3勾股定理的應(yīng)用1.求立體圖形表面上的最短路徑的步驟(1)將立體圖形展開為

(注意:只需展開包含相關(guān)點(diǎn)的面,可能會(huì)存在不同的展開方法);

(2)確定

的位置;

(3)連接相關(guān)點(diǎn)構(gòu)造

;

(4)利用勾股定理求解.2.利用勾股定理解決實(shí)際問題在實(shí)際問題中,尋找或構(gòu)造

,并利用勾股定理解決求高度、寬度和距離等的問題;還可以利用勾股定理的

,通過測(cè)量

,判斷一個(gè)角是不是直角.

平面圖形相關(guān)點(diǎn)直角三角形直角三角形逆定理三角形的邊長勾股定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用[典例1]

(2023都江堰期中)如圖,用兩根木棒AC,AD加固小樹,木棒AC,AD與小樹在同一平面內(nèi),且小樹與地面垂直,AD=2m,AC=1.3m.(1)若AB=1.2m,求BD的長;解:(1)因?yàn)锳B⊥DC,所以∠ABD=90°.因?yàn)锳D=2m,AB=1.2m,所以BD2=AD2-AB2=2.56,所以BD=1.6m.(2)若CD=2.1m,求BD的長.解:(2)設(shè)BD=xm,則BC=(2.1-x)m.因?yàn)锳C2-BC2=AB2,AD2-BD2=AB2,所以AC2-BC2=AD2-BD2,所以1.32-(2.1-x)2=22-x2,解得x=1.6,所以BD=1.6m.在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí),勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法,關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型,畫出準(zhǔn)確的示意圖,領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.[變式]如圖,公路上A,B兩點(diǎn)相距50km,C,D為兩村莊,DA⊥AB于點(diǎn)A,CB⊥AB于點(diǎn)B,已知DA=30km,CB=20km,現(xiàn)在要在公路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品市場(chǎng)E,使得C,D兩村莊到市場(chǎng)E的距離相等,求市場(chǎng)E應(yīng)建在距A點(diǎn)多少千米處.解:設(shè)AE=xkm,則BE=(50-x)km,在Rt△ADE中,DE2=302+x2,在Rt△CBE中,CE2=202+(50-x)2.因?yàn)镈E=CE,所以302+x2=202+(50-x)2.解得x=20,即AE=20km.答:市場(chǎng)E應(yīng)建在距A點(diǎn)20km處.勾股定理在解決最短路徑問題中的應(yīng)用[典例2](2023廣州月考)如圖,這是一個(gè)供滑板愛好者使用的U型池,該U型池可以看作是一個(gè)長方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成,中間可供滑行部分的截面是半徑為5m的半圓,其邊緣AB=CD=40m,小明要在AB上選取一點(diǎn)E,能夠使他從點(diǎn)D滑到點(diǎn)E,再到點(diǎn)C的滑行距離最短,求他滑行的最短距離.(π取3)解:將U型池的最上方展開如圖.作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F,連接DF,則小明滑行的最短距離為DF的長.由題意可得BC=5π≈15(m),所以CF≈30m.在Rt△CDF中,由勾股定理,得DF2=CF2+CD2≈302+402=2500,所以DF≈50m,所以他滑行的最短距離約為50m.平面展開最短路徑問題