專題13：空間向量與立體幾何-備戰(zhàn)2021高考之2020新高考真題分項匯編

一、解答題

1.（2020?天津高考真題）如圖，在三棱柱ABC—中，CG，平面ABC，AC_L8C,AC=8C=2,

CG=3,點。，E分別在棱AA和棱CG上，且AD=1CE=2,M為棱A片的中點.

（I）求證：C.M15.Z）；

（II）求二面角8一四后一。的正弦值；

（HI）求直線AB與平面所成角的正弦值.

答案：（I）證明見解析；（II）叵；（?。┣?

63

解答：

依題意，以。為原點，分別以畫、麗、的方向為x軸、＞軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系（如

圖）,

可得C（0,0,0）、A（2,0,0）、8（0,2,0）、C,（0,0,3）,

A(2,0,3)、4(023)、￡>(2,0,1)、￡(0,0,2),

(I)依題意,QM=(1,1,0),麗=(2,—2,-2),

從而函?麗=2—2+0=0,所以

（口）依題意，畫=（2,0,0）是平面8片￡的?個法向量,

函=（0,2,1）,防=（2,0,—I）.

設(shè)n=（x,y,z）為平面DB.E的法向量,

n-EB.=02y+z=0

則_____!即《

n-ED=02x-z=0

不妨設(shè)尤=1,可得3=（1,—1,2）.

--CAn2V6

cos<CA,n>=?..=-----T==—-,

|CA|.|n|2xV66

71-cos2<C4,n>=^

/.sin<CA.n>=

6

所以，二面角8-4七一。的正弦值為我：

6

（①）依題意，AB=（-2,2,0）.

ABn_-4_V3

由（n）知3=（1,—1,2）為平面的一個法向量,于是cos<AB,n>—

|Afi|.|n|-25/2X>/6~3?

所以，直線AS與平面所成角的正弦值為正

3

2.（2020?北京高考真題）如圖，在正方體ABC?！?，E為8月的中點.

（I）求證：BCJ/平面A"E：

（口）求直線A4與平面AQE所成角的正弦值.

答案：（I）證明見解析；（II）2.

3

解答：

（I）如下圖所示：

在正方體ABC。—中，A6〃44且AB=Ag,4與〃￡2且A4=CQi,

，AB〃￡。且AB=G〃，所以，四邊形ABGA為平行四邊形，則BC//A。，

BQ（Z平面AD,E,AAu平面AD{E,：.BQ〃平面AAE；

（口）以點A為坐標原點，A。、AB、A4所在直線分別為x、＞、z軸建立如下圖所示的空間直角坐

標系A(chǔ)一孫z,

設(shè)正方體-的棱長為2,則4（0體,0）、4（0,0,2）、D,（2,0,2）,￡（0,2,1）,

甌=（2,0,2）,A￡=（0,2,l）,

n-AD.=02x+2z=0

設(shè)平面ARE的法向量為n=（x,y,z），由，—,，得〈

ii-AE=02y+z=0

令z=—2,則x=2,y=l,則1=（2,1,-2）.

2

cos<—/?,ATAVj、>=i幾]?___j=

MM3x2?-

2

因此，直線AA1與平面所成角的正弦值為］.

3.（2020?海南高考真題）如圖，四棱錐P-ABC。的底面為正方形，。。_1底面488.設(shè)平面％。與平面P8c

的交線為/.

(1)證明：/_L平面PDC；

(2)已知PD=AD=1,Q為/上的點，求P8與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

答案：(1)證明見解析；(2)旦.

