第五章克里金法第5章克里格法提綱克里金法概述線性克里金法簡單克里金普通克里金泛克里金法非線性克里金法

對數(shù)正態(tài)克里金法指示克里金法析取克里金法協(xié)同克里金法第5章克里格法一、克里金法概述1、克里金法概念及種類概念：又稱為空間局部估計或空間局部插值法,克里金法是建立在變異函數(shù)理論及結構分析基礎上，在有限區(qū)域內對區(qū)域化變量的取值進行線性無偏最優(yōu)估計的一種方法。主要類型：簡單克里金法

普通克里金法OrdinaryKriging

泛克里金法UniversalKriging

對數(shù)正態(tài)克里金法LogisticNormalKriging指示克里金法IndicatorKriging概率克里金ProbabilityKriging析取克里金法DisjuctiveKriging協(xié)同克里金法Co-Kriging第5章克里格法2、克里金估計量設x為研究區(qū)域內任一點待估點的估計值克里金估計量權重系數(shù)待估點影響范圍內的有效樣本值（1）無偏估計（2）最優(yōu)估計顯然，估計的好壞取決于權重系數(shù)λi第5章克里格法3、克里金法估值過程（1）數(shù)據(jù)檢查（2）模型擬合（3）模型診斷（4）模型比較第5章克里格法當區(qū)域化變量Z(x)的E[Z(x)]=m已知，則稱為簡單克里金法若Z(x)的E[Z(x)]未知，則稱為普通克里金法二、線性克里金法第5章克里格法1、簡單克里金法設區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)假設，其數(shù)學期望為常數(shù)m，協(xié)方差函數(shù)C(h)和變異函數(shù)γ(h)存在且平穩(wěn)?，F(xiàn)要估計中心點在x0的待估塊段V的均值ZV(x)，ZV(x)表達式為由于E[Z(x)]=m已知令Y(x)=Z(x)-m則E[Y(x)]=E[Z(x)-m]=E[Z(x)]-m=0待估塊段新待估值第5章克里格法1、簡單克里金法設在待估塊段V附近有n個樣點xi(i=1,2,…n),其觀測值為Z(xi)(i=1,2,…n)，則觀測值新變量為：Y(xi)=Z(xi)-mY(V)的估計值Yv*是Y(xi)(i=1,2,…n)的線性組合，則目標：找出一組權重系數(shù)，使得Yv*成為Y(V)

的線性、無偏、最優(yōu)估計量則估計Z(V)的問題轉化為估計Y(V)的問題第5章克里格法1、簡單克里金法在滿足以下兩個條件時，Yv*是Y(V)的線性、無偏、最優(yōu)估計量。（1）無偏性

由于所以

則Yv*不需要任何條件即是Y(V)的無偏估計量。（2）最優(yōu)性

在滿足無偏條件下，可推導估計方差公式為：第5章克里格法1、簡單克里金法為使估計方差最小，需對上式求λi的偏導數(shù)并令其為0整理得簡單克里金方程組：用矩陣表示為：將簡單克里金方程組表達式帶入估計方差表達式得簡單克里金估計方差表達式：第5章克里格法1、簡單克里金法從簡單克里金方程組的n個方程中便可求得n個權重系數(shù)λi，則YV(x)的簡單克里金估計量為：簡單克里金法的估計精度在很大程度上依賴于m值的準確度，但是通常情況下很難正確估計m值，從而導致簡單克里金估計精度降低。第5章克里格法簡單克里金法計算示例：設某一區(qū)域氣溫數(shù)據(jù)滿足二階平穩(wěn)假設，協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)存在，所有采樣數(shù)據(jù)的均值為16.08度，并將均值作為此區(qū)域化變量的數(shù)學期望值，將所有采樣數(shù)據(jù)剔除數(shù)學期望值后擬合的變異函數(shù)模型為球狀模型，如下所示?，F(xiàn)用簡單克里金方法根據(jù)五個已知點的氣溫數(shù)據(jù)來估算0點處的氣溫值1、簡單克里金法第5章克里格法2、普通克里金法設區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)假設，其數(shù)學期望為m，為未知常數(shù)，協(xié)方差函數(shù)C(h)和變異函數(shù)γ(h)存在且平穩(wěn)?，F(xiàn)要估計中心點在x0的待估塊段V的均值，即設待估塊段V附近有n個樣點xi(i=1,2,…,n),其觀測值為Z(xi)(i=1,2,…,n)，待估塊段V的真值是估計鄰域內n個信息值的線性組合，即現(xiàn)要求出權重系數(shù)λi(i=1,2,…,n)，使Z*V(x)為ZV(x)的無偏估計量，且估計方差最小。第5章克里格法2、普通克里金法（1）無偏性條件

