135",

ZMOB=1350-ZMOC.

ZBON=90°-ZMOB=900-（1350-ZMOC）=ZMOC-45°.

即XCOM-XRON=45°?

【解析】【解答］解：（1）OM由初始位置旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，在一條直線上，所以旋轉(zhuǎn)了180。.

故答案為180；

【分析】（1）根據(jù)0M的初始位置和旋轉(zhuǎn)后在圖2的位置進(jìn)行分析；（2）依據(jù)已知先計

算出NBOC=135°,則NMOB=1350-MOC,根據(jù)NBON與NMOB互補(bǔ)，則可用NMOC表示

出NBON,從而發(fā)現(xiàn)二者之間的等量關(guān)系.

9.己知一副三角板按如圖1方式拼接在一起，其中邊OA、0C與直線EF重合,

（1）圖1中/RCD=----------------°-

（2）如圖2,三角板COD固定不動，將三角板AOB繞著點0按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度

0.,在轉(zhuǎn)動過程中兩塊三角板都在直線EF的上方：

①當(dāng)0B平分OA、OC、0D其中的兩邊組成的角時，求滿足要求的所有旋轉(zhuǎn)角度a的

值；

②是否存在4℃=2*A0D?若存在，求此時的0.的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）75

（2）解：①當(dāng)0B平分NA0D時，

ZAOE=a,ZCOD=60°,

ZAOD=180°-ZAOE-ZCOD=120°-a,

11

：.ZAOB=WnAOD=6CT-￡a=45。，

a=30°,

當(dāng)OB平分NAOC時，

,/ZAOC=180°-a,

1

ZAOB=90°-Ia=45°,

a=90°；

當(dāng)OB平分NDOC時，

,/ZDOC=60°,

ZBOC=30。，

/.a=180o-45°-30o=105°,

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角度a的值為30°,90°,105°；

②當(dāng)0A在0D的左側(cè)時,KUAOD=120°-a,ZBOC=135°-a,

,/ZBOC=2NAOD,

135°-a=2（120°-a）,

/.a=105°；

當(dāng)OA在OD的右側(cè)時，則NAOD=a-120。，ZBOC=135°-a,

ZBOC=2NAOD,

/.135°-a=2（a-120）,

a=125°,

綜上所述，當(dāng)a=105?；?25。時，存在NBOC=2NAOD.

【解析】【解答］解：（1）?「NAOB=45。，NCOD=60。，

??.ZBOD=180°-ZAOB-ZCOD=75°,

故答案為：75；

【分析】(1)根據(jù)平平角的定義即可得到結(jié)論；(2)①根據(jù)已知條件和角平分線的定義

即可得到結(jié)論；②當(dāng)0A在0D的左側(cè)時，當(dāng)0A在0D的右側(cè)時，列方程即可得到結(jié)論.

10.已知直線AB〃a.

(1)如圖1,直接寫出/為比，法和/3歷之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖2,BI，,/分別平分%，那么一7?%和一跖有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？請說明理由.

(3)若點E的位置如圖3所示，BF,,仍分別平分血，/C比，請直接寫出」即

和/BEL的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)—48E+』'CDE'BEL

1

,麗-.BEL,工

(2)解：2.理由如下：

BF,DF分別平分/ABE,NCDE,

11

/ABF=-/ABE/CDF--/CDE

:.22

111

/ABF+/CDF--/ABE+-/CDE=-(/ABE+/CDE)

：.222，

1

ZBH)=/ABF+/CDF=-(ZABE+/CDE)

由⑴得，L,

又../BH)-上ABE.￡(DE

1

ZBH)=-/BEL

：.2

(3)解"BFD+々ED=360。，理由如下:

如圖3,過點.作此〃巴

1??AB//CL，EG//CL，

.AB//CD//EG，

/.ZABE+NBEG=18?！?NCDE+NDEG=180°,

/ABE+ZCDE+/BED=360°,

由(1)知，ZBFD/ABF+/?5,

又?：Bk,及分別平分ZABk,ZCDk,

11

/ABF=-/ABE/CDF--ZCDb

22

1

/Bm--(ZABE+/CDE)

2，

???2/BFD+/BED=360°.