3

解答：

(1)證明：

在正方形A8CZ)中，AD//BC，

因為ADZ平面P8C,8。匚平面「8。，

所以AO〃平面PBC,

又因為ADu平面PAO，平面PAOD平面PBC=I,

所以4)〃/,

因為在四棱錐P-ABC￡＞中，底面4BCD是正方形，所以AO，DC,，/_LDC,

且PD_L平面ABC。，所以AOJ.PD,;./_LPD,

因為cr)npo=。

所以/_L平面PQC：

(2)如圖建立空間直角坐標系。一孫z,

因為尸。=4)=1，則有0((),0,()),C(0,l,0),A(l,(),()),P((),(),l),5(1,1,0),

設(shè)Q(m0,1),則有覺=(0,1,0),De=(m,0,l),P5=(l,l,-l),

設(shè)平面QCZ）的法向量為〃=（冗,y,Z）,

DCn=0y=0

則一，即《

DQii=0mx+z-0

令尤=1,則z=-m,所以平面QCO的一個法向量為］=（1,0,-加），則

n-PB1+0+772

cos<n,PB>=

RM67府+1

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與

平面所成角的正弦值等于

|cosJ，郎小I=亙"2…2

y/3+13V療+1

當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)行1時取等號，

所以直線尸5與平面QCD所成角的正弦值的最大值為逅

3

4.（2020?江蘇高考真題）在三棱錐A-8CD中，已知CB=CD=后，BD=2,。為BD的中點，4?_L平面88,

A0=2,E為47的中點.

（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；

（2）若點F在BC上，滿足BF=』BC,設(shè)二面角F-DE-C的大小為9,求sin。的值.

4

答案：（1）叵（2）友9

1513

解答:

(1)連COQBC=CD,BO=ODCO工BD

以O(shè)B,OC,OA為。y,z軸建立空間直角坐標系，則A(0,0,2),B(l,0,0),C(0,2,0),D(-l,0,0)/.E(0,l,l)

uinuunuunuuoi_iV15

...AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1)cos<AB,DE>=-^=

V5V3IT

從而直線AB與DE所成角的余弦值為叵

15

(2)設(shè)平面￡)￡C一個法向量為勺=(%,y,z),

%-DC=0x+2y=0

vDC=(1,2,0),

n,-DE=0x+y+z=0

令y=1元=-2,z=1.??4=(-2,1,1)

設(shè)平面DEF一個法向量為

71八

LU_____________1___71n^DF=0一X]H—y,=0

^^(^,^,2,),-.■DF=DB+BF=DB+-BC=^.DE=o''42

石+X+Z]=°

ULI

令y=-7「.x=2,Zj=5「.叼=(2,-7,5)

irin-61

cos<n,,%>=--f=~~-f=——->=

■V6V78V13

.V122屈

因此sin0=—f==-------

71313

5.(2020?海南高考真題)如圖，四棱錐P-A8CD的底面為正方形，PDJ_底面A8CD.設(shè)平面%D與平面P8C

的交線為/.

p

（1）證明：/，平面。。。；

（2）已知PD=AD=1,Q為/上的點，QB=后，求P8與平面QCD所成角的正弦值.

答案：（1）證明見解析；（2）逅.

3

解答：

（1）證明：

在正方形A3CO中，AD//BC，

因為A￡>z平面PBC，BCu平面尸BC,

所以AD〃平面PBC,

又因為AOu平面PAD，平面P4OCT平面P8C=/，

所以4）〃/,

因為在四棱錐P-A5C￡>中，底面ABCD是正方形，所以J_OC,

且PDL平面ABC。，所以AO_LPD,；./_LPD,

因為conpo=。

所以/，平面PDC；

（2）如圖建立空間直角坐標系。-孫z,

因為P￡>=AZ)=1，則有。((),O,()),C(O,1,0),A(l,0,0),P((),(),1),5(1,1,0),

設(shè)g(m,0,l),則有交=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=(1,1,-1),

因為Q8=Ji，所以有J(mT)2+(0-1)2+(1—0)2=夜=>加=1

設(shè)平面QCD的法向量為”=(x,y,z),

-n=0y=0

則,即《

=0x+z=0

令x=l,則z=—l，所以平面QC。的一個法向量為3=(l,0,—1),則

nPB__________1+0+1____________2_V6

cos<n,PB>=

|“|-y/l2+02+(-l)2?Jr+F+JV2XA/3

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與

ruur

平面所成角的正弦值等于Icos<n,PB>\=—

所以直線必與平面QCD所成角的正弦值為逅.

3

6.(2020?全國高考真題(理))如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑,

AE=AD.AABC是底面的內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點，PO=^DO.

D

（1）證明：