由于

若要滿足無偏性條件，需

，則無偏性條件為：

即在權系數(shù)之和為1的條件下估計量是無偏的。（2）最優(yōu)性條件

即估計方差最小條件，在滿足無偏性條件下，有如下估計方差公式

要求出在滿足無偏性條件

下使得估計方差最小的權系數(shù)λi(i=1,2,…,n)，

這是個求條件極值問題。第5章克里格法2、普通克里金法根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法原理，建立拉格朗日函數(shù)F。求出函數(shù)F對n個權系數(shù)λi的偏導數(shù)，并令其為0，和無偏性條件聯(lián)立建立方程組。整理得普通克里金方程組第5章克里格法2、普通克里金法將解出的λi(i=1,2,…,n)帶入估計量公式得到普通克里金估計量：從普通克里金方程組可得：將此式帶入估計方差公式得普通克里金估計方差，記為

：普通克里金方程組和普通克里金估計方差也可用變異函數(shù)γ(h)表示。在Z(x)滿足二階平穩(wěn)條件時，可采用協(xié)方差或變異函數(shù)表達的普通克里金方程組及克里金估計方差計算式進行求解計算；但在本證假設條件下，則只可采用變異函數(shù)的表達式進行求解計算。第5章克里格法2、普通克里金法為了書寫簡便和便于計算，普通克里金方程組和普通克里金估計方差均可用矩陣形式表示。協(xié)方差函數(shù)表達的普通克里金方程組展開得引入矩陣或普通克里金方程組用矩陣形式表達為：

或權重系數(shù)

或普通克里金估計方差用矩陣表達為：

或第5章克里格法2、普通克里金法普通克里金計算示例：設某一區(qū)域氣溫數(shù)據(jù)滿足二階平穩(wěn)假設，協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)存在，擬合的變異函數(shù)模型為球狀模型，如下所示。數(shù)據(jù)如下，點的空間分布如圖所示?，F(xiàn)用普通克里金方法根據(jù)已知五個點的氣溫數(shù)據(jù)估算0點處的氣溫值。第5章克里格法3、泛克里金法普通克里金法要求區(qū)域化變量Z(x)是二階平穩(wěn)或本征的，至少是準二階平穩(wěn)或準本征的。在此條件下，至少在估計鄰域內有E[Z(x)]=m（常數(shù)）。然而實際中，許多區(qū)域化變量Z(x)在估計鄰域內是非平穩(wěn)的，即E[Z(x)]=m(x)，m(x)稱為漂移，這時就不能用普通克里金方法進行估計了，而是要采用泛克里金法進行估計。所謂泛克里金法，就是在漂移的形式E[Z(x)]=m(x)，和非平穩(wěn)隨機函數(shù)Z(x)的協(xié)方差函數(shù)C(h)或變異函數(shù)γ(h)為已知的條件下，一種考慮到有漂移的無偏線性估計量的地統(tǒng)計學方法，這種方法屬于線性非平穩(wěn)地統(tǒng)計學范疇。第5章克里格法（1）漂移和漲落漂移：非平穩(wěn)區(qū)域化變量Z(x)的數(shù)學期望，在任一點x上的漂移就是該點上區(qū)域化變量Z(x)的數(shù)學期望。漂移經(jīng)常用鄰域模型來研究?？杀磉_為：在給定的以點x為中心的鄰域內的任一點，其漂移m(x)可用如下函數(shù)表示。式中，fl(x)為一已知函數(shù)；al為未知系數(shù)m(x)通常采用多項式形式，在二維條件下，漂移可看成坐標x,y的函數(shù)。漲落：對于有漂移的區(qū)域化變量Z(x)，假設可分解為漂移和漲落兩部分，式中，m(x)=E[Z(x)]為點x處的漂移，R(x)稱為漲落。第5章克里格法（2）非平穩(wěn)區(qū)域化變量的協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)1）基本假設假設Z(x)的增量[Z(x)－Z(y)]具有非平穩(wěn)的數(shù)學期望[m(x)－m(y)]和非平穩(wěn)的方差函數(shù)，即假設下式存在：2）協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)當Z(x)=m(x)+R(x)時，Z(x)的協(xié)方差函數(shù)C(x,y)為：Z(x)的變異函數(shù)γ(x,y)為：第5章克里格法（3）Z(x)的泛克里金法估計設Z(x)為一非平穩(wěn)區(qū)域化變量，其數(shù)學期望為m(x)，協(xié)方差函數(shù)為C(x,y)且已知，則設Z(x)的漂移m(x)可表示為如下k+1個單項式fl(x)(l=0,1,2,…,k)的線性組合。已知n個樣品點xi(i=1,2,…,n)，其觀測值為Z(xi)(i=1,2,…,n)，現(xiàn)要用這些樣品點估計鄰域內任一點x的值Z(x)，Z(x)的泛克里金估計量為：為使Z*(x)為Z(x)的無偏最優(yōu)估計量，需在以下兩個條件下求解權重系數(shù)λi(i=1,2,…,n)。第5章克里格法（3）Z(x)的泛克里金法估計1）無偏性條件若要滿足無偏性條件，需則即對任一組系數(shù)a0，a1,…,ak等式均成立，需成立。這k+1個子式稱為無偏性條件。第5章克里格法（3）Z(x)的泛克里金法估計2）最優(yōu)性條件在滿足無偏性條件下，用Z*(x)估計Z(x)的泛克里金估計方差為：將無偏性條件帶入得要求出在滿足無偏性的條件下使得估計方差最小的權系數(shù)λi(i=1,2,…,n)，需根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法原理，建立拉格朗日函數(shù)F。第5章克里格法（3）Z(x)的泛克里金法估計求出函數(shù)F對n個權系數(shù)λi的偏導數(shù)，并令其為0，和無偏性條件聯(lián)立建立如下方程組。整理得估計Z(x)的泛克里金方程組：泛克里金方程組可用矩陣表示為：其中第5章克里格法（3）Z(x)的泛克里金法估計從泛克里金方程組可得以下兩等式：將等式帶入估計方差公式可得泛克里金方差，記為：用變異函數(shù)γ(h)表示如下：