【解析】【解答】（1）N腑+NQ）￡=/￡班，理由如下:

如圖1.過點E作EF〃槍,

AB//CL,

：.EF〃?,

.../ABE=//,/CDE=,

/ABE+/CDE=Nl+N2=NBEL,

即4BE+NCDE=NBEL；

【分析】（1）過點E作"〃也，根據(jù)平行線的性質(zhì)得NABE=/I,NCDE=Z2,

/ABF=-/ABE/CDF--NCDE

進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）由角平分線的定義得22,結(jié)合

第（1）題的結(jié)論，即可求證；（3）過點E作EG//CL,由平行線的性質(zhì)得

/ABE+/CVE+/BED3609,結(jié)合第（i）題的結(jié)論與角平分線的定義得

/

"=?NABE，ZCDE)

進(jìn)而即可得到結(jié)論.

11.綜合題

（1）i問題引入

如圖①，在△A8C中，點。是NABC和NACB平分線的交點，若ZZ4=a,則NBOC=

（用a表示）：

n

①

ii拓展研究

11

如圖②，ZCBO=JZABC,ZBCO=JZACB,ZA=a,試求NBOC的度數(shù)

（用a表示）.

iii歸納猜想

1

若B。、CO分別是△ABC的NABC.NACB的"等分線，它們交于點0,ZCBO=n

1

ZABC,ZBCO=n^ACB,NA=a,則NBOC=（用a表示）.

（2）類比探索

i特例思考

11

如圖③，ZCBO=JZDBC,ZBCO=JZECB,ZA=a,求NBOC的度數(shù)（用a

表示）.

ii一般猜想

1

若BO、CO分另lj是△ABC的外角NDBC、NECB的n等分線，它們交于點O,ZCBO=〃

1

ZDBC,ZBCO=/jZECB,ZA=a,請猜想NBOC=（用a表示）.

11

【答案】（l）9CT+2Na；120。+。a；叫々

(2)120°-2a；

n

1

【解析】【解答】⑴190。+7/a；

111

ii如圖②，???ZC8O=3ZABC,ZBCO=3ZACB,ZA=a,/.ZBOC=180°~J

111

(Z4BC+ZACB)=180°T(1800-ZA)=180°—3(180°-/a)=180°-60°+Za

1

=120。+2a；

jjjrnT)?，口叫/蜃；

n

11

(2)i如圖③，/ZCB&=ZDBCfNBC。與ZECB,N4=a,/.ZBOC=180°-

111

3(ZDBC+ZECB)=180°-3[360°-(NA8C+/4C8)]=180°-*5[360。一(180°-

/11

NA)]=180°-3(180°+Za)=180°—60°—ZJa=120°~N%；

jjfre-U-sao\^

，》

11

【分析】(1)i根據(jù)角平分線的定義，可得出ZCBO=^ZABC,ZOCB=^ACB,可得出

1

ZCBO+ZOCBF(180°-ZA),再在△COB中，利用三角形內(nèi)角和定理得出ZBOC=180°

11

(ZCBO+Z.OCB),即可得出結(jié)果；ii根據(jù)NCBO=3/ABC,ZOCB=JZACB,可得出

1

ZCBO+ZOCBF(180°-ZA),再在△COB中，利用三角形內(nèi)角和定理得出ZBOC=180°

11

(ZCBO+Z.OCB),即可得出結(jié)果；iii根據(jù)NCBO二0NABC,ZOCB=/JZACB,可得出

1

ZCBO+ZOC5r(180°-ZA),再在△COB中，利用三角形內(nèi)角和定理得出ZBOC=180°

(NCBO+NOCB),即可得出結(jié)果。

111

(2)i根據(jù)/CBO=JNDBC,ZOCB=。NECB,可得出NCBO+ZOCB=180°-3

1

(ZDBC+ZECB),再根據(jù)平角的定義N800280?！?60。QABC+NACB)]，化簡即可

111

得出結(jié)果；根據(jù)NCBO二刀NDBC,NOCB二刀NECB,可得出NCBO+NOCB=180°-小

(ZDBC+ZECB),再根據(jù)平角的定義N80C=180。Zl/360。(Z.ABC+ZACB)],化簡即可

得出結(jié)果。

12.如圖，點C在線段AB上，AC=8cm,CB=6cm,點M、N分別是AC、BC的中點.

I_________i________I_______I______J

AVCNB

(1)求線段MN的長；

(2)若C為線段AB上任一點，滿足AC+CB=acm,其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？

并說明理由；

(3)若C在線段AB的延長線上，且滿足AC-BC=bcm,M、N分別為AC、BC的中點，你

能猜想MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由；

(4)你能用一句簡潔的話，描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？

【答案】(1)MN=MC+NC=AC+BC=(AC+BC)=x(8+6)=xl4=7

(2)MN=MC+NC=2(AC+BC)=：a

(3)MN=MC-NC=AC-BC=(AC-BC)=b

(4)如圖，只要滿足點C在線段AB所在直線上，點M、N分別是AC、BC的中點.那么

MN就等于AB的一半.