第5章克里格法（4）泛克里金法計算示例設某一區(qū)域氣溫是非平穩(wěn)的區(qū)域化變量，在南北方向（空間坐標的y方向）上存在線性漂移，即

。若已知其漲落滿足二階平穩(wěn)假設，并且擬合的協(xié)方差函數(shù)模型為球狀模型，如下所示。現(xiàn)用表5?1所示數(shù)據(jù)，利用泛克里金法根據(jù)已知五個點的氣溫數(shù)據(jù)來估算0點處的氣溫值。第5章克里格法三、非線性克里金法1、對數(shù)正態(tài)克里金法如果區(qū)域化變量經(jīng)對數(shù)變換后是正態(tài)分布或近正態(tài)分布，則對區(qū)域化變量進行精確估計的地統(tǒng)計學方法稱為對數(shù)正態(tài)克立格法。設區(qū)域化變量Z(x)服從對數(shù)正態(tài)分布，在待估點周圍有n個樣點xi(i=1,2,…,n),其觀測值為Z(xi)(i=1,2,…,n)，區(qū)域化變量經(jīng)對數(shù)變換后新變量為：Y(x)=lnZ(x)，Y(x)為正態(tài)分布。假定Y(x)滿足二階平穩(wěn)假設，數(shù)學期望為m，協(xié)方差函數(shù)C(h)和變異函數(shù)γ(h)存在且平穩(wěn)?；趯?shù)變換后的采樣點數(shù)據(jù)Y(xi)(i=1,2,…,n)，計算實驗變異函數(shù)并進行變異函數(shù)模型的擬合和選擇，然后利用簡單克立格或普通克立格估計待估點x處的值Y*(x)。由于估計值Y(x)是對數(shù)變換后的數(shù)值，因此對估計所得Y*(x)需進行反變換。第5章克里格法2、指示克里金法實際研究中常常會需要獲取研究區(qū)內研究對象大于某一給定閾值的概率分布，即要獲知研究區(qū)內任一點x處隨機變量Z(x)的概率分布。還會碰到采樣數(shù)據(jù)中存在特異值的問題。（特異值是指那些比全部數(shù)值的均值或中位數(shù)高的多的數(shù)值，其既非分析誤差所致，也非采樣方法等人為誤差引起，而是實際存在于所研究的總體之中）。指示克立格法就是為解決上述問題而發(fā)展起來的一種非參數(shù)地統(tǒng)計學方法。指示克立格法不必去掉重要而實際存在的高值數(shù)據(jù)的條件下處理各種不同現(xiàn)象，并能夠給出某點x處隨機變量Z(x)的概率分布。第5章克里格法2、指示克里金法設一區(qū)域化變量Z(x)，對于任意給定的閾值z，引入指示函數(shù)I(x,z)，表達式如下：指示克立格法步驟如下：（1）確定一閾值，根據(jù)指示函數(shù)將原數(shù)據(jù)轉換為0或1；（2）利用轉換的數(shù)據(jù)計算指示變異函數(shù)，并進行擬合；（3）建立指示克立格方程組，計算待估點值。若把指示函數(shù)看做一普通區(qū)域化變量，也可直接由簡單或普通克立格方法來計算待估點的值。若選擇多個閾值則需重復以上步驟。第5章克里格法3、析取克里金法析取克立格法：假設已知任意區(qū)域化變量（Z