【解析】【分析】(1)根據(jù)M、N分別是AC、BC的中點，我們可得出MC、NC分別是AC、

BC的一半，那么MC、CN的和就應(yīng)該是AC、BC和的一半，也就是說MN是AB的一半，

有了AC、CB的值，那么就有了AB的值，也就能求出MN的值了；(2)方法同(1)只

不過AC、BC的值換成了AC+CB=acm,其他步驟是一樣的；(3)當(dāng)C在線段AB的延長線

上時，根據(jù)M、N分別是AC、BC的中點，我們可得出MC、NC分別是AC、BC的一

半.于是，MC、NC的差就應(yīng)該是AC、BC的差的一半，也就是說MN是AC-BC即AB的一

半.有AC-BC的值，MN也就能求出來了；(4)綜合上面我們可發(fā)現(xiàn)，無論C在線段AB

的什么位置(包括延長線)，無論AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半.

13.請閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題.

小明:老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來

幫助解答，今天老師介紹了一個"美味"的模型一"豬蹄模型".即

已知:如圖，必^也，￡為腦、。之間一點，連接%得到

1,4,/ARC.

求證：XAFC=XA+XC

小明筆記上寫出的證明過程如下:

證明:過點4乍EF//Ab,

ABM，EF//AB

EF//CL

C=/C

XAEC=/I+Z7.

XAF;C=/A:

請你利用"豬蹄模型"得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題.

(1)如圖，若血以，60?，則/R*/F二_

D

⑵如圖，AB/CD,比平分/ARA，"平分/DCG，7G=/H427"，則二

H

G

【答案】(1)240°

(2)51°

【解析】【解答】(1)解:作EMUAB,FNIICD,如圖,

/.ABHEMUFNIICD,

/.ZB=Z1,Z2=Z3,Z4+ZC=180°,

ZB+ZCFE+ZC=Z1+Z3+Z4+ZC=ZBEF+Z4+ZC=ZBEF+180°,

,J/REF=6。。'

/.ZB+ZCFE+ZC=60°+180°=240°；(2)解：如圖，分別過G、H作AB的平行線MN和

RS,

/.ZABE=2ZABG,ZSHC=ZDCF=上ZDCG,

,/ABHCD,

ABHCDIIRSIIMN,

11

ZRHB=ZABE=]ZABG,ZSHC=ZDCF=工ZDCG,ZNGB+ZABG=ZMGC+ZDCG=180°,

ZBHC=180°-ZRHB-ZSHC=180°-1(ZABG+ZDCG),

ZBGC=180°-NNGB-ZMGC=180°-(1800-ZABG)-(180°-ZDCG)=ZABG+ZDCG-18O0,

ZBGC=360°-2ZBHC-180°=180°-2ZBHC,

又ZBGC=ZBHC+27°,

180°-2ZBHC=NBHC+27%

ZBHC=51*.

【分析】(1)作EMUAB,FNIICD,如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得ABIIEMUFNIICD,所以

ZB=Z1,Z2=Z3,Z4+ZC=180。，然后利用等量代換計算ZB+ZF+ZC;(2)分別過

G、H作AB的平行線MN和RS,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用NABG和NDCG

分別表示出NH和NG,從而可找到NH和NG的關(guān)系，結(jié)合條件可求得NH.

圖1圖2圖3

(1)請判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,在(1)的結(jié)論下，當(dāng)NE=90。保持不變，移動直角頂點E,使NMCE=NECD.

當(dāng)直角頂點E點移動時，問NBAE與NMCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

(3)如圖3,在(1)的結(jié)論下，P為線段AC上一定點，點Q為直線CD上一動點，當(dāng)點

Q在射線CD上運(yùn)動時(點C除外)，ZCPQ+ZCQP與NBAC有何數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)

論，其數(shù)量關(guān)系為.

【答案】⑴解：ABIICD；理由如下：

.「CE平分NACD,AE平分NBAC,

ZBAC=2ZEAC,ZACD=2ZACE,

ZEAC+ZACE=90",

ZBAC+zACD=180°,

ABIICD

(2)解：ZBAE+-NMCD=90。；理由如下:

過E作