,Z

）及（Z0,Z

）二維概率分布條件下，對待估點的值或待估點值超過給定閾值的概率進行估計的一種非線性地統(tǒng)計方法。估值步驟：

設區(qū)域化變量Z(x)在待估點x0周圍有n個樣點xi(i=1,2,…,n),其觀測

值為Z(xi)(i=1,2,…,n)，將原始數(shù)據(jù)轉換為標準正態(tài)數(shù)據(jù)對每個新變量Y(xi)(i=1,2,…,n)計算埃爾米特多項式的值。計算埃爾米特多項式系數(shù)，用埃爾米特多項式來擬合正態(tài)變形函數(shù)。計算待估點析取克立格值第5章克里格法四、協(xié)同克里金法1、協(xié)同區(qū)域化變量理論協(xié)同克立格法：是多元地統(tǒng)計學研究的基本方法，建立在協(xié)同區(qū)域化變量理論基礎之上，利用多個區(qū)域化變量之間的互相關性，通過建立交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)模型，用易于觀測和控制的變量對不易觀測的變量進行局部估計。協(xié)同區(qū)域化：在統(tǒng)計意義及空間位置上均具有某種程度相關性，并且定義于同一空間域中的區(qū)域化變量。協(xié)同區(qū)域化變量可用一組K個相關的區(qū)域化變量

表示。觀測前它是K維區(qū)域化變量的向量，即一個隨機場，觀測后，協(xié)同區(qū)域化變量是一個空間點函數(shù)，可以把

看成是上述K維向量的一個實現(xiàn)。第5章克里格法1、協(xié)同區(qū)域化變量理論滿足二階平穩(wěn)假設的協(xié)同區(qū)域化變量應滿足：（1）每一個協(xié)同區(qū)域化變量的數(shù)學期望存在且平穩(wěn)：（2）交叉協(xié)方差函數(shù)存在，且平穩(wěn)：滿足內蘊假設的協(xié)同區(qū)域化變量應滿足：（1）每一個協(xié)同區(qū)域化變量增量的數(shù)學期望為0：（2）對于協(xié)同區(qū)域化變量，交叉變異函數(shù)存在且平穩(wěn)。即第5章克里格法2、交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)（1）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)性質1)當k=kˊ

時，交叉協(xié)方差函數(shù)轉化為協(xié)方差函數(shù)，交叉變異函數(shù)轉化為變異函數(shù)。即2)交叉變異函數(shù)性質交叉變異函數(shù)關于k和kˊ對稱，即交叉變異函數(shù)關于h和-h對稱，即在普通克立格法中變異函數(shù)總是大于等于0，但交叉變異函數(shù)可以有負值。3)交叉協(xié)方差函數(shù)性質交叉協(xié)方差函數(shù)關于h和-h不對稱，即

，但

當h≠0

時，k和kˊ順序不能隨意顛倒，即當h=0時，交叉協(xié)方差轉化為直接協(xié)方差。第5章克里格法2、交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)4）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)具有以下關系：5）同一點兩個變量點對點協(xié)同區(qū)域化變量的相關系數(shù)為：第5章克里格法2、交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)（2）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)計算公式設在點x和x+h處，分別測得兩個區(qū)域化變量的觀測值

Zk(x)、Zkˊ(x)、Zk(x+h)、Zkˊ(x+h)，則交叉協(xié)方差函數(shù)計算公式為:交叉變異函數(shù)計算公式為：第5章克里格法2、交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)（3）交叉協(xié)方差函數(shù)和交叉變異函數(shù)計算示例采用表5?1、圖5?1所示的氣溫和海拔高度數(shù)據(jù)，以h=0,h1,4為例，交叉協(xié)方差和交叉變異計算過程如下：第5章克里格法3、協(xié)同克立金法估值（1）協(xié)同克立金估計量第5章克里格法（2）協(xié)同克立金法方程組第5章克里格法（2）協(xié)同克立金法方程組1)無偏性條件2)最優(yōu)性條件

第5章克里格法（2）協(xié)同克立金法方程組對F求偏導數(shù)并令其為零，得協(xié)同克立格線性方程組：第5章克里格法（2）協(xié)同克立金法方程組根據(jù)協(xié)同克立格方程組，協(xié)同克立格方差為：若有多個變量，則求解

的協(xié)同克立格方程組為：協(xié)同克立格方差為：第5章克里格法（2）協(xié)同克立金法方程組要使協(xié)同克立格方程